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【临考冲刺·50道解答题专练】人教版数学九年级上册期末总复习
1．某小图超市采购了24盒草莓礼盒，但在质检时发现部分盒中混入了坏果（因挤压或成熟过度导致的腐烂草莓），工作人员对所有礼盒进行检查后发现，每盒草莓中最多混入2个坏果，具体致据见表：
混入坏果的数量 0 1 2
盒数 12 m n
（1）从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”是 事件：（填“必然”“不可能”或“随机”）
（2）从24盒草幕礼盒中任意抽取1盒，若抽出“盒中混入1个坏果”礼盒的概率为，求m、n的值、
2．已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点.
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积
3．用适当的方法解方程：
（1）
（2）
4．已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由.
5．已知关于的方程
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若这个方程有一个根是，求的值及另外一个根．
6．根据材料，解决下列问题：
信息一 美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价廉深受民众的喜爱．
信息二 该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转分，三档风为转分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同．
信息三 一家网上电器商店，进货这种商品，进购价为元件，售价元件，每天可以售件，当每降价元时，多售件．
（1）求一档至三档转速的平均增长率．
（2）要使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？
7．在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为．
（1）若，求t的值；
（2）已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由．
8．根据以下提供的素材，完成任务。
如何制定商店的销售定价方案根据以下商店提供的信息，请你设计一个合适的商品定价方案。
素材一 1．商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出.2．商品有A、B两种包装，目前的售价和日销售量如下表：
A包装B包装售价（元/件)112108日销售量（件)4080
素材二 为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价，通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元.
素材三 销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量。A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件.
问题解决
任务一 探究商品销量 设每件A包装商品售价降低元(为整数)，用含的代数式表示降价后A包装商品每日的总销售最为 ▲ 件.
任务二 探究商品售价 在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价.
任务三 确定定价方案 请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元.（直接写出方案即可）
9．已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式．
10．为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：粤剧，粤绣，英歌舞，醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：
（1）本次共调查了________名学生，其中参与社团的人数是________人；
（2）学校计划从，，，四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中和两个社团的概率．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
12．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（写出必要的计算过程）
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）
13．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）当定价为13元/千克时，此时可以卖出 千克，利润为 元．
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？
14．我市某著名旅游“网红打卡地”景区在2021年国庆长假期间，共接待游客达26万人次，预计在2023年国庆长假期间，将接待游客达万人次．
（1）求该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件，若每件价格降低1元，则平均每天可多销售30件.2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润？
15．有一个直角三角形，它的三边恰好是三个连续整数，那么这个三角形的三边的长分别是多少？
16．我国古代数学著作《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何 ”其大意是:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步 ”试用列方程解应用题的方法求出问题的解。
17．某景区商店销售一种商品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于16元/件.市场调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售价(元/件)之间的函数关系如图所示.
（1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
（2）求每天的销售利润(元)与销售价(元/件)之间的函数关系.每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
18．已知二次函数y=-x2+bx+c．
（1）当b=4，c=3时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
19． 如图，反比例函数的图象与一次函数图象为常数，且的图象交于、两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向上平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
20．甲、乙两人用掷硬币方式进行游戏，已知掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相同．
（1）若甲投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则前进一步，反面朝上则后退一步，假设每次步长相同，那么投掷两次后，求甲前进两步的概率；
（2）若甲、乙两人相隔两步面对面站立，两人共同投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则同时前进一步，反面朝上则同时后退一步，互相阻碍则两人原地不动，假设两人步长相同．那么投掷三次硬币后，求甲、乙两人间距离为0的概率．
21．已知：如图，在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC，BD交于点P．
（1）求∠APD的度数．
（2）求证：四边形EAPD是菱形．
22．已知，抛物线的图象如图所示．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
23．已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程；
（2）若方程的两个实数根、满足，则的值为 ．
24．已知二次函数．
（1）用配方法将二次函数的一般式化成的形式；
（2）分别写出此二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
25．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点M为智慧点，例如：点，…都是智慧点．
（1）判断函数的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个智慧点，当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数n的取值范围．
26．已知抛物线 y=
（1）若抛物线过点（4，3），
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，y的取值范围为 ▲ .
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值.
27．如图，内接于是的直径，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
28．如图，是直径，足的弦，．
（1）求的度数．
（2）若的半径，求的长．
29．“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为___________名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A “艺术类”所对应的圆心角度数是___________度；
（4）李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率．
30．为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均20平方米提高到24.2平方米，求城镇居民住房面积的年平均增长率.
31．已知二次函数的图象如下．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）观察图象，当-2（3）将该二次函数图象向上平移多少个单位后恰好过点(-2，0)？
32．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.设花圃垂直于墙的边AB长为x米，花圃面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S．
（2）如果花圃的面积刚好为，此时边AB的长是多少米？
（3）按题目的设计要求，能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
33．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1=0
（1）若这个方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，请求出m的值．
34．二次函数y＝－3x2平移后得到得新函数图象与y轴交点纵坐标为3，对称轴为直线x＝2，求这个新函数的解析式．
35．HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
36．解下列方程：
（1）
（2）
37．九年级某班学生计划到甲、乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成 A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院.
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片(除数字外其余都相同)，班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片(除数字外其余都相同)，班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 y.若 x=y，则 A 组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若 x≠y，则 A 组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院.
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
（2）求 A 组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 P.
38．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点D刚好落在边上，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求四边形的面积．
39．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
40．小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一短线段（比如AC）与另一长线段（比如BC）之比，如果正好等于另一长线段（比如BC）同整个线段（AB）的比（即 ），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”.
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取 ＝1.4， ＝1.7， ＝2.2）
41．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；而销售单价每涨1元，销售量将减少10个，设每个销售单价为x元.
（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；
（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
42．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3=0，当Rt△ABC的斜边a= ，且两直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长.
43．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于点E，，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）判断∠ABC与∠ABD的大小关系，并说明理由；
（2）求证：AC＝2CF+BD；
（3）若 S△CFA＝S△CBD，求的值．
44．如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点，，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第四象限的抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
（3）点是直线上方抛物线上的一动点，当点在何处时，点到直线的距离最大，并求出最大距离．
45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
46．已知是的直径，D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
47．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
（1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
48．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数．)
49．将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，．
（1）如图1，与的数量关系是________，理由是________；
（2）如图1，点在上，若，求的度数；
（3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值．
50．设函数y=ax2+bx+1，其中a可取的值是-1，0，1，b可取的值是-1，1，2．
（1）当a，b分别取何值时，所得函数有最小值？直接写出满足条件的函数，以及相应的最小值．
（2）如果a在-1，0，1三个数中随机抽取一个，b在-1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数表达式？从这些函数中任取一个，求取到当x>0时，y随x的增大而减小的函数的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【临考冲刺·50道解答题专练】人教版数学九年级上册期末总复习
1．某小图超市采购了24盒草莓礼盒，但在质检时发现部分盒中混入了坏果（因挤压或成熟过度导致的腐烂草莓），工作人员对所有礼盒进行检查后发现，每盒草莓中最多混入2个坏果，具体致据见表：
混入坏果的数量 0 1 2
盒数 12 m n
（1）从24盒草莓礼盒中任意抽取了1盒，“盒中没有坏果”是 事件：（填“必然”“不可能”或“随机”）
（2）从24盒草幕礼盒中任意抽取1盒，若抽出“盒中混入1个坏果”礼盒的概率为，求m、n的值、
【答案】（1）随机
（2）解：∵盒中混入1个坏果礼盒的概率为
∴，解得：m=8
∴n=24-12-8=4
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
“盒中没有坏果”是随机事件
故答案为：随机
【分析】（1）由题意可得“盒中没有坏果”是随机事件.
（2）根据题意建立方程，解方程可得m值，再求出n值即可.
2．已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点.
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积
【答案】（1）解：A(-3，0) B(1，0) C(0，-3)
（2）解：
3．用适当的方法解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：这里a=3，b=6，c=2，
∴△=b2-4ac=36-4×3×2=12>0，
∴x==，
∴，
（2）解：，
，
（x-2）2=5，
∴x-2=
即x=2
∴，
【解析】【分析】⑴根据公式法解一元二次方程.
⑵根据配方法解一元二次方程.
4．已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：设抛物线解析式为
∵图象过点 （1，3）
∴
解得a=-1
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+4
（2）解：不能。理由如下：
由解析式可知抛物线开口向下，在顶点处函数值最大，为4.
∵4<5
∴ 动点P（x，5）不能在抛物线上
（3）解：y1＜y2，理由如下：
画出抛物线的草图如下
由图象和性质可知在对称轴左边，y随x增大而增大
∵ a＜b＜0
∴y1＜y2
【解析】【分析】(1)根据条件优先考虑将解析式设为顶点式，再将另一个点的坐标代入即可求出解析式；
(2)根据已求的解析式可知抛物线的最高点函数值为4，即在抛物线上找不到函数值比4大的点；
(3)画出草图就能轻松判断出y1＜y2。
5．已知关于的方程
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若这个方程有一个根是，求的值及另外一个根．
【答案】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
即或
（2）解：设方程另一根为，
由题意得，，解得，
，
．
即的值为，另一个根为
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，即可求解；
（2）设方程另一根为，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
6．根据材料，解决下列问题：
信息一 美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价廉深受民众的喜爱．
信息二 该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转分，三档风为转分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同．
信息三 一家网上电器商店，进货这种商品，进购价为元件，售价元件，每天可以售件，当每降价元时，多售件．
（1）求一档至三档转速的平均增长率．
（2）要使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？
【答案】（1）解：设一档至三档转速的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
∴一档至三档转速的平均增长率为。
（2）解：设应降价元，
根据题意得，，
整理得：，
解得：，
∴使该电器每天的利润达到元，应降价元．
【解析】【分析】（）因为“ 后一档转速与前一档转速相比增长率均相同 ”，所以二档转速为800（1+x），三挡转速为800（1+x）2，据题意列式得到，然后解方程取正数即可；
（）根据条件，表示每件商品的利润，表示售出商品的数量，而利润5000元，因此列式变形得到一元二次方程，求解即可。
（1）解：设一档至三档转速的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：一档至三档转速的平均增长率为；
（2）解：设应降价元，
根据题意得，，
整理得：，
解得：，
答：使该电器每天的利润达到元，应降价元．
7．在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为．
（1）若，求t的值；
（2）已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
即．
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵点关于直线的对称点的坐标是，
∴．
∴．
∵，抛物线开口向上，
∴当时，y随x增大而增大，
∴．
【解析】【分析】
（1）根据已知条件得到，再利用抛物线的对称轴公式，即可解答；
（2）根据已知条件得到，再利用抛物线的对称轴公式得到，结合，得到，再根据二次函数的增减性即可解答；
8．根据以下提供的素材，完成任务。
如何制定商店的销售定价方案根据以下商店提供的信息，请你设计一个合适的商品定价方案。
素材一 1．商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出.2．商品有A、B两种包装，目前的售价和日销售量如下表：
A包装B包装售价（元/件)112108日销售量（件)4080
素材二 为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价，通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元.
素材三 销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量。A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件.
问题解决
任务一 探究商品销量 设每件A包装商品售价降低元(为整数)，用含的代数式表示降价后A包装商品每日的总销售最为 ▲ 件.
任务二 探究商品售价 在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价.
任务三 确定定价方案 请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元.（直接写出方案即可）
【答案】任务一：
任务二：设B包装产品的售价增加y元，总利润为，则B包装产品的数量为.
∵要卖出的总件数是120件
答：当A包装产品的售价为106元，B包装产品的售价为114元时，利润达到1264元.
任务三：①当A，B包装产品的售价分别为109元/件、116元/件时，利润超过1430元.
②当A，B包装产品的售价分别为108元/件、117元/件时，利润超过1430元.
思路：由题意，得，则
当x=3时，W=1438元
当x=4时，W=1438元
【解析】【分析】任务一：当降价x元时，A包装的销售量多卖出2x件，加上40即可表示出实际的日销售量；
任务二：设B包装产品的售价增加y元，总利润为W，则B包装产品的数量为80-2y，根据要卖出的总件数是120件可得关于x、y的方程，化简可得x=y，然后根据(售价-成本-降低的钱数)·销售量=总利润可得W与x的关系式，结合W=1264就可求出x的值；
任务三：当A，B包装产品的售价分别为108元/件、117元/件时，根据总销售量为110件可得y=x+5，根据(售价-成本-降低的钱数)·销售量=总利润可得W与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
9．已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式．
【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线对应的函数表达式为，
把代入上式，得 ，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为，
即．
故此抛物线对应的函数表达式为．
【解析】【分析】根据题意设抛物线顶点式为 y = a ( x + 2 ) 2 3 ，再利用与y轴的交点坐标 ( 0 ， 5 ) 代入方程，解出系数 a 的值，从而确定抛物线的函数表达式.
10．为响应“非遗进校园”活动，某校开设了四类非遗文化社团：粤剧，粤绣，英歌舞，醒狮，每位同学只能选择其中一个社团参加．学校随机调查了部分参与社团的学生的情况，根据调查结果绘制了不完整的统计图（如图）：
（1）本次共调查了________名学生，其中参与社团的人数是________人；
（2）学校计划从，，，四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中和两个社团的概率．
【答案】（1）50；5
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，
同时选中和两个社团的概率为．
【解析】【解答】
（1）
解：本次共调查了（名学生，
参与社团的人数是（人．
故答案为：50；5．
【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比可求得本次调查的学生人数；根据各小组频数之和等于样本容量可求得社团的人数；
（2）由题意，列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中和两个社团的结果数，再用概率公式计算可求解．
（1）解：本次共调查了（名学生，
参与社团的人数是（人．
故答案为：50；5．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中同时选中和两个社团的结果有：，，共2种，
同时选中和两个社团的概率为．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，可设抛物线解析式为-1），
把代入得：，
解得：，
故抛物线解析式为，
即，
，
顶点坐标（2，1）
（2）解：平移方法有：
①向下平移5个单位，得到：，
把代入得出，
顶点坐标
向下平移5个单位，抛物线的顶点为；
②向左平移2.5个单位，得到：，
把代入得出，
向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再将二次函数的一般式化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）根据二次函数平移的规律“左加右减、上加下减”进行解答即可．
12．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（写出必要的计算过程）
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）
【答案】（1）解：（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）解：关注“互助”的人数为（名），关注“进取”的人数为（名），
补全条形统计图，如图所示，
（3）解：由题意，学生关注最多的两个主题是“感恩”和“进取”，即“C”和“E”，
列树状图如下：
由图知，共有20种等可能的结果数，其中恰好选到“C”和“E”有两种，
所以恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率．
【解析】【分析】 （1）用关注“平等”的人数除以其所占的百分比求解即可；
（2）求出关注“互助”和“进取”的人数，进而补全统计图即可；
（3）画出树状图得到所有等可能的结果，再找到满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
13．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．
（1）当定价为13元/千克时，此时可以卖出 千克，利润为 元．
（2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？
【答案】（1）40；320
（2）解：该水果单价应定为元/千克，
由题意知， ，
解得．
为了让利于顾客，
答：单价应定为8元．
【解析】【解答】（1）解：当定价为13元/千克时，
此时可以卖出：千克，
利润为：元，
故答案为：40，320；
【分析】
(1)根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润=每千克的利润x销售数量即可得出答案；解答即可；
(2)该水果单价应定为x元/千克，根据题意列出一元二次方程 ，计算可得 ，再结合为了让利于顾客，即可得出答案，解答即可.
14．我市某著名旅游“网红打卡地”景区在2021年国庆长假期间，共接待游客达26万人次，预计在2023年国庆长假期间，将接待游客达万人次．
（1）求该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件，若每件价格降低1元，则平均每天可多销售30件.2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润？
【答案】（1）解：设年平均增长率为，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该景区2021至2023年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为；
（2）解：设当每件售价定为元时，店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵让顾客获得最大优惠，
∴．
答：当每件售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在销售此款纪念品实现平均每天4680元的利润额．
【解析】【分析】（1）设年平均增长率为， 根据题意列出方程，解方程并根据问题的实际意义对求出的解作出取舍即可；
（2）设每件售价定为元，根据总利润=单个利用×销售量，列出方程，解方程并根据腰顾客获得最大优惠，作出取舍即可.
15．有一个直角三角形，它的三边恰好是三个连续整数，那么这个三角形的三边的长分别是多少？
【答案】解：设较长的直角边为x，则另一条直角边为（x-1），斜边为(x+1)
根据题意得：x2+(x-1)2=(x+1)2，整理得x2-4x=0，
解得：x1=4，x2=0（舍去）
所以其他边为3和5，
答：这个三角形的三边的长分别为3，4，5。
【解析】【分析】根据题意，设中间的边为x，即可表示直角三角形其余的两条边，根据勾股定理，计算得到x的值，即可得到答案。
16．我国古代数学著作《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何 ”其大意是:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步 ”试用列方程解应用题的方法求出问题的解。
【答案】解：设矩形长为x步，宽为（x-12）步
x（x-12）=864
x2-12x-864=0
解得x1=36，x2=-24（舍）
∴x-12=24
答：该矩形长36步，宽24步
【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是（x-12）步,根据矩形面积864=矩形的长×矩形的宽4,即可得出方程求解即可.
17．某景区商店销售一种商品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于16元/件.市场调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售价(元/件)之间的函数关系如图所示.
（1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
（2）求每天的销售利润(元)与销售价(元/件)之间的函数关系.每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将点（10，30）及点（16，24）分别代入得
，
解得，
∴所求的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16）；
（2）解：由题意得w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225，
∵a=-1＜0，
∴当x＜25时，w随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，w最大，最大值为144.
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元.
【解析】【分析】（1）根据图象给出两点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）根据总利润=单件商品的利润×每天的销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而将所得函数解析式配成顶点式，根据二次函数的性质求出x取值范围内的最大值即可.
18．已知二次函数y=-x2+bx+c．
（1）当b=4，c=3时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】（1）①当时，，
顶点坐标为.
②顶点坐标为.抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
当时，有最大值7.
又
当时取得最小值，最小值；
当时，.
（2）解：时，的最大值为时，的最大值为3，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
抛物线开口向下，时，的最大值为2，
又
二次函数的表达式为.
【解析】【分析】（1）①根据题意将b和c的值代入，进而将二次函数的解析式转为顶点式，从而即可得到顶点坐标；
②根据二次函数的图象与性质得到当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，进而即可得到当时，有最大值7，当时取得最小值，最小值，从而即可求解；
（2）先根据二次函数的最值结合二次函数的图象得到抛物线的对称轴在轴的右侧，进而即可得到，再根据二次函数顶点坐标公式结合题意即可求出b，从而代回即可求解。
19． 如图，反比例函数的图象与一次函数图象为常数，且的图象交于、两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向上平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
【答案】（1）解：把代入，
得，
所以点坐标为，
把代入，
得，解得，
所以一次函数解析式为；
（2）解：将直线向上平移个单位长度得直线解析式为，
根据题意得方程组只有一组解，
消去得，
整理得，
，
解得或，
即的值为或．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可求出m的值，再代入一次函数解析式即可求出答案；
（2） 将直线向上平移个单位长度得直线解析式为， 联立方程组得到关于x的一元二次方程，根据有一个公共点，可的方程有1个解，根据判别式列出方程，解方程即可求出答案。
20．甲、乙两人用掷硬币方式进行游戏，已知掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相同．
（1）若甲投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则前进一步，反面朝上则后退一步，假设每次步长相同，那么投掷两次后，求甲前进两步的概率；
（2）若甲、乙两人相隔两步面对面站立，两人共同投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上则同时前进一步，反面朝上则同时后退一步，互相阻碍则两人原地不动，假设两人步长相同．那么投掷三次硬币后，求甲、乙两人间距离为0的概率．
【答案】（1）解：由题意得甲两次投硬币的结果有4种，每种结果发生的可能性相同，
分别为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）．
其中甲前进两步的结果是（正，正），只有1种，
甲前进两步的概率为．
（2）解：根据题意可画树状图如下：
由图可知共有8种等可能的情况，其中甲、乙两人间距离为0的情形有3种，
甲、乙两人间距离为0的概率为．
【解析】【分析】（1）根据题意列举出所有的等可能情况，找到两次都是正面的情况，根据概率公式求角即可.
(2)根据题意画出树状图的方法表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式即可求解.
21．已知：如图，在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC，BD交于点P．
（1）求∠APD的度数．
（2）求证：四边形EAPD是菱形．
【答案】（1）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，
∴，
∴，
∴∠BPC=180°-2×36°=108°，
∴∠APD=∠BPC=108°，
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴， AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠ABP=∠ABC-∠DBC=108°-36°=72°；
则∠ABP+∠DBC=108°+72°=180°；
∴BD∥AE，
同理可得AC∥DE，
∴四边形DEAP是平行四边形，
∵AE=DE，
∴四边形EAPD是菱形．
【解析】【分析】（1）根据正多边形的每条边都相等可得AB=BC=CD=DE=AE；根据等弦所对的弧相等可得；根据等弧所对的圆周角相等、在等圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半以及正多边形每一边所对的圆心角相等可求得∠DBC=∠ACB的度数；根据三角形的内角和是180度可求出∠BPC的度数，根据对顶角相等即可求解；
（2）根据正多边形的每条边都相等可得AB=BC=CD=DE=AE，；推得∠ABP+∠DBC=108°+72°=180°；根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AE，同理推得AC∥DE；根据两组对边平行的四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证．
22．已知，抛物线的图象如图所示．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：由图象可得，抛物线过点，，
∴，解得，
∴该抛物线的函数解析式为．
（2）解：由图象可得，当时，或．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据图象可得，函数图象在x轴的上方对应的自变量x的取值即为不等式的解集．
（1）解：由图象可得，抛物线过点，，
∴，解得，
∴该抛物线的函数解析式为．
（2）解：由图象可得，当时，或．
23．已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程；
（2）若方程的两个实数根、满足，则的值为 ．
【答案】（1）解：根据题意得
解得，
此时方程为，
，
解得；
（2）2．
【解析】【解答】解：（2）根据根与系数的关系得，，
，
，
整理得，
解得，，
，
解得，
的值为2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据一元二次方程求根公式得到则，则方程为，解此方程即可求解；
（2）根据根与系数的关系得，，再利用列出方程，解得，，然后根据根的判别式的意义得到，从而可确定的值．
（1）解：根据题意得
解得，
此时方程为，
，
解得；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
，
，
整理得，
解得，，
，
解得，
的值为2．
24．已知二次函数．
（1）用配方法将二次函数的一般式化成的形式；
（2）分别写出此二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【答案】（1）解：将二次函数化成顶点式为
（2）解：，，
此二次函数的的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线
【解析】【分析】（1）根据配方法将解析式化成顶点式即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质即可求出答案。
25．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点M为智慧点，例如：点，…都是智慧点．
（1）判断函数的图象上是否存在智慧点，若存在，求出其智慧点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个智慧点，当时，函数的最小值为，最大值为0，求实数n的取值范围．
【答案】（1）解：点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为智慧点，
智慧点都在上，
则，
解得，
图象上的智慧点为；
（2）解：二次函数的图象上有且只有一个智慧点，
∴，即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
②，
联立①②，得，即，
解得：，则，
，
其顶点坐标为，
，
二次函数，开口向上，
，函数有最小值，
令，
解得：或，
时，函数有最小值，最大值为0，
时，函数的最小值为，最大值为0，
实数的取值范围为．
【解析】【分析】（1）根据智慧点定义得到点在上，联立，解方程组即可求出答案.
（2）根据智慧点联立二次函数与一次函数求解出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案．
26．已知抛物线 y=
（1）若抛物线过点（4，3），
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，y的取值范围为 ▲ .
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值.
【答案】（1）解：若抛物线过点(4，3)，则3=16a-16+3，
解得a=1，
∴y=x2-4x+3
①∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点坐标为(2，-1)；
②-1≤y≤15
（2）解：抛物线y=ax2-4x+3(a>0)对称轴为直线
∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，且x=0时，y=3，
∴时，y=1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为，
∴，
解得a=2，
∴y=2x2-4x+3，
把x=m，y=9代入得9=2m2-4m+3，
解得m1=3，m2=-1，
∴m>0，
∴m=3，
∴a的值为2，m的值为3
【解析】【解答】解：②当x=6时，y=x2-4x+3=15，
∴当0≤x≤6时，y的取值范围为-1≤y≤15，
故答案为：-1≤y≤15.
【分析】(1)①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
②求得x=6时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
(2)抛物线开口向上，对称轴为直线，由当0≤x≤m时，1≤y≤9可知抛物线顶点坐标为且过点(m，9)，把顶点坐标代入解析式即可求得a=2，然后把点(m，9)代入解析式即可求得m的值.
27．如图，内接于是的直径，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：连接，如图所示：
∵，是的直径，
∴，
∴，
设的半径为，
∵，
∴中，，
∴中，，
即，
解得，
∴的半径为5．
【解析】【分析】（1）根据是的直径可得，再根据可得，则，即；
（2）连接，根据，是的直径可得，，设的半径为，在中，根据勾股定理可得，在中，，即，解得，即的半径为5．
28．如图，是直径，足的弦，．
（1）求的度数．
（2）若的半径，求的长．
【答案】（1）解：是的直径，
∴，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，，，
∵的半径，AB是直径，
∴，∴．
【解析】【分析】（1）利用圆周角的性质可得，，再利用三角形的内角和求出的度数即可；
（2）根据“ 的半径，AB是直径”可得，再求出即可.
29．“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为___________名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A “艺术类”所对应的圆心角度数是___________度；
（4）李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率．
【答案】（1）100
（2）解：类的人数为：名，
补全条形统计图如下：
；
（3）36
（4）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中乙、丙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中乙、丙两位同学的概率为．
【解析】【解答】（1）此次被调查的学生人数为：名，
故答案为：；
（3）在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是：，
故答案为：；
【分析】（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；
（2）用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；
（3）用360乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（4）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好同时选中乙、丙两位同学的结果，再根据概率公式即可求出答案.
30．为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均20平方米提高到24.2平方米，求城镇居民住房面积的年平均增长率.
【答案】解：设城镇居民住房面积的年平均增长率为x，
依题意得：20（1+x）2＝24.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）.
答：城镇居民住房面积的年平均增长率为10%.
【解析】【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解.
31．已知二次函数的图象如下．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）观察图象，当-2（3）将该二次函数图象向上平移多少个单位后恰好过点(-2，0)？
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为y=a(x+1)2-4(a≠0)，
把(1，0)代人得4a-4=0，解得a=1，
所以拋物线的表达式为y=(x+1)2-4．
（2）解：当x=-2时，y=(-2+1)2-4=-3；
当x=1时，y=0．
所以当-2（3）解：设将该二次函数图象向上平移k(k>0)个单位后恰好过点(-2，0)，则拋物线的表达式可设为y=(x+1)2-4+k，把(-2，0)代人得(-2+1)2-4+k=0，解得k=3，即将该二次函数图象向上平移3个单位后恰好过点(-2，0)．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
（2）利用（1）解析式，分别求出-2（3）设二次函数图象向上平移k(k>0)个单位后恰好过点(-2，0)，可设平移后解析式为y=(x+1)2-4+k， 把(-2，0)代入求出k值即可.
32．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.设花圃垂直于墙的边AB长为x米，花圃面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S．
（2）如果花圃的面积刚好为，此时边AB的长是多少米？
（3）按题目的设计要求，能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：；
（2）解：由题意可得：
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
答：花圃的长为9米，宽为5米；
（3）解：能，理由如下：
由题意可得：
∴当时，S取得最大值，
当x=4时，BC=24-3x=12<14，符合题意，
∴S的最大值为48，
答：能围成比45平方米更大的花圃，当边AB长为4米时，花圃面积最大，为48平方米．
【解析】【分析】（1） 设花圃垂直于墙的边AB长为x米，则BC=22-3x+2=(24-3x)米，进而由矩形面积S=长×宽，列出函数解析式；
（2）将s=45代入所求S关于x的式子，可得关于字母x的一元二次方程，解方程判断即可；
（3）将（1）中所求的S关于x的函数解析式化为顶点式，根据函数的性质得到最大值，验证BC边符合题意即可．
（1）解：；
（2）由题意可得：
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
答：花圃的长为9米，宽为5米；
（3）由题意可得：
∴当时，S取得最大值，
当x=4时，BC=24-3x=12<14，符合题意，
∴S的最大值为48，
答：能围成比45平方米更大的花圃，当边AB长为4米时，花圃面积最大，为48平方米．
33．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1=0
（1）若这个方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，请求出m的值．
【答案】解：（1）因为方程 x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1=0 有实数根 ，
则满足△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即4m+1≥0，解得：m≥﹣；
（2）因为方程 x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1=0 有一个根是1，
将x=1代入方程得1﹣2m+m2﹣4m﹣1=0，整理得：m2﹣6m=0，解得：m1=0，m2=6，
因为m≥﹣ ，所以m=0和m=6均符合题意，
故m=0或m=6．
【解析】【分析】（1）根据方程有实数根，结合一元二次方程的性质，得到△≥0，即可求解，
（2）将x=1代入方程求出m，结合一元二次方程的解法，求得m的值，再由m≥﹣，即可求解.
34．二次函数y＝－3x2平移后得到得新函数图象与y轴交点纵坐标为3，对称轴为直线x＝2，求这个新函数的解析式．
【答案】解：设新的函数解析式为： ，
∵平移后与y轴交点纵坐标为3，
∴c=3，
∵对称轴为直线x＝2，
∴ ，
∵a=-3，
∴b=12，
∴新函数解析式：
【解析】【分析】设新的函数解析式为： ，根据题目要求分别求出b和c即可得出新的函数解析式．
35．HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
【答案】解：设半径OA的长为r mm，
则OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝14mm，
∴OD＝（r﹣14）mm，
∵OC⊥AB，AB＝80mm，
∴AD＝AB＝40mm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，
即r2﹣（r﹣14）2＝402，
解得：r＝．
答：半径OA的长为mm．
【解析】【分析】设半径OA的长为r mm，可得则OA＝OC＝OB＝r mm，用r表示出OD的值，利用垂径定理可得AD＝AB ，根据勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解.
36．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
解得
（2）解：，
即，
，，
，
．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
37．九年级某班学生计划到甲、乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成 A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院.
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片(除数字外其余都相同)，班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片(除数字外其余都相同)，班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 y.若 x=y，则 A 组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若 x≠y，则 A 组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院.
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
（2）求 A 组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 P.
【答案】（1）画树状图如下：
由树状图可得，所有可能出现的结果分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共6种.
（2）由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中 A 组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的结果有2种，即(1，1)，(2，2)，
∴A 组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 P=
【解析】【分析】（1）列树状图得到所有的等可能结果即可；
（2）根据（1）中的结果，找出符合要求的结果数，然后根据概率公式计算即可.
38．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点D刚好落在边上，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）在中，，，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴；
（2）在中，，
由旋转可得，
【解析】【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理.（1）先利用三角形内角和定理可求出，再利用旋转的性质可得：，再利用等腰三角形的性质可得：，通过计算可求出的度数，利用角的运算可求出的度数；
（2）先利用勾股定理可求出，再根据旋转的性质可得：，利用三角形的面积公式可求出和的面积，利用割补法可得：，通过计算可求出四边形的面积．
（1）在中，，，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴；
（2）在中，，
由旋转可得，
39．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
【答案】解：设捐款增长率为．
根据题意列方程，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：捐款增长率为．
【解析】【分析】设捐款增长率为，根据题意列一元二次方程求解即可．
40．小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一短线段（比如AC）与另一长线段（比如BC）之比，如果正好等于另一长线段（比如BC）同整个线段（AB）的比（即 ），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”.
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取 ＝1.4， ＝1.7， ＝2.2）
【答案】解：设 ，则 ，
∴由题意得：当 即 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴此时主持人从A点到B点走 ，
当 即 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴此时主持人从A点到B点走 ，
∴综上所述，主持人从A点到B点走8m或12m时他的站台最得体.
答：主持人从A点到B点走8m或12m时他的站台最得体.
【解析】【分析】设AC=xm，则BC=(20-x)m，当BC2=AC·AB时，代入求解可得x，进而可得主持人从A点到B点走的距离；当AC2=BC·AB时，同理可得主持人从A点到B点走的距离，据此解答.
41．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；而销售单价每涨1元，销售量将减少10个，设每个销售单价为x元.
（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；
（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每个销售单价为元，由题意，得：
；
（2）解：由题意，得：，
∴；、分、
∵，、
∴当，随着的增大而增大，
∴时，取最大值，为：；、
答：最大利润为元.
【解析】【分析】（1）销售量＝原销售量-减少的销量，即 ，
利润＝销售量×每个的利润，
根据这些数量关系列出关系式，再进行整理即可；
（2）根据 销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件 可列不等式求出x的范围，再根据关系式求出最大值。注意的是根据关系式得出顶点纵坐标值并不一定是最大值， 一定要根据X的范围来确定。
42．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3=0，当Rt△ABC的斜边a= ，且两直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长.
【答案】解：∵b，c是x2－(2k＋1)x＋4k－3=0的两个根，∴b+c=2k+1，bc=4k-3，
在Rt△ABC中，b2+c2=31，
∴(b+c)2-2bc=31，即(2k+1)2-2(4k-3)=31，
整理，得k2-k-6=0，解得k1=-2，k2=3，
当k=-2时，b+c=-3<0，舍去，
当k=3时，b+c=7，符合题意.
∴△ABC的周长= +7
【解析】【分析】先利用韦达定理得到b与c的关系，再利用勾股定理构造关于k的一元二次方程，根据b，c是三角形的两条边这一隐藏条件对k的值进行排除，即可求出周长.
43．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于点E，，过点A作AF⊥BC于点F．
（1）判断∠ABC与∠ABD的大小关系，并说明理由；
（2）求证：AC＝2CF+BD；
（3）若 S△CFA＝S△CBD，求的值．
【答案】（1）解：∠ABC＝∠ABD；理由：
∵，
∴，
∴，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABD；
（2）证明：过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝∠CHB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴∠ACF＝180°-∠BAC-∠ABC＝180°-2∠ABC，
由（2）知，∠ABC＝∠ABD，
∴∠CBH＝180°-∠ABD＝180°-2∠ABC，
∴∠ACF＝∠CBH，
∵AC＝BC，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CF＝BH，AF＝CH，
∵，
∴AB＝CD，
∴Rt△ABF≌Rt△CDH（HL），
∴DH＝BF，
∴AC＝BC＝CF+BF＝CF+DH＝CF+BD+BH＝CF+BD+CF＝2CF+BD，
即AC＝2CF+BD；
（3）解：过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，
∵S△CFA＝S△CBD，
∴AF CF＝BD CH，
由（2）知，AF＝CH，
∴CF＝BD，
设BD＝x，则CF＝x，
∴AC＝2CF+BD＝3x，
根据勾股定理得，AF＝
∴
【解析】【分析】（1）∠ABC＝∠ABD；理由：由可得，从而求出∠ABD＝∠BAC，结合等腰三角形的性质及等量代换即可求解；
（2）过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H，先证△ACF≌△CBH（AAS），可得CF＝BH，AF＝CH，再证Rt△ABF≌Rt△CDH（HL），可得DH＝BF，利用线段的和差即可求解；
（3） 过点C作CH⊥DB交DB的延长线于H， 由S△CFA＝S△CBD可推出CF＝BD，设BD＝x，则CF＝x，则AC＝2CF+BD＝3x，根据勾股定理可得AF＝，从而求出的值.
44．如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点，，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第四象限的抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
（3）点是直线上方抛物线上的一动点，当点在何处时，点到直线的距离最大，并求出最大距离．
【答案】（1）解：设抛物线与轴的另一个交点为，
对称轴，，
，
设抛物线解析式为，把代入得到，
抛物线的解析式为，即
（2）解：如图中，
，，
直线的解析式为，
线段的中垂线的解析式为，设直线交抛物线于，则．
由解得或舍弃，
点坐标
（3）解：如图中，设，
，
，
时，面积最大，最大值为，设到的距离为，则此时最大，
，
．
当设，点到的距离最大，最大值为．
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称性求得与x轴的另一个坐标，设抛物线解析式为，把代入即可求解；
（2）先求出线段AB中垂线的解析式，结合图象建立方程组，解方程组即可求解；
（3）设，根据点到直线的距离最大，可得最大，利用建立 关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把A（3，0）B（0，-3）代入y=x2+mx+n，得
解得 ，
所以抛物线的解析式是y=x2-2x-3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得 ，
解得 ，
所以直线AB的解析式是y=x-3；
（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，
当t=- = 时，二次函数的最大值，即PM最长值为 = ，
则S△ABM=S△BPM+S△APM= = ．
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
② 当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2-2t-3）-（t-3）=3，
解得t1= ，t2= （舍去），
所以P点的横坐标是 ；
③ 当P在第三象限：PM=OB=3，t2-3t=3，
④ 解得t1= （舍去），t2= ，
⑤ 所以P点的横坐标是 ．
综上所述，P点的横坐标是 或 ．
【解析】【分析】（1） 先
设直线AB的解析式是y=kx+b， 然后利用待定系数法将A、B的坐标分别代入
y=x2+mx+n及y=kx+b中，分别求出m、n、k、b的值即可.
（2）
设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t2-2t-3） ，可得
PM=（t-3）-（t2-2t-3）=-t2+3t，利用二次函数性质可得出PM的最大值. 由于
S△ABM=S△BPM+S△APM=
，代入计算即可.
（3）由于PM∥OB，可得当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形；分3种情况讨论，①当P在第四象限②当P在第一象限③当P在第三象限，分别利用PM=OB=3并结合（2）条件建立等量，求出t值即可.
46．已知是的直径，D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
，
，．
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
（2）解：是的直径，且于点M，
．
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接OA，根据AB＝AD，OA＝OB，运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠OAD为90°，可证得结论。
（2）根据垂径定理可知AE＝2AM，欲求AE，先求出AM即可。容易计算出∠OAM为30°，根据含有30°角的直角三角形的性质可得出OM，运用勾股定理可计算出AM，于是得出结果。
47．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
（1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：
（，为整数），
答：这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式为
（，为整数）；
（2）解：设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.
【解析】【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元，进先列式即可；
（2） 设李大爷每天所获利润是元， 根据总利润=每千克利润×销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
48．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数．)
【答案】（1）解：连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD．
∵点C是 的中点，
∴∠DAC=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD.
（2）解：∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC= OC=3 ， = =π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3 +π≈11.3．
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可证得AD⊥CD。
（2）根据圆周角定理可得出圆周角，再利用弧长公式可得出弧长。
49．将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，．
（1）如图1，与的数量关系是________，理由是________；
（2）如图1，点在上，若，求的度数；
（3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值．
【答案】（1）；同角的余角相等
（2）解：，
，
，
，
，
；
答：∠1的度数为；
（3）解：点在直线的上方且在直线右侧，
当这两块三角尺存在一组边互相平行时，有以下三种情况：
①时，过点作，如图2所示：
，
，，
，
；
②时，如图3所示：
，
；
③当时，如图4所示：
，
．
综上可得：所有可能的值或或．
【解析】【解答】
（1）
解：依题意得：，，
，，
（同角的余角相等），
故答案为：；同角的余角相等．
【分析】
（1）根据同角的余角相等可求解；
（2）由得，由角的和差可求得∠BDC的度数，然后再由三角形内角和定理可求解；
（3）根据点在直线的上方且在直线右侧，则有以下三种情况：
①时，过点作则，进而得，，由此可得的度数；
②时，则，由此可得的度数；
③当时，则，由此可得的度数，综上即可得出所有可能的值．
50．设函数y=ax2+bx+1，其中a可取的值是-1，0，1，b可取的值是-1，1，2．
（1）当a，b分别取何值时，所得函数有最小值？直接写出满足条件的函数，以及相应的最小值．
（2）如果a在-1，0，1三个数中随机抽取一个，b在-1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数表达式？从这些函数中任取一个，求取到当x>0时，y随x的增大而减小的函数的概率．
【答案】（1）解：y=x2-x+1，最小值为 ；y=x2+x +1，最小值为；y=x2+2x+1，最小值为0．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
可得到9个不同的函数解析式，
∵当x＞0时y随x增大而减小的函数是y=-x2-x+1，y=-x+1，
∴概率为.
【解析】【解答】解：（1）当a＞0时，所得函数有最小值，即满足条件的a、b值分别有：a=1，b=-1；a=1，b=1；a=1，b=2，
分别代入y=ax2+bx+1，可得，
y=x2-x+1，最小值为 ；
y=x2+x +1，最小值为；
y=x2+2x+1，最小值为．
【分析】（1）根据二次函数的性质，a＞0时，二次函数有最小值，所以，确定a为1，然后根据b的值的不同分别写出解析式，再根据二次函数的最值问题解答即可；
（2）先画出树状图，再求出所有情况数与符合条件的情况数，利用根据函数的增减性以及概率公式列式计算．
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