【临考冲刺·50道解答题专练】沪科版数学八年级上册期末总复习（原卷版+解析版）

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【临考冲刺·50道解答题专练】沪科版数学八年级上册期末总复习
1． 如图， AD是△ABC 的高线， AE是△ABC的角平分线， ∠C=30°， ∠B=80°
（1） 求∠DAE 的度数；
（2） 请探究∠DAE与∠B， ∠C的关系， 并说明理由。
2．已知：如图，，，，．
（1）求的度数．
（2）求证：．
3．已知一个一次函数的图象过点和．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当时，求y的值．
4． 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”。
（1） 如图1，在中， ， ， CD为角平分线，则“　 　倍角三角形”（填“是”或“不是”）；
（2） 如图2，在中， ， ， 求证： 是“倍角三角形”；
（3） 如图3，在中， ， CD把分成和两个小三角形， 若为等腰三角形， 是“倍角三角形”， 请直接写出所有可能的的度数.
5．已知一次函数，其中．
（1）若点在的图象上，求的值；
（2）当时，若函数有最大值，求的函数表达式；
（3）对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围．
6．如图，点B、D、C、F在同一条直线上，，，．AB与DE相等吗？说说你的理由．
7．如图，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，则∠EOF＝　 　；
（2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝　 　；
（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB有何数量关系？写出来并说明理由；
（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗？请说明理由．
8．如图，已知△ABC中，∠B＝∠E＝40°，且AD平分∠BAE．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若AB＝CD，求∠ACD的大小．
9．如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，tan∠OAB=，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．
（1）求直线y=kx+3的解析式；
（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是4．
10．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．
（1）写出点B的坐标
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
11．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，点在上，使．
（1）求证：．
（2）请判断之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，试说明：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）∠ABF＝2∠FBD；
13．如图，已知AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝135°。求∠ADC的度数
14．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
15．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，
（1）若∠A=40°，∠B=60°，求∠DCE的度数.
（2）若∠A=m，∠B=n，则∠DCE=______（直接用m、n表示）
16．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点．求该函数关系式．
17．已知是的正比例函数，当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求的最大值．
18．如图，AB//CD．∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD//BE，请你将下面解答过程填写完整．
解：∵AB//CD，
∴∠4=　 　（　 　）
∵∠3=∠4
∴∠3=　 　（　 　）
∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAE
即∠BAE=　 　．
∴∠3=　 　　 　）
∴AD//BE（　 　）
19．如图，△ABC 的面积是 30， 求阴影部分的面积之和.
20．如图所示.在△ABC中，D是BC边上一点∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠1和∠DAC的度数.
21．如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）判断△ADE是什么特殊三角形，并说明理由.
22．如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点M、N，且∠1＝∠2，MO、NO分别平分∠BMF和∠END，试判断△MON的形状，并说明理由．
23．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若BD=AD，FD=CD．猜想：BF与AC的关系，并证明．
24． 宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义.试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距1260千米，两车同时出发，两车出发后3小时相遇，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）普通列车到达终点共需　 　小时，它的速度是　 　千米/小时；
（2）求动车的速度；
（3）动车行驶多长时间与普通列车相距140千米？
25．如图所示，已知△ABC和直线MN．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）
26．如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
27．某学校的复印任务原来由甲复印社承包，其收费y甲(元)与复印页数x(页)的关系如下表：
x/页 100 200 400 1 000 …
y甲/元 40 80 160 400 …
（1）根据表格信息写出y甲与x之间的关系式.
（2）现在乙复印社表示：若学校每月先付200元的承包费，则可按每页0.15元收费.求乙复印社每月收费y乙(元)与复印页数x(页)之间的关系式.
（3）若学校每月复印页数在1 200页左右，选择哪个复印社花费少
28．邓家香腊鸭是广安区的著名美食，深受食客们的喜爱．某特产专卖店购进一批袋装腊鸭，成本为40元/袋．经市场调研发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．设销售单价降低x元时，每天的销售量为y袋．
（1）求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量x的取值范围）
（2）该特产专卖店计划销售这种腊鸭的利润率不得低于30%，那么当销售单价定为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少袋？（）
29．如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC是怎样的位置关系？为什么？
30．如图，，是的中线，，求：的度数．
解：∵是边上的中线，∴_________（中线的定义）
在和中，
∴____________________（________）∴（______________________）
∵（已知）
∴（等量代换）
31．已知与成正比例，且当时，．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）判断点是否在这个函数的图象上．
32．如图，在中，和的平分线相交于点．
（1）若，求的度数．
（2）当为多少度时，？
33．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y=﹣2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，求这个一次函数的解析式．
34．如图，在等腰△ABC中，∠A是顶角，N是边AB上任意一点（不与点A、B重合），过点N作NM⊥AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A＝30°，求∠NMB的度数.
35．一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90 ，∠C=25 ，∠B=25 ，检验员已量得∠BDC=150 ，请问：这个零件合格吗？说明理由。
36．如图，在 中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD.若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数.
37．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往距离学校360千米的基地进行研学活动．大巴车匀速行驶1小时后，学校因事派人乘坐轿车匀速沿同一路线追赶，大巴车降低速度继续匀速行驶，轿车行驶1.5小时后追上大巴车，两车继续匀速行驶到达基地．如图表示大巴车和轿车离学校的距离（千米）与大巴车出发时间（时）之间函数关系的部分图象．结合图中提供的信息，解答下列问题：
（1）轿车的速度为　 　千米/时，大巴车行驶1小时后的速度为　 　千米/时；
（2）求大巴车出发1小时后与的函数解析式，并补全函数图象；
（3）轿车到达基地时，大巴车距离基地还有多远？
38．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线DP与BC边交于点P，连接AP，若△APC的周长为12，AD长为2，求△ABC的周长．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．
39．已知，点．
（1）若点P在x轴上方，且到x轴的距离为6，求点P的坐标；
（2）若点Q在y轴上，且平行于x轴，，求P点的坐标．
40．讨论一道开放性试题，老师要求同组每位同学至少要和三位同学交换意见.某学习小组共有11名同学，讨论完后有两位同学说自己和4位同学交换了意见.请证明至少还有一位同学也至少和4位同学交换了意见；
41．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点．
（1）求点到直线的距离．
（2）以为边作正方形，求点的坐标．
42．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元.设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元(043．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为.在轴的负半轴上有一点，直线AB上有一点，且OD
（1）求b的值及点的坐标.
（2）在线段AB上有一个动点，点的横坐标为，作点关于轴的对称点，当点落在内（不包括边界）时，求的取值范围.
44．【材料：学习理解】
定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”．
定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标．
分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为．
【任务1：特值感悟】若坐标为，
①到的“纵横值” （直接写出）；
②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）；
【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）；
【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，
①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；
②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ．
45．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．
46．在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
（1）求线段的长度；
（2）连接，求的度数；
（3）如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
47．如图，直线y= x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y= x+6上一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为 ，求出此时点P的坐标；
（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．
48．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，．点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1） ， ．
（2）连接，若的面积为3，求t的值；
（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
49．如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点．
（1）求的值；
（2）直接写出不等式组的解集：　 　；
（3）点是直线上一点，且满足，求点的坐标．
50．【特例感知】
（1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
①若，则线段 ；
②若，则线段 ；
【知识迁移】
（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数；
【拓展探究】
（3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示）
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【临考冲刺·50道解答题专练】沪科版数学八年级上册期末总复习
1． 如图， AD是△ABC 的高线， AE是△ABC的角平分线， ∠C=30°， ∠B=80°
（1） 求∠DAE 的度数；
（2） 请探究∠DAE与∠B， ∠C的关系， 并说明理由。
【答案】（1）解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠B=80°， ∠C= 30°，
∴∠BAC =180°-(∠B+∠C)=180-(80°+30°)= 70°，
∵AE平分∠BAC，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-80°=10°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°；
（2）
理由： 由 (1) 可知 ∠DAE =∠BAE-∠BAD，
【解析】【分析】(1)首先计算出∠BAC的度数，然后再根据角平分线定义可得∠BAE的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠BAD的度数，进而可得∠DAE的度数；
(2)由 (1) 知∠DAE=∠BAE-∠BAD， 再把∠ 代入整理可得答案.
2．已知：如图，，，，．
（1）求的度数．
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）证明∵，
∴
∴.
【解析】【分析】（1）根据得，再根据，得，从而得，进一步可求出的度数.
（2）由得，于是可证明.
3．已知一个一次函数的图象过点和．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1）解：设这个一次函数的解析式为，
∵的图象过点和，
，
解方程组得，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，．
【解析】【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将x=3代入解析式即可求出答案.
（1）解：设这个一次函数的解析式为，
∵的图象过点和，
，
解方程组得，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，．
4． 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”。
（1） 如图1，在中， ， ， CD为角平分线，则“　 　倍角三角形”（填“是”或“不是”）；
（2） 如图2，在中， ， ， 求证： 是“倍角三角形”；
（3） 如图3，在中， ， CD把分成和两个小三角形， 若为等腰三角形， 是“倍角三角形”， 请直接写出所有可能的的度数.
【答案】（1）是
（2）解：在中，，
是“倍角三角形”
（3）解：或或或.
【解析】【分析】
（1）先由内角和定理求出，则，故是“倍角三角形”；
（2）先由内角和定理结合已知可得，再由等边对等角可得，即有，再由三角形的外角性质可得，即有，故 是“倍角三角形”.
5．已知一次函数，其中．
（1）若点在的图象上，求的值；
（2）当时，若函数有最大值，求的函数表达式；
（3）对于一次函数，其中，当时，都成立，求，的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得，∴；
（2）解：当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
（3）解：如图：
分为两种情况：
①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，
即当一次函数与一次函数的图象平行时，
若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方，
此时，
即，；
②当一次函数与一次函数的图象有交点时，
若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴，
此时时，都成立，
即，；
综上，，的取值范围为：，或且，．
【解析】【分析】（1）把代入中可求出a的值；
（2）分类讨论：在y1=ax+1中，当时，y1随x的增大而增大，故时，，然后把代入求出的值，即可得一次函数解析式；在y1=ax+1中，当时，y1随x的增大而减小，故时，，把代入求出的值，即可得一次函数解析式；
（3）分类讨论：结合图象，①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，②当一次函数与一次函数的图象有交点时，求解即可.
（1）解：把代入得，
∴；
（2）解：当时，随的增大而增大，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，随的增大而减小，
∵当时，函数有最大值，即时，，
把代入得，
解得，
此时一次函数解析式为；
（3）解：如图：
分为两种情况：
①当一次函数与一次函数的图象没有交点时，
即当一次函数与一次函数的图象平行时，
若满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方，
此时，
即，；
②当一次函数与一次函数的图象有交点时，
若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴，
此时时，都成立，
即，；
综上，，的取值范围为：，或且，．
6．如图，点B、D、C、F在同一条直线上，，，．AB与DE相等吗？说说你的理由．
【答案】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴．
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明即可。
7．如图，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）如图①，若点A、O、B在一条直线上，则∠EOF＝　 　；
（2）如图②，若点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，则∠EOF＝　 　；
（3）由以上两个问题发现：当∠AOC在∠BOC的外部时，∠EOF与∠AOB有何数量关系？写出来并说明理由；
（4）如图③，若OA在∠BOC的内部，∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗？请说明理由．
【答案】（1）90°
（2）70°
（3）解：．理由如下：
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴，
∴，
．
（4）解：存在．理由如下：
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COF＝∠COB；∠COE＝∠AOC；
∴∠EOF＝∠COB﹣∠AOC＝（∠BOC﹣∠AOC）＝∠AOB．
【解析】【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠AOC=2∠COE，∠BOC=2∠COF，
∵点A、O、B在一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠COE+2∠COF=180°，
∴∠COE+∠COF=90°，
即∠EOF=90°，
故答案为：90°；
（2）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠AOC=2∠COE，∠BOC=2∠COF，
∵点A、O、B不在一条直线上，∠AOB＝140°，
∴∠AOC+∠BOC=140°，
∴2∠COE+2∠COF=140°，
∴∠COE+∠COF=70°，
故答案为：70°.
【分析】（1）根据角平分线求出∠AOC=2∠COE，∠BOC=2∠COF，再求出∠AOC+∠BOC=180°，最后计算求解即可；
（2）根据角平分线求出∠AOC=2∠COE，∠BOC=2∠COF，再求出∠AOC+∠BOC=140°，最后计算求解即可；
（3）根据角平分线求出， 再求出， 最后证明求解即可；
（4）根据角平分线求出∠COF＝∠COB；∠COE＝∠AOC，再计算求解即可。
8．如图，已知△ABC中，∠B＝∠E＝40°，且AD平分∠BAE．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若AB＝CD，求∠ACD的大小．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAD＝30°
∵AD＝AD，∠B＝∠E＝40°
∴△ABD≌△AED（AAS）
∴BD＝ED；
（2）解：∵∠ADE＝∠ADB＝180°-∠B-∠BAD＝110°，
∵∠ADC＝70°，
∴∠EDC＝110°-70°＝40°．
∴∠EDC＝∠E=40°．
∴FD＝FE，∠DFE=100°，
∵△ABD≌△AED，
∴AB=AE，
∴AE＝AB＝CD，
∴CF＝AF．
∵∠AFC＝100°，
∴∠ACD＝40°．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等，就可以证出；
（2）根据等边对等角求得∠EDC＝∠E，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底角所对的边相等；即可求解．
9．如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，tan∠OAB=，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．
（1）求直线y=kx+3的解析式；
（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是4．
【答案】解：（1）∵直线y=kx+3与y轴交于B点，∴B（0，3），∵tan∠OAB=，∴OA=4，∴A（4，0），∵直线y=kx+3过A（4，0），∴4k+3=0，∴k=﹣，∴直线的解析式为：y=﹣x+3；（2）∵A（4，0），∴AO=4，∵△AOC的面积是4，∴△AOC的高为：2，∴C点的纵坐标为2或﹣2，∵直线的解析式为：y=﹣x+3经过C点，∴2=﹣x+3，或﹣2=﹣x+3，解得x=，或x=∴点C点坐标为（，2）或（，﹣2）时，△AOC的面积是4．
【解析】【分析】（1）根据直线y=kx+3与y轴分别交于B点，以及tan∠OAB=，即可得出A点坐标，从而得出一次函数的解析式；
（2）根据△AOC的面积是4，得出三角形的高，即可求出C点的坐标．
10．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．
（1）写出点B的坐标
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】解：（1）根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC与x轴平行；
故B的坐标为（4，6）；
（2）根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度，
当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位，
此时P的坐标为（4，4），位于AB上；
（3）根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况：
P在AB上时，P运动了4+5=9个长度单位，此时P运动了4.5秒；
P在OC上时，P运动了4+6+4+1=15个长度单位，此时P运动了=7.5秒．
【解析】【分析】（1）根据长方形的性质，易得P得坐标；
（2）根据题意，P的运动速度与移动的时间，可得P运动了8个单位，进而结合长方形的长与宽可得答案；
（3）根据题意，当点P到x轴距离为5个单位长度时，有P在AB与OC上两种情况，分别求解可得答案．
11．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，点在上，使．
（1）求证：．
（2）请判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：，平分，
，，
又，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】
（1）先由角平分线的性质定理可得DC＝DE，再利用HL证明即可；
（2）由可得AE＝CF，再利用HL证明可得BE＝BC，再等量代换可得AB＝CF+BC＝2CF+BC.
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，试说明：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）∠ABF＝2∠FBD；
【答案】（1）解：因为所以
又因为所以
在△AEF和△CEB中，
所以△AEF≌△CEB(ASA)．
（2）解：由△AEF≌△CEB得
所以
在△ABC中，
所以.所以.所以
因为
所以
即
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案。
（2）根据全等三角形性质 得 根据三角形性质即可求出答案。
13．如图，已知AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝135°。求∠ADC的度数
【答案】解：在△ABC与△ADC中
∵
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ ABC＝135°，
∴ ∠ADC＝135°
【解析】【分析】根据SAS证明△ABC≌△ADC，所以得出∠ABC＝∠ADC，进而得出答案.
14．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
【答案】解：∵DE∥AB，
∴∠CED=∠CAB，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AB=ED，
答：DE的长就是A、B之间的距离．
【解析】【分析】根据BC=CD，∠CED=∠CAB，∠ACB=∠ECD，即可求证△ABC≌△EDC，根据全等三角形对应边相等的性质可以求得AB=DE．
15．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，
（1）若∠A=40°，∠B=60°，求∠DCE的度数.
（2）若∠A=m，∠B=n，则∠DCE=______（直接用m、n表示）
【答案】解：（1）∵△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-40°-60°=80°，
又∵CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，
∴∠ACD=∠ACB=40°，∠ACE=90°﹣∠A=50°，
∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=50°﹣40°=10°；
（2）
【解析】【解答】（2）∵△ABC中，∠A=m，∠B=n，
∴∠ACB=180°﹣m﹣n，
又∵CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，
∴∠ACD=∠ACB= ，∠ACE=90°﹣∠A=90°﹣m，
∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=（90°﹣m）﹣ =．
【分析】（1）先利用角平分线的定义、高线的定义及三角形的内角和求出∠ACD=∠ACB=40°，∠ACE=90°﹣∠A=50°，再利用角的运算求出∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=50°﹣40°=10°即可；
（2）方法同（1），先求出∠ACD和∠ACE的度数，再利用角的运算求出∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=（90°﹣m）﹣ =即可.
16．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），（1，3）两点．求该函数关系式．
【答案】解：依题可知：b=2 ①
k+b=3 ②
把①代入②得：k=1，
∴y与x之间的函数关系式为：y=x+2．
【解析】【分析】分别把已知两点代入函数解析式中，列方程组解出即可．
17．已知是的正比例函数，当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，
当时，，
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）解：由可得，
随的增大而减小，
，
当时，取得最大值，为，
当时，的最大值为．
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据正比例函数的性质计算即可得出答案。
18．如图，AB//CD．∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD//BE，请你将下面解答过程填写完整．
解：∵AB//CD，
∴∠4=　 　（　 　）
∵∠3=∠4
∴∠3=　 　（　 　）
∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAE
即∠BAE=　 　．
∴∠3=　 　　 　）
∴AD//BE（　 　）
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠4=∠BAE（两直线平行，同位角相等），
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠BAE（等量代换），
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠3=∠CAD（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
【解析】【分析】利用平行线的性质和平行线的判定方法及推理步骤分析求解即可.
19．如图，△ABC 的面积是 30， 求阴影部分的面积之和.
【答案】解：如图，连结 EC，
∵AE=ED，∴S△ABE=S△DBE，∴S阴影=S△ABF.
∴S阴影=12.
【解析】【分析】 连结CE，由AE=DE，可得S△ABE=S△DBE，即 又因为 BC，所以 所以 即可求得阴影部分的面积.
20．如图所示.在△ABC中，D是BC边上一点∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠1和∠DAC的度数.
【答案】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x
因为∠BAC=63°
所以∠2＋∠4=117°，即x＋2x=117°
所以x=39°，即∠1=39°
所以∠3=∠4=78°
∠DAC=180°－∠3－∠4=24°
【解析】【分析】设∠1=∠2=x，根据三角形外角的性质可得∠3=∠4=2x.因为∠BAC=63°，根据三角形的内角和定理可得以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，解方程求得x=39°；即可得∠3=∠4=78°，再由三角形的内角和定理可得∠DAC=180°－∠3－∠4=24°.
21．如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）判断△ADE是什么特殊三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°+∠CDE，
∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
（2）解：△ADE是等边三角形．
理由：∵△ABD≌△DCE
∴AD＝ED，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【解析】【分析】（1）先根据角的运算得到∠BAD＝∠CDE，进而根据三角形全等的判定证明△ABD≌△DCE（ASA）即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到AD＝ED，进而根据等边三角形的判定即可求解。
22．如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点M、N，且∠1＝∠2，MO、NO分别平分∠BMF和∠END，试判断△MON的形状，并说明理由．
【答案】解：△MON是直角三角形．
理由：∵∠1＝∠2，∠2＝∠END，
∴∠1＝∠END，
∴AB∥CD，
∴∠BMF+∠END＝180°．
∵MO、NO分别平分∠BMF和∠END，
∴∠3+∠4＝ （∠BMF+∠END）＝90°，
∴∠O＝90°，
∴△MON是直角三角形
【解析】【分析】根据两直线平行的性质定理得出两直线平行，同旁内角互补，从而得出 ∠BMF+∠END＝180° ；再根据角平分线的性质，从而得出 ∠3+∠4＝ （∠BMF+∠END）＝90° ；最后根据三角形内角和定理得出 ∠O＝90° 。
23．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若BD=AD，FD=CD．猜想：BF与AC的关系，并证明．
【答案】解：BF=AC且BF⊥AC．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
∵在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（SAS），
∴∠FBD=∠CAD，BF=AC.
∵∠BDF=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∵∠FBD=∠CAD，
∴∠CAD+∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°﹣（∠CAD+∠AFE）=90°.
∴BF⊥AC．
【解析】【分析】在三角形ABC中，根据已知条件，当两个三角形的两个对应边及其夹角相同，即可证明两个三角形全等，即 △ADC≌△BDF；所以根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相同，对应角相等；根据对顶角相同，即可证明三角形AFE的两个锐角的和为90°，即可证明BF⊥AC 。
24． 宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义.试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，西宁与西安相距1260千米，两车同时出发，两车出发后3小时相遇，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）普通列车到达终点共需　 　小时，它的速度是　 　千米/小时；
（2）求动车的速度；
（3）动车行驶多长时间与普通列车相距140千米？
【答案】（1）14；90
（2）解：设动车的速度为x千米/小时，
由题意可得：3x+3×90=1260，
解得：x=330，
即动车的速度为330千米/小时.
（3）解：①当相遇前动车与普通列车相距140千米，
由题意可得：（1260-140）÷（330+90）=（小时）；
②当相遇后动车与普通列车相距140千米时，
当动车到达终点时用时1260÷330=（小时），
此时两车相距1260-90×=＞140，
所以两车相距140千米是在动车到达终点之前，
由题意可得：140÷（330+90）+3=（小时）
综上所述： 动车行驶小时或小时与普通列车相距140千米.
【解析】【解答】解：（1）由x=0时，y=1260，所以两地相距1260千米，
由函数图象可知x=14时，普通列车到达西安，
即普通列出到达终点共需14小时，
所以它的速度是1260÷14=90（千米/小时），
故答案为：14；90.
【分析】（1）先求出两地相距1260千米，再根据速度=路程÷时间计算求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出3x+3×90=1260，再解方程计算求解即可；
（3）分两种情况：①当相遇前动车与普通列车相距140千米，②当相遇后动车与普通列车相距140千米时，再结合题意计算求解即可.
25．如图所示，已知△ABC和直线MN．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）
【答案】解：
不限定用尺规作图．
画第（1）个图（2），
画第（2）个图（3），
写出结论（1）．
【解析】【分析】从三角形的三个顶点，分别向MN引垂线，并延长相同距离，得到三个对应点，顺次连接就是所求的轴对称图形．
26．如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）解：≌，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）要证明BD=CD，只需证 ，由可得，又已知，，根据全等三角形的判定（AAS），易证，从而可得BD=CD
（2）由，可得，再根据即可求得答案
27．某学校的复印任务原来由甲复印社承包，其收费y甲(元)与复印页数x(页)的关系如下表：
x/页 100 200 400 1 000 …
y甲/元 40 80 160 400 …
（1）根据表格信息写出y甲与x之间的关系式.
（2）现在乙复印社表示：若学校每月先付200元的承包费，则可按每页0.15元收费.求乙复印社每月收费y乙(元)与复印页数x(页)之间的关系式.
（3）若学校每月复印页数在1 200页左右，选择哪个复印社花费少
【答案】（1）解：由表格，知复印每页收费=0.4(元)，
所以y甲与x之间的关系式为y甲=0.4x(x≥0且x为整数).
（2）解：由题意，知乙复印社每月收费y乙(元)与复印页数x(页)之间的关系式为y乙=0.15x+200(x≥0且x为整数).
（3）解：当x=1 200时，甲复印社的收费为480元，乙复印社的收费为
380元.
因为480>380，
所以若学校每月复印页数在1 200页左右，选择乙复印社花费少.
【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据求出复印每页的费用，再列出函数解析式即可；
（2）根据题干中的收费方法直接列出函数解析式即可；
（3）将x=1200分别代入甲、乙收费函数解析式中求出费用，再比较大小即可.
28．邓家香腊鸭是广安区的著名美食，深受食客们的喜爱．某特产专卖店购进一批袋装腊鸭，成本为40元/袋．经市场调研发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．设销售单价降低x元时，每天的销售量为y袋．
（1）求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量x的取值范围）
（2）该特产专卖店计划销售这种腊鸭的利润率不得低于30%，那么当销售单价定为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少袋？（）
【答案】（1）解：由题意得每天的销售量y=20x+300．
（2）解：∵这种腊鸭的利润率不得低于30%，
∴（60﹣x﹣40）÷40×100%≥30%，
解得x≤8．
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，y取得最大值，最大值为y＝300+20x＝460 （袋），
此时60﹣8＝52 （元）
答：当销售单价定为52元时，每天的销售量最大，最大销售量为460袋．
【解析】【分析】（1）根据“当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋”即可得到y与x的一次函数关系式；
（2）根据结合题意列出不等式，从而得到x的取值，再根据一次函数的性质求出最值，进而即可求解。
29．如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC是怎样的位置关系？为什么？
【答案】解：AD⊥BC．
证明：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，
∵B，D，C在同一条直线上，
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．
【解析】【分析】利用全等三角形的性质可知： ∠ADB=∠ADC， 再利用平角性质可得 ∠ADB=∠ADC=90°， 即可证出结论。
30．如图，，是的中线，，求：的度数．
解：∵是边上的中线，∴_________（中线的定义）
在和中，
∴____________________（________）∴（______________________）
∵（已知）
∴（等量代换）
【答案】，，，，公共边，，，，全等三角形的对应角相等
【解析】【解答】解：∵是边上的中线，∴（中线的定义）
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
故答案为：，，，，公共边，，，，全等三角形的对应角相等
【分析】利用“SSS”证明三角形全等的判定方法和步骤分析求解即可.
31．已知与成正比例，且当时，．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）判断点是否在这个函数的图象上．
【答案】（1）解：由题知，
令，
当时，，
，
解得．
，即，
y与x之间的函数解析式为：．
（2）解：将代入函数解析式得，．
点P在这个函数的图象上．
【解析】【分析】（1）令，将代入计算得到，进而即可求出k的值，整理即可求出，即可求解；
（2）将代入函数解析式即可求得y的值，即可得到点P在这个函数的图象上．
32．如图，在中，和的平分线相交于点．
（1）若，求的度数．
（2）当为多少度时，？
【答案】（1）解：平分，平分，
，
∠ABC+∠ACB＝130°，
，
，
（2）解：平分，平分，
，.
，
，
，
∠BPC=180°－（∠PBC＋∠PCB）
∠BPC＝3∠A
，
【解析】【分析】 (1)、 利用角平分线的定义求出的度数， 再根据三角形内角和求出即可.
(2)、 利用角平分线的定义和三角形内角和的性质求出， 再根据三角形内角和求出即可.
33．如图，在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y=﹣2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，求这个一次函数的解析式．
【答案】解：在函数y=﹣2x中令y=2得：﹣2x=2，
解得：x=﹣1，
∴点A坐标为（﹣1，2），
将点A（﹣1，2）、点B（1，0）代入y=kx+b，得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：y=﹣x+1．
【解析】【分析】由点A在直线y=﹣2x上且A点纵坐标为2求得点A坐标，将点A、B坐标代入y=kx+b，求出待定系数k、b的值即可．
34．如图，在等腰△ABC中，∠A是顶角，N是边AB上任意一点（不与点A、B重合），过点N作NM⊥AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A＝30°，求∠NMB的度数.
【答案】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝ ＝90°﹣ ∠A，
∵MN⊥AB，
∴∠BNM＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝ ∠A＝15°.
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可先求得∠B，在Rt△BMN中利用三角形内角和即可求得∠M.
35．一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90 ，∠C=25 ，∠B=25 ，检验员已量得∠BDC=150 ，请问：这个零件合格吗？说明理由。
【答案】解： 连接AD并延长，根据三角形的外角的性质得到∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，计算出∠BDC的度数，比较即可．
这个零件不合格；
理由：如图，连接AD延长到E点，
∵∠CDE是△ADC的外角，∠BDE是△ABD的外角，
∴∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，
∴∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠DAB，
即∠BDC=∠B+∠C+∠A=25°+25°+90°=140°，
但检验员已量得∠BDC=150°，
∴可以判断这个零件不合格
【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得到∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，计算出∠BDC的度数，比较即可．
36．如图，在 中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD.若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数.
【答案】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ ，
∴∠C=50°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵∠BAD=55°，
∴∠DAE=25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°.
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD得出∠ADE=90°，进而根据三角形外角的性质求出结论.
37．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往距离学校360千米的基地进行研学活动．大巴车匀速行驶1小时后，学校因事派人乘坐轿车匀速沿同一路线追赶，大巴车降低速度继续匀速行驶，轿车行驶1.5小时后追上大巴车，两车继续匀速行驶到达基地．如图表示大巴车和轿车离学校的距离（千米）与大巴车出发时间（时）之间函数关系的部分图象．结合图中提供的信息，解答下列问题：
（1）轿车的速度为　 　千米/时，大巴车行驶1小时后的速度为　 　千米/时；
（2）求大巴车出发1小时后与的函数解析式，并补全函数图象；
（3）轿车到达基地时，大巴车距离基地还有多远？
【答案】（1）120；60
（2）解：解：（小时）
由题意，设，将点、代入，
∴解得；
∴函数表达式为，
补全函数图象如下：
；
（3）解：轿车达到基地时大巴车的行程为（千米）
∴大巴车距基地地的距离为（千米）
答：大巴车距基地地的距离为还有90千米．
【解析】【解答】解：（1）根据图象知：轿车的速度为千米/时，
大巴车行驶1小时后的速度为千米/时，
故答案为：120；60；（2）
【分析】
（1）根据函数图象中的数据可以求得轿车的速度和大巴车的速度；
（2）求出大巴车到基地的时间，然后根据待定系数法求解即可；
（3）由图知轿车到达基地时，大巴车行驶了4小时，然后根据路程=速度×时间，求出大巴行驶的路程，即可求解．
38．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线DP与BC边交于点P，连接AP，若△APC的周长为12，AD长为2，求△ABC的周长．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．
【答案】（1）解：∵ DP垂直平分AB交BC于点P，
∴AD=BD=2，AP=BP.
∴AB=4.
∵
∴，
∴.
（2）解：由题意得：BA=BQ，
∴∠BAQ=∠BQA.
∵ ∠AQC=3∠B， ∠AQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BAQ=∠BQA=2∠B.
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°.
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AB的长和AP=BP，从而可得AP+PC=BC.问题可解决.
（2）根据题意得BA=BQ，于是有∠BAQ=∠BQA.根据三角形外角性质得∠BAQ=2∠B.于是可根据三角形的内角和求∠B的度数.
39．已知，点．
（1）若点P在x轴上方，且到x轴的距离为6，求点P的坐标；
（2）若点Q在y轴上，且平行于x轴，，求P点的坐标．
【答案】（1）解：∵ 点， 点P在x轴上方，且到x轴的距离为6，
∴，解得，
，
（2）解：∵点Q在y轴上，
∴点Q的横坐标为0，
平行于x轴，，
，
∴，
解得：或，
当时，，
∴点P的坐标为；
当时，，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为：或
【解析】【分析】（1）先根据点P的位置，得到关于m的方程求解，再求出点P的坐标；
（2）先根据Q的位置及P、Q的关系，得到关于m的方程求解，求出m有两个，再分两种情况，分别讨论求解求出P点的坐标．
（1）解：根据题意得：，
，
；
（2）解：根据题意得：点Q的横坐标为0，
平行于x轴，，
，
，
或，
当时，，
则；
当时，，
则；
综上，点P的坐标为：或．
40．讨论一道开放性试题，老师要求同组每位同学至少要和三位同学交换意见.某学习小组共有11名同学，讨论完后有两位同学说自己和4位同学交换了意见.请证明至少还有一位同学也至少和4位同学交换了意见；
【答案】证明：假设甲、乙两人是某学习小组11人中的成员，
∵甲、乙二人相互讨论了一次，没人都说自己讨论了一次，统计时，就被算作了2次，
∴11个人，如果没人刚好只讨论了3此，总次数是：
11×3=33（次），
又∵其中两人是讨论了4次，
∴总次数为：33+2=35（次），
根据前面的分析，对每一次讨论都有两人报数，故总次数一个是2的倍数，
∴总次数＞35，
∴总次数为：35+1=36（次），
∴一定至少还有一人是讨论了4次.
【解析】【分析】假设甲、乙两人是某学习小组11人中的成员，甲、乙二人相互讨论了一次，没人都说自己讨论了一次，统计时，就被算作了2次，故总次数一个是2的倍数，11个人，如果每人刚好讨论了3次，则总次数为33次，又由于两人讨论了4次，则总次数为36次，即一定至少还有一人是讨论了4次.
41．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点．
（1）求点到直线的距离．
（2）以为边作正方形，求点的坐标．
【答案】（1）解：当x＝0时，，
∴点A（0，3），
∴OA＝3，
当y＝0时，x＝4，
∴点B（4，0），
∴OB＝4，
根据勾股定理，可得AB＝5，
设点O到直线AB的距离为h，
∵△AOB的面积＝OA OB＝AB h，
即3×4＝5h，
解得h＝，
∴点O到直线AB的距离是；
（2）解：正方形ABCD在直线AB的右侧，如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E，
则∠DEA＝90°，
∴∠DAE＋∠EDA＝90°，
在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，AB＝AD，
∴∠DAE＋∠OAB＝90°，
∴∠EDA＝∠OAB，
又∵∠DEA＝∠AOB，
∴△DEA≌△AOB（AAS），
∴DE＝OA＝3，EA＝OB＝4，
∴EO＝7，
∴点D（3，7）；
②正方形ABCD在AB的左侧，过点D作DH⊥y轴于点H，如图所示：
则∠AHD＝90°，
∴∠HAD＋∠ADH＝90°，
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ADH＝∠OAB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AHD＝∠BOA，
∴△DAH≌△ABO（AAS），
∴DH＝AO＝3，AH＝BO＝4，
∴OH＝1，
∴点D坐标为（ 3， 1），
综上，点D坐标为（3，7）或（ 3， 1）．
【解析】【分析】（1）利用函数解析式，由x=0求出对应得y的值；由y=0求出对应得x的值，可得到点A，B的坐标，即可求出OA，OB的长；再利用勾股定理求出AB的长，然后利用直角三角形的两个面积公式可求出点O到AB的距离.
（2）分情况讨论：正方形ABCD在直线AB的右侧，如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E，利用正方形的性质易证∠DAB＝90°，AB＝AD，利用余角的性质可得到∠EDA＝∠OAB，利用AAS证明△DEA≌△AOB，由此可求出DE，EA的长，再求出OE的长，可得到点D的坐标；正方形ABCD在AB的左侧，过点D作DH⊥y轴于点H，同理可证△DAH≌△ABO，利用全等三角形的性质可求出DH，AH的长，可得到OH的长，即可得到点D的坐标；综上所述可得到点D的坐标.
42．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元.设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元(0【答案】（1）解：由题意得y=(80-60)x+(120-90)(100-x)=-10x+3000；
（2）解： 由题意得， ，
解得 ，
随 x 增大而减小，
当 时， y最大， 最大为 ，
商场可获得的最大利润是2800元；
（3）解： 由题意得， ；
当 ， 即 时， y随x增大而减小，
当 时能获得最大利润，
解得 (舍去)；
当 时， 获得的利润为3000 ， 不符合题意；
当 时， 则y随x增大而增大，
当 时能获得最大利润，
，
解得 ；
综上所述， .
【解析】【分析】（1）根据总利润=销售x件甲商品的利润+销售(100-x)件乙商品的利润可建立出y关于x的函数关系式；
（2）由购进x件甲商品的费用+购进(100-x)件乙商品的费用不超过8400列出不等式，求解得出x的取值范围，进而根据（1）小题所得函数解析式的性质可解此题；
（3）根据总利润=销售x件甲商品的利润+销售(100-x)件乙商品的利润可建立出y关于x的函数关系式，然后分一次项系数大于零，等于零及小于零三种情况，结合（2）中x的取值范围及一次函数的性质可解此题.
43．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为.在轴的负半轴上有一点，直线AB上有一点，且OD
（1）求b的值及点的坐标.
（2）在线段AB上有一个动点，点的横坐标为，作点关于轴的对称点，当点落在内（不包括边界）时，求的取值范围.
【答案】（1）解：将点 的坐标 代人 ， 求得 . . 点 坐标为 点 横坐标为 -2 ， 当 时， ， 点 坐标为
（2）解： 点 所在直线的函数表达式为 点 Q 所在直线的函数表达式为 ).设CD 所在直线的函数表达式为y=kx+b，将C(-4，0)，D( -2，4)代入表达式，得k= 2，b=， 即y=2x+8.设 所在直线函数表达式为 ，将 代人表达式， 得 ， 即 ， 联立方程 解得 联立方程 解
∵点Q横坐标为-a，∴解得 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB解析式，把代入，即可得解；
（2）由题意得点 Q 所在直线的函数表达式为，利用待定系数法求得CD 所在直线的函数解析式y=2x+8，同理 所在直线函数解析式为 ，分别CD直线解析式， 直线函数表达式与联立求解，即可得到的取值范围.
44．【材料：学习理解】
定义1：在平面直角坐标系中，点到点的“纵横值”定义为：．例如：到的“纵横值”．
定义2：在平面直角坐标系中，点到射线（或线段）的“纵横值”定义为：点到上所有的“纵横值”的最小值，此时上的对应点称为点在上的“纵横点”．例：求到射线的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标．
分析：射线上任一点的坐标可表示为，则．结合正比例函数的图象可知，当时，的最小值为，即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为．
【任务1：特值感悟】若坐标为，
①到的“纵横值” （直接写出）；
②求到线段的“纵横值”及在上的“纵横点”坐标（写过程）；
【任务2：拓展应用】若，，且，则与的关系式为： （直接写出）；
【任务3：能力提升】若点在某条线段上的“纵横点”坐标为，相应的“纵横值”是8，点在直线上，
①所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，请在下图中的平面直角坐标系中画出该封闭图形；
②若，过点的直线将任务3的①中封闭图形的面积分成两部分，直接写出直线的表达式 ．
【答案】解： 【任务1：特值感悟】①；
②设线段上任一点的坐标为，
，
，，
当时，
，
即“纵横值”，此时在上的“纵横点”为．
任务2：；
任务3：①设，
“纵横点”坐标为，“纵横值”是8，
，
整理得：，
所有满足条件的点和直线以及轴组成了一个封闭图形，如下：
②或．
【解析】【解答】解：任务1：
①；
故答案为：；
任务2：
，
，
整理得：，
故答案为：；
【任务3：能力提升】 ②设，，
，
，
整理得：，
，
联立得，
解得，
点为直线与直线的交点，
由图得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为；
同理可求直线的解析式为；
故答案为：或．
【分析】任务1：①根据“纵横值”的定义，即可直接求得答案；
②根据点到射线（或线段）的“纵横值”及“纵横点”的坐标，可直接得出答案；
任务2：由“纵横值”定义可得出，即可得出；
任务3：①设，由“纵横点”和“纵横值”的定义得，进而即可得出，进而画出图形即可；
②设，，由“纵横点”求出，可得点为直线与直线的交点，由待定系数法求得直线的解析式为；同理可求另一条直线，即可求解．
45．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．
【答案】解：DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC，
则
由 得：DE=DF=
由 ，得：
【解析】【分析】 DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC， 先利用等积法求出AG，再利用割补法和等积法及角平分线性质求出 DE=DF= ，接着在Rt△ABD中用等积法即可求出BD.
46．在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
（1）求线段的长度；
（2）连接，求的度数；
（3）如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）解 ： ，
，
，
，
在 和中，
，
；
（2）解：作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，如图所示，
在四边形ONHM中，，
，
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：的值不发生改变，等于，
理由如下：
连接OD，如图所示，
，，D为的中点，
，，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
【解析】【分析】(1)先根据垂线的性质证∠OAP=∠OBC，根据ASA证，根据全等三角形的性质即可求OP的长；
(2)作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，根据AAS证，得出OM=ON，根据角平分线的判定定理，即可得出结论；
(3)连接OD，根据等腰直角三角形的性质准备条件，根据ASA证，得三角形ODM和ADN的面积相等，再根据三角形面积公式求解．
47．如图，直线y= x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y= x+6上一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为 ，求出此时点P的坐标；
（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6，
∵点P在直线 上，
∴可设点P的坐标为 ，
∵直线 与x轴交于点E，和y轴交于点F，
∴点E、F的坐标分别为（-8，0）和（0，6），
∴当点P在第一、二象限时，△OPA的面积S= ·OA· = ；
当点P在第三象限时，△OPA的面积S= ·OA· = ；
∴点P运动过程中，△OPA的面积S与x的函数关系式是S= 或S=
（2）解：把S= 代入S= 和S= 得：
和 ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为 或
（3）解：假设存在P点，使△COD≌△FOE，则OD=OE=8，OC=OF=6，①如图，
当点D在y轴的负半轴时，点C在x轴的负半轴，∵OD=8，OC=6，∴点D、C的坐标分别为（0，-8）和（-6，0），设直线CD的解析式为：y=kx+b，则： ，解得 ，
∴ ，
由 ，解得： ，
∴点P的坐标为 ；
②如下图所示：当点D在y轴正半轴时，点C在x轴的正半轴，同理可解得此时点P的坐标为 ；
综上所述，存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是 或
【解析】【分析】
（1）求出P点坐标，当点P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当点P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可。
（2）把S的值代入解析式即可。
（3）根据全等求出OC、OD的值，如图①，求出C、D的坐标，利用待定系数法求出CD所在的直线方程，再解二元一次方程组求出两直线的交点坐标即可；图②同理。
48．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，．点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1） ， ．
（2）连接，若的面积为3，求t的值；
（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使为等腰三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），2
（2）解：当点P在线段上时，，
则，
解得，；
当点P在线段的延长线上时，，
则，
解得，，
∴当或时，的面积等于3；
（3）t的值为或4或．
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴、，
∴，；
故答案为：，2；
（3）解：∵，，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，
此时，即；
当时，
此时，即；
综上，t的值为或4或．
【分析】（1）根据绝对值，偶次方的非负性可得m，n值，再根据点的坐标可得、，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）分情况讨论：当点P在线段上时，，当点P在线段的延长线上时，，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据含30°角的直角三角形性质可得，，分情况讨论：当时，当时，当时，根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴、，
∴，；
故答案为：，2；
（2）解：当点P在线段上时，，
则，
解得，；
当点P在线段的延长线上时，，
则，
解得，，
∴当或时，的面积等于3；
（3）解：∵，，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，
此时，即；
当时，
此时，即；
综上，t的值为或4或．
49．如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点．
（1）求的值；
（2）直接写出不等式组的解集：　 　；
（3）点是直线上一点，且满足，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入，得，解得.2分把点和点代入，得，解得，即和的值分别为；
（2）；
（3）当时，，解得，即．
由点的坐标，得．
设点的坐标为，则．
由，得，整理，得，
或，解得或．
当时，；当时，，
点的坐标为或．
【解析】【详解】（2）解：若，即，
由图可知时在点的右侧，包括点，
，则，
而当时，，
不等式组的解集为：；
【分析】（1）利用待定系数法即可求解。把点C的坐标代入求正比例函数解析式，把点B和C的坐标代入求一次函数解析式；
（2）根据一次函数与不等式综合求解。由图可得时，在点的右侧，而当时，，由此可得出不等式组的解集；
（3）设点的坐标为，根据即可求解．
50．【特例感知】
（1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
①若，则线段 ；
②若，则线段 ；
【知识迁移】
（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数；
【拓展探究】
（3）已知在内部的位置如图③所示，，，且，，请直接写出 ．（用含的式子表示）
【答案】解：【特例感知】（1）①7.②7.
【知识迁移】（2）如图②，
∵平分，平分，
∴，
∵，，
∴
∴的度数为.
【拓展探究】（3）.
【解析】【解答】解：【特例感知】（1）①如图①，
∵，，
∴，
∵分别是和的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
②如图①，
∵，，
∴，
∵分别是和的中点，
∴，
∵，
∴ｃｍ.
故答案为：.
【拓展探究】（3）如图③，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】【特例感知】（1）①根据，，得，
再根据线段中点的定义得，再根据得即可.②根据①得ｃｍ即可.
【知识迁移】（2）根据平分，平分，得，再根据，得到即可.
[拓展探究]（3）根据角平分线的定义得到，，则，由即可求解．
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