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苏科版2025—2026学年九年级上册期末真题通关提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·花都期末）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·昌平期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
3．（2024九上·杭州期末）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·江门期末）如图，在中，弦的长为，点在上，．若所在的平面内有一点，且，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
5．（2023九上·武汉期末）根据频率估计概率原理，可以用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对，它们对应的点金部在平面直角坐标系中某一个正方形的边界及其内部．若统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则可估计π的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·宣化期末）某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于的方程，下列解法完全正确的个数为（ ）
甲 乙 丙
两边同时除以，得． 整理得，配方得，∴，∴，∴，． 移项得，∴，∴或，∴，．
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（2023九上·杭州期末）如图，已知圆心角∠AOB=140°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．40° B．70° C．110° D．120°
8．（2023九上·宜宾期末）已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
9．（2024九上·乐昌期末）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·西湖期末）若线段，点为平面内一点，，则线段的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·义乌期末）从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ．
12．（2024九上·衡阳期末）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为 ．
13．（2024九上·山丹期末）若代数式与的值互为相反数，则整数的值为 ．
14．（2024九上·贵州期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是
15．（2024九上·贵州期末）如图，是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接M，N分别是的中点，连接．若，则的最大值为 ．
16．（2024九上·绍兴期末）若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”．如图，已知，，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．以射线上的一动点为圆心，半径为2作，若是的“关联圆”，则的取值范围为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·威宁期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2025九上·鄞州期末）某校推荐了4名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中1名七年级女生、2名八年级学生（刚好1名男生和1名女生）、1名九年级男生．
（1）若从4名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是__________；
（2）若先从八年级的2名学生中任抽1名，再从剩下的3名学生任抽1名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明．
19．（2025九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
20．（2025九上·新化期末）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
21．（2025九上·麻章期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
22．（2024九上·蓬溪期末）已知，关于x的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求k的值及另一个根；
（2）若该方程有两个实数根，若，求k的值；
23．（2024九上·武胜期末）如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点．点为边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．
24．（2025九上·唐山期末）如图1、图2是走廊上的一个半圆柜的俯视图，其中表示走廊且，是半圆的直径且长为是半圆的圆心，C，D是半圆上两点，且．
（1）求的长；
（2）将半圆柜绕点B顺时针旋转，当半圆O与相切于点E时，点A到的距离为，如图2，求之间的距离．
25．（2025九上·新兴期末）如图，为的边上一点，以O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E．
（1）如图1，连接，若，则绕点E按顺时针方向旋转______°与重合．
（2）如图2，连接，交于点F，连接，且．
①求证：为的切线．
②若，，，直接写出的面积．
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苏科版2025—2026学年九年级上册期末真题通关提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·花都期末）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
圆锥底面半径为
∴底面周长为：
∴蛋筒圆锥部分包装纸的面积为：
故答案为：C
【分析】根据圆锥侧面展开图为扇形，结合扇形面积即可求出答案.
2．（2024九上·昌平期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：B
【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得∠C=50°，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
3．（2024九上·杭州期末）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：列表如下：
C D E
A (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，C) (B，D) (B，E)
共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种．
他选择从口进入，从口离开的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题．
4．（2024九上·江门期末）如图，在中，弦的长为，点在上，．若所在的平面内有一点，且，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：设与交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在上．
故答案为：A．
【分析】设与交于点，根据圆周角定理得到，勾股定理求出的长，再根据点圆的位置关系即可求出答案.
5．（2023九上·武汉期末）根据频率估计概率原理，可以用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对，它们对应的点金部在平面直角坐标系中某一个正方形的边界及其内部．若统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则可估计π的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，点的分布如图所示：
则有，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查利用频率估计概率.根据大量反复试验下频率稳定值即概率：频率＝所求情况数与总情况数之比，据此可得：落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出，再进行变形可估计π的值 ．
6．（2023九上·宣化期末）某节数学课上，甲、乙、丙三位同学都在黑板上解关于的方程，下列解法完全正确的个数为（ ）
甲 乙 丙
两边同时除以，得． 整理得，配方得，∴，∴，∴，． 移项得，∴，∴或，∴，．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】【解答】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解。
乙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方。
丙利用解一元二次方程-因式分解法，计算正确。
故答案为：C
【分析】分别利用解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，进行计算，即可求出答案.
7．（2023九上·杭州期末）如图，已知圆心角∠AOB=140°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．40° B．70° C．110° D．120°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∵ ∠AOB=140° ，
∴∠ADB= ∠AOB=70° ，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=110°.
故答案为：C.
【分析】如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ADB=70°，进而根据圆内接四边形的对角互补可算出∠ACB的度数.
8．（2023九上·宜宾期末）已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
【答案】A
【解析】【解答】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
即，
∴
，
故答案为：A.
【分析】根据方程解的概念可得α2-2α=2022，根据根与系数的关系可得α+β=2，将待求式变形为(α2-2α)-2(α+β)-2，据此计算.
9．（2024九上·乐昌期末）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连结BP，
∵抛物线与轴交于A、两点，
当y=0时，，
解得，
∴A（-4，0），B（4，0），即OA=4，
在直角△COB中，
BC=，
∵Q是AP上的中点，O是AB的中点，
∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP，
又∵P在圆C上，且半径为2，
∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大，
此时BP=BC+CP=5+2=7，
OQ=BP=．
故选择C．
【分析】根据x轴上点的坐标特征可得A（-4，0），B（4，0），即OA=4，根据勾股定理可得BC，再根据三角形中位线定理可得OQ=BP，当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大，结合边之间的关系即可求出答案.
10．（2024九上·西湖期末）若线段，点为平面内一点，，则线段的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：以为边作等边，作的外接圆，如图所示：
，
点在优弧上，且当为外接圆的直径时，最大，
为等边三角形，
，
∴ 圆O的直径为8，即线段AC的最大值为8.
故答案为：D．
【分析】以为边作等边三角形，作的外接圆，根据圆周角定理、等边三角形的性质可知当AC的最大值为外接圆O的直径.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·义乌期末）从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：四个数中，属于有理数的为：共2个，
∴任取一个数是有理数的概率为：
故答案为：.
【分析】先根据有理数的概念得到上述书中的有理数个数，进而根据概率计算公式计算即可.
12．（2024九上·衡阳期末）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：根据题意，得：(6×矢+矢2），解得：矢=1或矢=-7（舍去）
设半径为r，弦心距为d，则：r-d=1，
∴d=r-1，
又r2=32+d2， ∴r2=32+（r-1）2，解得：r=5.
故答案为：5.
【分析】首先根据已知条件，求得矢=1，设半径为r，弦心距为d，则：r-d=1，r2=32+d2，解方程组，即可得出r=5.
13．（2024九上·山丹期末）若代数式与的值互为相反数，则整数的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：与的值互为相反数，
，
即
解得：，，
整数的值为，
故答案为：．
【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可求出答案.
14．（2024九上·贵州期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是
【答案】
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是1，
∴AC=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴在△ADC中，由勾股定理得，
，
，
∴，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=90°，再利用勾股定理解题即可．
15．（2024九上·贵州期末）如图，是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接M，N分别是的中点，连接．若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：点，分别是，的中点，
，
当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接，如图所示：
，，
，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴直径为
．
故答案为：．
【分析】利用三角形中位线定理可得，即可得到当取得最大值时，就取得最大值，即为直径时，最大，解题即可．
16．（2024九上·绍兴期末）若一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，则称这个圆是这条线段的“关联圆”．如图，已知，，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．以射线上的一动点为圆心，半径为2作，若是的“关联圆”，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：以为原点，为轴建立平面直角坐标系，
依题意，，，
取的中点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵以点为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段．
∴以点为旋转中心，将点逆时针旋转，得到线段点，则，
∵，
∴，
∴，
∵，设，
依题意，时，在上，且点在点的左侧时，取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）
∴
当时，在上，且点在点的右侧时，取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）
∴
∴
故答案为：．
【分析】建立平面直角坐标系，即可得到点的坐标，然后分和两种情况根据勾股定理列方程解题即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·威宁期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
或
（2）解：
或
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法的计算方法求解一元二次方程即可。
18．（2025九上·鄞州期末）某校推荐了4名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中1名七年级女生、2名八年级学生（刚好1名男生和1名女生）、1名九年级男生．
（1）若从4名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是__________；
（2）若先从八年级的2名学生中任抽1名，再从剩下的3名学生任抽1名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
七年级女生 八年级男生 八年级女生 九年级男生
八年级男生 （男，女） —— （男，女） （男，男）
八年级女生 （女，女） （男，女） —— （男，女）
所有等可能的结果共有种，按要求恰好抽到一名男生和一名女生（记为事件）的情况只有种，所以．
【解析】【解答】
（1）解：所有等可能的结果共有种，抽到九年级学生（记为事件）的结果只有种，所以．故答案为：
【分析】
本题考查概率的定义、列表法或树状图法求概率.
(1)根据概率公式”概率=所求情况数与总情况数之比“直接计算；
（2）通过列表或画树状图列举出所有可能的结果，再找出符合”恰好抽到一名男生和一名女生“的结果数，最后根据概率公式计算.
（1）解：所有等可能的结果共有种，抽到九年级学生（记为事件）的结果只有种，所以．
故答案为：
（2）解：列表如下：
七年级女生 八年级男生 八年级女生 九年级男生
八年级男生 （男，女） —— （男，女） （男，男）
八年级女生 （女，女） （男，女） —— （男，女）
所有等可能的结果共有种，按要求恰好抽到一名男生和一名女生（记为事件）的情况只有种，所以．
19．（2025九上·慈溪期末）如图，在 中， 。以 为直径的 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连结 。
（1）求 的度数。
（2）若 ，求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解： 为直径，
（2）解：作 ，垂足为 ．则 ．
．而 ，
是等边三角形．
．
阴影部分的面积
【解析】【分析】(1)先求出∠AEC的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积.
20．（2025九上·新化期末）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为，
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价盈利减少的百分率为．
（2）解：设每件应降价元，则每天可售出件，
依题意，得，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
答：每件应降价60元．
【解析】【分析】（1）设每次下降的百分率为x，由题意得：，解方程即可；
（2）设每件应降价元，则每天可售出件，由题意得，解方程即可.
（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为，
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价盈利减少的百分率为．
（2）设每件应降价元，则每天可售出件，
依题意，得，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
答：每件应降价60元．
21．（2025九上·麻章期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
【答案】（1）解：垂直平分，
圆心在的延长线上．
设的半径为米，则米．
，
（米）．
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即该圆弧所在圆的半径为5米.
（2）解：过点作于点，连接，如图所示：
，
．
∵，
∴四边形为矩形，
，
在中，．
，
．
．
即支撑杆的高度为1米．
【解析】【分析】（1）设的半径为米，则米，先利用垂径定理求出CA的长，再利用勾股定理可得，即，再求出r的值即可；
（2）过点作于点，连接，先利用矩形的性质求出，，再利用勾股定理求出OH的长，最后利用线段的和差求出即可．
（1）垂直平分，
圆心在的延长线上．
设的半径为米，则米．
，
（米）．
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即该圆弧所在圆的半径为5米；
（2）过点作于点，连接．
，
．
∵，
∴四边形为矩形，
，
在中，．
，
．
．
即支撑杆的高度为1米．
22．（2024九上·蓬溪期末）已知，关于x的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求k的值及另一个根；
（2）若该方程有两个实数根，若，求k的值；
【答案】（1）解：将代入得
解方程得：
故关于x的一元二次方程为：
则方程的另一个根为
故，另一个根为
（2）解：∵
∴
∵有两个实数根
∴
解之得：
故k的取值范围是且
∵，，
∴
∴，
或，
∵ 且，
∴不符合题意，舍去，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据一元二次方程的根代入x=1，进而即可求出k，从而解方程即可求解；
（2）根据一元二次方程的定义结合一元二次方根的判别式即可求出且，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，，从而代入即可求解。
23．（2024九上·武胜期末）如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点．点为边的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图：连接，
∵，
∴．
又∵是的直径，
∴，
∴是直角三角形．
又∵E是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直线是的切线．
（2）解：由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
∵的半径为2，
∴，
∴
在中，，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理得到，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而证明，再根据切线的判定即可求解；
（2）由（1）可知，进而结合题意得到CF，再根据勾股定理即可求出DF，从而运用扇形的面积公式结合三角形的面积公式即可求解。
24．（2025九上·唐山期末）如图1、图2是走廊上的一个半圆柜的俯视图，其中表示走廊且，是半圆的直径且长为是半圆的圆心，C，D是半圆上两点，且．
（1）求的长；
（2）将半圆柜绕点B顺时针旋转，当半圆O与相切于点E时，点A到的距离为，如图2，求之间的距离．
【答案】（1）解：连接，
∵直径，
，
又，
，
是等边三角形，
，
（2）解：过点A作于点F，连接，延长交于点G，
由题意，，
∵半圆O与相切于点E，
，
，
，
，
，
，
∵点O为的中点，
点G为的中点，
，
，
即之间的距离为．
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据弧长公式即可求出答案.
（2）过点A作于点F，连接，延长交于点G，由题意，，根据切线性质可得，再根据直线平行性质可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据三角形中位线定理可得OG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：连接，
∵直径，
，
又，
，
是等边三角形，
，
（2）解：过点A作于点F，连接，延长交于点G，
由题意，，
∵半圆O与相切于点E，
，
，
，
，
，
，
∵点O为的中点，
点G为的中点，
，
，
即之间的距离为．
25．（2025九上·新兴期末）如图，为的边上一点，以O为圆心，的长为半径作圆，交于点D，过点A作，交于点E．
（1）如图1，连接，若，则绕点E按顺时针方向旋转______°与重合．
（2）如图2，连接，交于点F，连接，且．
①求证：为的切线．
②若，，，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）①证明：∵，．
∵，
，
．
∵为的直径，
，
．
，
，
，
；
②15
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
∴，
∴绕点E按顺时针方向旋转与重合．
故答案为：；
（2）②如图，连接，并延长交于点G．
，
．
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
，
．
∵为的直径，
．
∵，
，
．
，
，
．
，
，
设，则在中，．
，
，
解得，即，
．
【分析】(1)本题考察平行线的性质、圆周角定理及等腰直角三角形的性质，核心是推导△AED的形状。因为AE∥BC，，根据两直线平行同位角相等，；又因为AD是的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，所以，因此是等腰直角三角形，AE=DE，故AE绕点E顺时针旋转90°可与DE重合。
(2)①本题考察圆的切线判定定理、圆周角定理及平行线的性质，核心是证明AB⊥AC。由AE∥BC得，同弧所对的圆周角相等得，因此；AD是直径，，故；又因为，所以；在△ABC中，，即AB⊥AC，而OA是的半径，因此AC是的切线。
②本题考察圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，核心是通过全等转化线段长度，再用勾股定理求解。由AF=EF得，根据圆内接四边形对角互补及邻补角性质，，，因此；同弧所对的圆周角相等得，故；AD是直径，，AE∥BC得，所以，结合CD=CD，用AAS判定，得DG=AD、AC=GC=6。在Rt△ABC中，用勾股定理得AB=8，设AD=x，则DG=x、BD=8-x、BG=10-6=4，在Rt△BDG中，由勾股定理，解得x=3，即DG=3，因此。
（1）解：∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
∴，
∴绕点E按顺时针方向旋转与重合．
故答案为：；
（2）①证明：∵，
．
∵，
，
．
∵为的直径，
，
．
，
，
，
，
∴为的切线．
②如图，连接，并延长交于点G．
，
．
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
，
．
∵为的直径，
．
∵，
，
．
，
，
．
，
，
设，则在中，．
，
，
解得，即，
．
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