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【临考冲刺·50道解答题专练】北师大版数学七年级上册期末总复习
1．如图
（1）由图1得：2+4＝2×3；由图2得：2+4+6＝ ；由图3得： ；
（2）则由图n可得：2+4+……+2（n+1）＝ ；
（3）根据（2）的结论，求2+4+6+……+1000的值．
2．已知A，，，，五个点分别表示以下各数：2，，，0，．
（1）请画一条数轴，并将A，，，，五个点标在数轴上：
（2）请用“”把这五个数按照从小到大的顺序连接起来．
3．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝18°，求∠AOC的度数.
4．某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
（1）问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？
（2）在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，则检修队从A地出发到再回到A地，汽车共耗油多少升？
5．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里加收0.8元．
小明与小亮各自乘坐滴滴快车，到同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里．设小明乘车时间为x分钟，小亮乘车时间为y分钟．
（1）则小明乘车费为 元（用含x的代数式表示），小亮乘车费为 元（用含y的代数式表示）；
（2）若小明比小亮少支付3元钱，问小明与小亮的乘车时间哪个多？多几分钟？
6．小明去文具用品商店给同学买某品牌水性笔，已知甲、乙两商店都有该品牌的水性笔且标价都是1.50元/支，但甲、乙两商店的优惠条件却不同．
甲商店：若购买不超过10支，则按标价付款；若一次购10支以上，则超过10支的部分按标价的60%付款．
乙商店：按标价的80%付款．
在水性笔的质量等因素相同的条件下．
（1）设小明要购买的该品牌笔数是x（x＞10）支，请用含x的式子分别表示在甲、乙两个商店购买该品牌笔买水性笔的费用．
（2）若小明要购买该品牌笔30支，你认为在甲、乙两商店中，到哪个商店购买比较省钱？说明理由．
7．某班级组织去游乐园开展研学活动，已知成人门票每张 280 元，学生门票每张220元。
（1）若参加的家长和学生总人数为50人，需收取门票费用11300元，问家长和学生各几人。
（2）游乐园推出活动，若学生人数50人及以上，优惠方案为成人门票每张240元，学生门票每张150元，在(1)的基础上，又有几名同学报名参加，最终门票费用比原价购买情况下优惠了30%，那么新增了几名同学
8．小李在解关于x的方程
－1去分母时，方程右边的－1漏乘了3，因而求得方程的解为x＝－2，请你帮小李同学求出a的值，并且求出原方程的解.
9．已知长方形的长为4cm、宽为3cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，
（1）求此几何体的表面积．（结果保留π）
（2）求此几何体的体积；（结果保留π）
10．(6分)周末小明-家打算去露苔基地野餐，路线图如下：
家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露苔基地：
这条路线近似看成东西走向，如果规定向东为正，向西为负，他这天滴滴车行车里程(单位： km)如下：-3， +6， +2.5， - 5， - 12.滴滴车价目表： 起步价(不超过3km时)车费8元， 超过3km时， 超出部分每千米车费加价2元.
（1）求露营基地在家的哪个方向，并求出露营基地与家的距离；
（2）计算炸鸡店到面包店所用的车费.
11．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，∣m∣=3，求 +m2－3cd＋5 m 的值.
12． 一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天后两队合作，求甲、乙两队还需合作多少天才能把该工程完成？
13．出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：
，，，，，．
（1）若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
（2）若汽车耗油量为0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
（3）小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元
14．某校毕业班准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，班长小王问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择，方案一：全体人员可打8折：方案二：若打9折，有5人可以免票，班长小王思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道小王班有多少人吗？
15．某种金属丝，当温度每上升时，伸长；当温度每下降时，缩短，如果把这种金属丝从加热到，再使它冷却到，最后的长度是伸长了还是缩短了？伸长或缩短了多少？
16．小明编写的计算机程序的框图如图所示，使用这个程序计算，要使输出的结果为17，则输入的最小正整数是多少
17．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．
按照这种规定，请解答下列问题：
（1）计算： ；
（2）观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____．
（3）若，求x的值；
18．对于中学生来说，锻炼身体、强健体魄是培养爱国情怀和增强国家力量的重要途径。美美同学每天积极参加体育锻炼，其中跳绳是每天必不可少的项目。下表是她记录的10月21日到10月25日的跳绳打卡记录（比前一天多的个数记为“+”，比前一天少的个数记为“-”）。10月20日美美跳绳个数是178个，请根据表格中的数据回答下列问题：
日期 10月21日 10月22日 10月23日 10月24日 10月25日
跳绳变化（个） +7 -9 +12 -4 +3
（1）美美哪一天跳绳个数最多 最多是多少个
（2）为了鼓励美美坚持锻炼身体，妈妈决定从10月21日起实行如下奖励方案：只要美美每天坚持打卡，妈妈每天都奖励她20元。以1分钟跳绳185个为标准，每超出1个再奖励2元，低于1个则扣3元。10月26日就是妈妈的生日了，美美想用这笔钱给妈妈买一个78元的礼物，请问美美这几天的奖励钱够吗
19．已知圆锥的体积 其中r为底面半径，h为圆锥的高. 当r=15 cm， h=16 cm时， 求圆锥的体积(π取3.14).
20． 股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票1000股，每股27元，如表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数）．
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
（1）星期二收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？
（3）已知铭铭买进股票时付了购买金额的手续费，如果铭铭在星期五收盘前将全部股票卖出，卖出时需付成交额0.15‰的手续费和0.1‰的交易税，他的收益（获利）情况如何？
21．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下表所示．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次
（1）汽车在巡视过程中，第 次离A地最远，最远距离为 ；
（2）B地在A地的哪个方向，B地与A地相距多少千米？
（3）如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？
22．一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为208元．这种商品的成本价是多少元？
23．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中∠B，∠E，∠BAD，∠DCE的度数及它们的大小关系。
24． 伦敦大英博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书，这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作. 书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33. 这个数是多少 请你用方程解决这个问题.
25．数学老师在黑板上布置的作业中有这样一道题。
先化简，再求值： 其中 小东同学将“x=2024”错抄成“x=2004”，但他求得的结果也是正确的，你能说明这是怎么回事吗
26．在班级元旦联欢会上，主持人邀李强、张华两位向学参加一个游戏．游戏规则是每人每次抽取四张卡片．如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到黑色卡片，那么减去卡片上的数字，比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果较小的为同学们唱歌，李强同学抽到如图（1）所示的四张卡片，张华同学抽到如图（2）所示的四张卡片．李强、张华谁会为同学们唱歌？
27．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a，b，c(a>b>c)厘米.如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘米 最大是多少厘米
28．在展开与折叠的活动中，你积累了哪些经验
29．把下列各数分类：
，，，，，，，，，，，．
（1）正整数：{ }；
（2）负整数：{ }；
（3）非负数：{ }；
（4）分数：{ }．
30．今年的“十·一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天族游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，符号表示比前一天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化单位：万人
若9月30日的游客人数为万人，问：
（1）10月4日的旅客人数为________万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_______万人？
（3）如果每万人带来的经济收入的为50万元，则黄金周七天的旅游总收入的为多少万元？
31．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD =4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c，其中|a|=8，c是代数式16x2－2x+5的二次项系数．若快车AB以6个单位长度／秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度／秒的速度向左匀速继续行驶．
（1）此时刻a= ，c= .
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头AC相距16个单位长度？
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的乘客——天桥少年M，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置M到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即MA+MC+MB+MD为定值）．你认为天桥少年M发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请明理由
32．请观察下列算式，找出规律并填空．
，，，．
则第10个算式是________，第个算式是________．
根据以上规律解读以下两题：
（1）求的值；
（2）若有理数，满足，试求：的值．
33． 我国可再生能源发展不断实现新突破. 下表是2013—2022 年我国安装完毕并投入使用的风力和太阳能发电装机容量. 请选择合适的统计图表示这两组数据，并说一说从图中读到的信息.
年份 2013 2014 2015 2016 2017
风力发电/万千瓦 7 652 9 657 13 075 14 747 16 325
太阳能发电/万千瓦 1 589 2 486 4 218 7 631 12 942
年份 2018 2019 2020 2021 2022
风力发电/万千瓦 18 427 20 915 28 165 32 871 36 564
太阳能发电/万千瓦 17 433 20 418 25 356 30 654 39 268
34． 某校七年级准备观看电影，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有5人可以免票.
（1）若二班有41名学生，则该班班长应该选择哪种方案购票合算？
（2）一班班长思考了一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，你知道一班有多少人吗？
35．如图，小明和小美在做数学游戏．
（1）若小美给出的数是421，则得到的结果是 ；
（2）假设小美给出的三位数的百位数字为a，个位数字是b，请解释其中的原因．
36．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是
（3）从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：
、
37．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，求的值.
38．请根据下面的对话解答下列问题．
我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是3，的绝对值是7，与的和是．”
（1） ， ， ．
（2）求的值．
39．已知有理数a，b满足|a|=2，|b|=3，且|a+b|=a+b，求b-a的值．
40．如图数轴上的点，，，…，表示十个连续的整数，分别是，，，…，，设．
（1）若点表示原点，求p的值；
（2）若点到原点O的距离为8，求p的值；
（3）若在，，，…，的前面任意添加5个“”号和5个“”号后，直接写出此时10个数和的最大值．
41． 如图，四个图都称作平面图. 观察图和表中对应数值，探究计数的方法并作答：
（1）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围成多少个区域，并将结果填入下表；（其中b已填好）
图 a b c d
顶点数 7
边数 9
区域数 3
（2）根据表中数值，写出平面图形的顶点数、边数、区域数之间的一种关系： .
（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域. 那么利用（2）中得出的关系，这个平面图有 条边.
42．【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商”
（1）【概念理解】直接写出结果：_______________．
（2）关于除方，下列说法正确的是：________（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
（3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
____________________；__________．
（4）计算：．
43．数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点A，B表示的数分别为x，y，那么：①它们之间的距离为|AB|=|x-y|；②它们中点所表示的数为数轴上有两点A，B，A表示的数为-6，B表示的数为4.
（1）若数轴上还有一点C，且|AC|=|BC|，则点C对应的数是 .
（2）若|x+6|=2，则x= .
（3）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点P，Q同时出发， s后|PQ|=2.
（4）若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，点N为PB的中点，则在点P运动的过程中，|MN|= .
44．数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为﹣10，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A停止，设运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t＝5时，点P表示的有理数为 ．
（2）在点P往左运动的过程中，点P表示的有理数为 （用含t的代数式表示）．
（3）当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为 ．
45．旅行社组织了甲、乙两个旅游团到游乐场游玩，两团总报名人数为120人，其中甲团人数不超过50人，游乐场规定一次性购票50人以上可享受团队票．门票价格如下：
旅行社经过计算后发现，如果甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节约300元．
（1）求甲、乙两团的报名人数；
（2）当天到达游乐场后发现团队票价格作了临时调整，团队票A每张降价a元，团队票B每张降价2a元，同时乙团队因故缺席了30人，此时甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节约225元，求a的值．
46．如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒．
（1）当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）；
（2）当射线平分时，求的值．
（3）如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止．
①当时，求的值．
②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系．
47．若a＞0，b＞0，且 ，则a＞b；若a＜0，b＜0，且 ，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较 与 的大小．
48．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为个单位长度？
49．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为-2、5，P为数轴上一动点，其对应的数为m.
（1）若点P到A、B两点的距离都相等，请直接写出点P对应的数m的值；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10个单位长度？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）现在点A，点B分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度同时向右运动，点P以每分钟5个单位长度的速度从O点向左运动，当遇到点A时，点P以原来的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程．
50．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题：
（1）在下列多项式中，属于“标准多项式”的是 ；（填写序号）
①；②；③．
（2）若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
（3）已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”．
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【临考冲刺·50道解答题专练】北师大版数学七年级上册期末总复习
1．如图
（1）由图1得：2+4＝2×3；由图2得：2+4+6＝ ；由图3得： ；
（2）则由图n可得：2+4+……+2（n+1）＝ ；
（3）根据（2）的结论，求2+4+6+……+1000的值．
【答案】（1）3×4；2+4+6+8＝4×5
（2）（n+1）（n+2）
（3）解：因为1000÷2＝500，
所以2+4+6+……+1000即为连续500个偶数的和，
则由（2）中的结论可知，
2+4+6+……+1000＝500×501＝250500．
【解析】【解答】解：（1） 由图1得：2+4＝2×3；
由图2得：2+4+6＝3×4；
由图3得：2+4+6+8＝4×5 ；
（2）根据（1）的规律可得，2+4+……+2（n+1）＝（n+1）（n+2）；
【分析】本题考查图形规律，根据所给图形得出规律 2+4+……+2（n+1）＝（n+1）（n+2） 是关键。
（1）根据图形个数及所给等式，推算即可；
（2）依照（1）规律推导；
（3）用（2）的结论计算。
2．已知A，，，，五个点分别表示以下各数：2，，，0，．
（1）请画一条数轴，并将A，，，，五个点标在数轴上：
（2）请用“”把这五个数按照从小到大的顺序连接起来．
【答案】（1）解：，，数轴如图所示：
（2）解：用“”把这五个数按照从小到大的顺序连接起来为：．
【解析】【分析】（1）根据数轴上点的特点，用数轴表示出各个有理数即可.
（2）根据数轴比较有理数的大小即可．
（1）解：，，数轴如图所示：
（2）解：用“”把这五个数按照从小到大的顺序连接起来为：．
3．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝18°，求∠AOC的度数.
【答案】解：∵OE为∠BOD的平分线，
∴∠BOD＝2∠BOE，
∵∠BOE＝18°，
∴∠BOD＝36°.
又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOB＋∠COD＋∠AOC＋∠BOD＝360°，
∴∠AOC ＝360°-∠AOB-∠COD-∠BOD＝360°-90°-90°-36°＝144°.
【解析】【分析】根据角平分线的定义，可得∠BOD＝2∠BOE=36°，由周角定义可得∠AOC ＝360°-∠AOB-∠COD-∠BOD，据此计算即得.
4．某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
（1）问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？
（2）在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，则检修队从A地出发到再回到A地，汽车共耗油多少升？
【答案】（1）解：
∴收工时，检修队在A地南边，距离A地
（2）解：（升）
∴检修队从A地出发到再回到A地，汽车共耗油升
【解析】【分析】（1）将所有数据相加，即可得解；
（2）将所有数据的绝对值相加再加上最后检修队距离A地的距离之和，再乘以油价即可求解.
5．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里加收0.8元．
小明与小亮各自乘坐滴滴快车，到同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里．设小明乘车时间为x分钟，小亮乘车时间为y分钟．
（1）则小明乘车费为 元（用含x的代数式表示），小亮乘车费为 元（用含y的代数式表示）；
（2）若小明比小亮少支付3元钱，问小明与小亮的乘车时间哪个多？多几分钟？
【答案】（1）（0.3x+10.8）；（0.3y+16.5）
（2）解：由题意，10.8+0.3x+3＝16.5+0.3y，∴x﹣y＝9，
∴小明比小亮的乘车时间多，多9分钟．
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，小明乘车费用为：1.8×6+0.3x=10.8+0.3x（元）；
小亮乘车费用为：1.8×8.5+（8.5-7）×0.8+0.3y=16.5+0.3y（元）；
故答案为：10.8+0.3x；16.5+0.3y.
（2）根据（1）的结果及题意可得：（16.5+0.3y）-（10.8+0.3x）=3，
∴x-y=9，
∴小明比小亮的乘车时间多，多9分钟．
故答案为：小明比小亮的乘车时间多，多9分钟．
【分析】（1）根据题干中的计算方法及收费标准直接列出算式求解即可；
（2）根据（1）的结果及题意直接列出算式求解并整理可得x-y=9，从而得解.
6．小明去文具用品商店给同学买某品牌水性笔，已知甲、乙两商店都有该品牌的水性笔且标价都是1.50元/支，但甲、乙两商店的优惠条件却不同．
甲商店：若购买不超过10支，则按标价付款；若一次购10支以上，则超过10支的部分按标价的60%付款．
乙商店：按标价的80%付款．
在水性笔的质量等因素相同的条件下．
（1）设小明要购买的该品牌笔数是x（x＞10）支，请用含x的式子分别表示在甲、乙两个商店购买该品牌笔买水性笔的费用．
（2）若小明要购买该品牌笔30支，你认为在甲、乙两商店中，到哪个商店购买比较省钱？说明理由．
【答案】解：（1）在甲商店需要：10×1.5+0.6×1.5×（x﹣10）＝0.9x+6（元），
在乙商店需要：1.5×0.8×x＝1.2x（元），
（2）当x＝30时，0.9x+6＝33，1.2x＝36，
∵33＜36，
∴小明要买30支笔应到甲商店买比较省钱．
【解析】【分析】（1）甲商店费用=10支水性笔的价钱+超过10支的部分的价钱，乙商店费用=每支水性笔的标价×折扣×销售量x，据此分别列式即可求解；
（2）把x＝30代入以上两式求值，再比较即可．
7．某班级组织去游乐园开展研学活动，已知成人门票每张 280 元，学生门票每张220元。
（1）若参加的家长和学生总人数为50人，需收取门票费用11300元，问家长和学生各几人。
（2）游乐园推出活动，若学生人数50人及以上，优惠方案为成人门票每张240元，学生门票每张150元，在(1)的基础上，又有几名同学报名参加，最终门票费用比原价购买情况下优惠了30%，那么新增了几名同学
【答案】（1）解：设学生有x人，则家长有(50-x)人，
由题意，得220x+280(50-x)=11300，
解得：x=45，
∴50-x=5，
∴家长有5人，学生有45人；
（2）解：设新增了y名同学，
由题意，得150(45+y)+240×5=[(45+y)×220+280×5]×(1-30%)，
解得：y=10，
∴新增了10名同学.
【解析】【分析】（1）设学生有x人，则家长有(50-x)人，根据“ 成人门票每张 280 元，学生门票每张220元 ， 需收取门票费用11300元 ”列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设新增了y名同学，根据” 学生人数50人及以上，优惠方案为成人门票每张240元，学生门票每张150元， 最终门票费用比原价购买情况下优惠了30%“列出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值即可.
8．小李在解关于x的方程
－1去分母时，方程右边的－1漏乘了3，因而求得方程的解为x＝－2，请你帮小李同学求出a的值，并且求出原方程的解.
【答案】解： 按小李的解法解方程，去分母得：2x－1＝x＋a－1，
整理，解得x＝a，
又∵小李解得x＝－2，
∴a＝－2，
把a＝－2代入原方程，得 ，
去分母得：2x-1=x-2-3，
整理，解得x＝－4，
将x=-4代入方程中，左式=右式，即x＝－4为原方程正确的解.
【解析】【分析】首先按小李的解法解方程2x－1＝x＋a－1，得x＝a，再根据错解的解为x=-2，代入求出a值，再将a值代入原来的分式方程，按去分母、移项、合并同类项、系数化为1、求解即可.
9．已知长方形的长为4cm、宽为3cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，
（1）求此几何体的表面积．（结果保留π）
（2）求此几何体的体积；（结果保留π）
【答案】（1）解：长方形绕一边旋转一周，得圆柱．
分两种情况：①绕以长为轴进行旋转，则π×3×2×4+π×32×2＝24π+18π＝42π（cm2）；
②绕以宽为轴进行旋转，则π×4×2×3+π×42×2＝24π+32π＝56π（cm2）．
（2）解：分两种情况：①绕以长为轴进行旋转，则π×32×4＝36π（cm3）；
②绕以宽为轴进行旋转，则π×42×3＝48π（cm3）；
【解析】【分析】（1）分两种情况：绕以长为轴进行旋转和绕以宽为轴进行旋转，然后分别计算即可；
（2）分两种情况：绕以长为轴进行旋转和绕以宽为轴进行旋转，然后分别计算即可；
10．(6分)周末小明-家打算去露苔基地野餐，路线图如下：
家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露苔基地：
这条路线近似看成东西走向，如果规定向东为正，向西为负，他这天滴滴车行车里程(单位： km)如下：-3， +6， +2.5， - 5， - 12.滴滴车价目表： 起步价(不超过3km时)车费8元， 超过3km时， 超出部分每千米车费加价2元.
（1）求露营基地在家的哪个方向，并求出露营基地与家的距离；
（2）计算炸鸡店到面包店所用的车费.
【答案】（1）解：（1）﹣3+6+2.5﹣5﹣12＝﹣11.5（千米），
即露营基地在家的西边，露营基地与家的距离为11.5千米；
答：露营基地在家的西边方向，与家的距离11.5km
（2）（2）8+（6﹣3）×2
＝8+3×2
＝8+6
＝14（元），
即炸鸡店到面包店所用的车费为14元．
答：炸鸡店到面包店所用的车费为14元
【解析】【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可；
（2）根据题意列式计算即可
11．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，∣m∣=3，求 +m2－3cd＋5 m 的值.
【答案】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，∣m∣=3，
∴a+b=0，cd=1，m=±3，
∴m2=9
当m=3时
原式=
当m=-3时
原式=.
故答案为：21或-9.
【解析】【分析】利用互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，可求出a+b，cd的值；再利用绝对值的性质可求出m的值；然后分情况讨论，分别求出代数式的值.
12． 一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天后两队合作，求甲、乙两队还需合作多少天才能把该工程完成？
【答案】解：设甲、乙两队还需合作天才能把该工程完.
根据题意得：.
解得：.
答：甲、乙两队还需合作20天才能把该工程完成.
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用--工程问题。根据“工作效率×工作时间=工作总量”，甲队单独完成需40天，则甲的工作效率是，乙队单独完成需50天，则乙的工作效率是，现甲队单独做4天后两队合作，可得方程。
13．出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：
，，，，，．
（1）若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
（2）若汽车耗油量为0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
（3）小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元
【答案】（1）解：（千米），
答：最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点A的北方1千米处；
（2）解：（千米），（升），
答：出租车共耗油升；
（3）解：由题意得：
（元），
答：第三位乘客需支付车费元．
【解析】【分析】（1）利用有理数的加法列出算式，再计算即可；
（2）求出各数的绝对值的和，再利用耗油量×行驶路程可得答案；
（3）利用起步价+超过3千米部分的费用+等候费可得答案．
（1）解：，
答：最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点A的北方1千米处；
（2）解：（千米），
（升），
答：出租车共耗油升；
（3）解：由题意得：
（元），
答：第三位乘客需支付车费元．
14．某校毕业班准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，班长小王问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择，方案一：全体人员可打8折：方案二：若打9折，有5人可以免票，班长小王思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道小王班有多少人吗？
【答案】解：设小王班有x人，根据题意得：
，解得 ，
答：小王班有45人.
【解析】【分析】设小王班有x人，根据方案一可得费用为30x×0.8，根据方案二可得费用为(x-5)×0.9×30，然后根据两种方案的费用一样列出方程，求解即可.
15．某种金属丝，当温度每上升时，伸长；当温度每下降时，缩短，如果把这种金属丝从加热到，再使它冷却到，最后的长度是伸长了还是缩短了？伸长或缩短了多少？
【答案】解：金属丝初始温度为，先加热到，此阶段温度上升，金属丝伸长；
再冷却到10℃，此阶段温度下降，金属丝缩短．
加热阶段：温度从上升到，伸长量为；
冷却阶段：温度从下降到，缩短量为；
总长度变化：伸长量与缩短量的代数和为，负号表示最终长度比原来缩短了．
答：金属丝最后的长度缩短了，缩短了.
【解析】【分析】利用“ 当温度每上升时，伸长；当温度每下降时，缩短 ”求出加热阶段和冷却阶段的伸长量和缩短量，再求出总长度变化并结合结果分析求解即可.
16．小明编写的计算机程序的框图如图所示，使用这个程序计算，要使输出的结果为17，则输入的最小正整数是多少
【答案】解：当2x﹣1＝17时，x＝9，
当2x﹣1＝9时，x＝5，
当2x﹣1＝5时，x＝3，
当2x﹣1＝3时，x＝2，
当2x﹣1＝2时，x＝1.5，不是整数不合题意，
故输入的最小正整数为2
【解析】【分析】根据程序框图逐步当2x﹣1＝17时，x＝9，逐步计算出x的所有可能值即可．
17．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．
按照这种规定，请解答下列问题：
（1）计算： ；
（2）观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系_____．
（3）若，求x的值；
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴
（3）解：∵，∴，
∴，
解得
【解析】【解答】解：（1）
；
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，新定义，整式的加减计算：
（1）严格遵循行列式的新定义规则，将对应数值代入公式计算；
（2）分别根据行列式定义展开两个式子，通过代数式化简分析两者的数量关系；
（3）根据新定义可得方程，再按照解方程的步骤求解．
（1）解：
；
（2）解：，
理由如下：
∵，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
解得．
18．对于中学生来说，锻炼身体、强健体魄是培养爱国情怀和增强国家力量的重要途径。美美同学每天积极参加体育锻炼，其中跳绳是每天必不可少的项目。下表是她记录的10月21日到10月25日的跳绳打卡记录（比前一天多的个数记为“+”，比前一天少的个数记为“-”）。10月20日美美跳绳个数是178个，请根据表格中的数据回答下列问题：
日期 10月21日 10月22日 10月23日 10月24日 10月25日
跳绳变化（个） +7 -9 +12 -4 +3
（1）美美哪一天跳绳个数最多 最多是多少个
（2）为了鼓励美美坚持锻炼身体，妈妈决定从10月21日起实行如下奖励方案：只要美美每天坚持打卡，妈妈每天都奖励她20元。以1分钟跳绳185个为标准，每超出1个再奖励2元，低于1个则扣3元。10月26日就是妈妈的生日了，美美想用这笔钱给妈妈买一个78元的礼物，请问美美这几天的奖励钱够吗
【答案】（1）解：10月20日美美跳绳个数：178个，
10月21日美美跳绳个数：178＋7＝185（个），
10月22日美美跳绳个数：185 9＝176（个），
10月23日美美跳绳个数：176＋12＝188（个），
10月24日美美跳绳个数：188 4＝184（个），
10月25日美美跳绳个数：184＋3＝187（个），
则美美10月23日跳绳个数最多，最多是188个.
（2）解：5×20＋（188 185）×2＋（187 185）×2 （185 176）×3 （185 184）×3
＝100＋3×2＋2×2 9×3 1×3
＝100＋6＋4 27 3
＝80（元）＞78元，
则美美这几天的奖励钱够．
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据和正、负数表示的实际意义分别求出每一天的跳绳数量，再比较大小即可；
（2）根据（1）的计算结果并结合“ 每超出1个再奖励2元，低于1个则扣3元 ”列出算式求解即可.
19．已知圆锥的体积 其中r为底面半径，h为圆锥的高. 当r=15 cm， h=16 cm时， 求圆锥的体积(π取3.14).
【答案】解：当r=15 cm， h=16 cm时，
（cm3）.
即r=15 cm， h=16 cm时，圆锥的体积为
【解析】【分析】把r=15 cm， h=16 cm代入圆锥的体积公式，并计算结果即可.
20． 股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票1000股，每股27元，如表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数）．
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
（1）星期二收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价每股多少元？
（3）已知铭铭买进股票时付了购买金额的手续费，如果铭铭在星期五收盘前将全部股票卖出，卖出时需付成交额0.15‰的手续费和0.1‰的交易税，他的收益（获利）情况如何？
【答案】（1）解：根据题意得：（元，
答：星期二收盘时每股29.5元；
（2）解：本周的股价分别为：29，29.5；28.5；28.1；30，
答：本周内最高价是每股30元，最低价是每股28.1元；
（3）解：根据题意得：‰‰‰（元，
答：他获利2989.8元．
【解析】【分析】（1）根据题意，了解本题正负数的含义后，直接相加即可；
（2）根据涨跌的数据，分别计算出每天的股价了，比较大小；
（3）每股差价乘以股数是他的表面收益，还要减去买卖时发生的手续费用和交易税才是他的纯获利。
21．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下表所示．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次
（1）汽车在巡视过程中，第 次离A地最远，最远距离为 ；
（2）B地在A地的哪个方向，B地与A地相距多少千米？
（3）如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？
【答案】（1）五；19
（2）解：根据解析(1)可知：B地在A地的南方，B地与A地相距
（3）解：(18+9+6+12+16+6+10+7)×0.1
=84×0.1
=8.4(L)
∴这天汽车共耗油
【解析】【解答】解：(1)第一次离A地18km；
第二次离A地18-9=9(km)
第三次离A地9+6=15(km)
第四次离A地15-12=3(km)
第五次离A地3+16=19(km)
第六次离A地19-6=13(km)
第七次离A地13-10=3(km)
第八次离A地3-7=-4(km)
那么汽车在巡视过程中，第五次离A地最远，最远距离为19km，
故答案为：五；19.
【分析】(1)分别求出汽车每次离A地的距离，然后进行判定即可；
(2)根据解析(1)中求出的结果进行判断即可；
(3)根据正数和负数的实际意义列式计算后再乘以0.1即可求得答案.
22．一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为208元．这种商品的成本价是多少元？
【答案】解：设这种商品的成本价是x元，
由题意列方程：（1+30%）x 0.8=208，
解得；x=200(元），
答：设这种商品的成本价是200元.
【解析】【分析】设这种商品的成本价是x元，根据题中的相等关系列出关于x的方程，解方程即可求解.
23．把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中∠B，∠E，∠BAD，∠DCE的度数及它们的大小关系。
【答案】解：根据题意可知：∠B=30°，∠E=60°，∠BAD=180°-∠BAC =180°-60°= 120°，∠DCE =90°，
∴∠B<∠E<∠DCE<∠BAD.
【解析】【分析】根据三角尺，利用角的计算确定角的度数，再比较角的大小.
24． 伦敦大英博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书，这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作. 书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33. 这个数是多少 请你用方程解决这个问题.
【答案】解：设这个数是，
由题意列方程得：
．
解得： ．
答：这个数是 ．
【解析】【分析】设这个数是，根据题中的相等关系"这个数的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33"可列关于x的方程，解方程即可求解.
25．数学老师在黑板上布置的作业中有这样一道题。
先化简，再求值： 其中 小东同学将“x=2024”错抄成“x=2004”，但他求得的结果也是正确的，你能说明这是怎么回事吗
【答案】解：（-x3+3x2y-y3）-（x3-2xy2+y3）+（2x3-3x2y-2xy2）
=-x3+3x2y-y3-x3+2xy2-y3+2x3-3x2y-2xy2 =-2y3
所以化简后式子中不含字母x，即原多项式的值与x的取值无关.
【解析】【分析】先去括号，再合并同类项，即可得出结论.
26．在班级元旦联欢会上，主持人邀李强、张华两位向学参加一个游戏．游戏规则是每人每次抽取四张卡片．如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到黑色卡片，那么减去卡片上的数字，比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果较小的为同学们唱歌，李强同学抽到如图（1）所示的四张卡片，张华同学抽到如图（2）所示的四张卡片．李强、张华谁会为同学们唱歌？
【答案】解：李强同学抽到的四张卡片的计算结果为：
张华同学抽到的四张卡片的计算结果为：
∵ ，
∴张华为同学们唱歌．
答：张华为同学们唱歌．
【解析】【分析】首先根据游戏规则，分别求出李强、张华同学抽到的四张卡片的计算结果各是多少；然后比较大小，判断出结果较小的是哪个即可．
27．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a，b，c(a>b>c)厘米.如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘米 最大是多少厘米
【答案】解：要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要先剪开四条高(因为c最小)，再剪开一条长a 厘米的棱(否则，不能展开成平面图)，最后再剪开两条宽b 厘米的棱(如题图中所表示的①~⑦这七条棱).由此可得图甲，这时最小周长是c×8+b×4+a×2=2a+4b+8c(厘米).
要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱(长a 厘米)，再剪开两条次长的棱(宽b厘米)，最后剪开一条最短的棱(高c 厘米)，即得图乙，这时最大周长是a×8+b×4+c×2=8a+4b+2c((厘米).
【解析】【分析】要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要先剪开四条高(因为c最小)，再剪开一条长a 厘米的棱(否则，不能展开成平面图)，最后再剪开两条宽b 厘米的棱(如题图中所表示的①~⑦这七条棱).由此可得图甲，这时最小周长是c×8+b×4+a×2=2a+4b+8c(厘米)，要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱(长a 厘米)，再剪开两条次长的棱(宽b厘米)，最后剪开一条最短的棱(高c 厘米)，即得图乙，这时最大周长是a×8+b×4+c×2=8a+4b+2c((厘米)，即可求出答案.
28．在展开与折叠的活动中，你积累了哪些经验
【答案】解：通过展开与折叠的活动体验了图形的转换过程，能根据表面展开图判断和制作简单的立体模型，初步建立空间观念，发展几何直观，积累了数学活动经验。（答案不唯一)
【解析】【分析】答案不唯一，合理即可.
29．把下列各数分类：
，，，，，，，，，，，．
（1）正整数：{ }；
（2）负整数：{ }；
（3）非负数：{ }；
（4）分数：{ }．
【答案】（1）解：正整数：{，}；
（2）解：负整数：{，}；
（3）解：非负数：{，，，，，，}
（4）解：分数：{，，，，，，}
【解析】【分析】利用正整数、负整数、非负数和分数的定义逐项分析判断即可.
30．今年的“十·一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天族游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，符号表示比前一天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化单位：万人
若9月30日的游客人数为万人，问：
（1）10月4日的旅客人数为________万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_______万人？
（3）如果每万人带来的经济收入的为50万元，则黄金周七天的旅游总收入的为多少万元？
【答案】（1）0.4；（2）1；
（3）由（2）可知：
黄金周七天游客：1.2+0.6+0.8+0.4+0.2+0.6+0.1=3.9（万）
3.9×50=195（万元）
答：黄金周七天的旅游总收入约为195万元．
【解析】【解答】解：（1）根据题意列得：0.1+（+1.1-0.6+0.2-0.4）=0.4；故答案是：0.4；
（2）10月1日有游客：0.1+1.1=1.2 （万）；10月2日有游客：1.2-0.6=0.6（万）
10月3日有游客：0.6+0.2=0.8（万）；10月4日有游客：0.8-0.4=0.4 （万）
10月5日有游客：0.4-0.2=0.2 （万）；10月6日有游客：0.2+0.4=0.6（万）
10月7日有游客：0.6-0.5=0.1 （万）；
∴7天中旅客最多的是1日为1.2万人，最少的是5日为0.2万人，
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多1.2-0.2=1（万人）；
故答案是：1；
【分析】
（1）本题考查有理数的加减运算，以9月30日的游客人数为基础，依次加上1日到4日的人数变化量，即可得到10月4日的人数；
（2）先分别计算出1日到7日每天的人数，找出旅客人数最多的与最少的，求其差值；
（3）先计算出七天的游客总人数，再乘以每万人的经济收入，得到总收入．
31．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD =4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c，其中|a|=8，c是代数式16x2－2x+5的二次项系数．若快车AB以6个单位长度／秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度／秒的速度向左匀速继续行驶．
（1）此时刻a= ，c= .
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头AC相距16个单位长度？
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的乘客——天桥少年M，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置M到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即MA+MC+MB+MD为定值）．你认为天桥少年M发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请明理由
【答案】（1）﹣8；16
（2）解：（24－16）÷（6+2）
=8÷8
=1s
（24+16）÷（6+2）
=40÷8
=5s
答：1s或5s.
（3）解：当M在CD之间时，MC+MD是定值4.
t=4÷（6+2）=0.5s
∵MA+MB=AB=2
∴MA+MC+MB+MD=（MA+MB）+（MC+MD）=2+4=6
∴这个时间是0.5s，定值是6个单位长度.
【解析】【解答】（1）∵|a|=8，点A在原点的左侧，
∴a=-8，
∵c是代数式16x2－2x+5的二次项系数，
∴c=16，
故答案为：-8；16.
【分析】（1）根据“|a|=8，点A在原点的左侧”求出a的值，再结合“c是代数式16x2－2x+5的二次项系数”可得c的值；
（2）分类讨论，再结合“时间=路程÷速度”求解即可；
（3）利用“时间=路程÷速度”求出时间，再利用线段的和差及等量代换求出MA+MC+MB+MD的值即可.
32．请观察下列算式，找出规律并填空．
，，，．
则第10个算式是________，第个算式是________．
根据以上规律解读以下两题：
（1）求的值；
（2）若有理数，满足，试求：的值．
【答案】解：第10个算式是，第n个算式是；
（1）
=
=
=；
（2）因为，所以a-2=0，b-4=0，所以a=2，b=4，
所以
=
=
=
=
【解析】【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n个等式，对原式变形后，计算即可得到结果；（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
33． 我国可再生能源发展不断实现新突破. 下表是2013—2022 年我国安装完毕并投入使用的风力和太阳能发电装机容量. 请选择合适的统计图表示这两组数据，并说一说从图中读到的信息.
年份 2013 2014 2015 2016 2017
风力发电/万千瓦 7 652 9 657 13 075 14 747 16 325
太阳能发电/万千瓦 1 589 2 486 4 218 7 631 12 942
年份 2018 2019 2020 2021 2022
风力发电/万千瓦 18 427 20 915 28 165 32 871 36 564
太阳能发电/万千瓦 17 433 20 418 25 356 30 654 39 268
【答案】解：画出折线统计图如下：
从图中可以观察到，风力发电和太阳能发电的装机容量均呈现出逐年增加的趋势。特别地，太阳能发电的增长速率明显高于风力发电，特别是在后期，太阳能发电装机容量的增长速度有显著提升。这可能反映出我国对太阳能发电技术的重视及投资力度的加大。
【解析】【分析】根据折线统计图的定义（用折线的上升或下降表示数据的增减变化情况，有利于描述数据的发展趋势）将两组数据合并为一个折线统计图，进而获取信息即可求解。
34． 某校七年级准备观看电影，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有5人可以免票.
（1）若二班有41名学生，则该班班长应该选择哪种方案购票合算？
（2）一班班长思考了一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，你知道一班有多少人吗？
【答案】（1）解：方案一：30×80%×41=984（元）
方案二：30×90%×（415）=972（元）
因为984>972
所以二班班长应该选择方案二购票合算.
（2）解：设一班共有x人，依题意，列方程得
30×80%x=30×90%×（x5）
解之得x=45
答：一班共有45人.
【解析】【分析】（1）根据题意分别计算两个方案的购票钱数，进而即可求解；
（2）设一班共有x人，根据“无论选择哪种方案要付的钱都是一样的”即可列出一元一次方程，进而求出x即可求解。
35．如图，小明和小美在做数学游戏．
（1）若小美给出的数是421，则得到的结果是 ；
（2）假设小美给出的三位数的百位数字为a，个位数字是b，请解释其中的原因．
【答案】（1）180
（2）解：设百位数字为a，则十位数字为，个位数字为b，
依题意得
，
无论小美写的数是多少，计算结果都是180．
【解析】【解答】解：（1）小美给出的数是421，
根据图1信息得这个三位数为241，
根据图2信息得这个三位数421-241=180.
故答案为：180.
【分析】（1）利用小美给出的数，根据小明的描述进行变化求解即可；
（2）设百位数字为a，则十位数字为，个位数字为b，则原数为100a+10（a-2）+b，变换后三位数为100（a-2）+10a+b，利用原数减去变换后的数，求出结果即可.
36．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是
（3）从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：
、
【答案】（1）6
（2）-2
（3）；
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：3×2=6，
则最大值为6；
故答案为：6.
（2）-2÷1=-2，
最小值为-2；
故答案为：-2.
（3），
，
故答案为：；.
【分析】（1）根据题意列出算式，找出积最大值即可；
（2）根据题意列出算式，找出商最小值即可；
（3）利用“24点”游戏规则列出算式即可.
37．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，求的值.
【答案】解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是3，
所以a+b＝0，cd＝1，m＝±2.
当m＝2时，＝＝0+4-3＝1；
当m＝-2时，＝＝0-4-3＝-7.
所以的值是1或-7.
【解析】【分析】根据互为相反数的两个数和为0可得a+b=0，由乘积为1的两个数互为倒数可得cd=1，由绝对值的意义可得m=±2，代入所求代数式计算即可求解.
38．请根据下面的对话解答下列问题．
我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是3，的绝对值是7，与的和是．”
（1） ， ， ．
（2）求的值．
【答案】（1）；；或
（2）解：将代入得，
将代入得．
【解析】【解答】解：根据相反数、绝对值的定义即可得出a=-3；b=；c=-8-7=-15或c=-8+7=-1；
故答案为：-3；；或.
【分析】（1）利用相反数的意义、绝对值的性质求出c的值，再利用有理数的加法求出b的值即可；
（2）将a、b、c的值代入计算即可.
39．已知有理数a，b满足|a|=2，|b|=3，且|a+b|=a+b，求b-a的值．
【答案】解：∵|a|=2，|b|=3，
∴a=±2，b=±3，
∵|a+b|=a+b，
∴a+b＞0，
∴当a=2，b=3时，b-a=1，
当a=-2，b=3时，b-a=5，
∴b-a的值为1或5．
【解析】【分析】利用绝对值的性质，可求出a，b的值，再根据一个正数的绝对值等于其本身，可知a+b＞0，从而利用有理数的加法法则，可确定出a，b的值，然后代入计算求出b-a的值.
40．如图数轴上的点，，，…，表示十个连续的整数，分别是，，，…，，设．
（1）若点表示原点，求p的值；
（2）若点到原点O的距离为8，求p的值；
（3）若在，，，…，的前面任意添加5个“”号和5个“”号后，直接写出此时10个数和的最大值．
【答案】（1）解：∵点表示原点，
∴，
∵数轴上的点，，，…，表示十个连续的整数，
∴，，，
∴.
（2）解：当点在原点O的左侧时，
∵点到原点O的距离为8，
∴，
∵数轴上的点，，，…，表示十个连续的整数，
∴，，，
∴；
当点在原点O的右侧时，
∵点到原点O的距离为8，
∴，
∵数轴上的点，，，…，表示十个连续的整数，
∴，，，
∴.
综上分析可知：或38．
（3）25
【解析】【解答】（3）解：设，则，，，，，，，，，当在最小的5个数前面加“”，最大的5个数前面加“”时，这10个数和的最大，且最大值为：
．
∴10个数和的最大值为25.
【分析】（1）根据点表示原点，可得，，，即可得p的值.
（2）根据点到原点O的距离为8，可知分两种情况，当点在原点O的左侧时，，进一步可得，，，根据，可得p的值，当点在原点O的右侧时，得，同理可得p的值，综合即可得答案.
（3）设，根据条件可得，，，，，，，，，要使前面任意添加5个“”号和5个“”号后，10个数和的最大值可在最小的5个数前面加“”，最大的5个数前面加“”时，此时10个数和的最大值，求出即可.
（1）解：∵点表示原点，
∴，
∵数轴上的点，，，…，表示十个连续的整数，
∴，，，
∴；
（2）解：当点在原点O的左侧时，
∵点到原点O的距离为8，
∴，
∵数轴上的点，，，…，表示十个连续的整数，
∴，，，
∴；
当点在原点O的右侧时，
∵点到原点O的距离为8，
∴，
∵数轴上的点，，，…，表示十个连续的整数，
∴，，，
∴；
综上分析可知：或38．
（3）解：设，则，，，，，，，，，
当在最小的5个数前面加“”，最大的5个数前面加“”时，这10个数和的最大，且最大值为：
．
41． 如图，四个图都称作平面图. 观察图和表中对应数值，探究计数的方法并作答：
（1）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围成多少个区域，并将结果填入下表；（其中b已填好）
图 a b c d
顶点数 7
边数 9
区域数 3
（2）根据表中数值，写出平面图形的顶点数、边数、区域数之间的一种关系： .
（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域. 那么利用（2）中得出的关系，这个平面图有 条边.
【答案】（1）解：如图.
图 a b c d
顶点数 4 7 8 10
边数 6 9 12 15
区域数 3 3 5 6
（2）
（3）30
【解析】【解答】解：（2） 平面图形的顶点数v、边数E、区域数F之间的一种关系 ： ；
故答案为：.
（3） 这个平面图有：20+11-1=30（条）.
故答案为：30.
【分析】（1）由所给的b图表格数据得：
a图顶点数为4个，6条边，围成3个区域；
b图顶点数为7个，9条边，围成3个区域；
c图顶点数为8个，12条边，围成5个区域；
d图顶点数为10个，15条边，围成6个区域；
（2） 根据表中数值得出平面图形的顶点数、边数、区域数之间的一种关系：顶点数+区域数-1=边数；
（3）将数据代入（2）中公式计算即可.
42．【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商”
（1）【概念理解】直接写出结果：_______________．
（2）关于除方，下列说法正确的是：________（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
（3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
____________________；__________．
（4）计算：．
【答案】（1）
（2）①④
（3），
（4）解：
=
=
=
=
=
=．
【解析】【解答】解：（1）解：由题意得，
故答案为：；
（2）①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确，
②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误，
③，，则，原说法错误，
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，
故答案为：①④；
（3）由题意可得：
=，
=，
故答案为：，；
【分析】（1）根据n次商的定义进行除法运算即可；
（2）根据除方的定义可得出①④正确，②③不正确；
（3）首先根据除方的定义得出除法算式，进而转化成乘法，再根据乘法和乘方之间的关系，转化成乘方的形式即可；
（4）结合除方的运算方式运算即可；
（1）解：由题意得，
故答案为：；
（2）解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确，
②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误，
③，，则，原说法错误，
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，
故答案为：①④；
（3）解：由题意可得：
=，
=，
故答案为：，；
（4）解：
=
=
=
=
=
=．
43．数轴上有两个重要结论，如果数轴上的点A，B表示的数分别为x，y，那么：①它们之间的距离为|AB|=|x-y|；②它们中点所表示的数为数轴上有两点A，B，A表示的数为-6，B表示的数为4.
（1）若数轴上还有一点C，且|AC|=|BC|，则点C对应的数是 .
（2）若|x+6|=2，则x= .
（3）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点P，Q同时出发， s后|PQ|=2.
（4）若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M为AP的中点，点N为PB的中点，则在点P运动的过程中，|MN|= .
【答案】（1）-1
（2）或
（3）4或6.
（4）5
【解析】【解答】解：（1），
是中点，点对应的数是，
故答案为：；
（2），
，即表示的点到的距离等于2，
或，
故答案为：或；
（3）设点，运动时间是秒，则表示的数为，表示的数是，
，
，
解得或6，
故答案为：4或6；
（4）设动点运动的时间为，则表示的数为，
为的中点，为的中点，
表示的数是，表示的数是，
，
故答案为：5
【分析】（1）根据题意得到C是中点，进而根据中点即可求解；
（2）根据题意结合数轴上两点间的距离得到表示的点到的距离等于2，从而即可求解；
（3）先根据题意设点，运动时间是秒，则表示的数为，表示的数是，进而根据有理数在数轴上的表示结合数轴上两点间的距离即可求解；
（4）设动点运动的时间为，则表示的数为，根据中点得到M表示的数是，表示的数是，进而即可求解。
44．数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为﹣10，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A停止，设运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t＝5时，点P表示的有理数为 ．
（2）在点P往左运动的过程中，点P表示的有理数为 （用含t的代数式表示）．
（3）当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为 ．
【答案】（1）﹣5
（2）20﹣5t
（3）3或5或8.5或13.5
【解析】【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为﹣10，
∴AB=20-（-10）=30，
点P从点A运动到点B所需要的时间为30÷5=6（秒），
点P从点B返回，运动到点A所需要的时间为30÷2=15（秒），
∴当t=5时，PA=5×5=25，
∴点P表示的有理数为20-25=-5，
故答案为：-5；
（2） 点P往左运动的过程中，点P表示的有理数为20-5t，
故答案为：20-5t；
（3）①当点P从点A运动到点B，则0≤t≤6时，可得：，
解得：t=3或t=5；
②当点P从点B返回时，运动到点A，则6＜t≤15时，可得：，
解得：t=13.5或t=8.5；
综上所述： 当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为3或5或8.5或13.5；
故答案为：3或5或8.5或13.5.
【分析】（1）根据题意先求出AB=30，再求出当t=5时，PA=5×5=25，最后计算求解即可；
（2）根据题意求出点P表示的有理数为20-5t即可作答；
（3）分类讨论，列方程计算求解即可。
45．旅行社组织了甲、乙两个旅游团到游乐场游玩，两团总报名人数为120人，其中甲团人数不超过50人，游乐场规定一次性购票50人以上可享受团队票．门票价格如下：
旅行社经过计算后发现，如果甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节约300元．
（1）求甲、乙两团的报名人数；
（2）当天到达游乐场后发现团队票价格作了临时调整，团队票A每张降价a元，团队票B每张降价2a元，同时乙团队因故缺席了30人，此时甲、乙两团合并成一个团队购票可以比分开购票节约225元，求a的值．
【答案】（1）解：设乙团x人，则甲团（120﹣x）人，
①当70≤x≤100时，两团队门票款之和为：70x+80（120﹣x）﹣60×120=300，解得：x=210（舍去）；
②当x＞100时，两团队门票款之和为：60x+80（120﹣x）﹣60×120=300，解得：x=105，答：甲团15人，乙团105人。
（2）解：由题意得：15×80+75×（70﹣a）=90×（70﹣a）+225，解得：a=5
【解析】【分析】（1）考虑乙团人数大于100人和大于70小于100时的两种情况，按照题意求出甲乙两团人数。（2）根据调整后的价格，再根据两种方案的价格差，求出a的值。
46．如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒．
（1）当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）；
（2）当射线平分时，求的值．
（3）如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止．
①当时，求的值．
②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：平分
，
解得，
的值为21；
（3）解：由题意可得，
当未转动到时，
，
解得；
当与重合时，
解得，不符合题意，应舍去；
当越过时，则，所以
，
，
解得，此时，恰好符合题意.
综上所述， 当时，或；
．
【解析】【解答】
（1）解：，
，
，
，
，
根据题意，，
当射线位于射线的左侧时，，
故答案为：；
(3)
②解：当未转动到时，、
；
当越过时，则，所以，
，
，
【分析】
（1）由角之间的和差倍积关系可求得，则当OD位于OC左侧时，，
（2）由角平分线的概念可得，又，，则可列关于t的方程并求解即可；
（3）①分类讨论，即当到达所在的位置前或当到达所在的位置后，分别用含t的代数式表示出，再根据等量关系列议程并求解即可；
②同上，分两种情况分别表示出，则可直观得出其之间的数量关系．
（1）解：，
，
，
，
，
根据题意，，
当射线位于射线的左侧时，，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得，
的值为21；
（3）解：由题意可得，
①当到达所在的位置前，，
解得；
当到达所在的位置后，，
解得；
的值为10.8或54；
②当与重合时，，
，
此时与重合；
当到达所在的位置前，，，
；
当到达所在的位置后，，，
；
综上所述，．
47．若a＞0，b＞0，且 ，则a＞b；若a＜0，b＜0，且 ，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较 与 的大小．
【答案】解：因为 ， ， ，所以
【解析】【分析】根据商比较法得到两个负数比较时，绝对值大的反而小.
48．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为个单位长度？
【答案】（1）解：点对应的数是；
（2）它们的相遇时间是秒，
即相同时间点运动路程为：个单位，
即从数向右运动个单位到数；
（3）相遇前：秒，
相遇后：秒．
故当它们运动秒或秒时间时，两只蚂蚁间的距离为个单位长度．
【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点 Q 走的路程，根据左减右加的原则，可求出-20向右运动到相遇地点所对应的数；
（3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．
49．如图，数轴上A、B两点对应的数分别为-2、5，P为数轴上一动点，其对应的数为m.
（1）若点P到A、B两点的距离都相等，请直接写出点P对应的数m的值；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为10个单位长度？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）现在点A，点B分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度同时向右运动，点P以每分钟5个单位长度的速度从O点向左运动，当遇到点A时，点P以原来的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程．
【答案】（1）
（2）存在； -或；
（3）35个单位长度
【解析】【解答】（1）∵A、B两点对应的数分别是-2、5，点P到A、B两点的距离都相等，
∴点P是线段AB的中点，
∴点P表示的数是，
故答案为：；
（2）存在，
∵PA=|m-（-2）|=|m+2|，PB=|m-5|，
∴|m+2|+|m-5|=10，
①当x<-2时，|m+2|+|m-5|=-m-2-m+5=-2m+3=10，
解得：m=-；
②当-2③当x>5时，|m+2|+|m-5|=m+2+m-5=2m-3=10，
解得：m=
综上，m的值为 -或；
（3）设经过x秒A、B重合，则点A表示的数是-2+2x，点B表示的数是5+x，
∴-2+2x=5+x，
解得：x=7，
∴点P所经过的总路程=5×7=35个单位长度，
故答案为：35个单位长度 .
【分析】（1）结合“点P到A、B两点的距离都相等”利用中点求出点P表示的数即可；
（2）先求出|m+2|+|m-5|=10，再分类讨论，①当x<-2时，②当-25时，再分别去掉绝对值并求解即可；
（3）先求出A、B重合的时间，再利用“路程=速度×时间”求解即可.
50．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题：
（1）在下列多项式中，属于“标准多项式”的是 ；（填写序号）
①；②；③．
（2）若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
（3）已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”．
【答案】（1）①③
（2）解：是，理由如下：
多项式是关于，的“标准多项式”，
为的整数倍，
设（为整数，），
则，
多项式的系数和为，
，
，
是的整数倍，即是的整数倍，
多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”
（3）证明：∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴多项式为，
多项式的系数和为，
∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”
【解析】【解答】解：（1）①多项式的系数和为，
该多项式是“标准多项式”，
②多项式的系数和为，不是的整数倍，
该多项式不是“标准多项式”，
③多项式的系数和为，
该多项式是“标准多项式”，
故答案为：①③；
【分析】(1)分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数倍，即可求出答案；
(2)根据题意可知，4m-n是7的整数倍，推出n=4m-7z，根据要求推一下2m+3n是否是7的整数倍即可；
（3）把A，B，C的式子代入整理，根据对应系数相等得到，然后代入多项式，根据“标准多项式”判断解答即可.
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