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【临考冲刺·50道解答题专练】华东师大版数学八年级上册期末总复习
1．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
2．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
3．如图，一棵小树在大风中被吹歪，用一根棍子把小树扶直，已知支撑点到地面的距离是 米，棍子的长度为5.5米，求棍子和地面接触点 到小树底部 的距离是多少
4．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
5．在正方形纸片中，点，分别是边，上的中点，点是边上一点，沿着，剪两刀，将剪成的三片拼成一个无琏衔接的等腰三角形，若正方形的边长为4，求的长．
备用图
6．如图，一根直立于水中的芦苇 高出水面 1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到 的距离 米，求芦苇 的长度为多少米？
7．如果 ，求m，a，b的值．
8．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米.
（1）求滑道BD的长度；
（2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使得则求出DF的长.（答案保留根号）
9．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，求树高AB多少米．（结果保留根号）
10． 为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图，先在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可；
乙：如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．
11．前进小学六年级学生喜欢的运动项目统计如图，其中喜欢足球的有40人．
（1）前进小学六年级喜欢跳绳的有多少人？
（2）喜欢乒乓球的人数比喜欢踢毽的多多少人？
（3）通过观察和分析这些数据，你能判断出前进小学六年级学生最喜欢的是哪种运动吗？能判断哪种运动喜欢的人数是最少的吗？请说明理由．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
13．比较下列各组数的大小：
（1）3.5与；
（2）与．
14．已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求图形中阴影部分的面积．
15． 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
16．如图学校有一块三角形空地，其中，，，学校计划将这块地建成一个花园，以美化校园，预计花园每平方米造价80元，求学校修建这个花园需要投资多少元？
17．如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．
18．月日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下单位：：
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间
等级
人数
三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数
四、得出结论：
表格中的数据： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为 ▲ ；
如果该校现有学生人，估计等级为“”的学生有 ▲ 人；
假设平均阅读一本课外书的时间为分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年按周计算平均阅读 ▲ 本课外书．
19．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=4，求BD的长．
20．如图所示，已知CE∥BD，∠C=∠D，证明：∠A=∠F．
21．数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 ，求北纬 纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
⑴在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
⑵如图， 是经过南、北极的圆，地球半径 约为 ．弦 ，过点 作 于点 ，连接 ．若 ，则以 为半径的圆的周长是北纬 纬线的长度；
⑶参考数据： 取3， ， ．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为 ， ，
所以 （ ）（填推理依据），
因为 ，所以 ，
在 中， ．
▲ （填“ ”或“ ”）．
所以北纬 的纬线长
▲ （填相应的三角形函数值）
▲ （ ）（结果取整数）．
22．一副三角板、，如图1放置，三角板的一边重合．
（1）请直接写出图1中， 度；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，
①若旋转到时，请求出的度数；
②若旋转到时，请求出的度数．
23．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
24．如图，把长为12 cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，且∠FPH ＝ 90°，BF ＝ 3 cm，求FH的长．
25．如图，在 中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD.若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数.
26．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度．
27． 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，求的长．
28．如图所示，已知，用直尺和圆规作：(保留作图痕迹，不要求写作法)
（1）的角平分线CE；
（2）BC边上的中线AF.
29．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然符合题意，那么得到的结果应该是什么？
30．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证AB＝AC．
31．已知2a﹣1的平方根是±3， 的算术平方根是b，求a+b的平方根．
32．如图，已知AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝135°。求∠ADC的度数
33．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
34．如图，在△ABC中，∠C=50°，将AB沿射线BC的方向平移至A'B'的位置，使B'为BC的中点，连结AA'，记A'B'与AC的交点为O.
（1）求证：△AOA'≌△COB'；
（2）若AC平分∠BAA'，求∠B的度数.
35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，D为BC上一点，连接AD，将△ABC沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点B'处，求DB'的长度．
36．已知：如图，AD∥BC，AE是∠BAD的角平分线，AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且∠E=∠CFE，请说明∠ABF=∠BFC的理由.
37． 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，过点B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若BD=12cm，DE=20cm，求CE的长度．
38．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧…(相邻的两个之间依次多个。
（1）整数集合： ▲ ；
（2）分数集合： ▲ ；
（3）无理数集合： ▲ 。
39．是等边三角形，是三角形外一动点，交于O，满足
（1）如图①，当点在的垂直平分线上时，求证：；
（2）如图②，当D点不在的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
40．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000 的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420 ，其中长是宽的 倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
41．如图①，一个宽为a，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：__________；
（2）根据（1）中的结论，如果，求代数式的值；
（3）观察图③，解决下面的问题：若，求的值．
42．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 处测得对岸 处一棵柳树位于北偏东 方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达 处，此时测得柳树位于北偏东 方向，试计算此段河面的宽度．
43．S、J和R三人在火车上担任刹车员、司炉和司机(不一定依此顺序).
今天火车上只有三位乘客，而且很凑巧，三位乘客的姓也是S、J和R.为了把工作人员和乘客区分开，让我们把乘客称为先生—S先生、J先生和R先生.
此外，我们还知道：
①R先生住在底特律市；
②刹车员住在芝加哥和底特律之间的某地；
③住在芝加哥的乘客和刹车员同姓；
④刹车员的一位邻居也是一位乘客，他的年薪正好是刹车员的三倍(年薪为整数)；
⑤J先生一年恰好挣20000元，得靠政府救济过日子；
⑥S的台球打得比司炉好；
现在要问，谁是司机
44．如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和均为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点．
（1）如图1，等边的边长为4，边的中点P是完美点，写出完美翻折线的长．
（2）如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点．当，都为等腰三角形顶角时，求此时的度数．
（3）已知在中，，，
①在（2）的条件下，求的长．
②如图3，为的完美翻折线，P为完美点，当，为顶角时，求的值．
45．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
（3）探究：当α等于多少时，AOD是等腰三角形？（请直接写出结果） ．
46．如图，在中，，．过点作，且取，连接交于点．
（1）求证：；
（2）作于点，连接．
①求证：；
②设，求与的数量关系．
47．如图，四边形中，，是的中点，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，，求 的面积．
48．若x，y，z是整数，且满足=2，求x，y，z的值．
49．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
50．如图(1)，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明 AE∥BC 的理由；
（3）如图(2)，将(1)动点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
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【临考冲刺·50道解答题专练】华东师大版数学八年级上册期末总复习
1．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【答案】（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形
答：是直角三角形.
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
【解析】【分析】本题围绕三角形的性质展开，着重考查勾股定理逆定理以及三角形面积公式的应用.
(1)判断的形状，需要运用勾股定理逆定理，通过验证三边是否满足来确定是否为直角三角形；
(2)求修建的公路CD的长，利用三角形面积公式，结合的条件，通过面积的两种不同表示方法列出等式，进而求解CD的长度.
（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
2．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面(如右图为示意图)．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
【答案】解：根据题意，得，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴风筝距离地面的高度为12米．
【解析】【分析】设，则，在中，利用勾股定理列出关于的方程并解之即可.
3．如图，一棵小树在大风中被吹歪，用一根棍子把小树扶直，已知支撑点到地面的距离是 米，棍子的长度为5.5米，求棍子和地面接触点 到小树底部 的距离是多少
【答案】由题意知：AB= 米，AC=5.5米，
∵∠ABC=90°，
∴ =4.5米，
【解析】【分析】利用勾股定理计算即可.
4．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵c是的整数部分，
∴．
（2）解：将a＝5，b＝2，c＝3代入得：，
∴的平方根是．
【解析】【分析】（1）首先立方根的定义，求得a的值；再根据算数平方根的定义求得b的值，最后根据实数的估算可求出c的值；
（2）根据（1）的结果，代入3a-b+c中，先求出代数式的值，然后根据平方根的定义，得出它的平方根即可。
5．在正方形纸片中，点，分别是边，上的中点，点是边上一点，沿着，剪两刀，将剪成的三片拼成一个无琏衔接的等腰三角形，若正方形的边长为4，求的长．
备用图
【答案】解：
①②
①
②设，
中，，（舍去），
③，或或
【解析】【分析】分三种情况讨论：
① 当GE=GF时，即G为AB的中点，AG=BG=2
② 当PH=PG时，可得PH=PG=8，再有拼接可得GF=4，设AG为x，在△BGF中可由勾股定理求出x的值。
③ 当PH=HG时同② 即可求出解。
6．如图，一根直立于水中的芦苇 高出水面 1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到 的距离 米，求芦苇 的长度为多少米？
【答案】解：设 米，则 米
米， ，
，
，
米
答：芦苇 的长度为5米．
【解析】【分析】 设 米，则 米 ，利用勾股定理求出x的值，再计算即可。
7．如果 ，求m，a，b的值．
【答案】解： ，
=
=
∴=，3a-6=3，3b-4=2，
解得：m=，a=3，b=2.
【解析】【分析】利用积的乘方和同底数幂的除法对右式进行计算化简，然后等式两边系数相等与相同的字母的指数相等求得m，a， b的值.
8．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米.
（1）求滑道BD的长度；
（2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使得则求出DF的长.（答案保留根号）
【答案】（1）解：依题意得：是直角三角形，，，
，，
，，
设滑道=米，则米，
米，
在中，
∴，
∴，
答：滑道的长度为米；
（2）解：∵AF=BF
∴设米，则米，
（米，
，
∴，
（米，
由（1）可知，（米，
∴（米，
答：的长约为米．
【解析】【分析】（1）根据题意结合直角三角形的性质得到，，然后设滑道=米，则米，米，然后在中利用勾股定理列出方程，解此方程即可；
（2）设米，则米，利用勾股定理求出米，得到方程，求出AF的长度，最后结合线段间和差关系计算即可．
9．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，求树高AB多少米．（结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠ADB= ，
∴BD= ，
在Rt△ACB中，∵tan∠ACB= ，
∴BC= ，
∵BC﹣BD=8，
∴ =8，
∴AB=4 （m）．
答：树高AB为4 米
【解析】【分析】利用正切的定义分别在两个直角三角形中有AB表示出BD和BC，然后利用BC﹣BD=8列方程，再解关于AB的方程即可．
10． 为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图，先在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可；
乙：如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．
【答案】解：甲、乙两同学的方案都可行，
甲同学方案：
在和中，
，
≌，
；
乙同学方案：
，于点，
，
测量出线段的长度就是池塘两端，之间的距离，
甲、乙两同学的方案都可行．
【解析】【分析】 甲同学方案，证明△ABO≌△CDO（SAS），则AB=CD；乙同学方案，根据垂直平分线的性质可得AB=CD
11．前进小学六年级学生喜欢的运动项目统计如图，其中喜欢足球的有40人．
（1）前进小学六年级喜欢跳绳的有多少人？
（2）喜欢乒乓球的人数比喜欢踢毽的多多少人？
（3）通过观察和分析这些数据，你能判断出前进小学六年级学生最喜欢的是哪种运动吗？能判断哪种运动喜欢的人数是最少的吗？请说明理由．
【答案】（1）解：40÷20%=200（人）；200×15%=30（人）；
答：六年级喜欢跳绳的有30人．
（2）解：200×（30%﹣12.5%），
=200×17.5%，
=35（人）；
答：喜欢乒乓球的人数比喜欢踢毽的多35人．
（3）解：喜欢乒乓球的人数占30%，是喜欢人数最多的运动；喜欢其它运动的人数共占22%，其中的运动项目和占的百分数都无法确定，所以无法判断喜欢哪种运动的人数最少．
【解析】【分析】把总人数看成单位“1”，喜欢乒乓球的人数占总人数的30%，喜欢足球的人数占总人数的20%，喜欢跳绳的占总人数的15%，喜欢踢毽的人数占总人数的12.5%，喜欢其它的占总人数的22.5%；（1）喜欢足球的占总人数的20%，它对应的数量是40人，由此用除法求出总人数，然后用总人数乘15%就是喜欢跳绳的人数；（2）先求出喜欢喜欢乒乓球的人数比喜欢踢毽子的多占总人数的百分之几；然后用总人数乘这个百分数即可；（3）最喜欢的项目就是百分数最大的项目；喜欢的人数最少的项目，是占的百分数最小的，然后判断是否能找出这样的项目即可．
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
【答案】解：如图，连接AD， ∵ED是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD＝4， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DAC＝30°， ∵DC＝ AD＝2， ∴AC＝ . 故答案是 .
【解析】【分析】如图，连接AD，根据垂直平分线的性质可得BD＝AD，进而得到∠DAC的度数和DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可.
13．比较下列各组数的大小：
（1）3.5与；
（2）与．
【答案】（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴．
【解析】【分析】(1)对两个数的平方进行比较即可.
(2)对两个数的三次方进行比较即可.
14．已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求图形中阴影部分的面积．
【答案】解：在Rt△ACD中，AC= =5；
在Rt△ACD中，BC= =12；
∴S△ABC= ×5×12=30，
S△ACD= ×4×3=6，
∴阴影部分面积为30﹣6=24
【解析】【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长，求出△ABC的面积，再求出△ACD的面积，相减即可．
15． 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）测量OB与OD、∠BOA与∠DOA，你有何猜想？证明你的猜想．
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：OB＝OD，∠BOA＝∠DOA，
证明：由（1）知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABO和△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB＝OD，∠BOA＝∠DOA．
【解析】【分析】（1）利用“SSS”证出 △ABC≌△ADC即可；
（2）利用全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAC，再利用“SAS”证出△ABO≌△ADO，可得OB＝OD，∠BOA＝∠DOA．
16．如图学校有一块三角形空地，其中，，，学校计划将这块地建成一个花园，以美化校园，预计花园每平方米造价80元，求学校修建这个花园需要投资多少元？
【答案】解：如下图；
过点作于点，设米，则米．
在中，米，米
由勾股定理得：
即：
在中，米，米
由勾股定理得：
即：
∴
解得：
∴
∵
∴（米）
∴（平方米）
∴总价（元）
【解析】【分析】根据总价=单价×数量，本题已知单价，缺数量（面积），而根据三角形面积计算，缺高。所以本题先作出BC边上的高线AD，利用共边两直角三角形，勾股定理列方程求高AD，进而求出三角形ABC的面积，再求出总价。本题难点就是求三角形的高。
17．如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．
【答案】解：∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
CD＝ ＝ ＝12，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD＝ ＝ ＝16．
【解析】【分析】利用勾股定理即可得出答案。
18．月日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下单位：：
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间
等级
人数
三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数
四、得出结论：
表格中的数据： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为 ▲ ；
如果该校现有学生人，估计等级为“”的学生有 ▲ 人；
假设平均阅读一本课外书的时间为分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年按周计算平均阅读 ▲ 本课外书．
【答案】解：由已知数据知，，
第、个数据分别为、，
中位数，
故答案为：、、；
用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为，
故答案为：；
估计等级为“”的学生有人，
故答案为：；
估计该校学生每人一年按周计算平均阅读课外书本，
故答案为：．
【解析】【分析】
（1）根据中位数的定义进行求解即可；
（2）结合平均数，中位数，众数判断等级；
（3）用总人数乘以B级人数占比可得结果；
（4）先计算每周能看的本数，再计算52周能看的本数。
19．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=4，求BD的长．
【答案】解：设BD=x，则AD=2x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2=CD2，
在Rt△BCD中，BC2﹣BD2=CD2，
∴AC2﹣AD2=BC2﹣BD2，即62﹣（2x）2=42﹣x2，
解得，x= ，
则BD= ．
【解析】【分析】设BD=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
20．如图所示，已知CE∥BD，∠C=∠D，证明：∠A=∠F．
【答案】证明：∵CE∥BD，
∴∠C=∠DBA，
∵∠C=∠D，
∴∠DBA=∠D，
∴DF∥AC，
∴∠A=∠F
【解析】【分析】先根据平行线的性质得出∠C=∠DBA，再由∠C=∠D等量代换得到∠DBA=∠D，根据内错角相等，两直线平行得出DF∥AC，然后由两直线平行，内错角相等，即可证明∠A=∠F．
21．数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 ，求北纬 纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
⑴在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
⑵如图， 是经过南、北极的圆，地球半径 约为 ．弦 ，过点 作 于点 ，连接 ．若 ，则以 为半径的圆的周长是北纬 纬线的长度；
⑶参考数据： 取3， ， ．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为 ， ，
所以 （ ）（填推理依据），
因为 ，所以 ，
在 中， ．
▲ （填“ ”或“ ”）．
所以北纬 的纬线长
▲ （填相应的三角形函数值）
▲ （ ）（结果取整数）．
【答案】解：因为 ， ，
所以 （两直线平行，内错角相等）（填推理依据），
因为 ，所以 ，
在 中， ．
（填“ ”或“ ”）．
所以北纬 的纬线长 ．
（填相应的三角形函数值）
（结果取整数）．
故答案为：两直线平行，内错角相等； ；0.72；27648.
【解析】【分析】根据平行线的性质和锐角三角函数计算求解即可。
22．一副三角板、，如图1放置，三角板的一边重合．
（1）请直接写出图1中， 度；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，
①若旋转到时，请求出的度数；
②若旋转到时，请求出的度数．
【答案】（1）15
（2）解：①由题知，，
，
，
，
；
②由题知：，
．
【解析】【解答】解：（1），，
，
故答案为：15；
【分析】（1）根据直角三角形的性质算出、的度数，再由角的和差关系进行计算即可；
（2）①根据直角三角形的性质算出、的度数，再由角的和差关系进行计算即可；
②利用进行计算即可．
23．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
【答案】解：∠AED＝∠ACB．
理由：∵∠1+∠4＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠4，
∴EF//AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
【解析】【分析】首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE//BC，得出两角相等．
24．如图，把长为12 cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，且∠FPH ＝ 90°，BF ＝ 3 cm，求FH的长．
【答案】解：∵翻折，∴BF＝PF，CH＝PH．
设FH＝x cm，则PH＝(9－x) cm．
在Rt△PFH中，∠FPH＝90°，∴ FH2＝PH2＋PF2 ．∴ x2＝(9－x)2＋3 2．
∴
x＝5．∴ FH的长是5 cm．
【解析】【分析】由折叠可得BF＝PF，CH＝PH．设FH＝x cm，则PH＝(9－x) cm． 在Rt△PFH中 ，利用勾股定理即可求出FH的长．
25．如图，在 中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD.若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数.
【答案】解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，AB＝AD，
∵∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，
在△CBA与△CDA中，
，
∴△CBA≌△CDA（SAS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°.
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出∠BAD=60°，然后利用角的和差关系求出∠CAD=∠BAC=30°，然后利用SAS证明 △CBA≌△CDA ，得出∠ADC＝90°，最后根据角的和差关系，即可解答.
26．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度．
【答案】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25．
∵BD＞0，
∴BD=1.5米．
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
答：小巷的宽度CD为2.2米．
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
27． 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，求的长．
【答案】解：连接．
为的垂直平分线，
．
在中，，，，
．
设，则．
在中，由勾股定理，得，
解得．
的长为．
【解析】【分析】 连接，由垂直平分线的性质得到，利用勾股定理求得BC=4， 设，则． 再利用勾股定理得到关于x额方程，解方程即可求解.
28．如图所示，已知，用直尺和圆规作：(保留作图痕迹，不要求写作法)
（1）的角平分线CE；
（2）BC边上的中线AF.
【答案】（1）解：如图，线段CE即为所求.
（2）解：如（1）图，线段AF即为所求.
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧交AC、BC于一点，分别以两交点为圆心，以大于两交点距离的一半长为半径画弧，两弧在∠ACB内交于一点，过此点画射线CE交AB于点E即得结论；
（2）分别以点C、B为圆心，以大于BC的一半的长为半径分别画弧，过两弧的交点画直线交BC于一点即为F，连接AF即为所求.
29．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘错抄成除以，结果得到，如果小明没有错抄题目，并且计算依然符合题意，那么得到的结果应该是什么？
【答案】解：第一个多项式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，
正确的结果应该是：（3x2-6xy）（x-2y）
=3x3-6x2y-6x2y+12xy2
=3x3-12x2y+12xy2．
【解析】【分析】根据小明的做法求出第一个多项式，根据多项式乘法法则进行运算。
30．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证AB＝AC．
【答案】证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【解析】【分析】由角平分线的定义可得∠1＝∠2，由平行线的性质可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，即得∠B＝∠C， 利用等角对等边即得结论.
31．已知2a﹣1的平方根是±3， 的算术平方根是b，求a+b的平方根．
【答案】解：∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， ∴a＝5， ∵ 的算术平方根是b， 即16的算术平方根是b， ∴b＝4， ∴± ±3．
【解析】【分析】先依据平方根、算术平方根的定义得到a、b的值，然后再代入求解即可．
32．如图，已知AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝135°。求∠ADC的度数
【答案】解：在△ABC与△ADC中
∵
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ ABC＝135°，
∴ ∠ADC＝135°
【解析】【分析】根据SAS证明△ABC≌△ADC，所以得出∠ABC＝∠ADC，进而得出答案.
33．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
【答案】（1）解：设计的图形如下：
（2）解：a2+b2＝c2
【解析】【解答】解：（2）大正方形的边长为(a+b)。面积为：(a+b)2=a2+2ab+b2，
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
即大正方形的面积，
∴，
∴。
【分析】（1）设计一个长方形，长为2a+b，宽为a+b，它的面积就是 （a+b）（2a+b） ；
（2）确定大正方形ABCD的边长，计算面积，大正方形ABCD的面积又等于小正方EFGH的面积加上4个直角三角形的面积，根据面积相等建立等式求证即可。
34．如图，在△ABC中，∠C=50°，将AB沿射线BC的方向平移至A'B'的位置，使B'为BC的中点，连结AA'，记A'B'与AC的交点为O.
（1）求证：△AOA'≌△COB'；
（2）若AC平分∠BAA'，求∠B的度数.
【答案】（1）证明：由平移可知，AB=A'B'，AB∥A'B'.
∵B'为 BC 的中点，
∴OB'是△ABC的中位线.
在△AOA'与△COB'中，
∴△AOA'≌△COB'(SAS)
（2）解：∵ AC平分∠BAA' ，
∴∠BAA'=2∠CAA'，
∵AA'∥BC，
∴∠C=∠CAA'=50°，
∴∠BAA'=2∠CAA'=100°，
∵AA'∥BC，
∴∠B=180°-∠BAA'=80°
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理得出OA=OC，进而利用SAS证明△AOA'≌△COB'即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠A'AO的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可.
35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，D为BC上一点，连接AD，将△ABC沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点B'处，求DB'的长度．
【答案】解：
由折叠的性质可得 ， ， ，
∴
∵∠B=90°，AB=9，BC=12，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在直角三角形 中： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【解析】【分析】由折叠的性质可得 ， ， ，设 ，则 ，在直角三角形 中： ，解出x的值即可。
36．已知：如图，AD∥BC，AE是∠BAD的角平分线，AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且∠E=∠CFE，请说明∠ABF=∠BFC的理由.
【答案】解：∵AD∥BC，
∴∠E＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵∠E＝∠CFE，
∴∠BAE＝∠CFE，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFC．
【解析】【分析】根据平行线的性质求出 ∠E＝∠DAE， 再根据角平分线求出 ∠DAE＝∠BAE， 最后证明求解即可。
37． 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，过点B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若BD=12cm，DE=20cm，求CE的长度．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，又AB=AC，
在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵BD=12cm，DE=20cm，
∴AE=12cm，AD=AE+DE=12cm+20cm=32cm，
∴CE=32cm．
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、垂直的性质，熟悉这些性质，根据所给条件，得出三角形全等需要的条件是关键。（1）根据∠BAC=90°得∠BAD+∠CAD=90°，根据BD⊥MN，CE⊥MN得∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，则∠BAD=∠ACE，结合AB=AC，易证△ABD≌△CAE；（2）结合△ABD≌△CAE得BD=AE，AD=CE，可得CE=32cm．
38．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧…(相邻的两个之间依次多个。
（1）整数集合： ▲ ；
（2）分数集合： ▲ ；
（3）无理数集合： ▲ 。
【答案】（1）②③⑤
（2）①⑥⑦
（3）④⑧
【解析】【解答】解：(1)根据整数的定义可知：②是整数，③0是整数，⑤是整数，
整数集合：②③⑤
故答案为：②③⑤.
(2)根据分数的定义可知：
①是分数，⑥3.14是分数，⑦是分数
分数集合：①⑥⑦
故答案为：①⑥⑦.
(3)根据无理的定义可知：
④是无理数，⑧0.1010010001...(相邻的两个1之间依次多1个0)是无理数
无理数集合：④⑧，
故答案为：④⑧.
【分析】(1)根据整数的定义作答即可；
(2)根据分数的定义作答即可；
(3)根据无理数的定义作答即可.
39．是等边三角形，是三角形外一动点，交于O，满足
（1）如图①，当点在的垂直平分线上时，求证：；
（2）如图②，当D点不在的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵D点在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，∠AOD=90°
∴∠DAO=90°-∠ADB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°，
∴BD=2AD=AD+CD；
（2）解：成立．
理由：在DB上截取DE=AD，
∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD，
∴BD=DE+BE=AD+CD．
【解析】【分析】 (1)、 根据垂直平分线的性质求出AD=CD，∠AOD=90° ，再根据等边三角形的性质求出∠ABD的度数即可证明 ；
(2)、 在DB上截取DE=AD， 证明△BAE≌△CAD（SAS）得出BE=CD，线段等量代换即可证明.
40．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000 的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420 ，其中长是宽的 倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
【答案】解：设篮球场的宽为x m，则长为 x m，根据题意，得
x·x=420，即x2=225，
∵x为正数，
∴x= =15，
∴篮球场的长为28米，
∵ (28+2)2=900<1000，
∴能按规定在这块空地上建一个篮球场
【解析】【分析】设篮球场的宽为x m，可表示出长，再根据长方形的面积公式，建立关于x的方程，求出它的长与宽，再把篮球场的长加上2与正方形的边长比较大小，即可求解。
41．如图①，一个宽为a，长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：__________；
（2）根据（1）中的结论，如果，求代数式的值；
（3）观察图③，解决下面的问题：若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可知，
∴；
（3）解：各部分的面积如图所示，
由图可得，
∴；
∴．
【解析】【解答】
解：（1）∵图2的面积可由大正方形的面积求出：，还可由四个长方形的面积+中间小正方形的面积求出：，
∴可得出等式．
故答案为：；
【分析】（1）图2的面积可由大正方形的面积求出，还可由四个长方形的面积+中间小正方形的面积求出，即可得出等式；
（2）将各代数式的值对应代入（1）中的代数式求解即可；
（3）在图③中标出各部分的面积，由图大正方形的面积求出：，还可以表示为各个部分的面积之和，列出各面积大小关系的代数式，再代值进行求解即可．
（1）解：∵图2的面积可由大正方形的面积求出：，
还可由四个长方形的面积+中间小正方形的面积求出：，
∴可得出等式．
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，
∴；
（3）解：各部分的面积如图所示，
由图可得，
∴，
∴．
42．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 处测得对岸 处一棵柳树位于北偏东 方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达 处，此时测得柳树位于北偏东 方向，试计算此段河面的宽度．
【答案】解：如图， 作 于 ．
由题意可知： 米， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米．
在 中， （米）．
答：这条河的宽度为 米．
【解析】【分析】根据题意，作AD⊥BC于点D，根据直角三角形的性质求出AD的长度即可。
43．S、J和R三人在火车上担任刹车员、司炉和司机(不一定依此顺序).
今天火车上只有三位乘客，而且很凑巧，三位乘客的姓也是S、J和R.为了把工作人员和乘客区分开，让我们把乘客称为先生—S先生、J先生和R先生.
此外，我们还知道：
①R先生住在底特律市；
②刹车员住在芝加哥和底特律之间的某地；
③住在芝加哥的乘客和刹车员同姓；
④刹车员的一位邻居也是一位乘客，他的年薪正好是刹车员的三倍(年薪为整数)；
⑤J先生一年恰好挣20000元，得靠政府救济过日子；
⑥S的台球打得比司炉好；
现在要问，谁是司机
【答案】解：由 ⑥知司炉不姓S，则司机和刹车员必有一人姓S，
∵①R先生住在底特律市，
由②③④⑤可知刹车员的邻居是S先生，则J先生住在芝加哥，
∴刹车员姓J，
∴司机姓S.
【解析】【分析】由 ⑥知司炉不姓S，则司机和刹车员必有一人姓S，再由①②③④⑤可知刹车员姓J，从而可得S是司机.
44．如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和均为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点．
（1）如图1，等边的边长为4，边的中点P是完美点，写出完美翻折线的长．
（2）如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点．当，都为等腰三角形顶角时，求此时的度数．
（3）已知在中，，，
①在（2）的条件下，求的长．
②如图3，为的完美翻折线，P为完美点，当，为顶角时，求的值．
【答案】（1）解：∵是等边三角形，∴，，
∵P为的完美点，
∴，和是等腰三角形，
∵
∴和是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴
（2）解：连接，设，，
∵为的完美翻折线，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵和是等腰三角形，且，都为顶角
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即
（3）①过B作于点M，
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，又
∴．
②连接，过P作于点H，于点N，
∵为的完美翻折线，
∴，和是等腰三角形，
设，，
∴，，
∴，，
∵，为顶角，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，为的平分线，
∴，
又，，
∴
【解析】【分析】（1）利用翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则和是等边三角形，最后证明是等边三角形即可求解；
（2）连接，设，，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解；
（3）①过B作于点M，根据含角的直角三角形特征可得，，则，最后根据勾股定理即可求解；②连接，过P作于点H，于点N，设，，根据可得，则为的平分线，，最后根据等面积法即可求解．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵P为的完美点，
∴，和是等腰三角形，
∵
∴和是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
（2）连接，设，，
∵为的完美翻折线，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵和是等腰三角形，且，都为顶角
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即．
（3）①过B作于点M，
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得：，又
∴．
②连接，过P作于点H，于点N，
∵为的完美翻折线，
∴，和是等腰三角形，
设，，
∴，，
∴，，
∵，为顶角，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，为的平分线，
∴，
又，，
∴．
45．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
（3）探究：当α等于多少时，AOD是等腰三角形？（请直接写出结果） ．
【答案】（1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD= 60°，
∴△OCD是等边三角形.
（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC= 60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150° ，
∴∠ADC=∠BOC=α= 150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）解：当a=110°或125° 或140° 时，△AOD是等腰三角形.
【解析】【解答】解：（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°，
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α ，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α -60°=190°-α ，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α -60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α ）-（α -60°）=50°，
当∠ADO=∠OAD时，α -60°=50°，
解得：α=110°；
当∠AOD=∠ADO时，190°-α =α -60°，
解得：α=125°；
当∠AOD=∠OAD时，190°-α =50°，
解得：α=140°；
综上所述：当a=110°或125° 或140° 时，△AOD是等腰三角形.
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出OC=DC，再根据等边三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据等边三角形的性质求出∠ODC= 60°，再根据全等三角形的性质以及直角三角形的判定方法求解即可；
（3）根据△OCD是等边三角形求出∠COD=∠ODC=60°，再分类讨论，根据等腰三角形的性质计算求解即可。
46．如图，在中，，．过点作，且取，连接交于点．
（1）求证：；
（2）作于点，连接．
①求证：；
②设，求与的数量关系．
【答案】（1）证明：
在和中
（2）解：①作于．
在和中
②作交于．
∵在和中，
由等腰直角及可得
从而，由可得
，即
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出 ，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①根据垂直求出∠AFE=∠CGE=90°，再利用全等三角形的性质求出AF=CG，最后证明求解即可；
②结合图形，利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
47．如图，四边形中，，是的中点，平分．
（1）求证：平分；
（2）若，，求 的面积．
【答案】（1）证明：作垂足为，
平分，，，
，
，
，
，，
平分．
（2）解：由（1）可知：，
，，
．
【解析】【分析】（1）如图，过E点作EM⊥CD于M，DE平方∠ADC，则AE=ME（角平分线上的点到角两边的距离相等），E为AB中点BE=AE=ME，又因为BE⊥BC，ME⊥DC，即可得CE平分∠BCD。
（2）由（1）知EM=EB=AB=4，在由面积公式S△CDE=，代入求解即可。
48．若x，y，z是整数，且满足=2，求x，y，z的值．
【答案】解：∵=2
∴=2 ，
∴=2，
∴=2，
∴2y+4z-3x·32x-2y-z·5y-z=2，
∴，
解得：x=3，y=2，z=2.
【解析】【分析】将等式左边变形为底数为2或3或5的幂的形式，利用同底数幂相等时，幂的指数也相等，据此解答即可.
49．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
【答案】解：AC⊥BD，理由为：
∵AB＝AD（已知），
∴∠ADB＝∠ABD（等边对等角），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB（等式性质），
即∠BDC＝∠DBC，
∴DC＝BC（等角对等边），
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC（全等三角形的对应角相等），
又∵AB＝AD，
∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）．
【解析】【分析】AC与BD垂直，理由为：由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，利用等式性质得到∠BDC=∠DBC，利用等角对等边得到DC=BC，利用SSS得到三角形ABC与三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC=∠BAC，再利用三线合一即可得证．
50．如图(1)，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明 AE∥BC 的理由；
（3）如图(2)，将(1)动点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
【答案】（1）解：△DBC≌△EAC ，理由如下：∵△ABC、△EDC均为等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，∴∠BCD=∠ACE在△DBC 和△EAC 中，
∴△DBC≌△EAC（SAS）.
（2）解：由（1）知△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60° ，
又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC.
（3）解：AE∥BC 仍然成立；理由如下：∵△ABC、△EDC 为等边三角形，∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，又∵∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△DBC 和△EAC 中，∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60° ，又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．
【解析】【分析】（1）△DBC≌△EAC ，理由如下：由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE=60°，再根据等量代换求出∠BCD=∠ACE；最后根据SAS得△DBC≌△EAC.
（2）由（1）知△DBC≌△EAC，根据全等三角形的对应角相等得出∠EAC=∠B=60° ，又∠ACB=60°，等量代换得出∠EAC=∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，从而得证.
（3）AE∥BC 仍然成立；理由如下：由等边三角形的性质得出BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，再根据等量代换求出∠BCD=∠ACE；最后根据SAS得△DBC≌△EAC；再根据全等三角形的对应角相等得出∠EAC=∠B=60° ，又∠ACB=60°，等量代换得出∠EAC=∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，从而得证.
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