中小学教育资源及组卷应用平台
【临考冲刺·50道解答题专练】北师大版数学八年级上册期末总复习
1．某小区为了绿化环境，计划分两次购进，两种树苗，第一次购进种树苗40棵，种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进种树苗20棵，种树苗6棵，共花费860元.（两次购进的，两种树苗各自的单价均不变）
（1），两种树苗每棵的价格分别是多少？
（2）因受季节影响，种树苗价格下降10% ，种树苗价格上升20%，计划购进种树苗25棵，种树苗20棵，问总费用是多少元？
2．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．
（1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号）
（2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，）
3． 我国古代数学名著《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果 1 托为5尺，那么索长、竿长各是多少 请解答这个问题.
4．如图，已知平分，若，．
（1）试说明；
（2）若于点，求的度数．
5．定义：对于一次函数 我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1，y2的“组合函数”.
（1）若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2 是否为函数 的“组合函数”，并说明理由.
（2）设函数 与 的图象相交于点 P.
①若m+n>1，点 P 在函数y1，y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1，y2 的“组合函数”图象经过点 P，是否存在大小确定的m值，对于不等于1 的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点 Q 的位置不变 若存在，请求出 m的值及此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
6． 3，4，5是最简单的勾股数，这表明三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个(为什么 )，由此研究边长为连续整数的三角形.
问题：
（1）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗 如果存在，有多少个
（2）三边长为连续整数的锐角三角形存在吗 如果存在，有多少个
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.
（1）若∠A=24°，求∠BCD的度数；
（2）设AC=4，点E是线段AC的中点，求BC的值；
（3）若AC=2BC，求的值.
8．列方程组解应用题
在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和 消毒液．如果购买 瓶免洗手消毒液和 瓶 消毒液，共需花费 元；如果购买 瓶免洗手消毒液和 瓶 消毒液，共需花费 元；求每瓶免洗手消毒液和 消毒液的价格分别是多少元．
9．疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
10．如图， 已知点 在直线 上， 若 ， ， 则 与 平行吗？ 请你作出判断， 并说明理由．
11．某企业为甲、乙两所学校捐赠图书共1600册，已知捐给甲校的图书册数比捐给乙校的图书册数的2倍少200册，求该企业捐给甲、乙两所学校的图书各多少册．
12．把形状、大小完全相同，长为，宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示．（点为右上角四边形顶点，点为左下角四边形顶点）
图① 图② 图③
（1）图②中阴影部分的周长为 （用含，的式子表示）；
（2）图③中，若，请直接写出，的长（用含，的式子表示）；
（3）若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长．
13．如图所示，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，判断∠BCD是不是直角，并说明理由．
14．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．
15．现种植A、B、C三种树苗一共480棵，安排80名工人一天正好完成，已知每名工人只植一种树苗，且每名工人每天可植A种树苗8棵；或植B种树苗6棵，或植C种树苗5棵．经过统计，在整个过程中，每棵树苗的种植成本如图所示．设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名．求y与x之间的函数关系式；设种植的总成本为w元，
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若种植的总成本为5600元，从植树工人中随机采访一名工人，求采访到种植C种树苗工人的概率．
16．已知 与|x-y-3|互为相反数，求 的值．
17．如图1，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像 ∑ 形，称为“∑ 形 BAMCD”.
（1）如图2，在“∑形 BAMCD”中，若 AB∥CD，∠AMC=60°，则∠A+∠C= °；
（2）如图3，连接 BD，若∠ABD+∠BDC=160°，∠AMC=α，试猜想∠BAM 与∠MCD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，在(2)的条件下，当点 M 在线段BD 的延长线上从上向下移动时，请求出∠BAM与∠MCD 所有可能满足的数量关系.
18．为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全区跳水比赛， 对他们的跳水技能进行考核。在 6 月 1 日至 10 日在相同条件下进行测试， 成绩（单位：分）如图：
（1） 填空： ① 填写 " "， " "或 ）
②乙运动员成绩的中位数为 .
（2）假如你是教练， 会选哪位运动员去参加比赛， 请说明选派理由.
19． 已知一个长方体的体积是100cm3，它底面的两邻边长分别是y(cm)和10cm，高是x(cm).
（1）写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当x=2时，求y的值.
20．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器-、小器五容二斛.向大、小器各容几何 ”
译文：“今有大容器 个，小容器 个，总容量为 斛；大容器 个，小容器 个，总容量为 斛.向大容器、小容器的容积各是多少斛？”
21．在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值.
（2）当x=-2时，求y的值
22．某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产一个甲种产品需时间8s，铜8g；生产一个乙种产品需时间6s，铜16g．如果生产甲、乙两种产品共用时1h，共用铜6.4kg，那么甲、乙两种产品各生产多少个？
23． 如图， 在正方形 ABCD 中， AB=4， AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形 你是如何判断的
24．如图所示是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝，若此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少是多少？
25．在新冠疫情期间，为支援武汉，现将我市大米运往武汉．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨．
26．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
A B
进价(万元/套) 3 2.4
售价(万元/套) 3.3 2.8
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套(1027．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点．
（1）求左侧边界线的函数表达式；
（2）求灭点的坐标；
【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围．
28．为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．
（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．
（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：打折后学校购买篮球需用多少钱？
29．（1）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根；
（2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
30．如图，从电线杆离地面4m的A处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点B到电线杆底部C的距离为2m，求钢索AB的长度（结果保留根号）
31．已知：如图，.
求证：
（1）.
（2）.
32．王大爷承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过了一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼，为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大爷随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后再放回鱼塘现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如下图所示．
（1）样本中这20条鱼的质量的中位数是 kg，众数是 kg．
（2）求这20条鱼的质量的平均数．
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为18元/kg，请你利用（2）中的样本平均数，估计王大爷近期销售完鱼塘里的这种鱼收入多少元？
33．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别从甲、乙两种农作物中随机抽取了10株苗，测得它们的高度(单位：cm)如下.
甲： 9 14 11 12 9 13 10 8 12 8
乙： 8 13 12 11 9 12 7 7 9 11
你认为哪种农作物长得高一些 说明理由.
34．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元，（元与（盒之间的函数关系式．
（2）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
35．小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3c m的小正方形(阴影部分)，求小长方形的面积.
36．某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成表格．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间（小时）
组中值 1 2 3 4 5
人数（人） 21 30 19 18 12
（1）画扇形图描述数据时，这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数；
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．
37．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：
.
现已知△ABC的三边长分别为1，3，，求△ABC的面积.
38．在平面直角坐标系中，点和点在一次函数的图象上．
（1）若，，，求该一次函数的解析式；
（2）已知点，将点A向左平移3个单位长度，得到点B．
①求点B的坐标；
②若，一次函数的图象与线段有公共点，求的取值范围．
39．如图，直线相交于点，平分，，，求的度数．
40．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上.
（1）AC的长等于 ；
（2）在线段AC上有一点D，满足AB2=AD AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）.
41．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；
例如：化简；
且，
，
，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：①__________；②__________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长；
【迁移运用】
（3）已知为常数（），满足，求的值．
42．如图（1），B地在A地的正东方向，某一时刻，乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，当甲车到达B地的同时乙车也到达A地.如图（2），横轴x（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴y（千米）表示两车与A地的距离.
问题：
（1）A、B两地相距 千米；
（2）和两段线分别表示两车距A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系，请问：表示甲车的图象为 ，表示乙车的图象为 ；
（3）求两车相遇时距A地多少千米？
43．如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若k＝，过B点BCOG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
44．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，是它们离甲地距离 （千米）与时间 （小时）之间的函数关系图象，请根据图象解答下列问题：
（1）线段 表示轿车在途中停留了 小时；
（2）求线段 和线段 的解析式；
（3）当货车与轿车和甲地等距离时，轿车在行驶过程中所用的时间是多少？
45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点，过点作平行于y轴的直线l，交直线于点D，点P是直线l上一动点，且点P不与点D重合，连结，设点P的纵坐标为m，的面积为S．
（1）点A的坐标为______；
（2）求k的值；
（3）求S与m之间的函数关系式；
（4）当时，以点B为直角顶点作等腰直角，直接写出点C的坐标．
46．甲、乙两小组人数的和是28．如果甲组增加2人，乙组增加6人，那么甲组人数与乙组人数的比是2：1．求原来甲、乙两组的人数．
47．求方程5x-3y=-7的正整数解．
48．设等式 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不等的实数，求 的值.
49．设计动态验证码
日常生活中，我们会运用验证码技术来协助平台账号的登录，其原理是：用户每次向网页提交信息时，系统会根据算法随机生成一串数字（即验证码），只有正确输入验证码才能成功提交信息．学生小实自行设计验证码生成器，其原理是通过二元一次方程设置算法，随机生成动态验证码．
【步骤一：根据方程生成非负整数解】以二元一次方程为例，利用该方程的非负整数解生成验证码．通过计算，以从小到大为序对非负整数解进行编码，请观察并填写下列表格：
【步骤二：依据编码随机生成验证码】随机抽取的两组非负整数解生成验证码，如抽取序号和两组解∶和规定将两组整数解按照在前在后的顺序填入指定区域内∶，可生成如下2个验证码∶
【任务一：理解算法】
（1）请补全表2．
（2）结合表2，求出二元一次方程的第组非负整数解．
（3）当表2中取最大值时，求出对应的和的值．
【任务二：应用算法】
学生小实利用(a，b为正整数)生成验证码∶
规则 ①取一组a、b的值，确定方程
②在该方程的非负整数解中，抽取序号和两组非负整数解作为验证码
请在满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程，依据抽取序号写出一组验证码∶
50．如图 1， 已知直线 ， 点 分别在直线 与 上， 为两平行线间一点．
（1） 求证： ．
（2） 利用 （1） 的结论解答：
①如图 2， 分别平分 ， 请你直接写出 与 的数量关系：
②如图 3， 分别平分 ． 若 ， 则 的度数是 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【临考冲刺·50道解答题专练】北师大版数学八年级上册期末总复习
1．某小区为了绿化环境，计划分两次购进，两种树苗，第一次购进种树苗40棵，种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进种树苗20棵，种树苗6棵，共花费860元.（两次购进的，两种树苗各自的单价均不变）
（1），两种树苗每棵的价格分别是多少？
（2）因受季节影响，种树苗价格下降10% ，种树苗价格上升20%，计划购进种树苗25棵，种树苗20棵，问总费用是多少元？
【答案】（1）解：设A种树苗每棵元，B种树苗每棵元。
由题意可得
解得
答：A种树苗每棵40元，B种树苗每棵10元；
（2）解：元
答：总费用是1140元.
【解析】【分析】（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，由购买40棵A种树苗的费用+购买15棵B种树苗的费用=1750元及购买20棵A种树苗的费用+购买6棵B种树苗的费用=860元，列出方程组，求解即可；
（2）根据单价乘以数量等于总价列式计算就可算出购进A种树苗25棵，B种树苗20棵的总费用.
2．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．
（1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号）
（2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，）
【答案】（1）解：开始时绳子的长度为的3倍，AC=3，
米，
（米；
（2）解：如图，连接，
此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置．
（米，
在Rt ACD中：
（米，
船向岸边移动的距离为（米，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
【解析】【分析】
（1）由已知条件得BC=18；根据勾股定理即可得出AB的长；
（2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果．
（1）开始时绳子的长度为的3倍．
米，
（米；
（2）如图，连接，
此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置．
船移动到点的位置时绳长（米，
（米，
船向岸边移动的距离为（米，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
3． 我国古代数学名著《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果 1 托为5尺，那么索长、竿长各是多少 请解答这个问题.
【答案】解：设索长为x尺，竿长为y尺，
由题意得：，
解得：
答：索长为 20尺，竿长为15 尺
【解析】【分析】设索长为x尺，竿长为y尺，根据题中的两个相等关系“ 索长-竿长=5，竿长-索长=5”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解.
4．如图，已知平分，若，．
（1）试说明；
（2）若于点，求的度数．
【答案】（1）解：∵平分，，
，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
．
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再结合，可得，从而可证出；
（2）先利用垂直的定义可得，再结合，利用角的运算求出即可．
（1）解：∵平分，，
，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
．
5．定义：对于一次函数 我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1，y2的“组合函数”.
（1）若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2 是否为函数 的“组合函数”，并说明理由.
（2）设函数 与 的图象相交于点 P.
①若m+n>1，点 P 在函数y1，y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1，y2 的“组合函数”图象经过点 P，是否存在大小确定的m值，对于不等于1 的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点 Q 的位置不变 若存在，请求出 m的值及此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：是函数，的“组合函数”.理由：由题可知函数，的“组合函数”为，把，代入，得，所以函数是函数，的“组合函数”.
（2）解：①解方程组，得，因为函数与的图象相交于点P，所以点P的坐标为.因为，的“组合函数”为，所以.因为，点P在函数，的“组合函数”图象的上方，所以，整理，得，所以，解得，所以p的取值范围为.
②存在. 因为函数，的“组合函数”图象经过点P，所以将点P代入y=，得，所以.因为，所以，即，所以y，把y=0代入y，得，解得.设，则m=，所以，所以Q，所以对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，且Q.
【解析】【分析】(1)由y=5x+2=3(x+1)+(2x-1)， 7可知函数y=5x+2是函数 的“组合函数”；
(2)①由 得P(2p+1，p-1)，当x=2p+1时， y=m(2p+1-p-2)+n(-2p-1+3p)=(p-1)(m+n)， 根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p-1 > (p-1)(m+n)， 而m+n>1， 可得p<1；
②由函数y1、y2的“组合函数” y =m(x-p-2)+ n(-x+3p)图象经过点P， 知p-1=m(2p+1-p-2)+n(-2p-1+3p)， 即(p-1)(1-m-n)=0， 而p≠1， 即得n=1-m， 可得y=(2m-1)x+3p-(4p+2)m， 令y = 0得(2m-1)x+3p-(4p+2)m=0， 即(3-4m)p+(2m-1)x-2m=0， 即可得 时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，求出Q点的坐标.
6． 3，4，5是最简单的勾股数，这表明三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个(为什么 )，由此研究边长为连续整数的三角形.
问题：
（1）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗 如果存在，有多少个
（2）三边长为连续整数的锐角三角形存在吗 如果存在，有多少个
【答案】（1）解：设钝角三角形的三边长分别为x-1，x，x+1(x为大于1的整数)，则 ，整理得x(x-4)<0.
∴0当x=2时，边长为1，2，3的三角形是不存在的.
故三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2，3，4
（2）解：设锐角三角形的三边分别为x-1，x，x+1，则
(x-1)2+x2>(x+1)2，解得x>4，
∴三边长为连续整数的锐角三角形存在，有无数多个
【解析】【分析】(1)根据钝角三角形较短的两边的平方和小于较长的一边的平方列不等式，即可求解；
(2)根据锐角三角形较短的两边的平方和大于较长的一边，列出不等式，即可求解.
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.
（1）若∠A=24°，求∠BCD的度数；
（2）设AC=4，点E是线段AC的中点，求BC的值；
（3）若AC=2BC，求的值.
【答案】（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝24°，
∴∠B＝66°．
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC57°
（2）∵，点是线段的中点，
∴AE＝EC=2
∴AD＝AE=2
设BD＝BC=x，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
（x+2）2=42+x2
解得x=3
∴BC=3
（3）设BC=x，则AC=2x，AB=
设，则
∴AB=AD+BD=2kx+x=(2k+1)x
得到方程
解得
∴
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到的度数，再根据等腰三角形的性质即可得到的度数；
（2）根据线段中点的性质得到：根据圆的性质可得到进而设最后在中根据勾股定理即可求出的长度；
（3）设则，再设进而得到最后根据可列方程，求解即可.
8．列方程组解应用题
在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和 消毒液．如果购买 瓶免洗手消毒液和 瓶 消毒液，共需花费 元；如果购买 瓶免洗手消毒液和 瓶 消毒液，共需花费 元；求每瓶免洗手消毒液和 消毒液的价格分别是多少元．
【答案】解：设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每瓶免洗手消毒液的价格是9元，每瓶84消毒液的价格是4元．
【解析】【分析】设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元，根据“如果购买 瓶免洗手消毒液和 瓶 消毒液，共需花费 元；如果购买 瓶免洗手消毒液和 瓶 消毒液，共需花费 元”列出二元一次方程组求解即可。
9．疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
【答案】（1）解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒；
（2）解：20×700+25×200=14000+5000=19000（个），2×900×10=18000（个）．
∵19000＞18000，
∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
【解析】【分析】（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价=单价×数量，结合用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种口罩购进数量，解答即可；
（2）利用购进口罩的总数量=每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数=2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出购买的口罩数量能满足市教育局的要求，即可解答．
（1）解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒；
（2）解：20×700+25×200=14000+5000=19000（个），
2×900×10=18000（个）．
∵19000＞18000，
∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
10．如图， 已知点 在直线 上， 若 ， ， 则 与 平行吗？ 请你作出判断， 并说明理由．
【答案】证明：AE//BF.
理由：∵AC//BD，
∴∠CAH=∠DBH，
∵AC⊥AE，BD⊥BF，
∴∠EAC=∠FBD=90°，
∴∠EAC+∠CAH=∠FBD+∠DBH，
∴∠EAH=∠FBH，
∴AE//BF.
【解析】【分析】先利用两直线平行，同位角相等的性质可得∠CAH=∠DBH，再结合∠EAC=∠FBD=90°，利用角的运算可得∠EAH=∠FBH，最后证出AE//BF即可.
11．某企业为甲、乙两所学校捐赠图书共1600册，已知捐给甲校的图书册数比捐给乙校的图书册数的2倍少200册，求该企业捐给甲、乙两所学校的图书各多少册．
【答案】解：设该企业捐给甲、乙两所学校的图书分别为x册和y册，则
，
解得： ，
答：该企业捐给甲、乙两所学校的图书1000册和600册．
【解析】【分析】
设该企业捐给甲、乙两所学校的图书分别为x册和y册，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
12．把形状、大小完全相同，长为，宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示．（点为右上角四边形顶点，点为左下角四边形顶点）
图① 图② 图③
（1）图②中阴影部分的周长为 （用含，的式子表示）；
（2）图③中，若，请直接写出，的长（用含，的式子表示）；
（3）若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
即，，
即，
（3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且，
∴，即，
又时，图③中阴影部分的面积也为480，
∴，
将代入得，整理得，
再将和，代入得，
整理得，
再将代入得，
解得，，
∴，解得，
∴
【解析】【解答】解：（1）利用平移的性质知， 图②中阴影部分的周长.
故答案为：.
【分析】（1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可；
（2）由AB+CD=AD=n，代入AB=10，再结合图形即可求解；
（3）由图②中阴影部分的面积为480，求得xy=120；根据AB=10时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将m=2x+y，n=10+y代入，通过计算即可求解.
13．如图所示，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，判断∠BCD是不是直角，并说明理由．
【答案】解：∠BCD是直角．
理由：连接BD．
∵BC2=22 +42= 20，CD2=12+22=5，BD2=32+42=25，
∴BD2= BC2 +CD2．
∴△BCD是直角三角形，∠BCD是直角．
【解析】【分析】连接BD，由勾股定理可得BC2=20，CD2=5，BD2=25，然后根据勾股定理逆定理进行判断.
14．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．
【答案】解：过点作于点，则的长即点到的距离，
在中，
，，，
，，
，
为直角三角形，即，
，
，即，
，
答：点到的距离约为．
【解析】【分析】过点作于点，则的长即点到的距离，先证出为直角三角形，即，再结合，将数据代入求出即可。
15．现种植A、B、C三种树苗一共480棵，安排80名工人一天正好完成，已知每名工人只植一种树苗，且每名工人每天可植A种树苗8棵；或植B种树苗6棵，或植C种树苗5棵．经过统计，在整个过程中，每棵树苗的种植成本如图所示．设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名．求y与x之间的函数关系式；设种植的总成本为w元，
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若种植的总成本为5600元，从植树工人中随机采访一名工人，求采访到种植C种树苗工人的概率．
【答案】（1）解：设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名，则种植C种树苗的人数为（80-x-y）人，
根据题意，得：8x+6y+5（80-x-y）=480，
整理，得：y=-3x+80
w=15×8x+12×6y+8×5（80-x-y）=80x+32y+3200，
把y=-3x+80代入，得：w=-16x+5760，
（2）解：种植的总成本为5600元时，w=-16x+5760=5600，
解得x=10，y=-3×10+80=50，
即种植A种树苗的工人为10名，种植B种树苗的工人为50名，种植C种树苗的工人为：80-10-50=20名．
采访到种植C种树苗工人的概率为：=．
【解析】【分析】（1） 设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名， 可用x，y表示出种植C种树苗的人数，再根据“ 种植A、B、C三种树苗一共480棵 ”列出式子，得到x与y之间的函数关系式，再列出w，x，y之间的关系式，将x与y之间的函数关系式代入，消去y，得到w与x之间函数关系式；
（2）根据（1）求得的w与x之间的函数关系式，将w= 5600代入求出x，再求出y，分别可求出 种植A、B、C种树苗的工人数，再利用概率公式求解.
16．已知 与|x-y-3|互为相反数，求 的值．
【答案】解：由题意，得 +|x-y-3|=0，
由非负数的性质，得
解得 ∴
【解析】【分析】根据相反数的性质得出 +|x-y-3|=0， 再根据非负性得出二元一次方程组，解方程组得出x，y的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
17．如图1，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像 ∑ 形，称为“∑ 形 BAMCD”.
（1）如图2，在“∑形 BAMCD”中，若 AB∥CD，∠AMC=60°，则∠A+∠C= °；
（2）如图3，连接 BD，若∠ABD+∠BDC=160°，∠AMC=α，试猜想∠BAM 与∠MCD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，在(2)的条件下，当点 M 在线段BD 的延长线上从上向下移动时，请求出∠BAM与∠MCD 所有可能满足的数量关系.
【答案】（1）60
（2）解：
理由： 过A点作AP∥CD交BD于点P，
由 (1)可得
（3）解：如图， 当D， C位于AM两侧时，
5，
即
当A，C，M三点共线时，
当D，C位于AM同侧时，
∵∠ABD+∠BDC=160°，∠CDM+∠BDC=180°，
∴∠CDM-∠ABD =20°，
∵∠AMO=∠B+∠BAM， ∠CMO=∠MCD+∠CDM， ∠AMC=α，
∴α=∠CMO-∠AMO=∠MCD+∠CDM-(∠B+∠BAM)=∠MCD-∠BAM+20°，即∠MCD-∠BAM =α-20°.
综上， ∠BAM-∠MCD=α+20°或∠MCD-∠BAM =α-20°.
【解析】【解答】解：(1)如图1，过点M作MN∥AB.
因为AB∥CD，所以AB∥MN∥CD，所以∠AMN=∠A，∠NMC=∠C，所以∠A+∠C=∠AMN+∠NMC=∠AMC=60°.故答案为60.
【分析】(1)过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；
(2)过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得 结合 (1)的结论可求解；
(3)可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解.
18．为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全区跳水比赛， 对他们的跳水技能进行考核。在 6 月 1 日至 10 日在相同条件下进行测试， 成绩（单位：分）如图：
（1） 填空： ① 填写 " "， " "或 ）
②乙运动员成绩的中位数为 .
（2）假如你是教练， 会选哪位运动员去参加比赛， 请说明选派理由.
【答案】（1）＜；84
（2）解：，甲的成绩更加稳定，
∴选甲参加比赛更合适
【解析】【解答】解：①甲的平均数（分），
，
乙的平均数（分）；
=
，
，
，
故答案为：；
②将乙的成绩从小到大排列为，第5、6个分别是83、85，
中位数为（分），
故答案为：84
【分析】（1）①先根据题意求出甲和乙的平均数，进而根据方差的公式即可求解；
②根据中位数的定义结合题意将数据从小到大排列，进而即可求解；
（2）根据方差的定义结合题意即可求解。
19． 已知一个长方体的体积是100cm3，它底面的两邻边长分别是y(cm)和10cm，高是x(cm).
（1）写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当x=2时，求y的值.
【答案】（1）y=（x≠0）
（2）解：当x=2时，y===5，
【解析】【解答】解：⑴据题意得，y×10x=100，
∴y=（x≠0）
【分析】⑴根据长方体体积=长×宽×高列式即可.
⑵将x的值代入y=计算即可.
20．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器-、小器五容二斛.向大、小器各容几何 ”
译文：“今有大容器 个，小容器 个，总容量为 斛；大容器 个，小容器 个，总容量为 斛.向大容器、小容器的容积各是多少斛？”
【答案】解：设大器容 斛，小器容 斛，根据题意，列出方程组
解得：
答：大器容 斛，小器容 斛.
【解析】【分析】设大器容 斛，小器容 斛，根据题干列出方程组求解即可。
21．在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值.
（2）当x=-2时，求y的值
【答案】（1）解：∵ 在等式中，当x=-1时，y=.4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
∴
解得：
（2）解：由（1）可知，等式y=ax2+bx+c可以转化为：y=x2-x+2，
∴当x=-2时y=8.
【解析】【分析】由题意可知：把x=-1，y=4代入y=ax2+bx+c中，可得：a-b+c=4，①；把x=2，y=4代入y=ax2+bx+c中，可得4a+2b+c=4，②；把x=1，y=2代入y=ax2+bx+c中，可得a+b+c=2，③；然后把①、②、③这三个方程组成方程组，解方程组，求出a、b、c的值即可.
（2）由（1）可知：a=-1，b=-1，c=2.把a=-1，b=-1，c=2代入y=ax2+bx+c，可以得到：y=x2-x+2。再把x=-2代入这个等式，即可求出x=-2时，y的值.
22．某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产一个甲种产品需时间8s，铜8g；生产一个乙种产品需时间6s，铜16g．如果生产甲、乙两种产品共用时1h，共用铜6.4kg，那么甲、乙两种产品各生产多少个？
【答案】解：设甲产品x个，乙产品y个，根据题意，
得： ，
解得： ．
答：生产甲产品240个，乙产品280个．
【解析】【分析】设甲产品x个、乙产品y个，根据甲产品时间+乙产品时间＝3600秒，甲产品铜质量+乙产品铜质量＝铜的总质量6400g，列方程组，解方程组可得．
23． 如图， 在正方形 ABCD 中， AB=4， AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形 你是如何判断的
【答案】解：图中有4个直角三角形
∵正方形各内角为直角
∴△ABE、△CBF、△DEF为直角三角形
DE=AD-AE=2，CF=CD-DF=3
∵，
∴BE2+EF2=BF2
即△BEF为直角三角形，
故图中有4个直角三角形.
【解析】【分析】根据正方形各内角为直角的性质，可以证明△ABE、△CBF、△DEF为直角三角形，分别求其斜边，即BE，EF，BF的值，根据边的长度和勾股定理的逆定理可以判定△BEF为直角三角形.
24．如图所示是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝，若此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少是多少？
【答案】解：将三棱柱沿AA'剪开，其展开图如图所示，
则AA'2=A'B2+AB2=62+82=102 ，所以AA'=10 cm．
【解析】【分析】将三棱柱沿AA'剪开，可得到A＇B和AB的长，再利用勾股定理求出AA＇的长；利用两点之间线段最短，可知AA＇的长就是这圈金属丝的最短长度 .
25．在新冠疫情期间，为支援武汉，现将我市大米运往武汉．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨．
【答案】解：设大货车每辆装x吨，小货车每辆装y吨，
根据题意列出方程组为：
，
解这个方程组得： ，
∴3x＋5y＝24.5．
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．
【解析】【分析】本题等量关系比较明显：2辆大车运载吨数＋3辆小车运载吨数＝15.5；5辆大车运载吨数＋6辆小车运载吨数＝35，算出1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨后，即可计算出3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨．
26．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
A B
进价(万元/套) 3 2.4
售价(万元/套) 3.3 2.8
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套(10【答案】（1）解：设购进A种多媒体a套，则购进B种多媒体(50-a)套，
由题意可得：3a+2.4×(50-a)=132，
解得a=20，
则b=50-20=30，
答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套；
（2）解：设利润为w元，
由题意可得：w=(3.3-3)m+(2.8-2.4)×(50-m)=-0.1m+20，．
∴w随m的增大而减小，
∵10∴当m=11时，w取得最大值，此时w=18.9，
答：购进A种多媒体11套时，能获得最大利润，最大利润是18.9万元．
【解析】【分析】（1）设购进A种多媒体a套，则购进B种多媒体(50-a)套，根据题意共需资金132万元，得3a+2.4·(50-a)=132，计算求解即可；
（2）由单套多媒体的利润乘以销售数量=总利润分别表示出销售m套A种多媒体的利润与销售（50-m）套B种多媒体的利润，再求和可得总利润，就此建立函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质即可得解.
27．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感．
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线经过点和，右侧边界线的函数表达式为，和相交于点，即点为灭点．
（1）求左侧边界线的函数表达式；
（2）求灭点的坐标；
【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持的位置不变，将向上平移个单位长度，使得灭点的纵坐标不小于6，求的取值范围．
【答案】（1）解：设左侧边界线的函数表达式为，
把和代入得：，
解得，
左侧边界线的函数表达式为；
（2）解：联立，解得，
灭点的坐标为；
【迁移应用】 解：将向上平移个单位长度后得直线，
联立，
解得，
灭点的纵坐标不小于6，
，
解得，
的取值范围是
【解析】【分析】（1）设左侧边界线的函数表达式为，将点A、B的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到其函数解析式.
（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，即可求出点P的坐标．
【迁移应用】 由题意知平移后的函数表达式为，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可．
28．为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．
（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．
（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：打折后学校购买篮球需用多少钱？
【答案】（1）设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A品牌的篮球的单价为40元，B品牌的篮球的单价为100元．
（2）40×80%×20+100×90%×3
＝640+270
＝910（元）．
答：打折后学校购买篮球需用910元．
【解析】【分析】(1)设A品牌的篮球的单价为x元，B品牌的篮球的单价为y元，根据"购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元，购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解.
(2)根据总价=单价×数量， 列式40×80%×20+100×90%×3进行计算即可求出打折后学校购买篮球所需费用.
29．（1）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根；
（2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】（1）解：一个正数的平方根分别是和，
，
；
的立方根为，
，
，
，
的算术平方根为；
（2）解：由数轴可知，，
，，
．
【解析】【分析】（1）利用平方根的定义及性质可得，求出a的值，再利用立方根的性质求出b的值，最后将a、b的值代入计算即可；
（2）先结合数轴判断出，，再利用平方根和立方根的性质及绝对值的性质化简，最后合并同类项即可.
30．如图，从电线杆离地面4m的A处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点B到电线杆底部C的距离为2m，求钢索AB的长度（结果保留根号）
【答案】解：由题意，得 AC＝4m，BC＝2m，
由勾股定理，得：
m
答：钢索的长度 2m
【解析】【分析】根据勾股定理进行解答即可.
31．已知：如图，.
求证：
（1）.
（2）.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
∴BF=CE
又∠A=∠D
∴△ABF≌△DCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠C，根据已知的等线段推导出BF=CE，运用AAS可证明结论；
（2）由ABF≌△DCE得∠AFB=∠DEC，再根据等角的补角相等得出∠AFE=∠DEF，从而根据内错角相等，两直线平行得出结论.
32．王大爷承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过了一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼，为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大爷随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后再放回鱼塘现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如下图所示．
（1）样本中这20条鱼的质量的中位数是 kg，众数是 kg．
（2）求这20条鱼的质量的平均数．
（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为18元/kg，请你利用（2）中的样本平均数，估计王大爷近期销售完鱼塘里的这种鱼收入多少元？
【答案】（1）1.45；1.5
（2）解：
即这20条鱼的质量的平均数为1.45kg．
（3）解：
答：王大爷近期销售完鱼塘里的这种鱼的收入约为46980元．
【解析】【解答】解：（1）处于最中间的数是1.4和1.5，
∴这组数据的中位数是，
∵1.5出现了6次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是1.5.
故答案为：1.45，1.5.
【分析】（1）利用求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可求出这组数据的中位数和众数.
（2）利用加权平均数公式求出这组数据的平均数.
（3）利用鱼塘中成活的鱼的数量×这种鱼的售价单价，列式计算即可.
33．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别从甲、乙两种农作物中随机抽取了10株苗，测得它们的高度(单位：cm)如下.
甲： 9 14 11 12 9 13 10 8 12 8
乙： 8 13 12 11 9 12 7 7 9 11
你认为哪种农作物长得高一些 说明理由.
【答案】解：依题意得 10.6(cm)，
9.9(cm)，
∴根据样本估计总体的思想可以确定甲种农作物长得高一些.
【解析】【分析】首先利用算术平均数的公式分别求出甲乙抽取的10株苗的平均高度，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题.
34．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元，（元与（盒之间的函数关系式．
（2）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
【答案】（1）解：由题意得：，
（2）解：根据（1）中解析式，，，
当元时，，
解得：，
当元时，，
解得：，
，
学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球
【解析】【分析】
（1）根据两种优惠方案列出购买费用的函数表达式即可；
（2）将分别代入（1）中所求得的方案甲，方案乙的表达式后，计算求解得出乒乓球数量，比较数量大小即可。
（1）解：由题意得：，
，
（2）解：根据（1）中解析式，，，
当元时，，
解得：，
当元时，，
解得：，
，
学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
35．小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3c m的小正方形(阴影部分)，求小长方形的面积.
【答案】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，则题图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，题图2 中大正方形的边长可以表示为(2x+y) cm或(2y+3) cm.
由题意，得
解得
答：小长方形的面积为135 cm2.
【解析】【分析】设小长方形的宽为 xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题.
36．某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成表格．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间（小时）
组中值 1 2 3 4 5
人数（人） 21 30 19 18 12
（1）画扇形图描述数据时，这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数；
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．
【答案】（1）解：，
故这组数据对应的扇形圆心角是108°.
（2）解：（小时）．
答：该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）解：制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．
从平均数看，标准可以定为3小时．
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，可以使多数学生有更高的努力目标．
从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时．
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数落在范围内，把标准定为2小时，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
【解析】【分析】（1）用×出这组数据所占的比例即可得到对应的圆心角度数；
（2）分别用每组的人数×组中值再求和，最后再除总人数即可得到平均数；
（3）根据意义，既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．可以分别从从平均数，中位数来说明其合理性．
（1）解：，
．
（2）解：（小时）．
答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）解：制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．
从平均数看，标准可以定为3小时．
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．
从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时．
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数落在范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前劳动时间能达标，同时至少还有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
37．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：
.
现已知△ABC的三边长分别为1，3，，求△ABC的面积.
【答案】解：将三边直接代入公式可得；
【解析】【分析】直接代入求值即可，按照先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号里面的运算顺序计算.
38．在平面直角坐标系中，点和点在一次函数的图象上．
（1）若，，，求该一次函数的解析式；
（2）已知点，将点A向左平移3个单位长度，得到点B．
①求点B的坐标；
②若，一次函数的图象与线段有公共点，求的取值范围．
【答案】（1）解：当，，时，则和点，代入中，
得
解得
∴一次函数的解析式
（2）解：①∵点，将点A向左平移3个单位长度，得到点B
∴；
②∵点和点在一次函数的图象上，
∴，．
∵，
∴＝4，
∴，
∴一次函数的解析式为．
当直线经过点时，
，
解得．
当直线经过点时，
，
解得．
综上所述，的取值范围是．
【解析】【分析】（1）首先求出点M、N的坐标，然后利用待定系数法，即可求得一次函数解析式；
（2）①直接根据平面直角坐标系中点的平移与坐标的变化规律，可直接得出点B的坐标；
②先根据 可得出 一次函数的解析式为 ，然后再分别求出直线经过点A（1，2）时b的值为4，经过点B（-2，2）时，b的值为-2，故而可得出b的取值范围为：-2≤b≤4.
39．如图，直线相交于点，平分，，，求的度数．
【答案】解：∵，∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差，以及角平分线的定义和对顶角的性质，由，得到，求得，再由平分，求得，结合，即可求解．
40．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上.
（1）AC的长等于 ；
（2）在线段AC上有一点D，满足AB2=AD AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）.
【答案】（1）5
（2）
【解析】【解答】(1)AC= ；
( 2 )如图，连接格点M和N，由图可知：
AB=AM=4，
BC=AN= ，
AC=MN= ，
∴△ABC≌△MAN，
∴∠AMN=∠BAC，
∴∠MAD+∠CAB=∠MAD+∠AMN=90°，
∴MN⊥AC，
易解得△MAN以MN为底时的高为 ，
∵AB2=AD AC，
∴AD=AB2÷AC= ，
综上可知，MN与AC的交点即为所求D点.
【分析】(1)由勾股定理即可求解；(2)寻找格点M和N，构建与△ABC全等的△AMN，易证MN⊥AC，从而得到MN与AC的交点即为所求D点.
41．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：
，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简；
例如：化简；
且，
，
，
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
【方法运用】
（1）填空：①__________；②__________；
【方法应用】
（2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长；
【迁移运用】
（3）已知为常数（），满足，求的值．
【答案】解：（1）①；②；
（2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米），
，
则新正方形花圃的边长为米；
（3）∵，
∴，
∴，
∴．
，
∴的值为．
【解析】【解答】解：（1）
①；
②；
故答案为：；；
【分析】
（1）根据定义先将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，再利用二次根式得性质化简，再根据绝对值得性质化简绝对值，解答即可；
（2）先表示出新正方形花圃面积为，根据定义将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，再利用二次根式得性质化简，再根据绝对值得性质化简绝对值，解答即可；
（3）根据，得到，根据定义将m的被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式变形成完全平方式，再利用二次根式得性质化简，再根据绝对值得性质化简绝对值，解答即可．
42．如图（1），B地在A地的正东方向，某一时刻，乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，当甲车到达B地的同时乙车也到达A地.如图（2），横轴x（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴y（千米）表示两车与A地的距离.
问题：
（1）A、B两地相距 千米；
（2）和两段线分别表示两车距A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系，请问：表示甲车的图象为 ，表示乙车的图象为 ；
（3）求两车相遇时距A地多少千米？
【答案】（1）400
（2）；
（3）解：设两车相遇时距A地x千米，由图象知甲车的速度：400÷(5-1)=100千米/小时，
，乙车速度为：400÷5=80千米/小时，
根据题意可列方程为：
得.
答：两车相遇时距A地千米.
【解析】【解答】（1）从图示中，我们可以看到，当x=0时，乙车处于B地，其与A地的距离为400千米，因此，可以得出，A、B两地相距400千米，故答案为400.
（2）根据图象可知：可表示甲车图象，可表示乙车图象，故答案为：，.
【分析】（1）根据图象，可以得出A，B两地之间的距离
（2）根据甲迟出发1个小时，可得：可表示甲车图象，可表示乙车图象
（3）设两车相遇时距A地x千米，根据等量关系：甲所用的时间+1=乙所用的时间，列出方程：解得即可.
43．如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长；
（3）如图2，若k＝，过B点BCOG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵直线y=x-4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令y=0，则x-4=0，
∴x=4，
令x=0，则y=-4，
∴A（4，0），B（0，-4）；
（2）∵A（4，0），B（0，-4），
∴OA=OB=4，
∵点E是线段OB的中点，
∴OE=2，
过F作FB'⊥y轴于B'，
∴∠AOE=∠OB'F=90°，
∵OG⊥AE，
∴∠OAE+∠AOF=∠B'OG+∠AOF=90°，
∴∠OAE=∠B'OF，
∵OF=AE，
∴△AOE≌△OB'F（AAS），
∴FB=OE=2，OB'=OA=4，
∵OB=4，
∴点B与点B'重合，∴EF=，
（3）存在，∵k=，
∴直线OG：y=x（k＜0），
∵BC∥OG，
∴设直线BC的解析式为y=x-4，
当y=0时，即x-4=0，
∴x=-3，
∴C（-3，0），
如图，当点M在点A的左侧，
∵∠ABO=45°，∠ABM+∠CBO=45°，
∴∠MBO=∠CBO，
∵∠COB=∠NOB=90°，OB=OB，
∴△BCO≌△BMO（ASA），
∴OM=OC=3，
∴M（3，0）；
当点M在点A的右侧时，
∵∠OAB=∠AM'B+∠ABM'=45°，∠ABM'+∠CBO=45°，
∴∠AM'B=∠OBC，
∵∠CBO=∠OM'B，
∴∠COB+∠OBM'=90°，
设OM'=a，
，
∵，
∴，
解得：，
∴M'（，0），
综上所述，点M的坐标为：（3，0），（，0）
【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0，然后代入y=x-4，即可求出A和B的坐标；，（2）根据（1）中求出的A和B的坐标，进而可求出OA和OB的值，然后再根据点E是线段OB的中点，求出OE的值，过F作FB'⊥y轴于B'，根据全等三角形的性质，得到FB=OE，OB'=OA=4，最后再根据勾股定理，即可求出EF的值；
（3）根据题意，求出C点坐标，分两种情况：当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质，求出OM=OC=3；当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得到结论。
44．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，是它们离甲地距离 （千米）与时间 （小时）之间的函数关系图象，请根据图象解答下列问题：
（1）线段 表示轿车在途中停留了 小时；
（2）求线段 和线段 的解析式；
（3）当货车与轿车和甲地等距离时，轿车在行驶过程中所用的时间是多少？
【答案】（1）0.5
（2）解：设线段 解析式为 ，把 代入得：
，
解得： ，
线段 解析式为 ；
设线段 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
线段 的解析式为 ；
（3）解：由 得： ，
（小时），
当货车与轿车和甲地等距离时，轿车在行驶过程中所用的时间是2.9小时．
【解析】【解答】解：（1）∵2.5-2=0.5，
∴线段CD表示轿车在途中停留了0.5小时，
故答案为：0.5；
【分析】（1）结合图象得出线段CD表示轿车在途中停留了0.5小时；
（2）利用待定系数法求出线段OA和线段DE的解析式，再结合图象求出自变量x的取值范围；
（3）根据题意列出房产，解方程求出x的值即可得出答案.
45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点，过点作平行于y轴的直线l，交直线于点D，点P是直线l上一动点，且点P不与点D重合，连结，设点P的纵坐标为m，的面积为S．
（1）点A的坐标为______；
（2）求k的值；
（3）求S与m之间的函数关系式；
（4）当时，以点B为直角顶点作等腰直角，直接写出点C的坐标．
【答案】（1）
（2）解：将点代入，得，
∴.
（3）解：由，得，∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P不与点D重合，
∴；
（4）解：点C坐标为或或或．
【解析】【解答】解：（1）当时，，∴点A的坐标为；
故答案为：；
（4）当时，，∴或，
∴或，
当点P的坐标为时，如图所示，过点作轴于点F，
此时，
∴是等腰直角三角形，，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形为矩形，
∴
∴；
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴；
当点P的坐标为时，如图所示，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，
此时，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴，
∴；
同理可证：
∴
∴
综上，满足条件的点C坐标为或或或．
【分析】（1）把代入 求出对应的y值，即可得到点A的坐标；
（2）将点代入 ，即可求出k的值；
（3）先求出交点D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可得到 S与m之间的函数解析式；
（4）利用（3）的结论可求得或，分两种情况讨论：当点P的坐标为时，过点作轴于点F，易得四边形为矩形，此时可得；同理可得；当点P的坐标为时，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，易证，得到，求出；同理可证：进而得到．
（1）当时，，
∴点A的坐标为；
故答案为：；
（2）将点代入，
得，
∴；
（3）由，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P不与点D重合，
∴；
（4）当时，，
∴或，
∴或，
当点P的坐标为时，如图，过点作轴于点F，
此时，
∴是等腰直角三角形，，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形为矩形，
∴
∴；
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴；
当点P的坐标为时，如图，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，
此时，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴，
∴；
同理可证：
∴
∴
综上，满足条件的点C坐标为或或或．
46．甲、乙两小组人数的和是28．如果甲组增加2人，乙组增加6人，那么甲组人数与乙组人数的比是2：1．求原来甲、乙两组的人数．
【答案】解：设原来甲组人数为x人，原来乙组人数为y人，依题可得：
，
变形得：
，
（1）-（2）得：
3y=18，
∴y=6，
将y=6代入（1）得：
x=22.
∴原方程组的解为：.
答：原来甲组人数为22人，原来乙组人数为6人.
【解析】【分析】设原来甲组人数为x人，原来乙组人数为y人，根据题意列出二元一次方程组，解之即可.
47．求方程5x-3y=-7的正整数解．
【答案】解：原方程可化为 ，即
y=4时，x=1．即 为原方程的一组整数解．
因此，原方程的所有整数解为 ，(k为任意整数)．
再令x>0，y>0，即有不等式组 解得 ．
所以原方程的正整数解为 ，(k为非负整数)．
【解析】【分析】先将原方程变形，观察得出原方程的一组整数解，再由定理：若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为，
可得原方程的整数解，从而得出原方程的正整数解.
48．设等式 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不等的实数，求 的值.
【答案】解：由题意得，a-y≥0，a（y-a）≥0，a≠y，
∴a≤0.同理，x-a≥0，a（x-a）≥0，a≠x，
∴a≥0，∴a=0.
原式化简为 即 两边同时平方，得x=-y，
把 x = -y 代入原式， 得
【解析】【分析】要使等式有意义，4个被开方数（式）都必须是非负数，所以 ≥0，a（y-a）≥0，a-y≥0，观察4个被开方式的异同，可确定a 的符号，进一步可确定a的值，从而得出x与y之间的关系.
49．设计动态验证码
日常生活中，我们会运用验证码技术来协助平台账号的登录，其原理是：用户每次向网页提交信息时，系统会根据算法随机生成一串数字（即验证码），只有正确输入验证码才能成功提交信息．学生小实自行设计验证码生成器，其原理是通过二元一次方程设置算法，随机生成动态验证码．
【步骤一：根据方程生成非负整数解】以二元一次方程为例，利用该方程的非负整数解生成验证码．通过计算，以从小到大为序对非负整数解进行编码，请观察并填写下列表格：
【步骤二：依据编码随机生成验证码】随机抽取的两组非负整数解生成验证码，如抽取序号和两组解∶和规定将两组整数解按照在前在后的顺序填入指定区域内∶，可生成如下2个验证码∶
【任务一：理解算法】
（1）请补全表2．
（2）结合表2，求出二元一次方程的第组非负整数解．
（3）当表2中取最大值时，求出对应的和的值．
【任务二：应用算法】
学生小实利用(a，b为正整数)生成验证码∶
规则 ①取一组a、b的值，确定方程
②在该方程的非负整数解中，抽取序号和两组非负整数解作为验证码
请在满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程，依据抽取序号写出一组验证码∶
【答案】任务一：（1），（2）（3）；任务二：
或
【解析】【解答】解：任务一：理解算法
（1）当时，
此时，
，
解得：，
，
故答案：，；
（2）由表得
第组时，，
，
解得：
；
（3）由得
，
是非负整数，
，
，
解得：，
，
解得：，
，
；
任务二：应用算法
满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程为或，
①
当时，
此时，
，
解得：，
，
当时，
此时，
解得，
，
验证码为：
或
②
同理可求，
验证码为：
或．
故验证码为：
或．
【分析】
任务一：理解算法
（1）当时，此时，代入方程计算即可求解；
（2）由表得第组时，，代入方程计算即可求解；
（3）由方程得，可得，从而可求，代入即可求解；
任务二：应用算法
满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程为或，
①，
当时，此时，代入方程可求解，同理可求当时，
②同理可求解．
50．如图 1， 已知直线 ， 点 分别在直线 与 上， 为两平行线间一点．
（1） 求证： ．
（2） 利用 （1） 的结论解答：
①如图 2， 分别平分 ， 请你直接写出 与 的数量关系：
②如图 3， 分别平分 ． 若 ， 则 的度数是 .
【答案】（1）证明：如图，过P点作PG∥CD.
∵CD∥EF，CD∥PG，
∴CD∥EF∥PG.
∴∠DAP=∠APG，∠FBP=∠BPG.
又∵∠APG+∠BPG=∠APB，
∴∠DAP+∠FBP=∠APG+∠BPG=∠APB.
（2）①∠P=2∠P1.
② 140°.
【解析】【解答】解：（2）、① 利用 （1） 的结论以及结合条件可知：
∵∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1=（∠DAP+∠FBP），
∴∠P=2∠P1.
②利用 （1） 的结论以及结合条件可知：
∵∠APB=80°=∠DAP+∠FBP，∠P2=∠CAP2+∠EBP2=（∠CAP+∠EBP）=（180°-∠DAP+180°-∠FBP）=（360°-∠APB）=（360°-80°）=140°
【分析】（1）作辅助线GP，结合“两直线平行，内错角相等”证明；
（2）①结合（1）的结论与条件，得出 ∠P=∠DAP+∠FBP 与 ∠P1=（∠DAP+∠FBP），从而得出数量关系；②结合（1）的结论与条件，得出∠P2=（360°-∠APB），代入∠APB的度数即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
