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【临考冲刺·50道解答题专练】浙教版数学九年级上册期末总复习
1． 已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（-3，0），（2，-5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的顶点坐标．
2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(点Р不与A，B重合)，过点Р是否存在一条直线截其中一条直角边所得的小三角形与原三角形ABC相似？若不存在，请说明理由；若存在，猜想这样的直线有几条，并说明理由．
3．已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝ x+1上，求这个二次函数的表达式．
4．如图，在等边中，点D是边上的点，以为边作等边，连结．
（1）填空：可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到；
（2）若，求的度数．
5．年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个元上涨到每个元，此时每天可售出个蓉宝吉祥物．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
6．现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
7．如图，在平行四边形ABCD中，点在对角线BD上，且.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长.
8． 小明和小亮两位同学做投掷骰子质地均匀的正方体试验，他们共做了次试验，试验的结果如下：
朝上的点数
出现的次数
（1） “点朝上”的频率为 ，“点朝上”的频率为 ；
（2）小明说：“根据试验，一次试验中出现点朝上的概率最大”他的说法正确吗？为什么？
（3）小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不大于的概率．
9．如图1，两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm．
（1）将图1中的三角形纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移，试判断四边形ABDE的形状，并说明理由；
（2）当三角形纸片DEF平移到某一位置时，四边形ABDE恰为矩形（如图3），求AF的长；
（3）在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连接OB，OE（如图4）．当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
10．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PB的值最小时的点P的坐标．
11．如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
12．如图，△ABC中，DE//BC， DF//AC， AE=4， EC=2， BC=8．求 BF 和 CF 的长．
13．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产. A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件.已知购买1件A 类特产和1件B 类特产需132元，购买3件A 类特产和5件B 类特产需540元.
（1）求A 类特产和B 类特产的售价.
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每件每降价1元，每天可多售出10件(售价不低于进价).设每件A 类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y 与x之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围.
（3）在(2)的条件下，由于 B 类特产供货紧张，每天只能购进100 件且能按原价售完.设该特产店每天销售这两类特产的总利润为ω元，求ω与x之间的函数表达式，并求出当每件A 类特产降价多少元时，总利润最大，最大总利润是多少元.
14．已知抛物线．抛物线上，两点的横坐标满足．
（1）这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
（2）比较，的大小．
15．如图，小明站在路灯B下的A处，向前走5米到D处，发现自己在地面上的影子DC是2米．若小明的身高DE是1.8米，则路灯B离地面的高度AB是多少米？
16． 新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件） 150 160 170 180
日销售量y（件） 200 180 160 140
日销售纯利润W（元） 8000 8800 9200 9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品每件的进价是多少元？当每件的售价为多少元时，日销售纯利润最大？
（3）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了m元（），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求m的值．
17．若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，-2）两点，求此二次函数的表达式．
18．初中生安全教育包括以下5种：①交通安全，包括不良的交通习惯，骑自行车的问题，交通事故等知识；②校内外活动安全，包括体育活动安全，学校集会与集体活动安全．校内劳动安全，学生实验安全等知识；③消防安全，包括中学生的消防知识，火灾的预防等知识；④卫生防病安全，包括常见传染病的传播途径与预防等知识；⑤饮食家居安全，包括安全用电，健康饮食等知识．为了解学生安全知识掌握的具体情况，某初中学校开展了一次全校性竞赛活动，抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图和统计表．
参赛成绩
人数 8 12 m 32
级别 及格 中等 良好 优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
（1）共抽取了 名学生的参赛成绩；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在本次竞赛中，学生从A，B，C，D四套试卷中任选一套作答．请用列表或面树状图的方法求出甲同学和乙同学选中同一套试卷的概率．
19．
《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=（ ）寸，CD=（ ）寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
20．在等边三角形ABC中，点D在射线BC上（不与点B，C重合），把线段AD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE，连接CE．
（1）当点D在BC边上时，如图1，ACE的度数是 ；BD与CE之间的数量关系 ．
（2）当点D在BC边的延长线上时，如图2；（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请就图2情形进行证明：若不成立，请说明理由；
（3）若AB=4，当DEC=30°，请直接写出线段BD的长．
21．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．
22．四边形 ABCD 内接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，点 E在 上，求∠E 的度数.
23．如图，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到（点的对应点为点，延长交于点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
24．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 2 1 2 1 …
其中，______．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．
25．如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3，求线段AB的长．
26．如图，O是正八边形的外接圆的圆心，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN．求∠MON的度数．
27．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图）.已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2），则：
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少？
28．如图为某商场设计的自由转动的转盘，顾客购物满100 元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：
转动转盘的次数 100 200 500 800 1 000 2 000 5 000
落在“纸巾”区的次数 71 109 312 473 612 1 193 3 004
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是 (精确到0.1)；
（2）现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据(1)的结论，获得纸巾和免洗洗手液的概率不变，请设计一个可行的摸球抽奖规则，说明步骤；
（3）小明和小亮均获得一次转动转盘的机会，根据(2)中设计的规则，求两人都获得纸巾的概率.
29．将5个完全相同的小球分装在甲．乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．
（1）用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上的数之和为5的概率．
（2）摸出的两个球上的数之和为多少时的概率最大？
30．为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．
（1）该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．
31．如图，在菱形中，E为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的边长．
32．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=4，AE=1.5．求AC的长．
33．某校元旦晚会设立了抽奖活动，共准备150张奖券，设特等奖1个，一等奖15个，二等奖30个，三等奖50个．已知每张奖券获奖的可能性相同．求：
（1）一张奖券中特等奖的概率．
（2）一张奖券中奖的概率．
（3）一张奖券中一等奖或二等奖的概率．
34．已知抛物线的图象的顶点坐标为 ，且过点 ，求此抛物线的解析式.
35．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点．CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，求四边形AEOD的面积．
36．如图，在ABCD中，E是 BC的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，AF=CF.
（1）求证： ABCD是菱形.
（2）若∠BAD=120°，AF=4，求ABCD的面积.
37．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边的延长线交于点，垂足为点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
38．某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开.小俊设计了如图R7-7所示的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长.
（1）若按方案甲施工，且围成面积为 25 平方米的花圃，则AD的长是多少米
（2）按哪种方案施工，可以使围成的矩形花圃的面积最大 最大面积是多少
39．设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 …
… 1 …
（1）若，，
①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
（2）当，时，求的取值范围．
40．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
41．某游乐场的圆形喷水池中心 有-雕塑 ， 从点 向四周喷水， 喷出的水柱为抛物线，且形状相同． 如图， 以水平方向为 轴， 点 为原点建立直角坐标系， 点 在 轴上， 轴上的点 为水柱的落水点， 水柱所在抛物线 （第一象限部分） 的函数表达式为 +6 ．
（1）求雕塑高 ．
（2） 求落水点 之间的距离．
（3） 若需要在 上的点 处坚立雕塑 ． 问： 顶部 是否会碰到水柱？ 请通过计算说明．
42．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣），求△ABN的面积s与t的函数解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．
43．已知：抛物线的顶点落在直线l：上，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将l向上平移b（b>0）个单位，设其与抛物线的交点分别为，，（在左侧）
①请用b表示；
②当时，设此时l与y轴交点为F，将l绕点F转动，转动后与抛物线的交点设为，（在左侧），过，分别作x轴的垂线，垂足分别为点，，连接，，设其交点为T，求转动过程中，T到直线距离的最大值．
44．某公司购进一批受环境影响较大的商品，该商品需要在特定的环境中才存．已知该商品成本（元/件）与保存的时间第（天）之间的关系满足，该商品售价（元/件）与保存时间第（天）之间满足一次函数关系，其对应数据如下表所示：
x天 … 1 2 …
（元/件） … 97 105 …
（1）求商品的售价（元/件）与保存时间第（天）之间的函数解析式：
（2）求保存第几天时，该天此商品不赚也不亏；
（3）请你帮助该公司确定在哪一天卖出时，该天每件商品能获得最大利润，并求此时每件商品的售价是多少？
45．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，以为边．在x轴上方作正方形，延长交抛物线于点D，再以为边向上作矩形，使．
（1）求a的值：
（2）求点F的坐标．
46．如图，已知点M(x ，y )，N(x ，y )在二次函数的图象上，且
（1）若二次函数的图象经过点(3，1)，
①求这个二次函数的表达式.
②若y =y ，求顶点到MN的距离.
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.
47．如图1，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E是对称轴l右侧抛物线上一点，且S△ADE=2S△AOC，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DC并延长交x轴于点F，设P为线段BF上一动点(不与B、F重合)，过点P作PQ BD交直线BC于点Q，将直线PQ绕点P沿顺时针方向旋转45 后，所得的直线交DF于点R，连接OR．请直接写出当△PQR与△PFR相似时点P的坐标．
48．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米.
（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值.
49．小明对他击羽毛球的路线进行分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若小明选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若小明选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）通过分析发现，上面两种击球方式均能使球过球网．要使球的落地点到点C的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式；
（3）小明在点P处再次以吊球的方式击球，此次羽毛球飞行路线的形状与的相同，且恰好落到点C处，则此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离比 （填“大”或“小”）．
50．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2ax+2(a<0)的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴．
（2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值；
（3）抛物线上的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若对于t21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【临考冲刺·50道解答题专练】浙教版数学九年级上册期末总复习
1． 已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（-3，0），（2，-5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的顶点坐标．
【答案】（1）解：将点（-3，0），（2，-5）代入函数解析式得，
，
解得：；
（2）解：因为y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4，
所以该二次函数的顶点坐标为（-1，4）．
【解析】【分析】（1）将两点的坐标代入，得到关于a，b的式子，求解即可；
（2）将（1）中求的a，b的值代入解析式，变形即可求得顶点坐标.
2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(点Р不与A，B重合)，过点Р是否存在一条直线截其中一条直角边所得的小三角形与原三角形ABC相似？若不存在，请说明理由；若存在，猜想这样的直线有几条，并说明理由．
【答案】解：3 条， 理由如下：
如图， 过点P作PE//BC交AC于 E， 则 ；
过点 作 ， 交 于 ， 则 ；
过点 作 ， 若交 于 ， 则 ，
若交 于 ， 则 .
【解析】【分析】过P作AC，BC的平行线，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得结论；过点P作AB的垂线，则可利用“两角分别相等的两个三角形相似”可得结论；垂直时有两种情况，注意分情况讨论.
3．已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝ x+1上，求这个二次函数的表达式．
【答案】解：∵二次函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，
∴y＝ ×2+1＝2，
∴y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2），
∴﹣ ＝2，
∴﹣ ＝2，
解得：m＝﹣1或m＝2，
∵最高点在直线y＝ x+1上，
∴a＝m2﹣2＜0，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x+n，
又∵顶点为（2，2），
∴2＝﹣4+8+n，
∴n＝﹣2，
则二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣2．
【解析】【分析】根据函数的对称轴是x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，可求得y＝ ×2+1＝2的图像顶点坐标，从而求得m的值，利用最高点在直线上可得a的范围，从而求得二次函数的表达式。
4．如图，在等边中，点D是边上的点，以为边作等边，连结．
（1）填空：可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到；
（2）若，求的度数．
【答案】（1），，逆，
（2）解：∵∠BAC=60°， ，
∴∠BAD=∠BAC－∠DAC=18°.
记ED与AB相交于点F，则∠EFB=∠AFD.
∵，
∴，
∴，
即∠BED=∠BAD=18°，
∴∠AEB=∠AED+∠DEB=60°+∠18°=78°.
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠AED=∠EAD=∠BAC=60°，
∴，即
∴（SAS）
∴△ABE可以看成△ACD以点A为旋转中心，逆时针旋转60度得到，
故答案为：，，逆，
【分析】（1）证明，即可求解；
（2）利用三角形的内角和公式证明∠BED=∠BAD=18°，即可求解；
（1）解：由题意得：
∴
即：
∴
故：可以看成以点为旋转中心，逆时针旋转度得到，
故答案为：，，逆，
（2）解：∵
∴，
∴
5．年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个元上涨到每个元，此时每天可售出个蓉宝吉祥物．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：由题意，设每次上涨的百分率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每次上涨的百分率为．
（2）解：由题意，设每个售价为元，
每天的利润
．
当时，每天的最大利润为．
网店每个应降价元，即网店每个应降价元．
答：网店每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元．
【解析】【分析】(1)根据题意，设每次上涨的百分率为m，列出关于m的一元二次方程， 解方程取其正值即可得求解；
(2)由题意，设每个售价为x元，利用总利润=单件利润×销售数量，可列出关于x的二次函数 W，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解.
6．现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
【答案】（1）卡片上的数是0的概率是
（2）列表格如下：（设正数为A，负数为B）
A B 0
A A，A B，A 0，A
B A，B B，B 0，B
0 A，0 B，0 0，0
由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的数字之积为0有5种可能，
所以两次抽取的数字之积为0的概率为
【解析】【解答】解：（1）从中随机抽取一张卡片，事件总数为3，而卡片上的数是0，只有1张，
所以卡片上的数是0的概率为.
故答案为：.
【分析】(1)求发生某一个事件的概率，首先要知道总的事件数有多少，然后看目标事件数有多少，从而就可以求出目标事件的概率.
(2)通过列表法，抽取的第一张卡片可能是正数或负数或0，第二张卡片也是一样，所以总共有9种可能性，目标事件有5种可能，从而求出目标事件的概率.
7．如图，在平行四边形ABCD中，点在对角线BD上，且.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
，
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出从而证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，即可求出AB长.
8． 小明和小亮两位同学做投掷骰子质地均匀的正方体试验，他们共做了次试验，试验的结果如下：
朝上的点数
出现的次数
（1） “点朝上”的频率为 ，“点朝上”的频率为 ；
（2）小明说：“根据试验，一次试验中出现点朝上的概率最大”他的说法正确吗？为什么？
（3）小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不大于的概率．
【答案】（1）；
（2）解：小明的说法是错误的．
原因：只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近；
（3）解：任意投掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果有种，投掷出的点数分别是、、、、、．
因为骰子是质地均匀的，所以每一种结果的可能性相等．投掷出点数不大于的结果有种，分别是、、、，
所以．
【解析】【解答】解：（1）∵他们共做了100次试验，“1点朝上”的次数为16；“6点朝上”的次数为13；
∴“1点朝上”的频率=16÷100=0.16；“6点朝上”的频率=13÷100=0.13；
故答案为：0.16；0.13.
【分析】（1）利用频率的计算方法求解即可；
（2）利用概率的定义求解即可；
（3）利用概率公式求解即可.
9．如图1，两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm．
（1）将图1中的三角形纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移，试判断四边形ABDE的形状，并说明理由；
（2）当三角形纸片DEF平移到某一位置时，四边形ABDE恰为矩形（如图3），求AF的长；
（3）在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连接OB，OE（如图4）．当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：四边形ABDE是平行四边形．
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝xcm，则OA=OE=，
∴OF=OA-AF=，
在Rt△OFE中，OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：，
∴（cm）．
（3）BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，由矩形的性质及旋转的性质知：OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠BDE+∠DEA＝∠ABD+∠EAB，
∵∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF．
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可得三角形全等，即可证明ABCDE为平行四边形；
(2)根据矩形的性质，设AF=x，利用勾股定理求解即可；
(3)由旋转的性质，推导全等的条件，可得 △EOH≌△OBD，即可证明结论.
10．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PB的值最小时的点P的坐标．
【答案】（1）解：由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，
得 ，
解得 ．
则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）根据图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0；
（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴是直线x＝1．
当A、
B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．
【解析】【分析】（1）将
（﹣1，0）和（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，得到关于b、c的方程组，求出b、c的值即可. 当y=0时，即
x2﹣2x﹣3＝0，求出x值，即得抛物线与x轴的另一个交点是：B（3，0）.
（2）观察可得x轴下方的抛物线的图象所对应的x范围即可.
（3）当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点．
11．如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
【解析】【分析】（1）连接，由垂径定理可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据切线性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据圆周角定理可得，则，根据余弦定义建立方程，解方程可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
12．如图，△ABC中，DE//BC， DF//AC， AE=4， EC=2， BC=8．求 BF 和 CF 的长．
【答案】解： ， AE=4， EC=2， BC=8，
，
，
，
，
，
=8-= ．
【解析】【分析】利用平行线分线段成比例的性质列出比例式求解即可。
13．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产. A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件.已知购买1件A 类特产和1件B 类特产需132元，购买3件A 类特产和5件B 类特产需540元.
（1）求A 类特产和B 类特产的售价.
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每件每降价1元，每天可多售出10件(售价不低于进价).设每件A 类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y 与x之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围.
（3）在(2)的条件下，由于 B 类特产供货紧张，每天只能购进100 件且能按原价售完.设该特产店每天销售这两类特产的总利润为ω元，求ω与x之间的函数表达式，并求出当每件A 类特产降价多少元时，总利润最大，最大总利润是多少元.
【答案】（1）解：设A 类特产的售价为x元/件，则 B类特产的售价为(132-x)元/件.由题意，得3x+5(132-x)=540，解得x=60，则132-x=72.
∴ A 类特产的售价为60元/件，B 类特产的售价为72元/件.
（2）解：由题意得y =10x+60
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴0≤x≤10.
答： y=10x+60 (0≤x≤10) .
（3）解：由题意，得ω=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x2+
∵-10<0，
∴ 当x=2时，ω 取得最大值，为1840.
∴ 当每件A 类特产降价2元时，总利润最大，最大总利润是1840元.
【解析】【分析】(1)根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132-x)元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；
(2)根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；
(3)结合 (2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可.
14．已知抛物线．抛物线上，两点的横坐标满足．
（1）这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
（2）比较，的大小．
【答案】（1）直线；
（2）解：，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小．
，
【解析】【解答】解：（1）由题意得对称轴为，当x=1时，，
∴顶点坐标是 ，
故答案为：直线；
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式即可得到对称轴，进而代入即可得到顶点坐标；
（2）根据二次函数的图象及其性质即可求解。
15．如图，小明站在路灯B下的A处，向前走5米到D处，发现自己在地面上的影子DC是2米．若小明的身高DE是1.8米，则路灯B离地面的高度AB是多少米？
【答案】解：由题图知，米，米，米，
∴（米）．
∵，
∴．
∴，
即．
∴路灯B离地面的高度（米）．
【解析】【分析】先证明可得，再将数据代入可得，最后求出AB的长即可。
16． 新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件） 150 160 170 180
日销售量y（件） 200 180 160 140
日销售纯利润W（元） 8000 8800 9200 9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品每件的进价是多少元？当每件的售价为多少元时，日销售纯利润最大？
（3）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了m元（），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求m的值．
【答案】（1）解：设一次函数的表达式为y＝kx+b，
将点（150，200）、（160，180）代入上式得
，
解得，
故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500
（2）解：∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，
将第一组数值150，200，8000代入上式得，
8000＝200×（150﹣进价）﹣2000，解得：进价＝100（元/件），
由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000＝﹣2x2+700x﹣52000，
∵﹣2＜0，故W有最大值，
当x＝＝175（元/件）时，W的最大值为9250（元）；
故答案为100，175，9250
（3）解：由题意得：W＝（﹣2x+500）（x﹣100﹣m）﹣2000﹣100
＝﹣2x2+（700+2m）x﹣（52100+500m），
∵﹣2＜0，故W有最大值，
函数的对称轴为x＝＝175+m，
当x＜175+m时，W随x的增大而增大，
而x≤170，故当x＝170时，W有最大值，
即x＝170时，W＝﹣2×1702+（700+2m）×170﹣（52100+500m）＝7500，
解得m＝10．
【解析】【分析】（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，用待定系数法即可求得求y关于x的函数解析式；
（2）根据日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，将第一组数值求出进价，根据题意列出函数解析式，根据函数的性质求出函数的最大值，即可得到答案；
（3）根据题意得到W＝(-2x+500)(x-100-m)-2000-100，求出函数的对称轴x＝＝175+m，根据函数的性质得到当x＝170时，W有最大值，即可得到答案.
17．若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，-2）两点，求此二次函数的表达式．
【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，-2）两点，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为y=x2-4x+1．
【解析】【分析】将点的坐标代入二次函数解析式，求出b、c的值，得出二次函数的表达式。
18．初中生安全教育包括以下5种：①交通安全，包括不良的交通习惯，骑自行车的问题，交通事故等知识；②校内外活动安全，包括体育活动安全，学校集会与集体活动安全．校内劳动安全，学生实验安全等知识；③消防安全，包括中学生的消防知识，火灾的预防等知识；④卫生防病安全，包括常见传染病的传播途径与预防等知识；⑤饮食家居安全，包括安全用电，健康饮食等知识．为了解学生安全知识掌握的具体情况，某初中学校开展了一次全校性竞赛活动，抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图和统计表．
参赛成绩
人数 8 12 m 32
级别 及格 中等 良好 优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
（1）共抽取了 名学生的参赛成绩；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在本次竞赛中，学生从A，B，C，D四套试卷中任选一套作答．请用列表或面树状图的方法求出甲同学和乙同学选中同一套试卷的概率．
【答案】（1）80
（2）解：“良好”等次人数为：（人），
条形统计图补充完整后如下所示：
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有16种等可能的情况，其中甲同学和乙同学同时选中同一套试卷的情况有4种，
，
即甲同学和乙同学同时选中同一套试卷的概率是
【解析】【解答】（1）解：由所给的统计图、表，可知“优秀”等次有32人，占比为，
因此抽取学生总数为：（人），
故答案为：80；
【分析】（1）根据“优秀”等次人数除以占比求出抽取学生的总数；
（2）求出“中等”“良好”等次人数，补全条形统计图即可；
（3）利用画树状图得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式计算解题．
（1）解：由所给的统计图、表，可知“优秀”等次有32人，占比为，
因此抽取学生总数为：（人），
故答案为：80；
（2）解：“良好”等次人数为：（人），
条形统计图补充完整后如下所示：
；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有16种等可能的情况，其中甲同学和乙同学同时选中同一套试卷的情况有4种，
，
即甲同学和乙同学同时选中同一套试卷的概率是．
19．
《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=（ ）寸，CD=（ ）寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【答案】解：连接 ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
在Rt 中， ，
∴ ．∴ ．
解得 ，∴⊙ 的直径为26寸．
【解析】【分析】连接CO，由垂径定理可得CA=5，在Rt△CAO中，利用勾股定理求出OC的长即可得.
20．在等边三角形ABC中，点D在射线BC上（不与点B，C重合），把线段AD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE，连接CE．
（1）当点D在BC边上时，如图1，ACE的度数是 ；BD与CE之间的数量关系 ．
（2）当点D在BC边的延长线上时，如图2；（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请就图2情形进行证明：若不成立，请说明理由；
（3）若AB=4，当DEC=30°，请直接写出线段BD的长．
【答案】（1）60°；BD=CE
（2）解：成立，理由如下：
如图2，连接AE，
∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，ADE=60°，
∴ADE是等边三角形，
∴AE=AD，DAE=60°，
∵ABC是等边三角形，
∴AB=AC，ABC=BAC=60°，
∴BAC=DAE=60°，
∴BAD=CAE，
在BAD和CAE中，
，
∴，
∴ACE=ABD=60°，BD=CE．
（3）解：BD=2或BD=2
【解析】【解答】（1）如图1，连接AE，
∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，ADE=60°，
∴ADE是等边三角形，
∴AE=AD，DAE=60°，
∵ABC是等边三角形，
∴AB=AC，ABC=BAC=60°，
∴BAC=DAE=60°，
∴BAD=CAE，
在BAD和CAE中，
，
∴，
∴ACE=ABD=60°，BD=CE．
故答案为：60°；BD=CE．
（3）若点D在线段BC上，如图3，
由（2）可知AEC=60°，，
∴AEC=ADB，
∵DEC=30°，
∴ADB=AEC=90°，
∵ABC为等边三角形，AB=4，
∴BD=BC=AB=2；
若点D在BC的延长线上，如图4，
由（2）可得ADE为等边三角形，
∴AED=60°，
∵DEC=30°，
∴CE垂直平分AD（三线合一），
∴AC=CD，
∵ABC为等边三角形，AB=4，
∴BD=BC+CD=BC+AC=2AB=8，
综上所述，BD=2或BD=8．
【分析】（1）连接AE则△ADE为等边三角形，证明△BAD △CAE即可得出结论；
（2）连接AE可得△ADE为等边三角形，证明△BAD △CAE即可得出结论；
（3）分点D在线段BC上和点D在BC的延长线上两种情况讨论，根据等边三角形和垂直平分线的性质即可求解．
21．若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．
【答案】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：
，
解得： ．
则二次函数解析式为y=x2+2x﹣3
【解析】【分析】设出二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将三点坐标代入二次函数解析式求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
22．四边形 ABCD 内接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，点 E在 上，求∠E 的度数.
【答案】解：连接BD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100 ，
∴ ，
∵CB=CD，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】 连接BD，根据圆内接四边形对角互补，可求出∠BCD=180°-∠A=80°，利用等边对等角可得∠DBC=∠CDB，根据三角形的内角和求出∠DBC的度数，利用同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠DBC，从而求出结论.
23．如图，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到（点的对应点为点，延长交于点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：四边形是正方形．
四边形是正方形，
．
由旋转可知，
，，，
，
即．
又，
，，
四边形为矩形．
又，
四边形为正方形．
（2）解：由（1）知，四边形为正方形，
则令正方形的边长为，
，．
在中，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据旋转性质可得，，，再根据角之间的关系可得，，由矩形判定定理可得四边形为矩形．再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）令正方形的边长为，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：四边形是正方形．
四边形是正方形，
．
由旋转可知，
，，，
，
即．
又，
，，
四边形为矩形．
又，
四边形为正方形．
（2）由（1）知，
四边形为正方形，
则令正方形的边长为，
，．
在中，
，
，
，
，
．
24．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 2 1 2 1 …
其中，______．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．
【答案】（1）1
（2）解：将表格数据描点，然后按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接，
如图即为所求：
（3）2；
【解析】【解答】（1）解：当时，
故答案为：1．
（3）解：①由图象可得：函数图象与轴有两个交点
方程有2个实数根
故答案为：2．
②由图象可得：当有4个实数根时，
即直线与图象有4个交点
的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】（1）将代入函数解析式即可；
（2）先描点，然后用平滑的曲线连接即可；
（3）①借助图象与轴的交点个数解答即可；
②根据题意可得直线与图象有4个交点，借助图象回答即可．
（1）解：当时，
故答案为：1．
（2）解：将表格数据描点，然后按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接，
如图即为所求：
（3）解：①由图象可得：函数图象与轴有两个交点
方程有2个实数根
故答案为：2．
②由图象可得：当有4个实数根时，
即直线与图象有4个交点
的取值范围是：．
故答案为：．
25．如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3，求线段AB的长．
【答案】解：作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，
∵BH平分∠ABC，
∴∠CBH=∠ABC，
∵∠B=2∠C，
∴∠CBH=∠C，
∴△HBC为等腰三角形，
∵点E为BC的中点，
∴HE⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴HE∥AD，
∴=，
∵BH为∠ABC的平分线，
∴=，
∴=，即 =，
∴AB=6．
【解析】【分析】作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，由于∠B=2∠C，则∠CBH=∠C，于是可判断△HBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得HE⊥BC，易得HE∥AD，根据平行线分线段成比例定理得 =，接着根据角平分线的性质定理得=，则=，然后把BC=2EC代入计算即可得到AB=6．
26．如图，O是正八边形的外接圆的圆心，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN．求∠MON的度数．
【答案】解：连结OA，OB，则OA=OB，
∠OAB=∠OBC=，
∠AOB=45°.
又AM=BN，故△OAM≌△OBN，
∴∠AOM=∠BON，
∴∠AOB=∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=∠MON=180°-67.5°-67.5°=45°.
【解析】【分析】连结OA，OB，利用正八边形的性质可求出∠OAB，∠OBA的度数，同时求出∠AOB的度数，利用SAS证明△OAM≌△OBN，利用全等三角形的性质可得到∠AOM=∠BON，再证明∠AOB=∠MON，利用三角形的内角和定理可求出结果.
27．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图）.已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2），则：
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少？
【答案】（1）解：∵围墙的总长为50米，2间饲养室合计长x米
∴饲养室的宽米，
∴总占地面积为
（2）解：由题意，令，
∴x=20或x=30，符合题意
∴饲养室的宽或m.
答：若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则当两间饲养室合计长为20m时，饲养室的宽为10m或当两间饲养室合计长为30m时，饲养室的宽为m
【解析】【分析】(1)根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽由矩形的面积=长×宽计算即可；
(2)结合(1)列出关于x的一元二次方程，判断其解的情况即可.
28．如图为某商场设计的自由转动的转盘，顾客购物满100 元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：
转动转盘的次数 100 200 500 800 1 000 2 000 5 000
落在“纸巾”区的次数 71 109 312 473 612 1 193 3 004
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是 (精确到0.1)；
（2）现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据(1)的结论，获得纸巾和免洗洗手液的概率不变，请设计一个可行的摸球抽奖规则，说明步骤；
（3）小明和小亮均获得一次转动转盘的机会，根据(2)中设计的规则，求两人都获得纸巾的概率.
【答案】（1）0.6
（2）解：摸球抽奖规则：把3个白球和2个黑球放入一个不透明的袋子中，顾客购物满100元即可获得一次摸球的机会，当摸到白球时奖品为纸巾，摸到黑球时奖品为免洗洗手液；
（3）解：画树状图如图：由图可知，一共有25种可能的结果，并且每一种结果出现的可能性相等，其中两人都获得纸巾的结果有9种，所以两人都获得纸巾的概率为
【解析】【解答】解：(1)频率比分别为：，，，....，观察频率变化趋势
故估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率约是0.6；
【分析】(1)分别计算落在“纸巾”区的频率及变化趋势知获得纸巾的概率；
(2)根据(1)中的概率设计摸球抽奖规则，即设计白球与总球数量比为0.6的抽奖方式；
(3)利用树状图将(2)中抽奖的所有可能结果列出，即可得获得纸巾的概率.
29．将5个完全相同的小球分装在甲．乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．
（1）用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上的数之和为5的概率．
（2）摸出的两个球上的数之和为多少时的概率最大？
【答案】（1）解：根据题意画出树状图如下：
所有等可能的结果总数为6，其中和为5的结果为1种，
所以摸出的两个球上的数之和为5的概率为；
（2）解：所有可能的结果总数为6，其中和为5的结果为1种，和为4的结果为1种，和为6的结果为2种，和为7的结果为1种，和为8的结果为1种，
∴摸出的两个球上的数之和为6的概率最大.
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知：所有等可能的结果总数为6，其中和为5的结果为1种，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）根据树状图，发现其中和为6的结果数最多，共有2种，从而可得答案.
30．为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．
（1）该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．
共有16种等可能结果，其中符合题意的有1种，
∴该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率为
【解析】【解答】（1）解：依题意，内容有四项，该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据列表法求概率即可求解．
（1）解：依题意，内容有四项，该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是，
故答案为：．
（2）解：列表如下，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．
共有16种等可能结果，其中符合题意的有1种，
∴该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率为
31．如图，在菱形中，E为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的边长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
，
为边长，
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质结合平行线的性质得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据菱形的性质得到，进而根据相似三角形的性质得到，从而结合题意代入数值即可求出AB。
32．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=4，AE=1.5．求AC的长．
【答案】解：∵AD=2，BD=4，∴AB=6，
∵DE∥BC，
∴，
即
解得：AE=4.5，
【解析】【分析】先求出AB的长，然后根据平行线分线段成比例得到，则可计算求出AE值即可．
33．某校元旦晚会设立了抽奖活动，共准备150张奖券，设特等奖1个，一等奖15个，二等奖30个，三等奖50个．已知每张奖券获奖的可能性相同．求：
（1）一张奖券中特等奖的概率．
（2）一张奖券中奖的概率．
（3）一张奖券中一等奖或二等奖的概率．
【答案】（1）解：∵共有150张奖券，设特等奖1个，
∴一张奖券中特等奖概率为；
（2）解：∵共有150张奖券，
中奖券共有1+15+30+50=96（张），
∴一张奖券中奖概率为；
（3）解：∵共有150张奖券，
中一等奖券和二等奖券共有15+30=45（张），
∴ 一张奖券中一等奖或二等奖的概率为.
【解析】【分析】 （1）根据概率公式用特等奖的数量除以奖券的总数即可得出答案；
（2）根据概率公式用中奖的数量除以奖券的总数即可得出答案；
（3）根据概率公式用一等奖、二等奖的数量除以奖券的总数即可得出答案．
34．已知抛物线的图象的顶点坐标为 ，且过点 ，求此抛物线的解析式.
【答案】解：设抛物线解析式为y=a（x-2）2-3，
把（4，1）代入得4a-3=1，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x-2）2-3.
【解析】【分析】设抛物线解析式为y=a(x-2)2-3，将点（4，1）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.
35．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点．CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，求四边形AEOD的面积．
【答案】解：∵在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，
∴CD∥AB，CD=AB=2BE，
∴△DOC∽△BOE，
∴=2，
∴，
∵S△EOB=1，
∴S△BOC=2，S△DOC=4，
∴S△BCD=6，
∴S△DAB=6，
∴四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质即可得出答案。
36．如图，在ABCD中，E是 BC的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，AF=CF.
（1）求证： ABCD是菱形.
（2）若∠BAD=120°，AF=4，求ABCD的面积.
【答案】（1）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
∵AF＝CF，
∴BO⊥AC．
∴四边形ABCD是菱形． （其它正确的方法酌情给分）
（2）解：∵E为BC边上的中点，AO＝CO，
∴AE＝6
∴点F是△ABC的重心．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE⊥BC，
∴AB＝4，
∴BC＝ 4，
∴S＝ 4× 6 ＝ 24．
（其它正确的方法酌情给分，如由相似得出AE=6，得2分）
【解析】【分析】（1）通过说明平行四边形ABCD的对角线互相垂直，来说明它是菱形；
（2）先说明F是△ABC的重心，再证明△ABC是等边三角形， 接着求出AB，BC，再求出ABCD的面积.
37．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边的延长线交于点，垂足为点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：是的垂直平分线，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得到，进而根据矩形的性质结合平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可得到，再结合题意运用菱形的判定即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AC，进而即可得到AO，再结合题意即可得到，从而运用相似三角形的判定与性质证明即可得到AF，再运用勾股定理结合菱形的性质即可求解。
38．某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开.小俊设计了如图R7-7所示的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长.
（1）若按方案甲施工，且围成面积为 25 平方米的花圃，则AD的长是多少米
（2）按哪种方案施工，可以使围成的矩形花圃的面积最大 最大面积是多少
【答案】（1）解：设 AB的长是x 米，则AD=(20-3x)米.
根据题意，得x(20-3x)=25，解得
当 时，AD=15米>6米，不符合题意，
∴x=5，∴AD=5米.
答：AD的长是5米.
（2）解：按甲方案：设BC的长是m米，矩形花圃的面积是 y平方米，
则 米.
根据题意，得
∴当m<10时，y随m的增大而增大.
∵0∴当m=6时，y取得最大值，最大值为28.
按乙方案：设BC的长是n米，矩形花圃的面积是 S平方米，则 米.
根据题意，得
∴当 时，S取得最大值，最大值为
∴按方案乙施工，可以使围成的矩形花圃的面积最大，最大面积是 平方米.
【解析】【分析】(1)设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
(2)分别按甲、乙两种方案根据面积公式列出的函数关系式，再根据函数的性质解答求出最大值进行比较，从而确定按那种施工方案进行施工.
39．设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 …
… 1 …
（1）若，，
①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
（2）当，时，求的取值范围．
【答案】（1）解：①∵，，
∴将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②∵函数图象的顶点坐标为，且，
∴当时，随的增大而增大；
（2）解：∵，∴将代入，得，
∴，
将代入
，得，
解得，即，
将代入，
得，
即．
【解析】【分析】
（1）①将，代入，列关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
②根据二次函数的性质即可求解；
（2）将代入，求得，将代入，求得，再将代入，整理即可求解．
（1）解：①∵，，
∴将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②∵函数图象的顶点坐标为，且，
∴当时，随的增大而增大；
（2）解：∵，∴将代入，
得，
∴，
将代入
，得，
解得，即，
将代入，
得，
即．
40．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】（1）解：令x=0，则y=-x+5=5，
∴点A的坐标为(0，5)，
将B(a，4)代入y=-x+5得，4=-a+5
∴a=1，
∴B(1，4)，
将B(1，4)代入得，，
解得k=4，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：设直线l与y轴交于M，直线y=-x+5与x轴交于N，
令y=-x+5=0得，x=5，
∴N(5，0)，
∴OA=ON=5，
∵∠AON=90°，
∴∠OAN=45°，
∵A(0，5)，B(1，4)，
∴，
∵直线l是AB的垂线，即∠ABM=90°，∠OAN=45°，
∴，，
∴M(0，3)，
设直线l的解析式为y=k1x+b1，
将M(0，3)，B(1，4)代入y=k1x+b1得，
解得
∴直线l的解析式为y=x+3，
设点C的坐标为(t，t+3)，
∵，
解得t=-4或t=6，
当t=-4时，t+3=-1，
当t=6时，t+3=9，
∴点C的坐标为(6，9)或(-4，-1)
（3）解：∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
将直线l与双曲线的解析式联立方程组
解得，或
∴E(-4，-1)，
画出图形如图所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB=∠PDE，
∴AB//DE，
∴直线AB与直线DB的一次项系数相等，
设直线DE的解析式为y=-x+b2，
∴-1=-(-4)+b2，
∴b2=-5，
∴直线DE的解析式为y=-x-5，
∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，
∴解方程组得，或
∴D(-1，-4)
则直线AD的解析式为y=9x+5，
解方程组得：，
∴
∴，
，
∴
【解析】【分析】(1)解方程得到点A的坐标为(0，5)，将B(a，4)代入y=-x+5得，4=-a+5，求得B(1，4)，将B(1，4)代入得，即可求得反比例函数的表达式；
(2)设直线l与y轴交于M，直线y=-x+5与x轴交于N，解方程得到N(5，0)，求得OA=ON=5，根据两点间的距离的结论公式得到，求得M(0，3)，待定系数法求得直线l的解析式为y=x+3，设点C的坐标为(t，t+3)，根据三角形的面积公式列方程得到t=-4或t=6，进而即可得到答案；
(3)解方程组求得B(-4，-1)，根据相似三角形的性质得到∠PAB=∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB//DE，求得直线DE的解析式为y=-x-5，解方程组得到D(-1，-4)，则直线AD的解析式为y=9x+5，于是得到，根据两点间的距离距离公式即可得到结论.
41．某游乐场的圆形喷水池中心 有-雕塑 ， 从点 向四周喷水， 喷出的水柱为抛物线，且形状相同． 如图， 以水平方向为 轴， 点 为原点建立直角坐标系， 点 在 轴上， 轴上的点 为水柱的落水点， 水柱所在抛物线 （第一象限部分） 的函数表达式为 +6 ．
（1）求雕塑高 ．
（2） 求落水点 之间的距离．
（3） 若需要在 上的点 处坚立雕塑 ． 问： 顶部 是否会碰到水柱？ 请通过计算说明．
【答案】（1）解：当 时， ，
点 的坐标为 雕塑高 ．
（2）解：当 时， ，
解得 (舍去)， ，
点 的坐标为 ．
从点 向四周喷水， 喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
．
（3）解：当 时， ．
点 在拋物线 上．
又 顶部 不会碰到水柱．
【解析】【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
(3)代入x=10求出y值，进而可得出点在抛物线上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱.
42．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣），求△ABN的面积s与t的函数解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可得：，
解得：．
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；
（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，
∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，
∴S=AB PN
=×（2+）×（﹣t2+t+1）
=（﹣t2+t+1）
=﹣t2+t+；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴=，
∴=，
∴PN=2PO．
当0＜t＜2时，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，
∴﹣t2+t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，
解得：t3=﹣，t4=1．
∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
故点N的坐标为（1，2）．
【解析】【分析】（1）可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）当﹣＜t＜2时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO．由于PO=|t|，根据0＜t＜2，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可解决问题．
43．已知：抛物线的顶点落在直线l：上，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将l向上平移b（b>0）个单位，设其与抛物线的交点分别为，，（在左侧）
①请用b表示；
②当时，设此时l与y轴交点为F，将l绕点F转动，转动后与抛物线的交点设为，（在左侧），过，分别作x轴的垂线，垂足分别为点，，连接，，设其交点为T，求转动过程中，T到直线距离的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点为，
∵在上，
∴，
∴抛物线解析式为：。
（2）解：①由题可知：平移之后的直线解析式为：，
∴与y轴交点坐标为：，
联立与得：，解得：，
∵在左侧，
∴的横坐标为，的横坐标为，
∴；
②当时，平移后的直线l：，故，
设直线的解析式为：，设，，则，，
∵、在直线上，
∴，消去k得：，
设直线解析式为：，
将，代入可得：，解得：，
∴直线解析式为：，
同理可得：直线解析式为：，
联立上面两个解析式可得：，
整理可得：，，
∴，
∴当直线旋转至水平直线时，T到其距离最大，此时直线解析式为：
∴T到直线距离的最大值为1。
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，先求出其顶点坐标，然后再将顶点坐标代入一次函数，求出a的值，然后再将a的值代入抛物线的解析式中，即可求出抛物线的解析式。
（2）①根据平移的方法，求出平移后的直线解析式，然后再根据平移后的解析式与y轴交点，求出交点坐标，然后再联立（1）中求出的抛物线的解析式和平移后的直线解析式，求出，的横坐标，然后再根据三角形的面积公式，求出；
②将b=1代入 ，求出平移后的解析式，求出F点的坐标，设直线的解析式为：，设，，求出，，将、的坐标代入上，求出直线解析式，设直线 解析式为：，将， 代入 ，求出直线 解析式，同理，求出直线 解析式，然后再联合 和的解析式，即可求出T点坐标，当直线 旋转至水平直线时，T到其距离最大，据此即可求解。
（1）解：由题意可知：抛物线的顶点为，
∵在上，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：①由题可知：平移之后的直线解析式为：，
∴与y轴交点坐标为：，
联立与得：，解得：，
∵在左侧，
∴的横坐标为，的横坐标为，
∴；
②当时，平移后的直线l：，故，
设直线的解析式为：，设，，则，，
∵、在直线上，
∴，消去k得：，
设直线解析式为：，
将，代入可得：，解得：，
∴直线解析式为：，
同理可得：直线解析式为：，
联立上面两个解析式可得：，
整理可得：，，
∴，
∴当直线旋转至水平直线时，T到其距离最大，此时直线解析式为：
∴T到直线距离的最大值为1．
44．某公司购进一批受环境影响较大的商品，该商品需要在特定的环境中才存．已知该商品成本（元/件）与保存的时间第（天）之间的关系满足，该商品售价（元/件）与保存时间第（天）之间满足一次函数关系，其对应数据如下表所示：
x天 … 1 2 …
（元/件） … 97 105 …
（1）求商品的售价（元/件）与保存时间第（天）之间的函数解析式：
（2）求保存第几天时，该天此商品不赚也不亏；
（3）请你帮助该公司确定在哪一天卖出时，该天每件商品能获得最大利润，并求此时每件商品的售价是多少？
【答案】（1）解：设该函数解析式为p-kx+b.
把和他入得：
．
解得．
∴该函数解析式为p=8x+89；
（2）解：根据题意得∶8x+89=x2+2x+17.
解得（舍去），
∴保存第12天时，该大此商品不赚也不亏；
（3）解：设每件商品所获利润为w元，依题意得：
．
，开口向下
当时，能获行级大利润．
此时．
答：该商品在第3天卖出时，该天每件商品能获得最大利润。此时每件商品的售价为113元.
【解析】【分析】(1)从表中选取两组数据，用待定系数法求出解析式。
(2) 此商品不赚也不亏 ，则成本和售价相等，由此可列方程进行求解。
(3)设每件商品所获利润为w元，根据W=P-y列出关系式，再根据关系式求出最大值和此时的售价。
45．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，以为边．在x轴上方作正方形，延长交抛物线于点D，再以为边向上作矩形，使．
（1）求a的值：
（2）求点F的坐标．
【答案】（1）解：依题意得：把点代入中，
得；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
当时，，
即，
解得，（舍去），
∴，
则，
四边形是矩形，且，
所以，
∴，
∴点F的坐标为．
【解析】【分析】 (1)函数解析式里面有一个未知数，已知图象上一点坐标，代入坐标即可求出未知数；
(2)根据题意结合图象，F的横坐标与A相同，纵坐标是AB加上BF的长，根据正方形和矩形的性质找到等长易求的线段，整理思路求解即可。
46．如图，已知点M(x ，y )，N(x ，y )在二次函数的图象上，且
（1）若二次函数的图象经过点(3，1)，
①求这个二次函数的表达式.
②若y =y ，求顶点到MN的距离.
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.
【答案】（1）解：① 二次函数，把 (3，1)代入得a-1=1，解得a=2，
∴二次函数的解析式为；
②
，顶点为（2，-1），对称轴为直线x=2，
y =y ，∴M、N两点关于对称轴对称，
∴，
当时，，
∴顶点到MN的距离为.
（2）解：，对称轴为直线x=2，
① 点M，N在对称轴的异侧，时，
由题意得，
当x=2时，函数有最小值，此时y=-1， 二次函数的最大值与最小值的差为1，
最大值为，
∴，，∴；
②点M，N在对称轴的异侧，时，
由题意得，
当x=2时，函数有最小值，此时y=-1， 二次函数的最大值与最小值的差为1，
最大值为，
∴，，∴；
综上所述：.
【解析】【分析】（1）① 根据待定系数法，把 (3，1)代入，即可得解；
②由①得：，顶点为（2，-1），对称轴为直线x=2，最小值为-1，由题意M、N两点关于对称轴对称， 求出，即可得解；
（2），对称轴为直线x=2，分类讨论：① 点M，N在对称轴的异侧，时，由题意得；②点M，N在对称轴的异侧，时，由题意得，分别求出a的取值范围，即可得解.
47．如图1，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E是对称轴l右侧抛物线上一点，且S△ADE=2S△AOC，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DC并延长交x轴于点F，设P为线段BF上一动点(不与B、F重合)，过点P作PQ BD交直线BC于点Q，将直线PQ绕点P沿顺时针方向旋转45 后，所得的直线交DF于点R，连接OR．请直接写出当△PQR与△PFR相似时点P的坐标．
【答案】（1）解：将A(-1，0)、B(3，0)代入二次函数y=x2+bx+c，得
解得
则二次函数为y=x2-2x-3.
（2）解：设E（m，m2–2m–3），过点E作EM//x轴，交AD于点M，
由二次函数为y=x2-2x-3，可得C（0，-3），D（1，-4），
则S△ADE=S△AOC=2× ×3×1=3.
∵A（–1，0）、D（1，–4）
∴直线AD为：y=–2x–2，
∵E（m，m2–2m–3），
∴M（ m2+m+ ，m2–2m–3），
∴EM= m-（ m2+m+ ）= m2 ，
∴S△ADE= ×4EM=2EM= m2-1=3，
解得m=±2（其中m =–2舍去），
∴E（2–3）．
（3）解：由B（3，0）和C（0，-3）可得直线BC为y=x-3，
由B（3，0）和D（1，-4）可得直线BD为y=2x-6，
设P（n，0），因为PQ//BD，则可设PQ为y=2（x-n），
联立
解得
则Q（2n-3，2n-6），
由C（0，-3）和D（1，-4）可得直线CD为y=-x-3，则F（-3，0），
所以OF=OC，则∠OFR=45°，
则∠RPQ=∠OFR=45°.
当△QPR与△PFR时，有△RPQ~△PFR和△QPR~△PFR两种情况：
①当△RPQ~△PFR时，∠QRP=∠RPF，则RQ//x轴，则点R的纵坐标与点Q相等，
当y=2n-6代入直线CD可解得x=-2n+3，R(-2n+3，2n-6)，
即RQ=2n-3-(-2n+3)=4n-6，RP2= ，
又PF=3+n，因为 ，
所以RP2=PF·RQ，
即 =（3+n）(4n-6)，
化简得9n2-48n+63=0，
即（3n-7）（3n-9）=0，
解得n= 或n=3（舍去）；
当n= 时，P1（ ，0）；
②当△QPR~△PFR时，∠PRQ=∠FRP，P2（0，0）.
综上，P1（ ），P2（0，0）.
【解析】【分析】（1）二次函数中只有两个未知数，所以只需要将两个点的坐标代入函数中解出b，c的值即可；（2）由二次函数的解析式可求出C的坐标，从而求出S△AOC及S△ADE的值，过点E作EM//x轴，交AD于点M，则S△ADE= S△AME+S△DME= ×EM×|yE|+ ×EM×（|yD|-|yE|）= ×4EM，可设E（m，m2–2m–3），用含m的代数式表示EM，从而解出m的值即可.（3）唯一可确定的是∠RPQ=∠OFR=45°，即点P与点F对应，则有△RPQ~△PFR和△QPR~△PFR两种情况，需要分类讨论.
48．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米.
（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值.
【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 (10，6)，设水流形成的抛物线为 将点 (0， 1)代入可得
∴抛物线为 当x=15时，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）解：由题可知A 点坐标为(15，3)，则直线OA为
∴当x=8时， y1-y2的最大值为 ； 答： y1-y2的最大值为
【解析】【分析】(1)利用顶点式设抛物线解析式为将(0，1)代入得a的值即得抛物线解析式，令x=15得y的值即知能否浇到草坪；
(2)先求出可得，即知当x=8时，可得最大值.
49．小明对他击羽毛球的路线进行分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若小明选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若小明选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）通过分析发现，上面两种击球方式均能使球过球网．要使球的落地点到点C的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式；
（3）小明在点P处再次以吊球的方式击球，此次羽毛球飞行路线的形状与的相同，且恰好落到点C处，则此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离比 （填“大”或“小”）．
【答案】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，
解得：（不合题意，舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
（3）大
【解析】【解答】（3）解：∵，，
∴，
∴点C的坐标为，
设抛物线的解析式为，把点P和点C的坐标代入得到，
解得，
即此时抛物线的解析式为，
∴此次飞行路线的最高点是，
∴此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离为，
即此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离比大．
故答案为：大
【分析】（1）对于一次函数，令x=0，可求得点P的坐标，再代入二次函数即可求得的值；
（2）由题意可知OC=5，令y=0，代入两个函数的解析式，建立方程，即可求得落地点到O点的距离，即可判断谁更近；
（3）用待定系数法求出此时抛物线的解析式，确定此次飞行路线的最高点的坐标，即可得到答案．
50．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2ax+2(a<0)的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴．
（2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值；
（3）抛物线上的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若对于t【答案】（1）解：令x=0得y=2，
∴A(0，2)，
∵y=ax2-2ax+2=a(x-1)2+2-a，
∴二次函数图象的对称轴是直线x=1．
（2）解：由a<0可知抛物线开口向下，
∵对称轴是直线x=1，当0≤x≤3时，y的最大值是3，
∴最大值在顶点处取得，
∴2-a=3，解得a=-1，
∴二次函数表达式为y=-x2+2x+2，
∵抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，
∴当x=3时，y有最小值，y'=-32+2×3+2=-1；
（3）解：∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，y1≠y2，
∴P(x1，y1)，Q(x2，y2)不关于对称轴x=1对称，
∴x1+x2≠2恒成立，即：x1+x2>2成立或x1+x2<2成立，
∴t+(t+2)>2或(t+1)+(t+3)≤2，
解得t≥0或t≤-1．
∴t的取值的范围t≥0或t≤-1
【解析】【分析】（1）令x=0求出y的值，即可求出点A的坐标，再将二次函数解析式改写成顶点式，可知二次函数的对称轴；
（2）由题意得：抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，当0≤x≤3时，y的最大值是3且最大值在顶点处取，得到2-a=3，计算出a的值，进而得到二次函数解析式为y=-x2+2x+2，得到抛物线开口向下时，且离对称轴越远，函数值越小，据此可求出y的最小值；
（3）由题意得到P(x1，y1)，Q(x2，y2)不关于对称轴x=1对称，故x1+x2≠2恒成立，进而分情况讨论，①x1+x2>2成立，②x1+x2<2成立，分别解不等式即可求解.
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