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【临考冲刺·50道解答题专练】沪科版数学九年级上册期末总复习
1． 2019年4月12日，在璧山区八塘镇又迎来了一年一度的樱桃节，当天真是热闹非凡，人山人海，为红彤彤的樱桃增添了异样的色彩，八塘镇位于璧山区最北边的一个小镇，地处璧山区和北碚区的交界处，依托在巍峨的缙云山脚下，如图，在缙云山山脚下西端A处与东端B处相距4100米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走.已知山的西端坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为 米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
2．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上，球飞行的路线看做抛物线），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头部的正上方达到最高点M处，距地面4米高，之后球在C点落地．
（1）当足球开始飞出到第一次落地时，求足球飞行线路所在抛物线的解析式；
（2）求足球第一次落地点C距守门员多少米？（用根号表示）
3．某企业电脑配件从去年1至9月原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
价格y1（元/件） 560 580 600 620 640 660 680 700 720
10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式以及y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1＝0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数），10至12月的销售量p2（万件）p2＝﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．
4．如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD的高度．由距塔CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为10米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求塔CD的大约高度．
5．已知二次函数图象过点．
（1）若，求a的值．
（2）若，当时，请比较m、n的大小关系．
（3）求证：
6．如图所示，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和B点的纵坐标都是﹣2，求△AOB的面积.
7．如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC＝400m，请你求出这段地铁AB的长度.（结果精确到1m，参考数据： ， ≈1.732）
8．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角 ，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(结果精确到，参考数据：)
9．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
10．如图，中，，，，．求长．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
12．如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．
（1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？
（2）求小球在运动过程中的最大高度．
13． 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°.
（1）求证：AC=BD；
（2）点 E 在 BC 边上，满足∠CEO=∠COE.若AB=6，BC=8，求 CE 的长及 tan∠CEO的值.
14．如图，某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52 米到达坡顶点 B 处，然后在点 B 处测得大楼顶点 C 的仰角为53°，已知斜坡AB 的坡比为1：2.4，点 A 到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度 CD(参考数据：
15．某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐.为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11：30下课后15分钟内进入食堂累计人数》（人）与经过的时间x分钟（x为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的时间x/分钟 0 1 2 3 4 5 … 10
累计人数y（人） 0 95 180 255 320 375 … 500
当x>10时y与x之间的函数关系式y=10x+400，（10已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐。
（1）根据上述数据，请利用已学知识，求出当x≤10时，y与x之间的函数关系式.
（2）排队人数最多时有多少人？
（3）若开始取餐x分钟后增设m个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求x，m的值.
16．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4（即AB：AE＝1：4），坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°．
（1）求AB的高；
（2）求树高CD．（结果保留根号）
17．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．
（1）若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？
（2）如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．
18．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？
19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+（a﹣3）x﹣3经过点A（3，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的解析式并求出其顶点坐标；
②当p＞t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＞0，点C（n，q）在该抛物线上，m＞n且m+n＞2，请比较p，q的大小，并说明理由．
20．小顺和小明想利用所学知识来测量学校的旗杆高度.如图，小顺站在旗杆（AB）旁的水平地面上D处，小明在BD之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小颖刚好在平面镜内看到旗杆顶端A，此时测得 米，小颖眼睛距地面的高度 米，然后小明在距离小颖4米的点G处用测角仪测得旗杆顶端A处的仰角为 ，测角仪 米，已知G、D、E、B在同一水平线上，AB、CD、FG都垂直GB，请根据以上信息，求出旗杆AB的高.
21．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile.参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
22．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
23．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象直接回答：
（1）方程的解是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）当x满足 时，函数值大于0．
24．近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5°，巡逻船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时巡逻船到达B处，这时观测到城市P位于巡逻船的南偏西36.9°方向，求此时巡逻船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈ ，tan36.9°≈ ，sin67.5°≈ ，tan67.5°≈ ）
25．某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
26．如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平夹角∠ADE为39°，目高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan 39°=0.81】
27．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为 4 米．以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，垂直于路面 OA 方向为 y 轴，建立平面直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边 A 处竖直向上安装护栏，若护栏高度为 1.2 米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由.
28．如图，在 中， ， ， ，求 的面积．
29．如图，已知在中，点、、分别在边、，上，，，如果，的面积是20，求的面积．
30．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底CB=5m，迎水面CD的坡比为1：，背水面AB的坡比为1：1，坝高为4 m，求坝底宽AD的长和迎水面CD的长．
31．已知二次函数 ．
（1） 若二次函数图象上的点 关于对称轴对称的点为点 ， 则点 的坐标为
（2） 若点 到对称轴的距离为 4 个单位长度， 则点 对应的横坐标为
（3） 若点 为二次函数图象上的两点， 则点 比点 距离对称轴更 (填“近”或“远”)， (填“>” “<"或“=”)；
（4） 若点 均在该二次函数图象上， 则 的大小关系为 ；(用“>”连接)
（5） 若将该二次函数图象先向上平移 2 个单位长度， 再向左平移 1 个单位长度， 求平移后的二次函数图象的解析式．
32．为喜迎“五一”佳节，某公司推出一种新礼盒，每盒进价元，在“五一”节前进行销售后发现，该礼盒的日销价量盒与销售价格元盒的关系如表：
销售价格元盒
日销售量盒
同时，销售过程中每日的其他开支不含进价总计元．
（1）在上表中，以的值作为点的横坐标，的值作为点的纵坐标，在图中的直角坐标系中描出各点，顺次连接各点，观察所得图形，判断与的函数关系，并求出盒与元盒的函数解析式；
（2）请计算销售价格元盒为多少时，该公可销售这种礼盒的日销售利润元最大，最大日销售利润是多少？
（3）试判断该公司日销售金额是否会达到元？
33．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件.商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件.若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答.
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 ▲ 元；②每天的销售量为 ▲ 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
34．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈2.45）
35．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四
个顶点都在横格线上，已知0=36°，求AB和AD的长. (结果精确到1mm，参考数据： ， ， ）
36．如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好．此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米．(结果保留根号)
37．如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为i＝ ：1，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为19米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°，求教学搂AB的高度．（结果保留根号）（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
38．如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
39．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点．
（1）求反比例函数的表达式和a的值；
（2）若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长．
40．已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：
①x1+x2 x3+x4；②x1﹣x3 x2﹣x4；③x2+x3 x1+x4．
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值．
41．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若，总有：
①当时，m的取值范围是：_________．
②当时，求m的取值范围．
42．已知，关于的二次函数．
（1）若函数经过点，求拋物线的对称轴．
（2）若点P(t-2，p)，Q(t+3，q)均在抛物钱y=2x2-4tx-3上，则p q(填">"，“<"或"=”).
（3）记，当时，始终成立，求的取值范围．
43．小江制作了如图一款托盘天平，在天平支点 左边托盘 (固定) 中放置一个物体，在右边托盘 (可在 上左右移动， ) 中放置一个可以装水的容器 (容器的质量忽略不计). 在容器中加入一定质量的水，改变托盘 与点 的距离 (cm) ，可以使天平左右平衡， 记录天平平衡时容器中加入的水的质量， 得到下表：
托盘P与点O的距离x/cm 40 24 20 16 12 10
加入的水的质量y/g 6 10 12 15 20.1 24
（1）①请在所给的平面直角坐标系中作出 关于 的函数图象.②观察函数图象，并求关于的函数表达式.
（2）若在容器中加入的水的质量 满足 ，求天平平衡时托盘 与点 的距离 的取值范围.
（3）根据杠杆原理，天平平衡时，左盘物体质量 右盘物体质量 (不计托盘与横梁质量)，其中 . 小江为了改进托盘天平使得它能在右盘倒入小于 水时天平也能平衡， 不妨设小江在天平右盘容器中倒入 水，他准备更换左盘中的物体，更换的物体质量分别有和三款可供选择，保持其他条件不变.请你通过计算帮助小江从上述三款物体中挑选合适质量的物体，并求此时天平保持平衡时托盘 离 点的距离.
44．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当﹣1≤x≤4时，求y的最大值和最小值．
（3）点P为这条抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为中心作正方形ABCD，AB=2m，且AB⊥x轴．
①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
②正方形ABCD的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
45．如图1，已知 为正方形 的中心，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ， ，连结 ，将△ 绕点 逆时针旋转 角得到△ （如图2）．连结 、 ．
（Ⅰ）探究 与 的数量关系，并给予证明；
（Ⅱ）当 ， 时，求：
① 的度数；
② 的长度．
46．现将抛物线关于直线的对称抛物线记为，关于点中心对称的抛物线记为．
（1）当，，，时，求抛物线和的解析式；
（2）当，，时，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，求的取值范围；
（3）当，时，若抛物线的解析式为，请写出抛物线的解析式．
47．如图，取一根9.5m长的标杆AB，在其上系一活动旗帜C，使标杆的影子落在平地和一堤坝的左斜坡上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡底角顶点D处．若测得旗高BC＝4.5m，影长BD＝9m，影长DE＝5m，请计算左斜坡的坡比(假设标杆的影子BD，DE均与坝底线DM垂直)．
48． 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，y的最大值为2，求a的值：
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求a的取值范围．
49．已知二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）（k≠0）．
（1）若ak＝1．
①当k＝1时，求该函数图象的顶点坐标．
②不论k（k≠0）取何值，图象是否会经过定点？若会，请求出图象经过的定点坐标；若不会，请说明理由．
（2）点A（﹣2，y1），B（1，y2）在该函数图象上，且y1≥y2．若a+k＝1，图象的顶点在第三象限，求a的取值范围．
50．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方向角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
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【临考冲刺·50道解答题专练】沪科版数学九年级上册期末总复习
1． 2019年4月12日，在璧山区八塘镇又迎来了一年一度的樱桃节，当天真是热闹非凡，人山人海，为红彤彤的樱桃增添了异样的色彩，八塘镇位于璧山区最北边的一个小镇，地处璧山区和北碚区的交界处，依托在巍峨的缙云山脚下，如图，在缙云山山脚下西端A处与东端B处相距4100米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走.已知山的西端坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为 米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，
设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒.
∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC x.
在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC 2x.
∵小军的行走速度为 米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处，∴ ，解得：a=1米/秒.
答：小明的行走速度是1米/秒.
【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于点D， 由题意解直角三角形ACD和BCD可求得AC和BC的长，再根据两个人同时到达山顶可得方程求解。
2．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上，球飞行的路线看做抛物线），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头部的正上方达到最高点M处，距地面4米高，之后球在C点落地．
（1）当足球开始飞出到第一次落地时，求足球飞行线路所在抛物线的解析式；
（2）求足球第一次落地点C距守门员多少米？（用根号表示）
【答案】（1）解：以为原点，直线为轴，直线为轴建立直角坐标系．
由题意可知抛物线的顶点是，
所以设抛物线的表达式为，当，时，，
所以，
所以抛物线解析式为：
（2）解：令，则，
解得：（舍去），（米），
所以，足球落地点距守门员米
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解。以为原点，直线为轴，直线为轴建立直角坐标系，得出抛物线的顶点是，利用顶点式求出解析式即可；
（2）根据二次函数的投球问题求解。利用令，则，求出图象与轴交点坐标即可得出答案．
3．某企业电脑配件从去年1至9月原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
价格y1（元/件） 560 580 600 620 640 660 680 700 720
10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式以及y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1＝0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数），10至12月的销售量p2（万件）p2＝﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．
【答案】（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系：设 ，
∴，
解得：，
∴y1＝20x+540，
利用图象得出函数关系是一次函数关系：
设 ，
∴，
解得：，
∴ ；
（2）去年1至9月时，设销售该配件的利润为w，
则w＝p1（1000﹣50﹣30﹣y1），
＝（0.1x+1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x﹣540）＝﹣2x2+16x+418，
＝﹣2（x﹣4）2+450，（1≤x≤9，且x取整数）
∵﹣2＜0，1≤x≤9，
∴当x＝4时，w最大＝450（万元）；
去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2（1000﹣50﹣30﹣y2）
＝（﹣0.1x+2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x﹣630），
＝（x﹣29）2，（10≤x≤12，且x取整数），
∵10≤x≤12时，
∴当x＝10时，w最大＝361（万元），
∵450＞361，
∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的最值.（1）设 ，根据表格数据可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，据此可求出y1的解析式；设 ，根据函数图象可列出方程组，解方程组可求出a和c的值，据此可求出y2的解析式；
（2）根据生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，售价销量，去年1至9月时，设销售该配件的利润为w，根据销售该配件的利润=销售量×每件的利润，可列出解析式：w＝﹣2（x﹣4）2+450，（1≤x≤9，且x取整数），利用二次函数的性质可求出w的最大值；同理可求出去年10至12月时，销售该配件的利润w＝（x﹣29）2，（10≤x≤12，且x取整数），利用二次函数的性质可求出w的最大值；比较两个最大值，可求出最大利润．
4．如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD的高度．由距塔CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为10米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求塔CD的大约高度．
【答案】解：延长EF与CD交于点M，设DM=x米由题意知，EF=EM﹣FM=AB=10，在Rt△DMF中， =tanα=1.6，在Rt△DME中， =tanβ=1.2，∴FM= ，EM= ，∴EM﹣FM= ﹣ =10解得：x=48，∴CD=DM+1.6=49.6米，答：塔CD的高度大约是49.6米
【解析】【分析】延长EF与CD交于点M，设DM=x米，由题意知，EF=EM﹣FM=AB=10，根据正切函数的定义，由=tanα=1.6，得出AM=，同理得出EM=，根据EM﹣FM=AB=10，列出方程，求解即可得出x的值，再根据CD=DM+1.6即可算出答案。
5．已知二次函数图象过点．
（1）若，求a的值．
（2）若，当时，请比较m、n的大小关系．
（3）求证：
【答案】（1）解：当时，把代入解析式得；
（2）解：令得，，即，
解得：，
二次函数的图象与x轴的交点为：，
对称轴为直线，
，
为抛物线的顶点，
，
二次函数的最小值为n，
，
；
（3）证明：把代入二次函数解析式得，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）把直接代入解题即可；
（2）先求出对称轴为直线x=2，再根据二次函数的性质得到为抛物线的顶点，解题即可．
（3）把代入二次函数解析式得到出m，n的值，然后代入，即可得到，解题即可．
（1）解：当时，把代入解析式得；
（2）解：令得，，即，
解得：，
二次函数的图象与x轴的交点为：，
对称轴为直线，
，
为抛物线的顶点，
，
二次函数的最小值为n，
，
；
（3）证明：把代入二次函数解析式得，
，
，
，
，
．
6．如图所示，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和B点的纵坐标都是﹣2，求△AOB的面积.
【答案】解：A的横坐标和B点的纵坐标﹣2代入反比例函数y＝﹣ 中得，
y＝﹣ ，解得：y=4，∴A（﹣2，4）
-2＝﹣ ，解得：x=4，∴B（4，﹣2）
再将求得的A、B两点坐标代入一次函数y＝kx+b（k≠0）中得；
解得：
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+2，
将y=0代入y＝﹣x+2中，0＝﹣x+2，解得：x=2，所以一次函数与x轴的交点坐标为（2，0）；
将x=0代入y＝﹣x+2中，y＝0+2，解得：y=2，所以一次函数与y轴的交点坐标为（0，2）；
∴△AOB的面积S＝ ×2×2+ ×2×2+ ×2×2＝6.
【解析】【分析】将x=-2、y=-2代入y=-中求出y、x的值，可得点A、B的坐标，然后代入y＝kx+b中求出k、b，得到一次函数的表达式，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，得到一次函数图象与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
7．如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC＝400m，请你求出这段地铁AB的长度.（结果精确到1m，参考数据： ， ≈1.732）
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，
由题意知：
∠CAB＝45°，∠CBA＝30°，
∴CD＝ BC＝200（m），
BD＝CB cos（90°﹣60°）＝400× ＝200 （m），
AD＝CD＝200（m），
∴AB＝AD+BD＝200+200 ≈546（m），
答：这段地铁AB的长度为546m.
【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于D， 由题意可知： ∠CAB＝45°，∠CBA＝30°， 根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出 CD＝ BC＝200（m）， 根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 BD＝CB cos30°，算出BD的长，根据等腰直角三角形的性质得出 AD＝CD＝200（m）， 从而利用 AB＝AD+BD 算出AB的长，得出答案。
8．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角 ，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(结果精确到，参考数据：)
【答案】解：过点作，垂足为点，
过点作，垂足为点
在中，
在中，
答：安装师傅应将支架固定在离地面高的位置.
【解析】【分析】过点作BF⊥CE，垂足为点F，过点B作BG⊥AD，垂足为点G，易得GB=10cm，AG≈17.3cm，由平角的概念可得∠FBC=40°，然后根据∠FBC的正切函数求出CF，接下来根据AD=CE+CF-AG进行计算.
9．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
【答案】解：根据题意知，A（-2，-4.4），B（2，-4.4），设这个函数为y=kx2.
将A的坐标代入，得y=-1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得
y≈-1.6，
∴GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门.
【解析】【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可.如果设C点是原点，那么A的坐标就是（-2，-4.4），B的坐标是（2，-4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=-1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈-1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4-1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门.
10．如图，中，，，，．求长．
【答案】解：中，，，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】由垂直的定义得，由同角的余角相等得，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形对应边成比例可得，即可求出的长．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，
，，
反比例函数解析式为：，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）解：在一次函数中，令，则，
，
；
（3）或
【解析】【解答】根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或．
【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可；
（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集．
12．如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．
（1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？
（2）求小球在运动过程中的最大高度．
【答案】（1）解：在中，令，则，
解得：，，
，
当小球运动的时间是时，小球回落到地面处.
（2）解：，
当时，最大，为，
小球再运动过程中点额最大高度为．
【解析】【分析】（1）将h=0代入，可得，再求出t的值即可；
（2）先利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再求解即可.
13． 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°.
（1）求证：AC=BD；
（2）点 E 在 BC 边上，满足∠CEO=∠COE.若AB=6，BC=8，求 CE 的长及 tan∠CEO的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
（2）解：作OH⊥BC于点H，则∠OHE=∠OHC=90°，
∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴，
∴，
∵∠CEO=∠COE，
∴CE=OC=5，
∵，，且AC=BD，
∴OC=OB，
∴，
∴EH=CE-HC=5-4=1，
∴，
∴，
∴
∴CE的长为5，tan∠CEO的值为3.
【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，证明四边形ABCD是矩形，进而即可得出结论；
(2)作OH⊥BC于点H，由AB=6，BC=8，求得AC=10，则CE=OC=OA=5，再证明OC=OB，则HC=HB=4，求得EH=1，由，进而即可求解.
14．如图，某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52 米到达坡顶点 B 处，然后在点 B 处测得大楼顶点 C 的仰角为53°，已知斜坡AB 的坡比为1：2.4，点 A 到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度 CD(参考数据：
【答案】解：如图，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，BF⊥CD 于点F.
∵CD⊥AD，
∴ 四边形 BEDF 是矩形.
∴FD=BE，FB=DE.
由题意，得在 Rt△ABE 中，BE ：AE=1：2.4=5：12，
设BE=5x米，AE=12x 米，根据勾股定理，易得AB=13x米，
∴ 13x=52，解得x=4.
∴ BE = FD=5x = 20 米，AE =12x=48米.
∴ DE=FB=AD-AE=72-48=24(米).
∴ 在 Rt△CBF 中， CF = FB × (米).
∴ CD = FD + CF = 20 + 32 =52(米).
∴ 大楼的高度CD约为52米.
【解析】【分析】 利用坡比求出AB的垂直高度和水平距离，再结合点A到大楼的水平距离AD，确定点B到大楼的水平距离；最后在直角三角形中，利用正切函数计算CF的高度，进而求出CD的总高度.
15．某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐.为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11：30下课后15分钟内进入食堂累计人数》（人）与经过的时间x分钟（x为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的时间x/分钟 0 1 2 3 4 5 … 10
累计人数y（人） 0 95 180 255 320 375 … 500
当x>10时y与x之间的函数关系式y=10x+400，（10已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐。
（1）根据上述数据，请利用已学知识，求出当x≤10时，y与x之间的函数关系式.
（2）排队人数最多时有多少人？
（3）若开始取餐x分钟后增设m个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求x，m的值.
【答案】（1）解：当0≤x≤10时，这个函数表达式为y=ax2+bx+c，
则，解得，
所以y 与x之间的函数关系式 为y=-5x2+100x.
（2）解：设排队人数为w，
当0≤x≤10 时，w=y-20x =-5x2+80x，
∴w=-5(x-8)2+320，
当x=8时，w有最大值320（人)；
当10∴w=-10x+400，
∴250≤w<300，
∴排队人数最多时有320人.
（3）解：开始取餐x分钟后增设m个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，
则：20x+4(10-x)(m+5)=300，∴(10-x)m =25，
. m，x都是自然数，∴当m=5， x=5
【解析】【分析】（1）易验证表中数据不符合一次函数与反比例函数，只能是二次函数，可设这个函数为y=ax2+bx+c，代入其中三对数据，求出解析式；
（2）设排队人数为w，分别求出0≤x≤10与10（3）根据题意，列出方程，化简后求出自然数解.
16．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4（即AB：AE＝1：4），坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°．
（1）求AB的高；
（2）求树高CD．（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，
∴AB＝2米；
（2）解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，
∴CF＝AB，
∴CF＝2米，
设DF＝x米，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝
则(米)，
在直角中，米，
在直角中，，
米.
解得：，
则米.
答：CD的高度是米.
【解析】【分析】（1）根据坡度比即可求解；
（2）作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，进而根据矩形的性质得到CF＝AB，则CF＝2米，设DF＝x米，根据正切函数结合题意即可求出BF，再根据正切函数得到米，进而结合求出x，从而即可得到CD.
17．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．
（1）若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？
（2）如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围．
【答案】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，
由题意得，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险．
（2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，
当时，角的度数最大，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域，
即时，轮船能安全通过这一区域．
【解析】【分析】（1）在Rt△APB中，根据正弦的定义，求得PB的长度16海里，根据16＜ 即可得出答案；
（2） 设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，当时，角的度数最大， 在Rt△APD中，解直角三角形，求得∠PAD=45°，进而求得此时α=75°，即可得出当 时，轮船能安全通过这一区域．
18．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵AD⊥BC
∴设正方形的边长为，则，
∴，
整理得：，
解得．
答：这个正方形零件的边长为．
【解析】【分析】根据正方形的对边平行得到EF∥BC，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边，得到的三角形与原三角形相似”可得△AEF∽△ABC，设正方形零件的边长为xcm，则AK=（80-x）cm，根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得到 ，解方程即可得到结果.
19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+（a﹣3）x﹣3经过点A（3，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的解析式并求出其顶点坐标；
②当p＞t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＞0，点C（n，q）在该抛物线上，m＞n且m+n＞2，请比较p，q的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：，
∴点A的坐标为(3，0)，
将点A坐标代入抛物线函数解析式得，
9a+3(a-3)-3=0，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
②m≥3或m≤-1；
（2）解：p>q.
将点A坐标代入函数解析式得，t=9a+3(a-3)-3=12a-12，
解得(a>1，
∴抛物线的开口向上.
∵抛物线的对称轴为直线
且m+n>2，
即点B到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
【解析】【解答】解： （1）
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点，离对称轴越近，其函数值越小.
又·
或
故答案为：m≥3或m≤-1；
【分析】(1)①根据t=0可得出点A的坐标，将点A坐标代入函数解析式即可解决问题.
②根据抛物线的对称性及增减性即可解决问题.
(2)根据点B个点C离对称轴的远近，结合抛物线的开口方向即可解决问题.
20．小顺和小明想利用所学知识来测量学校的旗杆高度.如图，小顺站在旗杆（AB）旁的水平地面上D处，小明在BD之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点E时，小颖刚好在平面镜内看到旗杆顶端A，此时测得 米，小颖眼睛距地面的高度 米，然后小明在距离小颖4米的点G处用测角仪测得旗杆顶端A处的仰角为 ，测角仪 米，已知G、D、E、B在同一水平线上，AB、CD、FG都垂直GB，请根据以上信息，求出旗杆AB的高.
【答案】解：如图，过F作FH⊥AB于H，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，
∴四边形BGFH是矩形，
∴BH＝GF＝1.4米，BG＝HF，
设AB＝x米，
由题意得，∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE，
∴△CDE∽△ABE，
∴ ，即 ，
解得：BE＝0.5x，
∴HF＝BG＝GD+DE+BE＝（4.8+0.5x）米，
∵∠AFH＝45°，AH＝（x﹣1.4）米，
∴4.8+0.5x＝x﹣1.4，
解得：x＝12.4，
∴旗杆AB的高为12.4米.
【解析】【分析】过F作FH⊥AB于H，则四边形BGFH是矩形，BH＝GF＝1.4米，BG＝HF，设AB＝x米，证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质可得BE＝0.5x，则HF＝BG＝GD+DE+BE＝(4.8+0.5x)米，根据AH=FH可得x，据此解答.
21．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile.参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示.
则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°.
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形.
又∵∠CFE＝90°，
∴ CDEF为矩形，
∴CF＝DE.
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°.
设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝ ，
∴AE＝ ＝x（nmile）.
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝ ，
∴BE＝ ＝ x（nmile）.
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x﹣ x＝6，解得：x＝9+3 ，
∴CF＝DE＝（9+3 ）nmile.
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝ ，
∴BC＝ ≈20（nmile）.
答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile。
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示 ， 首先判断出四边形CDEF为平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出四边形CDEF为矩形， 设DE＝x ，从而根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值，表示出AE，BE，的长，进而根据 AE﹣BE＝AB 列出方程，求解得出x的值，得出CF的长，最后再根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 sin∠CBF＝ ， 即可算出BC的长.
22．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，∴较大矩形的宽为．
∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为．
∴养殖场的总面积为．
∵墙的长度为10米，
∴，
∴．
∴关于的函数关系式为
（2）解：由题意，∵，∴当时，随的增大而增大．
又∵，
∴当时，取最大值，最大值为：．
答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到矩形养殖场的长和宽，再利用矩形的面积公式可得到y关于x的函数解析式，利用墙的长度可求出x的取值范围.
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质及x的取值范围，可得到矩形面积的最大值及此时x的值.
（1）解：由题意，∵较小矩形的宽为，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，
∴较大矩形的宽为．
∴矩形养殖场的长为，矩形养殖场的宽为．
∴养殖场的总面积为．
∵墙的长度为10米，
∴，
∴．
∴关于的函数关系式为．
（2）解：由题意，∵，
∴当时，随的增大而增大．
又∵，
∴当时，取最大值，最大值为：．
答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
23．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象直接回答：
（1）方程的解是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）当x满足 时，函数值大于0．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】【解答】（1）根据题意
抛物线的另一个与x轴的交点和A点关于x=1对称，
故另一个交点坐标是（-1，0）
故方程的解是，
故填：，
（2） 根据函数图象的性质
当时，y随x的增大而减小
故填：
（3） 根据函数图象的性质
当或时，函数值大于0
故填： 或
【分析】（1）根据二次函数图象的性质，可通过观察图象找到与x轴的2个交点；
（2）根据二次函数图象的性质，开口向上，在对称轴左侧， y随x的增大而减小 ；
（3）根据二次函数图象的性质，图象位于x轴上方部分即函数值大于0，找到对应的x取值范围是 或 。
24．近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5°，巡逻船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时巡逻船到达B处，这时观测到城市P位于巡逻船的南偏西36.9°方向，求此时巡逻船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈ ，tan36.9°≈ ，sin67.5°≈ ，tan67.5°≈ ）
【答案】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A= ，
∴AC= ，
在Rt△PCB中，∵tan∠B= ，
∴BC= ，
∵AC+BC=AB=21×5，
∴ ，解得x=60，
∵ ，
∴ （海里）．
∴巡逻船所在B处与城市P的距离为100海里．
【解析】【分析】由巡逻船的速度和行驶时间能求出AB长，过P点作AB的垂线可构造出两个直角三角形，根据方位角能确定每个直角三角形里的锐角角度，再通过解直角三角形即可求出PB。
25．某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
【答案】解：根据题意可得：
y=x[200+6（80﹣x）]
=﹣6x2+680x．
【解析】【分析】 该公园每天的门票收入y=门票的单价×每天进园的人数，列出函数解析式即可。
26．如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平夹角∠ADE为39°，目高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan 39°=0.81】
【答案】解：过D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE为矩形，
∴DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=39°，
∴tan∠ADE= =tan39°=0.81，
∴AE=DE tan39°=24×0.81=19.44（米），
∴AB=AE+EB=19.44+1.5=20.94≈20.9（米）．
答：建筑物的高度AB约为20.9米．
【解析】【分析】过D作DE⊥AB于点E，继而可得出四边形BCDE为矩形，DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，根据∠ADE=39°，在Rt△ADE中利用三角函数求出AE的长度，继而可求得AB的长度．
27．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为 4 米．以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，垂直于路面 OA 方向为 y 轴，建立平面直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边 A 处竖直向上安装护栏，若护栏高度为 1.2 米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由.
【答案】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式为，
该抛物线经过原点，
，解得．
该抛物线的函数表达式为
（2）解：水柱不会喷射到护栏上 ，理由如下：
当时，
，
水柱不会喷射到护栏上
【解析】【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解；
（2）将得出，即可求解．
28．如图，在 中， ， ， ，求 的面积．
【答案】解：作 于点D，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【解析】【分析】（1）作 于点D，在中，在 中，在中，利用勾股定理求出CD=8，从而求出BC=BD+CD=14，根据△ABC的面积=计算即得结论.
29．如图，已知在中，点、、分别在边、，上，，，如果，的面积是20，求的面积．
【答案】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是20，
∴的面积是5．
【解析】【分析】先根据 ，， 证明 四边形是平行四边形， 进而得到 ， 再证明 ， 再利用相似三角形的性质即可求解.
30．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底CB=5m，迎水面CD的坡比为1：，背水面AB的坡比为1：1，坝高为4 m，求坝底宽AD的长和迎水面CD的长．
【答案】解：过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF是长方形
∴EF-CB=5 m，CE= BF=4 m
∵迎水面CD的坡比为1：，
∴
∴DE=m
∴CD==8m
∵背水面AB的坡比为1：1，
∴．
∴AF=BF=4 m
∴AD= DE+EF+AF= (9+)m
【解析】【分析】过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF是长方形，根据迎水面CD的坡比为1：，可得DE=米，结合勾股定理可得CD=8m，由题意背水面AB的坡比为1：1，可得AF=4 m，即可得坝底宽AD的长.
31．已知二次函数 ．
（1） 若二次函数图象上的点 关于对称轴对称的点为点 ， 则点 的坐标为
（2） 若点 到对称轴的距离为 4 个单位长度， 则点 对应的横坐标为
（3） 若点 为二次函数图象上的两点， 则点 比点 距离对称轴更 (填“近”或“远”)， (填“>” “<"或“=”)；
（4） 若点 均在该二次函数图象上， 则 的大小关系为 ；(用“>”连接)
（5） 若将该二次函数图象先向上平移 2 个单位长度， 再向左平移 1 个单位长度， 求平移后的二次函数图象的解析式．
【答案】（1）
（2）-3或5
（3）近；＜
（4）
（5）解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴将该二次函数图象先向上平移 2 个单位长度， 再向左平移 1 个单位长度， 求平移后的二次函数图象的解析式为y=（x-1+1）+2=x2+2
【解析】【解答】解：（1）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴二次函数图象上的点 关于对称轴对称的点B的坐标为 （1+3，5）即（4，5）.
故答案为：（4，5）.
（2）∵点A到对称轴的距离为4个单位长度，
∴点A的横坐标为1-4=-3或1+4=5
故答案为：-3或5.、
（3）∵1-（-1）=2，4-1=3，
∴点 为二次函数图象上的两点， 则点比点距离对称轴更近，m＜n
故答案为：近；＜.
（4）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，点C（-3，y1）关于对称轴对称的点的坐标为（5，y1），
∵1＜3＜5，
∴.
故答案为：
【分析】（1）将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性，可得到点B'的坐标.
（2）利用二次函数的对称性可求出点A对应的横坐标.
（3）利用点A、B的横坐标，可得到点A、B到对称轴的距离，据此可得答案.
（4）先求出点C关于对称轴对称的点的坐标，再利用二次函数的增减性，可得到 的大小关系.
（5）利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
32．为喜迎“五一”佳节，某公司推出一种新礼盒，每盒进价元，在“五一”节前进行销售后发现，该礼盒的日销价量盒与销售价格元盒的关系如表：
销售价格元盒
日销售量盒
同时，销售过程中每日的其他开支不含进价总计元．
（1）在上表中，以的值作为点的横坐标，的值作为点的纵坐标，在图中的直角坐标系中描出各点，顺次连接各点，观察所得图形，判断与的函数关系，并求出盒与元盒的函数解析式；
（2）请计算销售价格元盒为多少时，该公可销售这种礼盒的日销售利润元最大，最大日销售利润是多少？
（3）试判断该公司日销售金额是否会达到元？
【答案】（1）解：如图：以表中x的值作为点的横坐标，y的值作为点的纵坐标，在图中的直角坐标系中描出各点，顺次连接各点得到图象如下：
由图可知：与满足一次函数关系，
设，
把点、代入上式得：
．
解得：，
与的函数解析式为：；
（2）解：由题意得：
，
二次项系数为负，
当销售价格x=40(元/盒)时，该公司销售这种礼盒的日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是元；
（3）解：当日销售金额达到元时，
，即，
整理，得：，
，
方程无解．
该公司日销售金额不会达到元．
【解析】【分析】（1）以表中x的值作为点的横坐标，y的值作为点的纵坐标，利用描点法画出函数的图象，由图可知：y与x满足一次函数关系，从而利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；
（2）根据日销售利润=单盒礼品的利润×日销售礼品的数量-每天的其它开支建立出w关于x的函数解析式，进而根据函数解析式的性质可得结论；
（3）根据礼品盒的销售单价乘以日销售数量=日销售金额1230元建立方程，进而根据根的判别式判断该方程是否有实数根，如果有实数根就能实现，否则就不能实现.
33．某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件.商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件.若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答.
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 ▲ 元；②每天的销售量为 ▲ 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
【答案】解：（I）（145﹣x）；
（Ⅱ）（40+2x）；（II）根据题意可得：y＝（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
＝﹣2x2+80x+2400，
＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145﹣20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元.
【解析】【解答】解：（I）由题意可知：①每件商品的售价为：（145﹣x）元；
②每天的销售量为：（40+2x）件；
故答案为：①（145﹣x），②（40+2x）；
【分析】（1）①利用开始的售价减去降低的钱数即为售价；
②首先表示出增加的件数，然后加上40即可；
（2）根据每天的总利润=每件商品的利润乘以每天的销售数量建立函数关系式，对其进行化简，然后结合二次函数的性质进行求解.
34．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈2.45）
【答案】解：过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45 ，∵∠CAP=60°，∴tan60°= = ，∴AP=15 ，∴AB=AP+PB=15 +45 =15×2.45+45×1.41≈100（km）．答：小岛A与小岛B之间的距离是100km．
【解析】【分析】过点C作CP⊥AB于P， 根据平行线的性质可得∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=∠ACE=60°，由题意可得BC=452=90，在直角三角形BPC中，由勾股定理可得，所以可求得BP=CP=45，在直角三角形APC中，由∠A的正切可得tan60°=，所以可得AP=15 ，根据线段的构成可得AB=AP+PB=15+45，结果保留整数即可。
35．如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四
个顶点都在横格线上，已知0=36°，求AB和AD的长. (结果精确到1mm，参考数据： ， ， ）
【答案】解：过点B作BE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F.
在 中， ， ， ，
，
.
，
，
又 ，
.
在 中， ， ，
，
【解析】【分析】分别过B、D作垂线垂直于l，通过构造直角三角形根据α＝36°和ABCD的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽12mm等条件来求出AB、AD的长.
36．如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好．此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米．(结果保留根号)
【答案】解：如图，延长OC，AB交于点P．
∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
∴OA= AD=10米，
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC tan60°= 米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
∴ ，
∴PA= = = 米，
∴AB=PA﹣PB=（ ）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（ ）米．
【解析】【分析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．
37．如图，某校有一教学楼AB，其上有一避雷针AC为7米，教学楼后面有一小山，其坡度为i＝ ：1，山坡上有一休息亭E供爬山人员休息，测得山坡脚F与教学搂的水平距离BF为19米，与休息亭的距离FE为10米，从休息亭E测得教学楼上避雷针顶点C的仰角为30°，求教学搂AB的高度．（结果保留根号）（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
【答案】解：如图作EN⊥BF，EM⊥BC垂足分别为N、M．
在Rt△EFN中，∵∠ENF＝90°，EF＝10，EN：FN＝ ，
∴tan∠EFN＝ ，
∴∠EFN＝60°，
∴FN＝ EF＝5，EN＝ FN＝5 ，
∵∠MBN＝∠EMB＝∠ENB＝90°，
∴四边形MENB是矩形，
∴BM＝EN＝5 ，ME＝BN＝BF+FN＝24，
在Rt△CME中，∠CME＝90°，ME＝24，∠CEM＝30°，
∴CM＝ME tan30°＝24× ，
∴AM＝CM﹣AC＝8 ﹣7，
∴AB＝AM+BM＝8 ﹣7+5 ＝（13 ﹣7）m．
∴教学搂AB的高度为（13 ﹣7）m．
【解析】【分析】如图作EN⊥BF，EM⊥BC垂足分别为N、M．在Rt△EFN中，求出EN、FN，在Rt△CME中，求出CM即可。
38．如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】解：如图：
∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP，
∴ ，
即 ，
解得，MA=4米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.2米，
则马晓明的身影变短了4 1.2=2.8米．
∴变短了，短了2.8米．
【解析】【分析】根据AC∥BD∥OP，得出△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案．
39．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k≠0）的图象经过点和点．
（1）求反比例函数的表达式和a的值；
（2）若点C是线段上一点，过点C作轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段的长．
【答案】（1）解：∵点在的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数表达式为，
∵点在的图象上，
∴，
解得：；
（2）解：设直线的表达式为：，
将，代入得：，
解得，
∴直线的表达式为：，
∵点的横坐标为4，把代入得．
∴，
∵轴，
∴，代入得，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的表达式为：，再求出点D的坐标，最后计算求解即可.
（1）解：∵点在的图像上，
∴代入得，
∴反比例函数关系式为，
∵点在的图像上，
∴代入得，
综上，反比例函数关系式为，；
（2）设的表达式为：，
将，代入得：，
解得，
∴的表达式为：，
∵点的横坐标为4，把代入得．
∴，
∵轴，
∴，代入得，
∴，
∴．
40．已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．
（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：
①x1+x2 x3+x4；②x1﹣x3 x2﹣x4；③x2+x3 x1+x4．
（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；
（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值．
【答案】（1）＝；＜；＞
（2）解：∵x1＝1，2＜x2＜3，
∴3＜x2+x1＜4，
∴3＜﹣b＜4，
∴﹣4＜b＜﹣3；
（3）解：抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）顶点坐标为，对称轴为直线，
当x＝0时，y＝c，当x＝1时，y＝1+b+c，
∵抛物线开口向上，所以分以下情况讨论：
若不在0≤x≤1 内：
①当x＝0时，y取得最大值，当x＝1时，y取得最小值，有，
解得；
若在0≤x≤1 内：
②当x＝0时，y取得最大值，在顶点取得最小值，
有，
解得（舍去）或；
③当x＝1时，y取得最大值，在顶点取得最小值，
有，
解得（舍去）或，
综上所述，b的值为或或．
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），
∴x1+x2=-b，
∵抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），
∴x3+x4=-b，
∴x1+x2=x3+x4，
∵抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)是由抛物线y=x2+bx+c(b<0)向上平移1个单位得到的，且x1∴x1∴x2-x1>x4-x3，
∴x1-x3x1+x4，
故答案为：=，<，>.
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=x3+x4=-b，根据二次函数的平移规律可知抛物线y1=x2+bx+c+1由抛物线y=x2+bx+c向上平移1个单位得到，接下来利用二次函数的图象性质得x1x4-x3，进而将不等式进行变形即可求解；
（2）根据题意得，3＜x2+x1＜4，由（1）有x1+x2=-b，然后利用不等式的性质即可求解；
（3）先求出抛物线的顶点坐标，对称轴直线，当x=0或1时，y的取值，接下来进行分类讨论：①若不在0≤x≤1 内，则当x＝0时，y取得最大值，当x＝1时，y取得最小值；②若在0≤x≤1 内，则当x＝0时，y取得最大值，在顶点取得最小值；③若在0≤x≤1 内，还存在当x＝1时，y取得最大值，在顶点取得最小值，由这3种情况得关于b的方程，解方程即可求解.
41．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若，总有：
①当时，m的取值范围是：_________．
②当时，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：①或；
②当时，，
∴要使时，总有，则m的取值必须使的最小值为，符合题意，
当时，，
∴此时，
即，
解得：，
∴此时没有符合题意的m的值；
当时，，，不符合题意；
当时，，
∴此时，
即，
解得：，
∴此时；
综上分析可知：．
【解析】【解答】（2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，
又∵，
∴当时，取最大值，且最大值为，
∴要使时，总有，则m的取值必须使的最小值为2，符合题意，
当时，，
∴此时，
即，
解得：或，
∴此时；
当时，，不符合题意；
当时，，
∴此时，
即，
解得：或，
∴此时；
综上分析可知：或；
【分析】（1）将解析式转换为顶点式，即可得顶点坐标.
（2）①先求出当时，取最大值，且最大值为，得出要使时，总有，则m的取值必须使的最小值为2时，符合题意，分三种情况：当时，当时，当时，求出结果即可；
②当时，，得出要使时，总有，则m的取值必须使的最小值为，符合题意，分三种情况：当时，当时，当时，求出结果即可．
（1）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，
又∵，
∴当时，取最大值，且最大值为，
∴要使时，总有，则m的取值必须使的最小值为2，符合题意，
当时，，
∴此时，
即，
解得：或，
∴此时；
当时，，不符合题意；
当时，，
∴此时，
即，
解得：或，
∴此时；
综上分析可知：或；
②当时，，
∴要使时，总有，则m的取值必须使的最小值为，符合题意，
当时，，
∴此时，
即，
解得：，
∴此时没有符合题意的m的值；
当时，，，不符合题意；
当时，，
∴此时，
即，
解得：，
∴此时；
综上分析可知：．
42．已知，关于的二次函数．
（1）若函数经过点，求拋物线的对称轴．
（2）若点P(t-2，p)，Q(t+3，q)均在抛物钱y=2x2-4tx-3上，则p q(填">"，“<"或"=”).
（3）记，当时，始终成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入函数，解得，
，
拋物线的对称轴为直线．
（2）<
（3）解：.
I．对称轴
当时，，解得（舍去）
II．对称轴
此时，解得
III．对称轴
当时，，解得（舍去）
综上所述，-1.5＜t＜0.5.
【解析】【解答】解：（2）抛物线的对称轴为：x=，
∵a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，
而，，
∴，
∴p＜q.
【分析】（1）由题意把点A（4，-3）代入二次函数的解析式可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由题意求出抛物线的对称轴，根据a的值可知抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，然后计算P、Q两点到对称轴的距离并比较大小即可判断求解；
（3）由题意计算y2-y1=2x2+(2+4t)x+2，根据抛物线的对称轴为直线：x=-t-，结合已知条件-2≤x≤2分类讨论即可求解.
43．小江制作了如图一款托盘天平，在天平支点 左边托盘 (固定) 中放置一个物体，在右边托盘 (可在 上左右移动， ) 中放置一个可以装水的容器 (容器的质量忽略不计). 在容器中加入一定质量的水，改变托盘 与点 的距离 (cm) ，可以使天平左右平衡， 记录天平平衡时容器中加入的水的质量， 得到下表：
托盘P与点O的距离x/cm 40 24 20 16 12 10
加入的水的质量y/g 6 10 12 15 20.1 24
（1）①请在所给的平面直角坐标系中作出 关于 的函数图象.②观察函数图象，并求关于的函数表达式.
（2）若在容器中加入的水的质量 满足 ，求天平平衡时托盘 与点 的距离 的取值范围.
（3）根据杠杆原理，天平平衡时，左盘物体质量 右盘物体质量 (不计托盘与横梁质量)，其中 . 小江为了改进托盘天平使得它能在右盘倒入小于 水时天平也能平衡， 不妨设小江在天平右盘容器中倒入 水，他准备更换左盘中的物体，更换的物体质量分别有和三款可供选择，保持其他条件不变.请你通过计算帮助小江从上述三款物体中挑选合适质量的物体，并求此时天平保持平衡时托盘 离 点的距离.
【答案】（1）解：①描点，连线，如图：
②由图象可得，y是x的反比例函数，故设
把（40，6）代入可得k=40×6=240，
∴y关于x的函数为（x＞0）
（2）解：当y=7.5时，
当y=24时，
∵在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当7.5≤y≤24时，10≤ x ≤ 32.
（3）解：根据题意，右边托盘与点的距离最大为40cm，
当左盘中的物体质量为35 (g)时，OP=35×8÷5=56 (cm) > 40cm，不符合题意；
当左盘中的物体质量为29 (g)时，OP=29×8÷5=46.4 (cm) > 40cm，不符合题意；
当左盘中的物体质量为20 (g)时，OP=20×8÷5=32 (cm)<40cm，符合题意；
∴小江挑选质量为20 (g)的物体可满足条件，这时OP长为32cm.
【解析】【分析】（1）①描出各点并连线即可得到图象；
②根据图象可得到反比例函数，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）分别把y=7.5和y= 24代入解析式求出x的值，然后根据增减性解题即可；
（3）把三个数据分别代入平衡时的等式，计算出OP长并与40cm进行比较，然后作出判断即可.
44．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当﹣1≤x≤4时，求y的最大值和最小值．
（3）点P为这条抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为中心作正方形ABCD，AB=2m，且AB⊥x轴．
①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
②正方形ABCD的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：令y＝0，则x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（-1，0）、（3，0），
令x=0，则y=-3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，-3），
抛物线如图所示，
，
当-1≤x≤4时，y的最大值，即x=4时，y=5，
y的最小值，即x=1时，y=-4，
∴y的最大值和最小值分别是5、-4；
（3）解： ①由题意得，正方形ABCD边长为2m，
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥x轴，AD、BC⊥y轴，
∵P的横坐标为m，且点P是正方形ABCD的中心，
又∵抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，
∴正方形ABCD在直线x=1的左侧，即2m≤1，
解得：m≤，
∴0＜m≤，
②m的值为或或．
【解析】【解答】解：（3）②当时，，
如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，
此时则
解得；
如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，
此时，
∴
解得，
∴；
如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，
，
解得，
∴，
综上所述，m的值为或或．
【分析】（1）对称轴公式：，列出方程解出的值；
（2）画出函数图象，利用二次函数的增减性求出最大值和最小值；
（3）①通过正方形中心P的坐标，求出正方形左端点的横坐标，结合抛物线在正方形内部的点的增减求出的取值范围；
②先求出正方形左右两边的函数解析式，再求出正方形的边与抛物线的交点坐标，通过交点的纵坐标之差为列出方程，求出的值．
45．如图1，已知 为正方形 的中心，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ， ，连结 ，将△ 绕点 逆时针旋转 角得到△ （如图2）．连结 、 ．
（Ⅰ）探究 与 的数量关系，并给予证明；
（Ⅱ）当 ， 时，求：
① 的度数；
② 的长度．
【答案】解：如图：（Ⅰ）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，又∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，则OE′=OF′，在△AOE′和△BOF′中，∴△AOE′≌△BOF′∴AE′=BF′；（Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，∴△OME′是等边三角形，又∵AM=OA，∴AE′⊥OM，则∠E′AO=90°，∴∠AOE′=90°﹣α=60°，∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，∴∠AOF′=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOF′=60°，又∵等腰直角△AOB中，OB= AB= ，∴在Rt△ABE'中得到AE'= OA= ，又BF'=AE'∴BF′= ．
【解析】【分析】（Ⅰ）由正方形的性质可证明△AOE′≌△BOF′，进而得出结论；
（Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．由正方形的性质和已知可得△OME′是等边三角形，进而在直角△AOE′中可求出∠AE′O的度数；
②先求出∠BOF′=60°，在等腰直角△AOB中利用三角函数可求出OB的长，在Rt△ABE'中利用三角函数可求出AE′的长，从而可得BF′的长.
46．现将抛物线关于直线的对称抛物线记为，关于点中心对称的抛物线记为．
（1）当，，，时，求抛物线和的解析式；
（2）当，，时，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，求的取值范围；
（3）当，时，若抛物线的解析式为，请写出抛物线的解析式．
【答案】（1）解：当，，，时，
∴，
∴顶点坐标为；
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
则抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
∵关于点中心对称的抛物线记为，
则抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当，，时，
∴，顶点坐标为（2，﹣1）.
∴顶点坐标（2，﹣1）关于直线对称的点坐标为（2，2m+1），关于点（0，m）对称的点坐标为（﹣2，2m+1）.
，，.
∵ 直线与抛物线，和有且只有4个交点，
∴和有两个交点A，B（点A在点B左侧），且交点的纵坐标为m，直线与抛物线另外两个交点C，D（点C在点D左侧），
∴，，
∴，，，
∴m>﹣1，，，，，
可画图如下：
或
∵，即，
可得：m≠3.
故直线与抛物线，和有且只有4个交点时，的取值范围为或．
（3）解：当，时，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∵与关于直线 对称，
∴，，，
∴与关于点中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为．
【解析】【分析】（1）首先将a，b，c的值代入并配方得到，然后根据轴对称和关于点对称的性质分别求出抛物线和的顶点坐标和二次项系数，即可得到和的解析式；
（2）根据题意分别求出，和的解析式，再根据直线与抛物线，和有且只有4个交点，可得和有两个交点A，B（点A在点B左侧），且交点的纵坐标为m，直线与抛物线另外两个交点C，D（点C在点D左侧），根据交点个数得，，；分别表示出A，B，C和D四点的横坐标，并画出图形，再根据点A和点D不重合，可再确定一个m的取值范围，即可得到答案.
（3）首先配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后配方得到抛物线的解析式为，求出，，，进而求解即可．
（1）解：当，，，时，
∴，
∴顶点坐标为；
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
∵关于点中心对称的抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当，，时，
∴，
如图所示，当时，直线与抛物线，和没有交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有2个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有3个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点；
综上所述，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，的取值范围为或．
（3）解：当，时，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
∴，，，
如图所示，
∵关于点中心对称的抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为．
47．如图，取一根9.5m长的标杆AB，在其上系一活动旗帜C，使标杆的影子落在平地和一堤坝的左斜坡上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡底角顶点D处．若测得旗高BC＝4.5m，影长BD＝9m，影长DE＝5m，请计算左斜坡的坡比(假设标杆的影子BD，DE均与坝底线DM垂直)．
【答案】解：延长AE交BD的延长线于点F，作EG⊥DF，垂足为G，∵DC∥AF，∴△BCD∽△BAF．∴ ，即 ，解得BF=19（m）．∵EG∥AB，∴△FEG∽△DCB．∴ ，即 ，解得FG=2EG．设EG=x，则FG=2x，DG=19-9-2x=10-2x．在Rt△DEG中，由勾股定理，得x2+（10-2x）2=52，解得，x1=3，x2=5（舍去）．∴DG=4．∴左斜坡的坡比i= =3：4
【解析】【分析】延长AE交BD的延长线于点F，作EG⊥DF，垂足为G，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△BCD∽△BAF，根据相似三角形对应边的比等于相似比列出方程即可求出BF的长，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△FEG∽△DCB，根据相似三角形对应边的比等于相似比列出方程即可求出FG=2EG，设EG=x，则FG=2x，DG=19-9-2x=10-2x，在Rt△DEG中，由勾股定理建立方程，求解即可求出DG的长，进而根据坡比的定义即可算出答案。
48． 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，y的最大值为2，求a的值：
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象开口向上，经过点，，
∴，，
∴；
（2）解：∵二次函数，，在时，y的最大值为2，
则其对称轴为：，
∴当时，随的增大而增大，
则时，有最大值2，
即，得．
∴；
（3）解：∵线段AB向右平移2个单位得到线段A'B'，
∴，，
设A'B'的解析式为，
则：，
解得：，
∴直线A'B'的解析式为，
∵抛物线在的范围内仅有一个交点，
∴即方程在的范围内仅有一个根，
整理得在的范围内只有一个解，
即抛物线在的范围内与x轴只有一个交点，
观察图象可知，时，，时，，
∴，
解得，，
∴．
当方程有等根时，，
∴，
∴，
解得或0（舍弃），
当时，交点的横坐标为1，不符合题意，舍弃．
综上，的取值范围为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可；
（2）根据题中开口向上，所以a＞0，在1≤x≤4时，y的最大值在x=1或x=4处，又因为对称轴小于零，所以在1≤x≤4时，y随x的增大而增大，故在x=4时，y有最大值2，代入方程求解即可；
（3）先根据点的坐标的平移规律写出点A'、B'的坐标，再利用待定系数法写出直线A'B'的解析式，若线段A'B'与抛物线y=ax2+bx+c+4a-1仅有一个交点，即方程在2≤x≤4的范围内仅有一个根，只需当x=2对应的函数值小于或等于0，且x=4对应的函数值大于或等于0即可求解.
49．已知二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）（k≠0）．
（1）若ak＝1．
①当k＝1时，求该函数图象的顶点坐标．
②不论k（k≠0）取何值，图象是否会经过定点？若会，请求出图象经过的定点坐标；若不会，请说明理由．
（2）点A（﹣2，y1），B（1，y2）在该函数图象上，且y1≥y2．若a+k＝1，图象的顶点在第三象限，求a的取值范围．
【答案】（1）解：①∵ak＝1，k＝1，
∴a＝1，
∴二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，
∵y＝x2﹣3x+2＝，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②图象会过定点，理由如下：
∵二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）=a[（x2-2x）+k（2-x）]，且不论k（k≠0）取何值，图象过定点，
∴2-x=0，即x=2，
当x＝2时，y＝0，
∴图象经过的定点（2，0）；
（2）解：∵二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）（k≠0），
∴图象交x轴于（k，0），（2，0），
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象的顶点在第三象限，
∴a＞0，，
∴k＜﹣2，
∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）在该函数图象上，且y1≥y2，
∴，即k≥﹣3，
又∵k＜﹣2，
∴-3≤k<-2，
∵a+k＝1，
∴k＝1﹣a，
∵-3≤k<-2，
∴﹣3≤1﹣a＜﹣2，解得，3＜a≤4，
∴a的取值范围是3＜a≤4．
【解析】【分析】（1）①结合已知，易得a=1，将二次函数解析式化成顶点式即可求解；
②将二次函数解析式变形易得，y＝a（x﹣k）（x﹣2）=a[（x2-2x）+k（2-x）]，易得2-x=0，所以当x=2时，y=0，所以图象经过的定点（2，0）；
（2）由二次函数解析式易得二次函数图象与x轴相交于点（k，0），（2，0），利用二次函数的对称性即可计算出对称轴，即对称轴为直线，由抛物线过定点（2，0），图象的顶点在第三象限，可得a＞0，，即k＜-2，再结合已知，y1≥y2，可得，即k≥﹣3，再由a+k=1即可建立关于a的不等式，求解不等式即可得出答案.
50．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方向角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
【答案】解：AB不穿过风景区．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，则在Rt△ACD中，AD=CD tanα，在Rt△BCD中，BD=CD tanβ，∵AD+DB=AB，∴CD tanα+CD tanβ=AB，∴CD= = （千米）．∵CD=50＞45，∴高速公路AB不穿过风景区．
【解析】【分析】判断是否穿过风景区，须作出CD⊥AB，比较CD与45的大小，利用线段之和列出方程：CD tanα+CD tanβ=AB，求出CD.
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