中小学教育资源及组卷应用平台
【临考冲刺·50道解答题专练】人教版数学八年级上册期末总复习
1．
（1）解分式方程：．
（2）求被手遮住部分的代数式，并将其化简．
2．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析．
先化简，再求值，其中
解：原式①
②
③
当时
原式
，
编辑
我的解答正确吗？
豆包给出分析：
这个解答从第______步开始出现错误；虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误．
正确解答为：，其中，
解：原式 ．
3．如图所示，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，求∠2的度数．
4．如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE。点A，D，E在同一条直线上，连结BE.
（1）求证：AD=BE.
（2）如图 2，若∠ACB= 60°，求∠AEB 的度数.
（3）若∠CEB=135°，CM为△DCE中DE边上的高，猜想线段CM，AE，BE之间存在的数量关系，并证明。
5．已知x＝ ，y＝ ，求 ＋ 的值；
6．绿水青山就是金山银山，为了改善生态环境，某村计划在荒坡上种树960棵．防止雨季到来，影响工期，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？
7．如图，，，，求的度数.
8．已知的三边长分别为，，．
（1）若，，满足，试判断的形状；
（2）若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值．
9．为落实“精致乳山”工作部署，市政府计划对城区道路进行改造．计划安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．甲、乙两工程队每天改造道路的长度分别是多少米？
10． 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。若AB=5，BD=4，求△ABC的周长。
11． 已知A，B两地相距72千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的1.2倍，如果甲比乙先行小时，那么两人相遇时所行路程恰好相等．甲、乙两人骑自行车的速度各是多少？
12．某校推行“新时代好少年·红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
13．某工厂为了完成供货合同，决定在一定天数内生产某种零件6000个，由于采用了新技术，每天比原计划增产20%，因此可提前20天完成任务，问原计划每天生产零件多少个？
14．当x取何值时，下列分式有意义
（1）
（2）
15．如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF.
（1）求证： DE=DF.
（2）已知AC=20， BE=4， 求AB的长.
16．已知线段a， 如图 ，求作等腰三角形ABC，使得底边 ，BC边上的高线长为 保留作图痕迹，不写作法
17． 如图，BD和CD分别是两个外角的角平分线.
（1）在图中分别作出点D到AB和AC的距离，判断并证明它们的等量关系；
（2）请你再次判断点D是否在的角平分线上，说说你的理由.
18．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
19．如图，的两条高与交于点O，，．
（1）求的长；
（2）F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，若∠A＝40°，求∠CBD的度数．
21．用科学记数法表示下列叙述中的数据。
空气的密度(单位体积内空气的质量)是0.00129g/cm3；
氢气的密度是0.00009g/cm3；
人体的平均密度是1060kg/m3；
人体内许多细胞的长度大约只有0.01mm。
22．判断下列各组线段中，哪些首尾顺次相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由。
（1） a=2.5cm，b=3cm，c=5cm；
（2） e=6.3cm，f=6.3cm，g=12.6cm
23．剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影正方形的面积；
（2）观察图2中阴影部分面积，直接写出，，之间的等量关系；
（3）根据（1）中的等量关系，已知，，求的值．
24．如图，在△ABC和△DEF中，BE=CF，AB=DE，AC=DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若BC=11，BF=16，求CE的长
25．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？
26．如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E．
（1）求的度数；
（2）点G是上任意一点，过点G作，交的延长线于点F，求的度数．
27．利用因式分解求值．
已知x+y=1，xy=，求x(x+y)(x-y)-x(x+y)2的值．
28．先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ + ﹣a，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
29．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）三边满足，判断的形状．
30．有一个边长为的正方形，按图1切割成4个小方块，分别为4个小方块的面积．
（1）请用图中所给图形的边长和面积，表示其中的等量关系： ．
（2）利用（1）中的结论解决：若，则 ， ．
（3）如图2所示，C是线段上的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
31．等腰三角形两条边长分别为6和10，求这个等腰三角形的周长．
32．如图，为了测量点B到河对面的目标A之间的距离，在点B同侧选择了一点C，测得，．然后在点M处立了标杆，使，，得到，测得MB的长就是AB的距离．请说明这样做的理由是．
33．已知 ，求 的值.
34．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP.”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
35．如图，在△ABC中，∠ABC=90 ，∠C=60 ，BD⊥AC，G是AC中点，求∠GBD的度数.
36．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O.
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由。
37．如图，在中，，，AD平分交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若，求BD的长．
38．规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）点A1坐标为 ，点B1坐标为 ，点C1坐标为 ；
（3）若△ABC边上有一点P（a，b），经过3次“R变换”后为P3，则P3的坐标为 ．
39．（1）已知 ，求分式 的值．
（2）已知 ， 求 和 的值．
40．如图，与分别是△ABC的角平分线和高．
（1）已知，，求度数；
（2）探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
41．已知：A=2x2-2x-1，B=-x2+bx-1，若A+2B的值不含x项，求b的值
42．已知如图：在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点．
（1）请问：、、之间的数量关系为 ；
（2）若，，求的周长为 ．
43．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E。
（1）求∠BCD的度数
（2）求证：CD=2BE
（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系。
44．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动．，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC．
（1）如图2，当∠OAB=70°，求∠ACB的大小。
（2）在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：
（3）如图3，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出∠BAO的度数．
45．如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．
（1）若，求的度数；
（2）若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由．
46．在中，平分，.
图1图2
（1）如图1，若于点，，，求的度数.
（2）如图2在线段上任取一点（不与，重合），过点作于点，若，.试求出的度数.（用含有、的代数式表示即可）
47．已知x，y满足x2+y2=，xy=，求下列各式的值．
（1）(x+y)2
（2）x4+y4
（3）x2-y2
48．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．
49．如图，△ABC是边长为的等边三角形，AB、AC边上有两点E、F，∠EDF=60°，且∠BDC=120°，BD=CD.
（1）如图，若BE=CF，证明△DEF为等边三角形.
（2）若BE≠CF，其他条件不变，求△AEF的周长.
（3）如图，当E、F分别在BA、AC延长线上时，若AE=x，则△AEF的周长= .
（用含x的代数式表示，直接写出答案）
50．【特例感知】
（1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
①若，则线段 ；
②若，则线段 ；
【知识迁移】
（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数；
【拓展探究】
（3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【临考冲刺·50道解答题专练】人教版数学八年级上册期末总复习
1．
（1）解分式方程：．
（2）求被手遮住部分的代数式，并将其化简．
【答案】（1）解：
；
检验：当时，，
故是分式方程的解．
（2）解：根据题意被手遮住部分的代数式为：
．
【解析】【分析】⑴按“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1”解分式方程； 解分式方程时，需注意分母不为零及检验解的合理性.
⑵ 根据分式运算逆推被遮挡的代数式，通过化简得出结果.
2．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析．
先化简，再求值，其中
解：原式①
②
③
当时
原式
，
编辑
我的解答正确吗？
豆包给出分析：
这个解答从第______步开始出现错误；虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误．
正确解答为：，其中，
解：原式 ．
【答案】解：这个解答从第①步开始出现错误；
正确解答：原式，
当时，
原式．
【解析】【分析】根据同分母分式的加减运算法则“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”计算可将原分式化简，然后把x的值代入化简后的代数式计算即可求解．
3．如图所示，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，求∠2的度数．
【答案】解：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，
∵∠1=60°，
∴∠B=180°-∠1-∠BAC=30°，
∵a∥b，
∴∠2=∠B=30°．
【解析】【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，由AC⊥AB，∠1=60°，求得∠B的度数，再由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
4．如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE。点A，D，E在同一条直线上，连结BE.
（1）求证：AD=BE.
（2）如图 2，若∠ACB= 60°，求∠AEB 的度数.
（3）若∠CEB=135°，CM为△DCE中DE边上的高，猜想线段CM，AE，BE之间存在的数量关系，并证明。
【答案】（1）证明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
（2）解：∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴△ACB，△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵A，D，E共线，
∴ADC=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
（3）解：结论：AE-BE=2CM.理由为，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠CEB=135°，AD=BE，
∵A，D，E共线，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠DCE=90°，
∵CM⊥DE，
∴DM=EM，
∴CM=MD=ME，
∴AE-AD=DE=2CM，
∴AE-BE=2CM.
【解析】【分析】(1)根据SAS证明可得结论；
(2)得到△ACB，△DCE都是等边三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可；
(3)证根据全等三角形的性质得到∠CDA=∠CEB=135°，AD=BE，然后根据等腰直角三角形的性质得到CM=MD=ME，然后根据线段的和差解答即可.
5．已知x＝ ，y＝ ，求 ＋ 的值；
【答案】解：∵x＋y＝ ＝ ，xy＝ ＝1，
∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝3
【解析】【分析】先把已知条件变为x+y、xy，再由分式的加法法则把原式进行化简，进而可得出结论．
6．绿水青山就是金山银山，为了改善生态环境，某村计划在荒坡上种树960棵．防止雨季到来，影响工期，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？
【答案】解：设原计划每天种树x棵，由题意可得：
，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
答：原计划每天种树60棵．
【解析】【分析】设原计划每天种树x棵，根据题意列出方程求解即可。
7．如图，，，，求的度数.
【答案】解：∵，，
∴，
∵，，
∴
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠MEB=∠C=80°，根据外角的性质可得∠MEB=∠A+∠M，据此计算.
8．已知的三边长分别为，，．
（1）若，，满足，试判断的形状；
（2）若，，且为整数，求的周长的最大值及最小值．
【答案】（1）解：，，
为等边三角形
（2）解：，，，
又为整数，的最大值为9，最小值为3，的周长的最大值为：；
的周长的最小值为：
【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质可得，即可得到△ABC为等边三角形；
（2）先求出c的最大值为9，最小值为3，再分别利用三角形的周长公式求解最大值和最小值即可.
9．为落实“精致乳山”工作部署，市政府计划对城区道路进行改造．计划安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．甲、乙两工程队每天改造道路的长度分别是多少米？
【答案】解：设乙工程队每天改造道路的长度为 米，根据题意得
．
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解．
．
答：乙工程队每天改造道路60米，甲工程队每天改造道路90米．
【解析】【分析】根据甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天，列方程计算求解即可。
10． 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。若AB=5，BD=4，求△ABC的周长。
【答案】解：在△ABC中，AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
又∵AD⊥BC
∴BD=CD
∵AB=AC，AB=6
∴AC=6
∵BD=CD，CD=4
∴BD=4
∴△ABC的周长是：AB+AC+BD+CD=5+5+4+4=18
【解析】【分析】已知AB=AC，推断出△ABC是等腰三角形，AC=5，根据等腰三角形三线合一，可知D为BC的中点，BD=4，由此三角形周长可得到结果.
11． 已知A，B两地相距72千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的1.2倍，如果甲比乙先行小时，那么两人相遇时所行路程恰好相等．甲、乙两人骑自行车的速度各是多少？
【答案】解：设甲骑车的速度是每小时x千米，则乙骑车的速度是每小时1.2x千米，
72÷2＝36（千米），
根据题意，得
，
解得：x＝15，
经检验：x＝15是原方程的解，
∴1.2x＝1.2×15＝18（千米），
答：乙骑车的速度是每小时18千米，甲骑车的速度是每小时15千米．
【解析】【分析】设甲骑车的速度是每小时x千米，则乙骑车的速度是每小时1.2x千米，根据“ 已知A，B两地相距72千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的1.2倍，如果甲比乙先行小时，那么两人相遇时所行路程恰好相等”即可列出分式方程，进而即可求解。
12．某校推行“新时代好少年·红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
【答案】解：设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解．
答：原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元．
【解析】【分析】设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为元 ，根据投资费用除以建设费用得到“读书吧”的数量，再利用实际建设“读书吧”的数量-原计划“读书吧”的数量=2，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验即可求解.
13．某工厂为了完成供货合同，决定在一定天数内生产某种零件6000个，由于采用了新技术，每天比原计划增产20%，因此可提前20天完成任务，问原计划每天生产零件多少个？
【答案】解：设原计划每天生产 个零件
依题意得： ， 解得：
经检验 是原方程的解，且符合题意
答：原计划每天生产50个零件。
【解析】【分析】根据等量关系列出方程求解即可，等量关系是：工作时间＝工作总量÷工作效率，由题意原计划用的时间﹣实际用的时间＝20天．
14．当x取何值时，下列分式有意义
（1）
（2）
【答案】（1）解：要使分式有意义，
∴2x-3≠0，
∴ x≠.
∴x≠时，分式有意义.
（2）解：要使分式有意义，
∴x2+1≠0，∴x为任意实数.
∴x为任意实数时分式有意义.
【解析】【分析】要使分式有意义，必须使分式的分母不能为0，所以只要分式的分母不等于0，分式就有意义.
15．如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF.
（1）求证： DE=DF.
（2）已知AC=20， BE=4， 求AB的长.
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB， DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=∠AFD=90°.
在. 和 中，
（2）解：由（1）得Rt△BED≌Rt△CFD，
∴DE=DF， CF=BE=4.
在 和 中，
.
∴AB=AE-BE=16-4=12.
【解析】【分析】(1)由垂直知∠E=∠CFD=90°，由此可证，即得DE=DF；
(2)由(1)中全等知DE=DF，CF=BE，得，由此可得AE=16，AB=12.
16．已知线段a， 如图 ，求作等腰三角形ABC，使得底边 ，BC边上的高线长为 保留作图痕迹，不写作法
【答案】解：如图所示： 即为所求．
【解析】【分析】首先作线段 ，再作BC的垂直平分线，然后在NM上截取 ．
17． 如图，BD和CD分别是两个外角的角平分线.
（1）在图中分别作出点D到AB和AC的距离，判断并证明它们的等量关系；
（2）请你再次判断点D是否在的角平分线上，说说你的理由.
【答案】（1）解：过D点分别作于E，于F，于G.
可证
（2）解：因为，，，所以点D在的角平分线上
【解析】【分析】（1）过点作和的垂线交两点，过点作的垂线交于点，根据角平分线的性质得到，求解即可；
（2）根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，据此证明．
18．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
【答案】
19．如图，的两条高与交于点O，，．
（1）求的长；
（2）F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值．
【答案】（1）解：，，
，
．
又，，
，
．
（2）解：①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，解得．
②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，解得．
综上，或2．
【解析】【分析】（1）由题意可得，，，，根据可得，即可求解；
（2）根据题意，分两种情况，点分别在延长线上或在之间时，根据，得到对应边的长度，即可求解．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，若∠A＝40°，求∠CBD的度数．
【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∵BD⊥AC，
∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°．
【解析】【分析】先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，再利用三角形的内角和可得∠CBD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°。
21．用科学记数法表示下列叙述中的数据。
空气的密度(单位体积内空气的质量)是0.00129g/cm3；
氢气的密度是0.00009g/cm3；
人体的平均密度是1060kg/m3；
人体内许多细胞的长度大约只有0.01mm。
【答案】解：（1）。（2）。（3）。（4）。
【解析】【分析】（1）把一个小于1的数表示成a×10-n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第一个不是0的数字的后边即可得到a的值.n为原数中第一个不是0的数字前面的0的个数（包括小数点前面的0）.
（2）把一个小于1的数表示成a×10-n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第一个不是0的数字的后边即可得到a的值.n为原数中第一个不是0的数字前面的0的个数（包括小数点前面的0）.
（3）把一个大于10的数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第一个不是0的数字的后边即可得到a的值.n为比原数整数位数少1的正整数.
（4）把一个小于1的数表示成a×10-n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第一个不是0的数字的后边即可得到a的值.n为原数中第一个不是0的数字前面的0的个数（包括小数点前面的0）.
22．判断下列各组线段中，哪些首尾顺次相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由。
（1） a=2.5cm，b=3cm，c=5cm；
（2） e=6.3cm，f=6.3cm，g=12.6cm
【答案】（1）解：因为三条线段中，最长线段c=5cm，a+b=2.5+3=5.5(cm)， 得a+b>c，所以线段a，b，c能组成三角形。
（2）解：因为三条线段中，最长线段g=12.6cm，e+f=6.3+6.3=12.6(cm)，
得e+f=g，所以线段e，f，g不能组成三角形。
【解析】【分析】根据三角形三边关系，利用较小的两边求和与较大边做比较解答即可.
23．剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中阴影正方形的面积；
（2）观察图2中阴影部分面积，直接写出，，之间的等量关系；
（3）根据（1）中的等量关系，已知，，求的值．
【答案】（1）解：方法一：直接用边长求：；
方法二：用大正形面积减去四个矩形面积：；
（2）解：同题意得：
（3）解：∵，，
∴．
【解析】【解答】（2）解：由（1）得：．
【分析】（1）方法一：由图可得阴影正方形的边长为(a-b)，根据正方形的面积等于变成的平方直接求解；方法二：由正方形及矩形的面积计算公式，根据阴影正方形的面积等于大正形面积减去四个矩形面积，列式计算即可；
（2）利用（1）中的结果，根据等面积法可直接得出结论；
（3）利用（2）中的式子代入即可得到答案．
（1）解：方法一：直接用边长求：；
方法二：用大正形减去四个矩形：．
（2）解：由（1）得：．
（3）解：∵，，
由（2）得：．
24．如图，在△ABC和△DEF中，BE=CF，AB=DE，AC=DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若BC=11，BF=16，求CE的长
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
∵AB＝DE，AC＝DF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=11，
∵BE=BF-EF=16-11=5，
∴CE=BC-BE=11-5=6．
【解析】【分析】（1）先根据BE=CF，加上相同长度还是相等，得到BC=EF，再根据SSS可证明△ABC≌△DEF；
（2）先根据全等得出BC=EF=11，再根据BE=BF-EF求出求出BE的长，最后根据CE=BC-BE，即可得出答案．
25．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？
【答案】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是 元/个，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且正确．
答：这种粽子的标价是8元/个
【解析】【分析】根据单价=总价/数量，根据题意列出数量关系分式方程，求根。注意分式方程解的检验。
26．如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E．
（1）求的度数；
（2）点G是上任意一点，过点G作，交的延长线于点F，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）∵
∴，
∴，
∵，
∴．
27．利用因式分解求值．
已知x+y=1，xy=，求x(x+y)(x-y)-x(x+y)2的值．
【答案】解：原式=（x+y）（x2-xy-x2-xy）=-2xy（x+y）
当 x+y=1，xy=时
原式=-2×（）×1=1
【解析】【分析】观察此多项式含有公因式（x+y），先提取公因式，将代数式转化为-2xy（x+y），然后代入求值.
28．先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ + ﹣a，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
【答案】解：原式= =
= = =﹣a﹣1
∵a=-1或a=2时，原分式无意义，∴a=0.
当a=0时，原式=﹣0﹣1=﹣1.
【解析】【分析】将括号里的分式进行通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，然后通分计算，最后将符合题意的a的值代入进行计算.
29．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）三边满足，判断的形状．
【答案】（1）解：
．
（2）解：∵
∴，
∴，
∴或，
∴的形状是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）利用分组分解法先把前三项利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；
（2）利用分组分解法可得 ， 从而得出 或， 继而判断三角形的形状.
30．有一个边长为的正方形，按图1切割成4个小方块，分别为4个小方块的面积．
（1）请用图中所给图形的边长和面积，表示其中的等量关系： ．
（2）利用（1）中的结论解决：若，则 ， ．
（3）如图2所示，C是线段上的一点，以，为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）
（2）25；1
（3）解：设，，依题意，，连接，
∴阴影部分面积为
∵，
∴阴影部分面积为8
【解析】【解答】解：（1）由题意得正方形的边长为，则正方形的面积为：，
正方形看作4部分面积之和，则正方形的面积为：，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
；
故答案为：25，1；
【分析】（1）从整体看，图1是一个边长为a+b的正方形，根据正方形面积公式可得该图形的面积为(a+b)2；从构成看，图1是两个小正方形和两个长方形构成的，故图1的面积还可表示为a2+b2+2ab，根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，可得结论；
（2）根据（1）中的结论，可得a2+b2=(a+b)2-2ab，(a-b)2=a2+b2-2ab，从而整体代入计算可得答案；
（3）设BC=m，CG=n，依题意得，m+n=6，m2+n2=20，连接AC，根据结合三角形面积计算方法表示出该阴影部分的面积为mn，进而根据mn=[(m+n)2-(m2+n2)]整体代入计算可得答案.
（1）解：由题意得正方形的边长为，则正方形的面积为：，
正方形看作4部分面积之和，则正方形的面积为：
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
；
（3）解：设，，依题意，，连接，
∴阴影部分面积为
∵，
∴阴影部分面积为8．
31．等腰三角形两条边长分别为6和10，求这个等腰三角形的周长．
【答案】解：腰长为6时，三边为6、6、10，能构成三角形，
三角形的周长=6+6+10=22；
腰长为10时，三边为10、10、6，能构成三角形，
三角形的周长=10+10+6=26．
故答案为：22或26．
【解析】【分析】分两种情况：腰长为6时和腰长为10时，再根据三角形三边关系验证即可.
32．如图，为了测量点B到河对面的目标A之间的距离，在点B同侧选择了一点C，测得，．然后在点M处立了标杆，使，，得到，测得MB的长就是AB的距离．请说明这样做的理由是．
【答案】解：，，，，
，，
在和中
，
(全等三角形的对应边相等).
【解析】【分析】条件中通过ASA判定，再利用全等三角形的性质得到，进而可知测得MB的长就是AB的距离．
33．已知 ，求 的值.
【答案】解：设 ，
则 ，
【解析】【分析】根据题意设x=10k，y=15k，z=6k，代入原式进行计算，即可得出答案.
34．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP.”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
【答案】证明：∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC，即∠QAB＝∠PAC，
在△ABQ和△ACP中： ，
∴△ABQ≌△ACP，
∴BQ＝CP.
【解析】【分析】如图②，由∠QAP＝∠BAC易得∠QAB＝∠PAC，这样结合AB=AC，AQ=AP即可证得：△ABQ≌△ACP，从而可得BQ=CP.
35．如图，在△ABC中，∠ABC=90 ，∠C=60 ，BD⊥AC，G是AC中点，求∠GBD的度数.
【答案】解：∵在△ABC中，∠ABC=90 ， G是AC中点，
∴GC=GB=AG，
∵∠C=60
∴△GBC为等边三角形，∴∠GBC=60°，
∵BD⊥AC，
∴BD平分∠GBC
∴∠GBD= ∠GBC=30°.
【解析】【分析】先利用直角三角形斜边的中线的性质得到 GC=GB=AG， 再证出 △GBC为等边三角形， 最后利用角平分线求解即可。
36．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O.
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由。
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BF=CE，
∵在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(AAS)；
（2）解：△OEF是等腰三角形，理由为：
∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，即△OEF是等腰三角形.
【解析】【分析】(1)利用等式的性质可以证得BF=CE，则依据AAS即可证得三角形全等；
(2)依据全等三角形的性质，即可证得∠AFB=∠DEC，然后依据等角对等边从而证得.
37．如图，在中，，，AD平分交BC于点D．
（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴，
∴，
∴点D在AB的垂直平分线上．
（2）解：在中，，
∴．
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理得∠BAC=60°，结合角平分线的定义得∠BAD=∠CAD=30°，则∠B=∠BAD，进而根据等角对等边得到DA=DB，最后根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得结论；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.
38．规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）点A1坐标为 ，点B1坐标为 ，点C1坐标为 ；
（3）若△ABC边上有一点P（a，b），经过3次“R变换”后为P3，则P3的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1；
（2）(-4，3)；（-1，0）；（-6，0）
（3）（-a，b-6）
【解析】【解答】解：（1）从平面直角坐标系中读取坐标
A(4，5)，B（1，2），C（6，2）
关于y轴对称后，三点坐标分别为
A'(-4，5)，B'（-1，2），C'（-6，2）
再向下平移2个单位，三点坐标分别为
A1(-4，3)，B1（-1，0），C1（-6，0）
故填：(-4，3)，（-1，0），（-6，0）
（2）根据题意，经过3次R变换
横坐标a-aa-a
纵坐标向下平移三次，b-2-2-2=b-6
故填：
【分析】（1）根据R变换的定义，坐标的变化规律是：关于y轴对称的点，横坐标变为相反数纵坐标不变，向下平移2个单位，横坐标不变纵坐标减2；
（2）三次R变换，横坐标变为相反数，纵坐标减三次2。
39．（1）已知 ，求分式 的值．
（2）已知 ， 求 和 的值．
【答案】（1）解：∵，
∴x=3y.
∴.
即分式的 值为.
（2）解：， 即 ，
， 即 ，
．
【解析】【分析】（1）由条件得x=3y，然后将分式进行适当的改写，将所有x以y表示代入化简求值；
（2）结合完全平方公式，由 先推算出 的值，再由进一步推算出 的值.
40．如图，与分别是△ABC的角平分线和高．
（1）已知，，求度数；
（2）探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数，你认为可能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，，
，
（2）解：能，理由如下：
设∠C=x，则∠B=18°+x
∠BAC=180°-∠B-∠C
=180°-18°-2x
=162°-2x
∵AE平分∠BAC，
，
，
∴∠BAD=180°-90°-∠B
=90°-18°-x
=72°-x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD
=81°-x-(72°-x)
=81°-72°
=9°
【解析】【分析】（1）利用直角三角形内角和及角平分线的定义分别求出∠BAE和∠BAD.根据∠DAE=∠BAE-∠BAD可求。
（2）设∠C=X，则∠B=18°+X，根据（1）的方法分别用含有X的式子表示∠BAE和∠BAD.再计算∠DAE=∠BAE-∠BAD即可。
41．已知：A=2x2-2x-1，B=-x2+bx-1，若A+2B的值不含x项，求b的值
【答案】解： A+2B=（2x2-2x-1）+2（-x2+bx-1）
=2x2-2x-1-2x2+2bx-2
=（-2+2b）x-3-
因为A+2B的值不含x项，则-2+2b=0
所以b=1
【解析】【分析】 先根据题意把A+2B表示出来，再进行整式的混合运算，将原式化简，由于不含x项，则可根据根据x项系数为0，构建方程求解即可.
42．已知如图：在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点．
（1）请问：、、之间的数量关系为 ；
（2）若，，求的周长为 ．
【答案】（1）
（2）12
【解析】【解答】解：（1）DE=BD+CE；理由如下：
∵BO、CO平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠BOD=∠CBO，∠COE=∠BCO，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，
∴BD=OD，CE=OE，
而DE=DO+EO，
∴DE=BD+CE；
（2）由（1）得：BD=OD，CE=OE，
又∵△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DO+EO，AB=7，AC=5，
∴△ADE的周长=AD+AE+DO+EO=AD+AE+BD+CE=AB+AC=7+5=12.
故答案为：第一空为：DE=BD+CE；第二空为：12.
【分析】（1）DE=BD+CE；理由如下：由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，由等角对等边为：BD=OD，CE=OE，然后根据线段的构成可求解；
（2）由（1）得：BD=OD，CE=OE，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解.
43．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E。
（1）求∠BCD的度数
（2）求证：CD=2BE
（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系。
【答案】（1）解：由CB=AC，∠BCA=90°，得∠A=∠CBA=45°，
在△ACD中，AC=AD，
∴∠ACD=67.5°
∴∠BCD=90°-∠ACD=22.5°
（2）解：过点A作AF⊥CD于F，AC=AD，
∴CD=2CF，
又∵BE⊥直线CD于E，
∴∠BEC=∠AFC=90°
又∵∠BCE+∠DCA=∠FAC+∠DCA=90°
∴∠BCE=∠CAF
又∵BC=AC，
∴ △CBE≌△ACF
∴ CF=BE．
即CD=2CF=2BE.
（3）解：BC=2CO-BD
【解析】【分析】（1）根据CB=AC，可得出∠A的度数，从而计算出∠BCD的度数。
（2）根据全等三角形的判定定理，可求得 △CBE≌△ACF ，得出CD=2BE。
（3）根据O是AB的中点，写出三条线段的数量关系。
44．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动．，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC．
（1）如图2，当∠OAB=70°，求∠ACB的大小。
（2）在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：
（3）如图3，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出∠BAO的度数．
【答案】（1）解：
点为三条内角平分线交点，
，，
（2）解：的度数不变，，理由如下：
点为三条内角平分线交点，
，，
，
，
，
，
，
即的度数不变；
（3）①点为三条内角平分线交点，
，，
∴，
为的角平分线，
，
∴，
，
，
整理得：；
②设，则，，
为的角平分线，
，
，点为三条内角平分线交点，
，，
，
，
中有一个角是另一个角的2倍，分两种情况：
（1），则，
解得，此时，
（2），则，
解得，此时，
中有一个角是另一个角的2倍，为
【解析】【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和，角平分线，一元一次方程．
（1）已知，根据三角形的内角和定理可得：，据此可得求出.又因为点为三条内角平分线交点，根据角平分线的性质可得：，，再根据三角形的内角和定理：，代入数据可求出的值.
（2）已知点为三条内角平分线交点，根据角平分线的性质可得：，，进而推出.又知，根据三角形内角和定理可得：，结合，可得，进而求出，可知度数不变；
（3）①利用三角形外角的性质和角平分线的定义，分别用∠BAO和∠P表示出∠MBP，据此可得结果；
②设为度，可用表示三个内角，分类讨论：（1）；（2），分别求出的度数，可得出答案．
45．如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．
（1）若，求的度数；
（2）若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：BD=EF，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理得到∠ABC的度数，接着由角平分线的定义得到∠CBD的度数，然后通过平行线的性质求得∠E的度数；
（2）先利用平行线的性质和角平分线的定义证得∠ABD=∠CBD=∠AEF，由等角对等边得AB=AE，再由等边对等角得∠ADF=∠AFD，进而通过等角的补角相等得∠ADB=∠AFE，然后通过AAS判定△ABD≌△AEF，得到BD=EF.
46．在中，平分，.
图1图2
（1）如图1，若于点，，，求的度数.
（2）如图2在线段上任取一点（不与，重合），过点作于点，若，.试求出的度数.（用含有、的代数式表示即可）
【答案】（1）解：在中，，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点A作于点M，则．
在中，，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数，进而根据角平分线的性质结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点A作于点M，则，进而根据角平分线的性质得到，从而结合题意运用平行线的性质即可求解。
47．已知x，y满足x2+y2=，xy=，求下列各式的值．
（1）(x+y)2
（2）x4+y4
（3）x2-y2
【答案】（1）解：∵ x2+y2=，xy=，
∴(x+y)2
=x2+y2+2xy
=
；
（2）解：∵ x2+y2=，xy=，
∴ x4+y4
=(x2+y2)2-2x2y2
=(x2+y2)2-2(xy)2
=
；
（3）解：∵x2+y2=，xy=，
∴(x-y)2
=x2+y2-2xy
=
，
∴x-y=；
由（1）知(x+y)2，
∴x+y=，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上x2-y2的值为.
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式展开后，再整体代入计算即可；
（2）先根据完全平方公式进行恒等变形为(x2+y2)2-2(xy)2，再整体代入计算即可；
（3）先根据平方根求出x+y和x-y的值，再根据平方差公式分解因式，最后分四种情况整体代入计算即可.
48．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．
【答案】解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝60°，∠ACP＝24°， ∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°， ∴3∠ABP＝120°﹣24°， ∴∠ABP＝32°； （Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC， ∴BM⊥AC， ∴∠BMC＝90°， ∵PD⊥BC，点D是BC边的中点， ∴PD垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∵△PCM的周长为m+2， ∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2， ∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BM CM＝m2+2 BM CM＝（m+2）2， ∴BM CM＝2m+2， ∴△BCM的面积＝ BM CM＝m+1．
【解析】【分析】（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（Ⅱ）根据直角三角形的性质得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BM CM＝2m+2，于是得到结论．
49．如图，△ABC是边长为的等边三角形，AB、AC边上有两点E、F，∠EDF=60°，且∠BDC=120°，BD=CD.
（1）如图，若BE=CF，证明△DEF为等边三角形.
（2）若BE≠CF，其他条件不变，求△AEF的周长.
（3）如图，当E、F分别在BA、AC延长线上时，若AE=x，则△AEF的周长= .
（用含x的代数式表示，直接写出答案）
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形（已知）
∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形的每个角都是60°）
∵DB=DC（已知）
∴∠DBC=∠DCB（等边对等角）
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°（三角形的内角和为180°）
∠BDC=120°（已知）
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB（等式性质）
即∠DBE=∠DCF=90°
在△DBE与△DCF中
∴△DBE≌△DCF（S.A.S）
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）
又∵∠EDF=60°（已知）
∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
（2）解：延长AB至点G，使BG=CF，联结DG
∵∠DBG+∠DBE=180°（邻补角的意义）
∴∠DBG=90°
∴∠DBG=∠DCF（等量代换）
在△DBG与△DCF中
∴△DBG≌△DCF（S.A.S）
∴DG=DF(全等三角形的对应边相等）
∠BDG=∠CDF（全等三角形的对应角相等）
∵∠BDC=∠BDE+∠EDF+∠CDF（图示）
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°（等式性质）
∴∠BDE+∠BDG=60°（等量代换）
即∠EDG=60°
∴∠EDG=∠EDF（等量代换）
在△EDG与△EDF中
∴△EDG≌△EDF（S.A.S）
∴ED=EF(全等三角形的对应边相等）
∵=AE+EG+AF
=AE+EB+BG+AF=AE+EB+CF+AF
=AB+AC（等量代换）
∴
（3）
【解析】【解答】解：（3）在上取点G，使，连接，如图，
同(2)可证，
∴，，
同(2)可证，
∴，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质求证。利用SAS证明，得到，结合即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解。延长至点G，使，连接，利用三角形内角和定理和已知条件证明，得到，，根据SAS证明，有，即可知的周长为．
（3）根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解。在上取点G，使，连接，同(2)可证，得，，利用SAS证明，得，则的周长为．
50．【特例感知】
（1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
①若，则线段 ；
②若，则线段 ；
【知识迁移】
（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数；
【拓展探究】
（3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示）
【答案】解：【特例感知】（1）①7.②7.
【知识迁移】（2）如图②，
∵平分，平分，
∴，
∵，，
∴
∴的度数为.
【拓展探究】（3）.
【解析】【解答】解：【特例感知】（1）①如图①，
∵，，
∴，
∵分别是和的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
②如图①，
∵，，
∴，
∵分别是和的中点，
∴，
∵，
∴ｃｍ.
故答案为：.
【拓展探究】（3）如图③，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】【特例感知】（1）①根据，，得，
再根据线段中点的定义得，再根据得即可.②根据①得ｃｍ即可.
【知识迁移】（2）根据平分，平分，得，再根据，得到即可.
[拓展探究]（3）根据角平分线的定义得到，，则，由即可求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
