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【临考冲刺·50道解答题专练】华东师大版数学九年级上册期末总复习
1．某景区为吸引游客，推出系列活动，其中一项活动是赢玩偶游戏
游戏准备：取一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1，2，3，4．每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中．
游戏流程：第一步，参与者掷一次硬币，若该硬币正面向上，则记为数字1；若该硬币反面向上，则记为数字0．第二步，参与者从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字．
获奖规则：若以上两步所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况不能赢得玩偶．
乐乐想知道参加一次游戏就能获得玩偶的概率，请你用列表法或画树状图法中的一种方法，帮他求出这个概率．
2．已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，
（1）求c的取值范围；
（2）化简：|a+b-c|-|c-a-b|．
3．已知，，求代数式的值．
4．解方程：．
5． “1000米跑步”是体育中考的必考项目，某校为了了解学生长跑能力，学校从初三400名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将跑步时间折算成得分绘制统计图（部分信息未给出），其中扇形统计图中8分的圆心角度数为．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取学生的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）这次抽测成绩的中位数是 分；
（3）经过一段时间训练，学校将从之前抽测获得7分的4位同学（2名男生，2名女生）当中抽取2人再次测试，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到1名男生1名女生的概率．
6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由．
7．已知点A（2-a，a+1）．
（1）当点A在y轴上时，求a的值．
（2）当点A在第四象限时，求a的取值范围．
（3）当点A到x轴的距离是3时，求a的值．
8．一个零件图如图。选择合适的比例建立直角坐标系，在直角坐标系中画出这个零件图(只要求画出图形)，并求出轮廓线上各个转折点的坐标。
9．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且为整数，求整数m所有可能的值．
10．如图所示为矩形纸片ABCD，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在边CD的中点E处，折痕为AF.若CD=6，求AF的长.
11．如图， 在 Rt 中， 是 A C 边上一点， 连接 B D， E 是 外一点且满足 平分 ， 连接 D E 交 A B 于点 .
（1）求证：四边形ADBE是菱形；
（2）连接OC，若四边形ADBE的周长为20，，求 O C 的长
12．2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．
（1）小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；
（2）小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）
13．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．
14．如图是位于奉贤南桥镇解放东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”， 它建于 1996 年，在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物， 该记录一直保持到 2017年， 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．
某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后， 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．
测量方案：如图， 在电视塔附近的高楼楼顶 C 处测量塔顶 A 处的仰角和塔底 B 处的俯角．
数据收集：这幢高楼共 12 层， 每层高约 米， 在高楼楼项 C 处测得塔顶 A 处的仰角为 ， 塔底 B 处的俯角为 .
问题解决：求奉贤电视发射塔 的高度（结果精确到 1 米）．
参考数据：， ， ．
根据上述测量方案及数据， 请你完成求解过程．
15．已知AB∥CD，AD、BC交于点O．AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．
16．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1 000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投人资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投人资金年增长率保持不变，那么该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
17．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中，马老师和赵老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付.求两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率.
18．已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
19．为抓住文化产业赋能乡村振兴契机，争创国家全民健身示范区，打造环“两山”体育品牌赛事，助力“百千万工程”高质量发展，2024年6月29日，广州市从化区成功举办首届龙舟邀请赛．为了给组织单位献计献策，某校初三学生随机对部分市民进行了问卷调查，调查市民对于2025年龙舟赛增设比赛项目的关注程度（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）．请你根据统计图、表解答下列问题：
比赛项目 频数（人） 频率
300米直道竞速赛（A） 30 0.1
彩龙竞艳赛（B） 90 0.3
10公里龙舟马拉松（C） a 0.35
200米环绕赛（D） 75 0.25
（1）a的值为______；扇形统计图中D部分圆心角的度数为______；
（2）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，现安排4名志愿者（2男2女）对河滨北路段进行值守，若在4名志愿者中任意抽取2名志愿者安排在街口大桥驶入河滨北路路口执勤，请求出恰好抽到的两名志愿者性别相同的概率．
20．已知平面直角坐标系中一点．
（1）当点P在y轴上时，求出m的值；
（2）当平行于x轴，且，求出点P的坐标；
（3）当点P到两坐标轴的距离相等时，求出点P的坐标．
21．“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2021年绿化面积约1000万平方米，预计2023年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）若2024年的绿化面积继续保持相同的增长率，则2024年的绿化面积是多少
22．三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的．
（1）分别写出点、、的坐标；
（2）说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？
（3）若点是三角形内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出的坐标
23．小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼.如图所示为小明锻炼时上半身由 EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时的示意图.测得BC=0.64m，AD=0.24m，AB=1.30m.
（1）求AB 的倾斜角α的度数(结果精确到1°).
（2） 若测得EN=0.85m，试计算小明的头顶由点M 运动到点N 的路径. 的长(结果精确到0.01m).
24．如图，直线l1∥l2∥l3．
（1）若AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．
（2）若DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．
25．设 为质数，m为整数，满足 ，求 和m的所有可取值.
26．如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求，的长．
27．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）若AB＝10，BC＝6，DE＝3，求BF的长度．
28．如图，在4×4方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）填空：∠ABC的度数是 ，BC长为 .
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．
29．如图1是某地公园里的一座纪念碑，将其抽象为图2，已知∠A＝120°，∠B＝106°，∠C＝128°，∠D＝126°，AE＝600cm， DE＝400cm．（结果精确到小数点后一位）
图1 图2
（1）求证：AB∥DE；
（2）求纪纪念碑的高度．
（参考数据：sin6°≈0.105，cos6°≈0.995，tan6°≈0.105，sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376）
30．如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
31．如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD与BE交于点F．
（1）求证：AC＝AB；
（2）若CF的长是a，则DF的长是 ．（用含a的式子表示）
32．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+1﹣k＝0．试说明无论k为何值，方程总有两个实数根．
33．2023年10月《奔跑吧·生态篇》节目组在昆明小渔村进行录制，优美的湖滨生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐，某民宿10月的营业额为3万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，12月的营业额达到万元．
（1）求该民宿11月、12月营业额的月平均增长率；
（2）求该民宿第四季度营业总额．
34．如图，矩形中，与相交于点O．若，，求矩形的周长．
35．化简 并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数.
36．如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12.求EG，FG的长.
37．已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值．
38．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利
元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
39．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高24m，斜坡AB的坡比i1=1：3，斜坡CD的坡比i2=1 ：2.5，求坝底宽AD的长．
40．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈3.16）
41．如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为：在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
42．解方程
（1）；
（2）．
43．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当时， ， ；（请直接写出答案）
（2）当为何值时，是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
44．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；
（2）在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．
45．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC，求三角形ABC的面积．
46．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，．
（1）若点的坐标为，则的值是 ．
（2）若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，与之间的距离为1，则的值是 ．
47．在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作.如图1，射线经过点A，交边于点E.
（1）不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形；
（2）如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F.
①求证：；
②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围；
③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似.
48．如图，在 ABCD中，E为边DC的中点，连结AE，AE的延长线和BC的延长线相交于点F.
（1）求证：BC=CF.
（2）连结AC，BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求 ABCD的面积.
49．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形．DE、AC相交于点F．
（1）求证：点F为AC中点；
（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．
50．在中，是钝角，交BC的延长线于点D，E，分别为AC，AB的中点，.连结DF，EF，设DF与EC交于点.
（1）求证：.
（2）若时，求AC的长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【临考冲刺·50道解答题专练】华东师大版数学九年级上册期末总复习
1．某景区为吸引游客，推出系列活动，其中一项活动是赢玩偶游戏
游戏准备：取一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1，2，3，4．每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中．
游戏流程：第一步，参与者掷一次硬币，若该硬币正面向上，则记为数字1；若该硬币反面向上，则记为数字0．第二步，参与者从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字．
获奖规则：若以上两步所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况不能赢得玩偶．
乐乐想知道参加一次游戏就能获得玩偶的概率，请你用列表法或画树状图法中的一种方法，帮他求出这个概率．
【答案】解：列表如下：
1 0
1 2 1
2 3 2
3 4 3
4 5 4
由表知，共有8种等可能结果，其中两次所得的数字之和大于3的有3种结果，
所以他获得玩偶的概率为．
【解析】【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出其中两次所得的数字之和大于3的结果，再根据概率公式即可求出答案.
2．已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，
（1）求c的取值范围；
（2）化简：|a+b-c|-|c-a-b|．
【答案】（1）解：∵a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，
∴6-4＜c＜6+4，即2＜c＜10；
（2）解：由题意得，a+b＞c，则a+b-c＞0，c-a-b＜0，
∴|a+b-c|-|c-a-b|
=（a+b-c）-（a+b-c）=0．
【解析】【分析】(1)直接由三角形三边关系可得c的取值范围；
(2)根据三角形三边关系判断绝对值内式子的符号，再去绝对值，合并同类项即可.
3．已知，，求代数式的值．
【答案】解：∵，，
∴，
＝
＝
=
＝-3×2
=28-6
＝22
【解析】【分析】根据完全平方公式化简代数式，再将x，y值代入，结合平方差公式即可求出答案.
4．解方程：．
【答案】解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
【解析】【分析】根据配方法解方程即可求出答案.
5． “1000米跑步”是体育中考的必考项目，某校为了了解学生长跑能力，学校从初三400名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将跑步时间折算成得分绘制统计图（部分信息未给出），其中扇形统计图中8分的圆心角度数为．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求抽取学生的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）这次抽测成绩的中位数是 分；
（3）经过一段时间训练，学校将从之前抽测获得7分的4位同学（2名男生，2名女生）当中抽取2人再次测试，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）解：获得8分的学生的人数占抽取人数的百分数为：，
则剩余学生人数为：（名），占抽取人数的，
∴抽取学生的总人数为：（名），
∴获得8分的学生的人数为：（名），
补全频数分布直方图如下：
（2）9
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【解析】【解答】解：（2）抽测成绩的中位数为：
故答案为：9.
【分析】（1）求出抽取的总人数，即可得到获得8分的学生的人数，进而得到答案；
（2）根据中位数的定义即可得到答案；
（3）画出柱状图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，根据概率公式即可得到答案。
6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由．
【答案】解：一元二次方程不是“十美方程”，理由如下：
，
，
或，
解得：，，
，，，，
一元二次方程不是“十美方程”．
【解析】【分析】根据因式分解法解方程，再根据“十美方程”的定义判断即可求出答案.
7．已知点A（2-a，a+1）．
（1）当点A在y轴上时，求a的值．
（2）当点A在第四象限时，求a的取值范围．
（3）当点A到x轴的距离是3时，求a的值．
【答案】（1）解：∵点A在y轴上时，
∴2-a=0，
解之：a=2.
（2）解：∵点A在第四象限，
∴2-a＞0且a+1＜0
解之：a＜2，a＜-1，
∴a的取值范围是a<-1.
（3）解：∵点A到x轴的距离是3，
∴|a+1|=3，
∴a+1=±3，
解之：a1=2，a2=-4，
∴a的值为2或-4
【解析】【分析】（1）利用在y轴上的点的坐标特点：横坐标为0，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用第四象限的符号（+，-），可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集即可.
（3）点A到x轴的距离是3，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
8．一个零件图如图。选择合适的比例建立直角坐标系，在直角坐标系中画出这个零件图(只要求画出图形)，并求出轮廓线上各个转折点的坐标。
【答案】解： 如图，以底线段所在直线为 x 轴，其垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.(方法不唯一）
标上各个转折点如上图，其坐标分别是：
A(-200，0)，B(200，0)，C(300，140)；
D(100，140)，E(0，60)，F(-100，140)，G(-300，140).
【解析】【分析】根据建立平面直角坐标系表示图形的方法，可以以图形的顶点为原点，结合零件图的边长，建立坐标系，表示出各顶点的坐标即可.
9．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且为整数，求整数m所有可能的值．
【答案】（1）证明：，
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：，即，
解得：或．
一元二次方程的两根为，，
，
，
，
如果为整数，则或或0或2，
整数的所有可能的值为或或0或2．
【解析】【分析】（1）因为恒成立，所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根得证.
（2）先解方程，得到方程的两根大小分别为m，m+1，因为，所以，代入 ，得到整数m所有可能的值.
10．如图所示为矩形纸片ABCD，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在边CD的中点E处，折痕为AF.若CD=6，求AF的长.
【答案】解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，
因为CD=6，E为CD中点，
∴ED=3，
又∵AE=AB=CD=6，
∴∠EAD=30°，
则∠FAE=(90°-30°）=30°，
设FE=x，则AF=2x，
在AEF中，根据勾股定理，
（2x）2+62+x2，
∴x2=12，
解得x1=，x2=（舍），
AF=.
【解析】【分析】由折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再根据含30°角直角三角形性质求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解.
11．如图， 在 Rt 中， 是 A C 边上一点， 连接 B D， E 是 外一点且满足 平分 ， 连接 D E 交 A B 于点 .
（1）求证：四边形ADBE是菱形；
（2）连接OC，若四边形ADBE的周长为20，，求 O C 的长
【答案】（1）证明：，
四边形 A D B E 是平行四边形
∵AB平分
AE=BE
四边形ADBE是菱形.
（2）解：∵菱形ADBE的周长为20，
：.AD=BD=5，AE∥BD，
，
， 即
∴CD=3
在 Rt 中， ，
在 Rt 中， ，
，
【解析】【分析】（1）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ADBE是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到∠EBA=∠DAB，利用角平分线的定义可推出∠EAB=∠EBA，利用等角对等边可得到AE=BE，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用菱形的周长可求出菱形的边长，同时可证得AE∥BD，利用平行线的性质可证得∠EAD=∠BDC，然后利用解直角三角形求出CD的长；分别利用勾股定理求出BC，AB的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OC的长.
12．2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．
（1）小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；
（2）小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）
【答案】（1）随机
（2）解：画树状图如下：
由图知，共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有4种，
∴小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为．
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是随机事件。
故答案为：随机.
【分析】（1）根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
13．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足a+b+c＝60，求a、b、c的值．
【答案】（1）解：设 =k，则a=3k，b=4k，c=5k.
∴.
（2）解：∵a+b+c＝60，
∴3k+4k+5k＝60，
∴k＝5，
∴a＝15，b＝20，c＝25．
【解析】【分析】（1）设 =k，得a=3k，b=4k，c=5k，然后代入计算即可.
（1）根据 a+b+c＝60列方程求解即可.
14．如图是位于奉贤南桥镇解放东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”， 它建于 1996 年，在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物， 该记录一直保持到 2017年， 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．
某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后， 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．
测量方案：如图， 在电视塔附近的高楼楼顶 C 处测量塔顶 A 处的仰角和塔底 B 处的俯角．
数据收集：这幢高楼共 12 层， 每层高约 米， 在高楼楼项 C 处测得塔顶 A 处的仰角为 ， 塔底 B 处的俯角为 .
问题解决：求奉贤电视发射塔 的高度（结果精确到 1 米）．
参考数据：， ， ．
根据上述测量方案及数据， 请你完成求解过程．
【答案】解：由题意CD=12×2.8=33.6(米)
作CE⊥AB于E，如图所示
则∠CEA=∠CEB=90°
∵CD⊥BD，AB⊥BD
∴∠CDB=∠DBE=∠CEB=90°
∴四边形CDBE是矩形
∴BE=CD=33.6米
∵∠ECB=22°，∠ACE=58°
在Rt△BCE中，（米）
在Rt△ACE中，(米)
∴AB=AE+BE=134.4+33.6= 168(米)
即电视发射塔的高度为168米.
【解析】【分析】作CE⊥AB于E，根据题意得出四边形CDBE是矩形，BE=CD=33.6米，∠ECB=22°，∠ACE=58°，在Rt△BCE中，根据锐角三角函数得出BD的长，在Rt△ACE中，再根据锐角三角函数得出AE的长，进而可得出AB的值。
15．已知AB∥CD，AD、BC交于点O．AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴ ，
即 ，
∴AB＝ ．
【解析】【分析】根据已知条件证明△AOB∽△DOC，再根据相似三角形的对应边成比例的性质列出等式，从而求得AB的长．
16．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1 000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投人资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投人资金年增长率保持不变，那么该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得1 000(1+x)2=1 440，
解得x1=0.2=20%，x2 =-2.2(不合题意，舍去)．
即该市改造老旧小区投人资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得80x( 1+15%)y≤1 440x(1+20%) ，解得y≤
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
即该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【解析】【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
17．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中，马老师和赵老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付.求两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率.
【答案】解：用A、B、C分别表示“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式，画树状图如下：
由树状图可知：共有9种等可能情况，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况有2种，
∴两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为
【解析】【分析】利用已知可知此事件是抽取放回，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况数，然后利用概率公式可求解.
18．已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得：
（2）解：方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，可知根的判别式，进而解得k的取值范围；
（2）一元二次方程有两个实数根 ，，根据根与系数关系得到，，然后利用完全平方公进行变形，解得k的值即可.
19．为抓住文化产业赋能乡村振兴契机，争创国家全民健身示范区，打造环“两山”体育品牌赛事，助力“百千万工程”高质量发展，2024年6月29日，广州市从化区成功举办首届龙舟邀请赛．为了给组织单位献计献策，某校初三学生随机对部分市民进行了问卷调查，调查市民对于2025年龙舟赛增设比赛项目的关注程度（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）．请你根据统计图、表解答下列问题：
比赛项目 频数（人） 频率
300米直道竞速赛（A） 30 0.1
彩龙竞艳赛（B） 90 0.3
10公里龙舟马拉松（C） a 0.35
200米环绕赛（D） 75 0.25
（1）a的值为______；扇形统计图中D部分圆心角的度数为______；
（2）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，现安排4名志愿者（2男2女）对河滨北路段进行值守，若在4名志愿者中任意抽取2名志愿者安排在街口大桥驶入河滨北路路口执勤，请求出恰好抽到的两名志愿者性别相同的概率．
【答案】（1），90
（2）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的情况有4种，分别是（男1，男2），（男2，男1），（女1，女2），（女2，女1），
所以P（抽到两名交警性别相同）．
【解析】【解答】
（1）
解：本次调查学生数为：人，
所以10公里龙舟马拉松的人数为：，即．
扇形统计图中D部分圆心角的度数为．
故答案为：105，90．
【分析】
（1）观察统计表和扇形统计图，可先求出调查学生数，然后用调查学生数乘以10公里龙舟马拉松的频率即可解答；扇形统计图中D部分圆心角的度数为乘以D的频率即可解答．
（2）两步试验可利用画树状图或列表法求概率，注意画树状图时不重复不遗漏，列表格时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：本次调查学生数为：人，
所以10公里龙舟马拉松的人数为：，即．
扇形统计图中D部分圆心角的度数为．
故答案为：105，90．
（2）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的情况有4种，分别是（男1，男2），（男2，男1），（女1，女2），（女2，女1），
所以P（抽到两名交警性别相同）．
20．已知平面直角坐标系中一点．
（1）当点P在y轴上时，求出m的值；
（2）当平行于x轴，且，求出点P的坐标；
（3）当点P到两坐标轴的距离相等时，求出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点P在y轴上，∴，
解得．
（2）解：∵平行于x轴，∴直线上所有点的纵坐标相等．
又∵点A的坐标为，
∴，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
（3）解：∵点P到两坐标轴的距离相等，∴或．
当时，
解得，
∴．
此时点P的坐标为．
当时，
解得，
∴．
此时点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或．
【解析】【分析】（1）根据点P在y轴上，得到，求得m的值，即可得到答案；
（2）根据平行于x轴，且点A的坐标为，得出方程，求得的值，即可得到点P的坐标；
（3）根据题意，得到或．分别求出m的值，即可得到答案．
21．“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2021年绿化面积约1000万平方米，预计2023年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）若2024年的绿化面积继续保持相同的增长率，则2024年的绿化面积是多少
【答案】（1）解：设每年绿化面积的平均增长率为x．
可列方程：．
解方程，得，（不合题意，舍去）．
所以每年绿化面积的平均增长率为10%；
（2）解：（万平方米）．
答：2024年的绿化面积是1331万平方米．
【解析】【分析】（1）先设每年小区绿化面积的增长率为x，根据2021年的绿化面积×（1+增长率）2＝2023年的绿化面积，列出方程求解即可；
（2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可．
22．三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，三角形是由三角形平移得到的．
（1）分别写出点、、的坐标；
（2）说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？
（3）若点是三角形内的一点，则平移后三角形内的对应点为，写出的坐标
【答案】（1）解：，，
（2）解：∵，，
∴点A向左平移4个单位，向下平移2个单位得到，
∴向左平移4个单位，向下平移2个单位得到
（3）解：∵，， 点，
∴点平移后的点的坐标为
【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系分别写出各点的坐标即可；
（2）根据图形，从点A、的变化写出平移规律；
（3）根据平移规律写出点的坐标即可．
23．小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼.如图所示为小明锻炼时上半身由 EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时的示意图.测得BC=0.64m，AD=0.24m，AB=1.30m.
（1）求AB 的倾斜角α的度数(结果精确到1°).
（2） 若测得EN=0.85m，试计算小明的头顶由点M 运动到点N 的路径. 的长(结果精确到0.01m).
【答案】（1）解：过点A 作AF∥DC，交BC 于点F，交 NE 的延长线于点 H.
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥BC.
∴ 易得四边形AFCD 为矩形.
∴ BF = BC - FC = BC-AD =0.64-0.24=0.4(m).
在 Rt△ABF 中，
∴α≈18°，即 AB 的倾斜角α的度数约为18°
（2）解：易知 NE⊥AF，
的 长 为 1.60(m)，
即小明的头顶由点 M 运动到点 N 的路径MN的长约为1.60m
【解析】【分析】（1）过A作 分别交BC，N E延长线于F，H ，则 四边形AFCD为矩形，AF=CD，AD=CF，可求得BF，在直角三角形ABF中，已知两边，满足解直角三角形的条件，就可求得α的值，
（2）再由在直角三角形中两个锐角互余，求得 的度数，由弧长公式求得弧MN的长.
24．如图，直线l1∥l2∥l3．
（1）若AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．
（2）若DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．
【答案】（1）解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵EF=12，
∴，
解得：.
（2）解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵AB=6 ，
∴，
解得：BC=9，
∴AC=AB+BC=6+9=15.
【解析】【分析】（1）由两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例得出比例式，即可得出DE的长；
（2）由两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．
25．设 为质数，m为整数，满足 ，求 和m的所有可取值.
【答案】解：设 为质数，m为整数，满足 ，
∴ ，
，
∴ ，
∵m为整数， 为质数，
∴1+4P为平方数9
∴1+4P=9，
∴P=2， .
【解析】【分析】对已知条件变形可得m2-m(p-2)+1-p-p3=0，根据求根公式表示出m，根据m为整数，p为质数可得1+4P=9，求出p的值，进而可得m的值.
26．如图，，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求，的长．
【答案】（1）证明：，
∴.
又∵平分
，
，
，
同理，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴ 四边形是菱形.
（2）解：∵ 四边形是菱形，，
，，
，
，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，，根据等角对等边可得，同理，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
27．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）若AB＝10，BC＝6，DE＝3，求BF的长度．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠EDA＝90°，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠FAB．
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°．
∴∠EDA＝∠AFB．
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：在Rt中，，
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、及垂直的定义∠AFB=∠D=90°，由平行线的性质得到∠EAD=∠ABF，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”即可证明；
（2）根据矩形的性质得AD=BC=90°，根据勾股定理求出AE，再根据相似三角形性质对应边成比例建立方程求解即可.
28．如图，在4×4方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）填空：∠ABC的度数是 ，BC长为 .
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．
【答案】（1）135°；
（2）解：△ABC与△DEF相似．
证明：由（1）可知，∠ABC=∠DEF=135°.
由方格图可知，AB =EF = 2.
由勾股定理可知，DE =，BC = 2.
∴．
∴△ABC与△DEF相似．
【解析】【解答】解：（1）如图，
因为BC是正方形的对角线，∴∠CBG =45°. ∴∠ABC =180° -∠CBG =135°.
在Rt△CBG中，CG=BG =2，∴BC = 2.
故答案为：135° ； .
【分析】（1）根据正方形对角线平分对角计算角度，再根据邻补角计算即可；根据方格纸，找一个直角三角形，然后根据勾股定理求长度；
（2）根据两三角形两边对应成比例且夹角相等，可判定两三角形相似．
29．如图1是某地公园里的一座纪念碑，将其抽象为图2，已知∠A＝120°，∠B＝106°，∠C＝128°，∠D＝126°，AE＝600cm， DE＝400cm．（结果精确到小数点后一位）
图1 图2
（1）求证：AB∥DE；
（2）求纪纪念碑的高度．
（参考数据：sin6°≈0.105，cos6°≈0.995，tan6°≈0.105，sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376）
【答案】（1）证明：∵在五边形ABCDE中，∠A＝120°，∠B＝106°，∠C＝128°，∠D＝126°，
∴∠E＝540°－∠A－∠B－∠C－∠D
＝540°－120°－106°－128°－126°
＝540°－480°＝60°．
∴∠A＋∠E＝180°．
∴AB∥DE．
（2）解：如图，过点E作CD平行线EP，再分别过点A，D作EP的垂线AN，DM，垂足分别为N，M．
∵∠CDE＝126°，
∴∠DEM＝54°．
∵∠E＝60°，∴∠AEP＝∠AED－∠DEM＝6°．
∵AE＝600cm，DE＝400cm，
∴AN＝AE×sin∠AEG＝600×sin 6°
＝600×0.105＝63cm，
DM＝DE×sin∠DEM ＝400×sin 54°
＝400×0.809＝323.6cm．
∴浮雕的高度为AN＋DM＝63＋323.6＝386.6cm
【解析】【分析】（1）利用多边形的内角和求得∠E=60°，从而得到∠A＋∠E＝180°，再根据平行线的判定即可求解；
（2）过点E作CD平行线EP，再分别过点A，D作EP的垂线AN，DM，垂足分别为N，M，先利用平行线的性质求得∠DEM＝54°．再求得∠AEP的度数，结合已知利用三角函数求得AN，DM的值，最后根据线段的和差关系即可求解.
30．如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而运用相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到，进而代入数值即可求出CF，再结合题意即可求解。
31．如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，CD与BE交于点F．
（1）求证：AC＝AB；
（2）若CF的长是a，则DF的长是 ．（用含a的式子表示）
【答案】证明：（1）连接BC，如图所示：
∵点D是AB中点且CD⊥AB于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴CA＝CB，
同理BA＝BC，
∴AC＝AB．
（2）a
【解析】【解答】解：（2）由（1）得AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，
在Rt△BFD中，BF＝2DF，
∵在Rt△ADC中，∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴CF＝BF＝a，
∴DF＝a，
故答案为：a．
【分析】（1）先证出CD是线段AB的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质及等量代换可得AC＝AB；
（2）先证出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质及角的运算求出∠ABE＝90°﹣∠A＝30°，再利用30°角的直角三角形的性质可得BF＝2DF，再结合CF＝BF＝a，求出DF＝a即可.
32．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+1﹣k＝0．试说明无论k为何值，方程总有两个实数根．
【答案】解：∵△＝（k﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）
＝
= ；
∴无论k为何值，方程总有两个实数根．
【解析】【分析】根据△＝（k﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）＝k2≥0可得答案．
33．2023年10月《奔跑吧·生态篇》节目组在昆明小渔村进行录制，优美的湖滨生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐，某民宿10月的营业额为3万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，12月的营业额达到万元．
（1）求该民宿11月、12月营业额的月平均增长率；
（2）求该民宿第四季度营业总额．
【答案】（1）解：设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（舍去），
答：该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为．
（2）解：该民宿10月的营业额为3万元，11月、12月营业额的月平均增长率为，
11月的营业额为：（万元），
该民宿第四季度营业总额为：（万元），
答：该民宿第四季度营业总额为万元．
【解析】【分析】（1）设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为，根据等量关系列出方程，解方程即可求出答案.
（2）根据（1）中所求的增长率可求得11月的营业额，再将三个月的营业额相加即可求出答案.
（1）解：设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（舍去），
答：该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为．
（2）该民宿10月的营业额为3万元，11月、12月营业额的月平均增长率为，
11月的营业额为：（万元），
该民宿第四季度营业总额为：（万元），
答：该民宿第四季度营业总额为万元．
34．如图，矩形中，与相交于点O．若，，求矩形的周长．
【答案】解：四边形是矩形，，
，，，，，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
矩形的周长是．
【解析】【分析】
先根据矩形性质得出，，结合，得出，运用勾股定理列式进行计算，即可作答．
35．化简 并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数.
【答案】解：原式= = ，
∵ 与 、 构成 的三边，且 为整数
∴ ，
由题可知 、 、 ，
∴ ，
∴原式= .
【解析】【分析】先将分式除法转化为乘法运算，再约分化简，然后利用三角形的三边关系定理求出整数a的值，将有意义的a的值代入化简后的代数式求值即可.
36．如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12.求EG，FG的长.
【答案】解：∵在△ABC中，EG//BC
∴
∵BC=10，AE=9，AB=12，
∴ ，即EG= =7.5
在△BAD中，EF//AD
∴
∵AD =5，AE=9，AB=12，
∴BE=AB-AE=3
∴ ，EF= =1.25
∴FG=EG-EF=7.5-1.25=6.25.
【解析】【分析】利用平行线分线等成比列定理，可得到比列式 ，代入计算可求出EG的长；由 EF//AD 可证得，再求出BE的长，代入计算可求出EF的长；然后根据FG=EG-EF，可求出FG的长.
37．已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值．
【答案】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程的解为，即，，
，
不可能是斜边长度，
当是斜边长度时，，解得，
当5是斜边长度时，，
解得或（舍弃负数值），
综合上述，的值为12或3．
【解析】【分析】（1）先求出，然后得到结论即可；
（2）解方程求出方程的解为，，然后分两种情况，利用勾股定理求出m值即可．
（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程的解为，即，，
，
不可能是斜边长度，
当是斜边长度时，，解得，
当5是斜边长度时，，
解得或（舍弃负数值），
综合上述，的值为12或3．
38．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利
元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】（1）2x；（40﹣x）
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
答：每件服装降价20元或10元时，平均每天能赢利1200元；
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元.
理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800，
整理得：y2﹣30y+500＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
【解析】【解答】（1）∵如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
∴设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件；
∵一款服装每件进价为80元，销售价为120元，
∴设每件衣服降价x元，则每件商品盈利120-80-x=40-x元，
故答案为：2x；40-x；
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据题意列出方程（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200， 再求解即可；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，根据题意列出方程（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800， 再求解即可.
39．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高24m，斜坡AB的坡比i1=1：3，斜坡CD的坡比i2=1 ：2.5，求坝底宽AD的长．
【答案】解：在Rt△ABE中，
∵坡比i1=BE：AE=1：3，
∴AE=72m．
在Rt△CFD中，
∵坡比i2=CF ： DF=1 ： 2.5，
∴DF=CF×2.5=24×2.5= 60(m)，
∴AD= AE+ EF+DF=AE+BC+DF= 138(m)．
【解析】【分析】利用坡比的定义可求出AE，DF的长，然后根据AD=AE+EF+DF，代入计算求出AD的长.
40．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈3.16）
【答案】解： 据题意得tanB= ， ∵MN∥AD， ∴∠A=∠B， ∴tanA= ， ∵DE⊥AD， ∴在Rt△ADE中，tanA= ， ∵AD=9， ∴DE=3， 又∵DC=0.5， ∴CE=2.5， ∵CF⊥AB， ∴∠FCE+∠CEF=90°， ∵DE⊥AD， ∴∠A+∠CEF=90°， ∴∠A=∠FCE， ∴tan∠FCE= 在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2 设EF=x，CF=3x（x＞0），CE=2.5， 代入得（ ）2=x2+（3x）2 解得x= （如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x=± ，舍负”）， ∴CF=3x= ≈2.3， ∴该停车库限高2.3米．
【解析】【分析】据题意得出tanB = ， 即可得出tanA， 在Rt△ADE中， 根据勾股定理可求得DE， 即可得出∠FCE的正切值， 再在Rt△CEF中， 设EF=x，即可求出x， 从而得出CF=3x的长.
41．如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为：在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
【答案】解：设矩形温室的宽为，则长为，
根据题意，得，
解得：不合题意，舍去，，
所以，．
答：当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜种植区域的面积是．
【解析】【分析】设矩形温室的宽为，则长为，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，即可求解．
42．解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
43．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当时， ， ；（请直接写出答案）
（2）当为何值时，是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）4；21
（2）解：①∠CDB=90°时，AC BDAB BC，
∴BD，
所以CD=，
∴，
解得：（秒）；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
∴，
解得：（秒）；
综上所述，当或秒时，△CBD是直角三角形；
（3）解：①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE=BE，DE∥AB，
∴CD=AD=AC=，
∴，
解得：（秒）；
②CD=BC时，CD=15，
∴，
解得：（秒）；
③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
∵S△BCA=AB×BC=AC×BF，
∴×20×15=×25BF，
∴BF=12，
在△BCF中，
∵BC=BD，BF⊥AC，
∴CD=2CF=18，
∴，
解得：（秒）；
综上所述，当或或秒时，△CBD是等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1），
CD=2t=4，AD=AC-CD=21，
故答案为：4；21；
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC=25，利用路程=速度×时间得到CD=4，再利用AD=AC-CD可算出AD的长；
（2）分两种情况讨论：①∠CDB=90°时，利用面积法可求出AC边上的高BD的长，再根据勾股定理求出CD长，即可求出时间t；②∠CBD=90°时，当D与A重合时，此时CD=AC=25，可算出t，综合得到或时，三角形CBD是直角三角形；
（3）分三种情况：①CD=BD，过点D作DE⊥BC于E，由等腰三角形的三线合一得CE=BE，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DE∥AB，由平行线等分线段定理得CD=，由路程、速度、时间三者的关系可求出t；②CD=CB=15，由路程、速度、时间三者的关系可求出t；③BD=BC时，由面积法可得BF=12，根据勾股定理可得CF=9，再根据三线合一得到DF=CF=9，求得CD=18，即可求出t=9，综合即可得到t的三个值.
44．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1）在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；
（2）在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．
【答案】（1）解：如图②，△DFE为所作；
由题意可得：
而，
∴△ABC与△DEF相似．
（2）解：如图③，△A1B1C1为所作；
【解析】【分析】（1）利用网格特点和相似的判定定理“SSS”，画出边长为的△DEF即可；
（2）利用网格特点，延长AO到A1使A1O=2AO，延长BO到B1使B1O=2BO，延长CO到C1使C1O=2CO，再顺次连接A1、B1、C1，△A1B1C1就是所求的三角形．
（1）解：如图②，△DFE为所作；
由题意可得：
而，
∴△ABC与△DEF相似．
（2）如图③，△A1B1C1为所作．
45．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：
（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；
（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；
（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC，求三角形ABC的面积．
【答案】解：（1）如图，
（2）如图，
（3）S△ABC=3×4﹣×2×1﹣×1×4﹣×3×3=4.5．
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标画出直角坐标系；
（2）根据点的坐标的意义描出点C；
（3）利用矩形的面积减去三个三角形的面积得到△ABC的面积．
46．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，．
（1）若点的坐标为，则的值是 ．
（2）若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，与之间的距离为1，则的值是 ．
【答案】；6
【解析】【解答】解：（1）∵点的坐标为，轴，，
∴点的坐标为，
，
故答案为：；
（2）解：当在x轴上方时，如图所示，
设，，
∴，，
，，
，
∵与之间的距离为1，
∴
∴
．
故答案为：6.
【分析】（1）先根据平行与x轴的直线的特征，结合题意求出B两点的坐标，待定系数法求出a，b的值，计算结果即可．
（2）当在x轴上方时，设设，，结合题意可得，，分别表示出a-b的值，得出，，结合题意，列出方程，解方程求出a-b=6．
47．在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作.如图1，射线经过点A，交边于点E.
（1）不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形；
（2）如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F.
①求证：；
②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围；
③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似.
【答案】（1）解：
（2）解：①证明： ∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
②如图，初始位置时，如图，当过点时，
，是边的中点，
，
由①知，
，即
解得，
∴的取值范围为；
③当旋转角为或时，与相似．
【解析】【解答】解：（1）∵，是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）③当旋转角或时，与相似，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
当时， 旋转角为，
当时， 旋转角为，
综上所述： 当旋转角为或时，与相似．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，进而根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）①先根据三角形的外角得到，进而结合题意即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解；
②如图，初始位置时，如图，当过点时，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到，再根据相似三角形的性质结合题意即可求出AF的最大值，从而即可求解；
③先根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意运用相似三角形的性质进行分类讨论即可求解。
48．如图，在 ABCD中，E为边DC的中点，连结AE，AE的延长线和BC的延长线相交于点F.
（1）求证：BC=CF.
（2）连结AC，BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求 ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
∴∠D=∠FCE；
∵E为DC中点，
∴ED=EC，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，
∴BC=CF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=DC，
∴△ABG∽△CEG，
∴，
∴，
∵ED=EC，
∴AB=2CE，
∴，
则，
∵△GEC的面积为2，
∴S△ABG=4S△CEG=8，
∵△ABG∽△CEG，，
即△ABG与△CEG高的比为2；
故△CEG与与△CEB高的比为3；
则△CEG与与△CEB的面积比为3；
∴S△BGC=S△BEC-S△CEG=3S△CEG-S△CEG=2S△CEG=4，
∴S△ABC=S△BGC+S△ABG=4+8=12，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABC=24.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边相等且平行可得AD∥CB，AD=BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠FCE，结合题意可得ED=EC，根据两角及其夹边对应相等的三角形全等得△ADE≌△FCE，再根据全等三角形的对应边相等可得AD=CF，即可证明；
（2） 根据平行四边形的对边相等且平行可得AB∥CD，AB=DC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ABG∽△CEG，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，结合题意求得，根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比即可推得△CEG与与△CEB的面积比为3，即可求解.
49．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形．DE、AC相交于点F．
（1）求证：点F为AC中点；
（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵ 四边形BCED为平行四边形，
∴DE∥BC。
又∵ D为AB中点，
∴DF是△ABC的中位线。
∴点F是AC中点。
（2）解：解：四边形ADCE是菱形。
理由：由（1）可知DF=BC，DF∥BC，
又∵ 四边形BCED为平行四边形，∠ACB=90°，
∴DE=BC，DE⊥AC。
∴DF=DE=EF。
由（1）知AF=CF，
∴四边形ADCE是平行四边形。
又 ∵DE⊥AC，
∴平行四边形ADCE是菱形。
（3）解：当△ABC满足AC=BC时，四边形ADCE是正方形。
证明：∵AB=AC，D为AB中点，
∴CD⊥AB。
∴ 由（2）得菱形ADCE是正方形。
【解析】【分析】（1）根据中点和平行易得DF是△ABC的中位线，据此即可证明；
（2）由（1）的证明可知F也是DE的中点，故四边形ADCE是平行四边形，又由（1）可知AC⊥DE，据此根据菱形的判定即可；
（3）由（2）的判定可知，当∠ADC是直角时四边形ADCE就是正方形，据此即可添加条件。
50．在中，是钝角，交BC的延长线于点D，E，分别为AC，AB的中点，.连结DF，EF，设DF与EC交于点.
（1）求证：.
（2）若时，求AC的长.
【答案】（1）证明：∵ E，F分别为AC，AB的中点，
∴ BC=2FE，FE∥BD，
∵ ∠FCE=∠CED，
∴ CF∥DE，
∴ 四边形CDEF为平行四边形，
∴ OD=OF；
（2）解：∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=90°，
∵ 点F为AB的中点，
∴ AB=2DF=4OF=10，
∵ tanB=，
∴ 设AD=4x，则BD=3x，
∴ AB=5x=10，
∴ AD=8，BD=6，
∵ BC=2FE，FE=CD，
∴ 3CD=BD，即CD=2，
∵ AD=8，∠ADC=90°，
∴ AC=.
【解析】【分析】（1）根据对边分别平行的四边形为四边形CDEF为平行四边形，即可求得OD=OF，
（2）根据直角三角形的斜边上的中线定理可得AB=2DF，再根据锐角三角函数求得AD、BD，再根据三角形的中位线得BC=2FE，根据平行四边形的性质得FE=CD，再根据勾股定理即可求得AC的长.
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