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【临考冲刺·50道解答题专练】上海市数学七年级上册期末总复习
1．在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取，那么，，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如，我们取和的值作为两个因式码．
（1）根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为 ．
（2）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．
（3）已知多项式，当取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由．
2．如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程．
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
嘉嘉：．
淇淇：．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）嘉嘉同学所列方程中的x表示__________；
淇淇同学所列方程中的y表示___________；
（2）在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系；
（3）解（2）中你所选择的方程，并解答该例题．
3．先化简，再求值：，其中.
4．定义一种新运算，规得如下：
（1）直接写出：______；（用含、的代数式表示）
（2）化简：；
5．如图，长方形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差．
6． 时令节气，三月是春茶采收的好时节，云南各地春茶也开始抢“鲜”上市．现有某茶商销售两种云南春茶，已知甲种春茶每千克单价比乙种春茶每千克单价少70元，花7000元购进甲种春茶的重量是花4200元购进乙种春茶重量的2倍．求甲、乙两种春茶的单价．
7．先化简，再求值：，其中a＝8．
8．
（1）若am=-3，an=4，求am+n．
（2）已知2a=5，2b=1，求2a+b+3的值．
9．合并同类项：5y﹣2x2y﹣3y+3x2y．
10．某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务.求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量.
11．在学习第9章第1节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义”
小明的做法是：先化简==，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2；
小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2．
如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
12．若（x+m）（x2﹣3x+n）的积中不含x2、x项，求m和n的值．
13．单项式x2ym与多项式x2y2+y4+的次数相同，求m的值．
14．已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等.若乙比甲每小时多做9个零件，则甲、乙两人每小时各做多少个零件？
15．先化简，再求值：，其中，.
16．如图，有一块长米，宽米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若，，求硬化部分的面积．
17．地球可以看作球体，若用V，r分别表示球的体积和半径，则V=πr3，已知地球的半径约为6×103 km，则它的体积大约是多少立方千米(π取3，结果用科学记数法表示)？
18．化简求值：（1+ ） ﹣ ，a取﹣1、0、1、2中的一个数．
19．某厂生产一种边长为a厘米的正方形地砖，材料的成本价为每平方厘米b元。如果将地砖的一边扩大3厘米，另一边缩短3厘米，改成生产长方形地砖，这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比，是增加了还是减少了 增加或减少了多少元
20．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：①；
②.
（1）判断为 （填真分式或假分式）；
（2）仿照例子，将分式化为带分式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
21．解方程：
22．化简
23． 已知x+y=7， xy=6.试求：
（1）x-y的值.
（2）的值.
24．若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值．
25．已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5．
（1）化简3B﹣A；
（2）若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值．
26．某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价加价20%作为售价，共获利6000元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了100件，并且商场第二个月比第一个月多获利2000元，此商品进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
27．甲、乙两人分别从距离目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度.
28．先化简，再求值： ，其中a是整数，且满足 ，请取一个合适的a值代入求值．
29．如图是一块长方形的草地，长为21m.宽为15m.在草地上有两条宽为1米的小道，长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少？
30．某公司会计欲查询乙商品的每件进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额
甲 7200
乙 3200
李师傅：我记得甲商品数量比乙商品的数量多50%．
王师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高20元．
请同学们帮该公司求出甲、乙两商品的数量分别是多少件？
31．一台计算机在 106秒内做了 1020次运算，平均每秒能做 次运算.
32．若分式=，求a的取值范围．
33．若△ABC的三边长a、b、c，满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你判断△ABC的形状．
34．李明同学准备制作一个正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），折叠后发现少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼成的图形经过折叠后能称为一个封闭的正方体盒子．（添加的正方形用阴影表示，在图①，图②中各画一个符合要求的图形即可）
35．有一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a(m)，下底宽(a+2b)m，坝高 /2a(m).
（1）求防洪堤坝的横断面面积.
（2）如果防洪堤坝长100m，那么这条防洪堤坝的体积是多少立方米
36．先化简再求值：.其中，.
37．某校七年级四个班的学生在植树节这天共义务植树棵，一班植树棵，二班植树的棵数比一班的两倍少棵，三班植树的棵数比二班的一半多棵．
（1）求三班的植树棵数用含，的式子表示；
（2）求四班的植树棵数用含，的式子表示；
（3）若四个班共植树棵，求二班比三班多植树多少棵？
38．年安庆市为成功创建国家卫生城市，青年志愿者决定义务清除重达吨的垃圾开工后，附近居民主动参与到该项义务劳动中来，使清除垃圾的速度提高了倍，提前小时完成了任务，求青年志愿者原计划每小时清除多少吨垃圾？
39．先化简，再求值：，再从不等式的整数解中选择一个适当的数代入求值．
40．先化简，再求值；，其中，x＝+2，y＝﹣2．
41．已知x，y，z都不为零，且满足4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0．求 的值.
42．某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
43．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
【拓展探究】
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_____．
【解决问题】
（3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积．
【知识迁移】
（4）当时，则的值是_____．（直接写出结果）
44．已知
（1）求 ab+ bc+ ca 的值.
（2）求 的值.
45．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____；
拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
46．利用我们学过的完全平方公式：，可以导出下面这个等式：
该等式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐性、简洁美．
（1）请尝试把上面等式从左到右进行推导，验证其正确性；
（2）利用上面等式进行计算：
．
47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发，沿边AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，连结CD．设点D运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求边AB的长．
（2）当线段CD的长取最小值时，求t的值．
（3）当△ACD是轴对称图形时，求所有满足条件的t的值．
48．在因式分解中，添项是一种重要的技巧，即在要分解的代数式中添加符号相反的两项.请根据提示补全第（1）-（3）小题的过程和结果，并解决第（4）小题.
（1） .
（2） .
（3） .
（4）分解因式：.
49．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知信息如下：
信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时；
信息二：甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等；
信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍．
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需多长时间？
50．用数学的眼光观察
①等式：．
②若，求代数式的值．
解：因为，所以，所以，所以．
用数学的思维思考并表达：
（1）填空： ；
（2）若，求的值；
（3）已知，求的值．
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【临考冲刺·50道解答题专练】上海市数学七年级上册期末总复习
1．在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取，那么，，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如，我们取和的值作为两个因式码．
（1）根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为 ．
（2）若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．
（3）已知多项式，当取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由．
【答案】（1）1911或1119
（2）解：，
∵王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，且结合
∴，
∴．
答：王老师的年龄是31岁．
（3）解：
，
∵取正整数，
∴，
即，
∴为最小的因式，
即，
解得，
∴
答：其他两个因式码为17和64．
【解析】【解答】（1）x2-16=（x+4）（x-4）
把x=15代入得：x+4=19，x-4=11
所以密码为：1911或1119
【分析】（1）根据平方差公式对 多项式进行因式分解，然后将x=15代入因式分别计算其值，最后将这两个值进行排列即可得到密码；
（2） 先对多项式提取公因式x后再用平方差公式，即x3 x=x(x2 1)=x(x 1)(x+1)；已知锁屏密码是6位数字313032，将其拆分为31、30、32三个两位数。观察这三个数，发现符合x+1=32（即x=31），此时x 1=30，x=31，组合顺序为(x+1)(x 1)x即32、30、31，合并为323031，所以王老师当前年龄是31岁；
（3）先对多项式先提取公因式，再根据平方差公式进一步分解为x2(2x 1)(2x+1)。因为密码中最小的因式码为15，假设2x 1=15，则可解得x=8。把x=8代入代入另外两个因式x2和2x+1中即可求得。
2．如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程．
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
嘉嘉：．
淇淇：．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）嘉嘉同学所列方程中的x表示__________；
淇淇同学所列方程中的y表示___________；
（2）在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系；
（3）解（2）中你所选择的方程，并解答该例题．
【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）.
（2）解：根据题意得：嘉嘉用的等量关系是：
甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间.
（3）解：选嘉嘉的方程：，解得.
经检验是原分式方程的解．
∴甲队每天修路的长度为40米．
【解析】【解答】（1）解：根据两位同学的方程得：
嘉嘉同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度，
淇淇同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间），
故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）.
【分析】
（1）根据嘉嘉同学，淇淇同学所列方程 得嘉嘉同学所列方程中的x，淇淇同学所列方程中的y表示的量.
（2）根据 嘉嘉同学所列方程即可得答案.
（3）选嘉嘉的方程：，根据分式方程的解法解出即可，经检验后即可得解.
（1）解：由题意，得：嘉嘉同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；淇淇同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）；
故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）；
（2）由题意，得：
嘉嘉用的等量关系是：甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间；
淇淇用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米；
（3）（3）①选嘉嘉的方程：，
解得；
经检验是原分式方程的解．
答：甲队每天修路的长度为40米．
②选淇淇的方程：．
解得；
经检验是原分式方程的解．
所以．
答：甲队每天修路的长度为40米．
3．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
.
当时，原式
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将a的值代入计算即可.
4．定义一种新运算，规得如下：
（1）直接写出：______；（用含、的代数式表示）
（2）化简：；
【答案】（1）
（2）解：
．
【解析】【解答】解：（1）∵，
，
，
，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据题设中的新运算法则，求得，即可得到答案；
（2）根据新运算法则，先计算，再计算，据此计算，即可得到答案．
（1）解：∵，
，
，
，
∴，
故答案为：；
（2）解：
．
5．如图，长方形ABCD被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差．
【答案】解：如图，
设①正方形的边长为a，
∵ 中间一个小正方形的面积为4 ，
∴最小正方形的边长为2，
∴②正方形边长为a+2，③正方形边长为a+4，④正方形边长为2a-2
方法一：
由AD=BC，∴a+6=2a-2，解得a=8，
∴④号正方形的边长为a+6=14，
∴ 长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差：142-4=192.
方法二：
即有
整理得：，即，解得a=-4(舍去)或a=8，
∴ 长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差：(2a-2)2-4=192.
【解析】【分析】法一：设①正方形的边长为a，结合图形可得④号正方形的边长为a+2+2+2=a+6或2a-2，据此建立方程可求出a的值，从而可出长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差.
法二：利用等积法将长方形面积用两种不同代数式进行表达，从而得出对应等量关系，求解即可.
6． 时令节气，三月是春茶采收的好时节，云南各地春茶也开始抢“鲜”上市．现有某茶商销售两种云南春茶，已知甲种春茶每千克单价比乙种春茶每千克单价少70元，花7000元购进甲种春茶的重量是花4200元购进乙种春茶重量的2倍．求甲、乙两种春茶的单价．
【答案】解：设甲种春茶的单价为元，则乙种春茶的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
乙种春茶单价：（元）.
答：甲种春茶的单价为350元，乙种春茶的单价为420元.
【解析】【分析】首先设甲种春茶的单价为元，则乙种春茶的单价为元，再根据等量关系 花7000元购进甲种春茶的重量是花4200元购进乙种春茶重量的2倍，即可得出方程，解方程即可得出x的值，最后通检验即可得出答案。
7．先化简，再求值：，其中a＝8．
【答案】解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝8时，
原式＝
＝﹣
＝．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
8．
（1）若am=-3，an=4，求am+n．
（2）已知2a=5，2b=1，求2a+b+3的值．
【答案】（1）解：∵am=-3，an=4，am+n=am.an，
∴am+n=am.an=-3×4=-12.
（2）解：∵2a=5，2b=1，2a+b+3=2a.2b.23，
∴2a+b+3=5×1×8=40.
【解析】【分析】（1）根据同底数幂相乘的乘法法则的逆运算，把am+n化为am.an的形式，再结合已知am=-3，an=4，用整体代入法把am换为-3，an换为4，进而计算出结果即可.
（2）根据同底数幂相乘的乘法法则的逆运算，把2a+b+3化为2a.2b.23的形式，再结合已知2a=5，2b=1，用整体代入法把2a换为5，2b换为1，23换为8，进而计算出结果即可.
9．合并同类项：5y﹣2x2y﹣3y+3x2y．
【答案】解：原式=2y+x2y
【解析】【分析】根据合并同类项法则进行计算
10．某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务.求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量.
【答案】解：设原计划每天加工x套
经检验：符合题意
【解析】【分析】由题意可得相等关系：原计划所需时间=实际所用时间+提前的时间，根据相等关系列方程即可求解。
11．在学习第9章第1节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义”
小明的做法是：先化简==，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2；
小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2．
如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
【答案】解：因为当分母不为0时，分式有意义．
小明的做法错误在于他先把分式约分，
使原来的分式中字母x的取值范围缩小了．
小丽的做法正确．
【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
12．若（x+m）（x2﹣3x+n）的积中不含x2、x项，求m和n的值．
【答案】解：原式=x3﹣3x2+nx+mx2﹣3mx+mn=x3+（m﹣3）x2+（n﹣3m）x+mn，
由题意得到m﹣3=0，n﹣3m=0，
解得：m=3，n=9．
【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由题意得到x2、x项系数为0，求出m与n的值即可．
13．单项式x2ym与多项式x2y2+y4+的次数相同，求m的值．
【答案】解：∵单项式x2ym与多项式x2y2+y4+的次数相同，
∴2+m=7，
解得m=5．
故m的值是5．
【解析】【分析】利用多项式及单项式的次数列出方程求解即可．
14．已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等.若乙比甲每小时多做9个零件，则甲、乙两人每小时各做多少个零件？
【答案】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做 个零件.
根据题意，得 .
解这个方程，得 .
经检验， 是原分式方程的解，且符合实际意义.
当 时， .
答：甲每小时做18个零件，乙每小时做27个零件.
【解析】【分析】 设甲每小时做x个零件，则乙每小时做 个零件 ，根据“ 甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等”，列出方程，解之并检验即可.
15．先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式=
=
=
将，代入，得原式=.
【解析】【分析】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项化简，最后将a、b的值代入化简结果根据有理数的乘法法则计算即可.
16．如图，有一块长米，宽米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为米的正方形．
（1）计算广场上需要硬化部分的面积；
（2）若，，求硬化部分的面积．
【答案】（1）解：根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
，
答：广场上需要硬化部分的面积是．
（2）解：把，代入，
，
答：广场上需要硬化部分的面积是．
【解析】【分析】（1）根据题意，由长方形的面积是长宽，即；阴影部分是正方形，其面积是，结合空白部分的面积长方形的面积阴影部分的面积，即可得到空白部分的面积，得到答案；
（2）将，， 代入（1）中的代数式，计算求值，即可得到答案.
（1）解：根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
，
答：广场上需要硬化部分的面积是．
（2）解：把，代入，
，
答：广场上需要硬化部分的面积是．
17．地球可以看作球体，若用V，r分别表示球的体积和半径，则V=πr3，已知地球的半径约为6×103 km，则它的体积大约是多少立方千米(π取3，结果用科学记数法表示)？
【答案】解：∵V=πr3，r=6×103 km，
∴V=π×（6×103）3，
∵π取3，
∴V≈4×63×109≈8.64×1011（km3）.
答：地球体积大约为8.64×1011km3.
【解析】【分析】把π=3，r=6×103代入公式V=πr3，把结果用科学记数法的形式写出来即可.
18．化简求值：（1+ ） ﹣ ，a取﹣1、0、1、2中的一个数．
【答案】解：原式= ﹣
=﹣
=
=﹣，
当a=2时，原式=﹣2．
【解析】【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a=2代入计算即可求出值．
19．某厂生产一种边长为a厘米的正方形地砖，材料的成本价为每平方厘米b元。如果将地砖的一边扩大3厘米，另一边缩短3厘米，改成生产长方形地砖，这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比，是增加了还是减少了 增加或减少了多少元
【答案】解：由题意，知正方形地砖的成本为每块元.
长方形地砖的成本为每块（元）.
因为（元），
所以这种长方形地砖每块的材料成本价减少了，减少了9b元.
【解析】【分析】根据题意，结合等量关系“总成本=地砖面积×每平方厘米成本”，分别计算长方形地砖总成本、正方形地砖总成本，用后者减前者即可.
20．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：①；
②.
（1）判断为 （填真分式或假分式）；
（2）仿照例子，将分式化为带分式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
【答案】（1）真分式
（2）解：
（3）解：，
当为整数时，也为整数，
∴x+1可取得的整数值为±1，±3，
∴x的可能整数值为0，-2，2，-4.
【解析】【解答】解：（1）分子的次数为1，分母的次数为2，1<2，故分式为真分式.
故填：真分式.
【分析】(1)根据题意不难得出此分式分子的次数小于分母的次数，则为真分式.
(2)根据题意，进行变形，转化为分子一项与分母相同，再拆项即可得出答案.
(3)先将其转化为带分式，再进行判断为整数时的取值即可得出答案.
21．解方程：
【答案】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，即，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为．
【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再解方程，进行检验即可求出答案.
22．化简
【答案】解：原式=
【解析】【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
23． 已知x+y=7， xy=6.试求：
（1）x-y的值.
（2）的值.
【答案】（1）解：x+y=7， xy=6 ，
∴
（2）解：，
，
∴.
【解析】【分析】（1）根据，代数求值即可；
（2）由，，代数求值即可.
24．若，请从小刚和小明的对话中确定a，b的值，并对A进行化简求值．
【答案】解：原式
，
由对话可得，，
原式
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式中的分子分母进行因式分解，再对括号内的式子进行通分计算，最后根据分式除法运算法则将除法转化为乘法进行化简，然后根据两人对话分别确定a，b的值，其中a根据算术平方根的运算得出，b根据整数的范围以及的范围确定，最后将a，b的值代入化简后的式子计算出结果。
25．已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5．
（1）化简3B﹣A；
（2）若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值．
【答案】（1）解：=3(2mx2+7x-3)-(x2-nx+5)
=6mx2+21x-9-x2+nx-5
=（3﹣2m）x2﹣（3n+7）x+18
（2）解：3B-A=（3﹣2m）x2﹣（3n+7）x+18取值与x无法，故3-2m=0，3n+7=0，
得，
【解析】【分析】(1)分别将A、B代入，去括号后合并同类项即可得结果；
(2)由(1)中结果知3-2m=0且3n+7=0，即得m、n的值.
26．某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价加价20%作为售价，共获利6000元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价加价10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了100件，并且商场第二个月比第一个月多获利2000元，此商品进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
【答案】解：设进价是x元，
则
解得．
经检验，是原分式方程的根．
第二个月共销售（件）．
答：此商品的进价是500元，第二个月的销售量为160件．
【解析】【分析】 设进价是x元， 根据“ 第二个月的销售量比第一个月增加了100件 ”列出方程并解之即可.
27．甲、乙两人分别从距离目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度.
【答案】解：设甲的速度为3x千米/小时，则乙的速度为4x千米/小时，
根据题意得： ﹣ ＝ ，
解得：x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原分式方程的解，
∴3x＝4.5，4x＝6.
答：甲的速度为4.5千米/小时，乙的速度为6千米/小时.
【解析】【分析】设甲的速度为3x千米/小时，则乙的速度为4x千米/小时，根据时间＝路程÷速度，结合甲比乙提前20分钟到达目的地即可得出关于x的分式方程，解之即可求出x的值，检验后将其代入3x、4x中即可得出结论.
28．先化简，再求值： ，其中a是整数，且满足 ，请取一个合适的a值代入求值．
【答案】解： ，
，
，
，
∵a是整数，且满足 ，
∴ ，
由题意得， ，
∴当 时，原式 ；
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
29．如图是一块长方形的草地，长为21m.宽为15m.在草地上有两条宽为1米的小道，长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少？
【答案】解：设长草部分的面积为，依题意知
答：长草部分的面积为280平方米.
【解析】【分析】根据图形的平移将两条小路平移到AD边与AB边，可得长满青草的部分是一个长为21-1=20m，宽为15-1=14m的长方形，利用长方形的面积公式求解即可.
30．某公司会计欲查询乙商品的每件进价（如下表），发现进货单已被墨水污染．
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额
甲 7200
乙 3200
李师傅：我记得甲商品数量比乙商品的数量多50%．
王师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高20元．
请同学们帮该公司求出甲、乙两商品的数量分别是多少件？
【答案】解：设乙商品的数量为x件，则甲商品的数量为件，
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解
甲商品的数量：（件）
答：甲商品的数量为120件，乙商品数量为80件．
【解析】【分析】设乙商品的数量为x件，则甲商品的数量为件，根据“甲商品进价比乙商品进价每件高20元”列出方程，再求解即可.
31．一台计算机在 106秒内做了 1020次运算，平均每秒能做 次运算.
【答案】1014
【解析】【解答】解：平均每秒能做：
故答案为：.
【分析】根据题意列式并结合同底数幂的除法计算法则计算即可求解.
32．若分式=，求a的取值范围．
【答案】解：由分式==，即|a|与a异号，则a＜0.
【解析】【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
33．若△ABC的三边长a、b、c，满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你判断△ABC的形状．
【答案】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=0，
a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，
∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形
【解析】【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，即可判断出△ABC的形状．
34．李明同学准备制作一个正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），折叠后发现少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼成的图形经过折叠后能称为一个封闭的正方体盒子．（添加的正方形用阴影表示，在图①，图②中各画一个符合要求的图形即可）
【答案】解：如图所示：
【解析】【分析】利用正方体的平面展开图的特点分别得出符合题意的图形．
35．有一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a(m)，下底宽(a+2b)m，坝高 /2a(m).
（1）求防洪堤坝的横断面面积.
（2）如果防洪堤坝长100m，那么这条防洪堤坝的体积是多少立方米
【答案】（1）解：解：横断面面积=×(a+a+2b）×a
=
=
（2）解： 这条防洪堤坝的体积 =100× =.
【解析】【分析】 （1）根据梯形的面积公式=（上底+下底）×高，即可计算；
（2）根据柱体的体积=横截面面积×高，列代数式计算即可.
36．先化简再求值：.其中，.
【答案】解：
；
当，时，
原式.
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将x、y的值代入计算即可.
37．某校七年级四个班的学生在植树节这天共义务植树棵，一班植树棵，二班植树的棵数比一班的两倍少棵，三班植树的棵数比二班的一半多棵．
（1）求三班的植树棵数用含，的式子表示；
（2）求四班的植树棵数用含，的式子表示；
（3）若四个班共植树棵，求二班比三班多植树多少棵？
【答案】（1）解：根据题意得二班植树：棵，三班植树：棵；
（2）解：四班植树：棵；
（3）解：根据题意得，即，则，
二班比三班多：棵
答：二班比三班多植树棵．
【解析】【分析】（1）根据“一班植树棵，二班植树的棵数比一班的两倍少棵，三班植树的棵数比二班的一半多棵”列出代数式即可；
（2）根据“四个班的学生在植树节这天共义务植树棵”再求出四班的植树棵树；
（3）先求出二班和三班的棵树，再列出代数式求解即可.
38．年安庆市为成功创建国家卫生城市，青年志愿者决定义务清除重达吨的垃圾开工后，附近居民主动参与到该项义务劳动中来，使清除垃圾的速度提高了倍，提前小时完成了任务，求青年志愿者原计划每小时清除多少吨垃圾？
【答案】解：设青年志愿者原计划每小时清除吨垃圾，
根据题意得，
解得．
经检验是原分式方程的根．
答：青年志愿者原计划每小时清除吨垃圾．
【解析】【分析】设青年志愿者原计划每小时清除吨垃圾，根据“提前小时完成了任务”列出方程，再求解即可.
39．先化简，再求值：，再从不等式的整数解中选择一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式
，
不等式的整数解有，0，1，
∵0，1，
∴当时，
原式．
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来根据分式有意义的条件从-1≤x≤1的整数中选择一个代入计算即可.
40．先化简，再求值；，其中，x＝+2，y＝﹣2．
【答案】解：原式＝[] （x+y）
＝ （x+y）
＝，
当x＝+2，y＝﹣2时，
原式＝
＝
＝．
【解析】【分析】先通分，再加，约分，除法写成乘法，化简之后将x，y的值代入，把结果化成最简形式即可.
41．已知x，y，z都不为零，且满足4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0．求 的值.
【答案】解：由 ，解得 ，
∵x，y，z都不为零，
∴ = .
【解析】【分析】对于本题涉及到三元一次方程组的解答，首先将z看成已知数，解出含有z表示的关于x和y的不等式的解，再将含z表示的x和y的值代入所求的代数式中进行化简.
42．某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】（1）解：设乙每天加工新产品件，则甲每天加工新产品件．
根据题意得，解得，经检验，符合题意，则，
所以甲、乙两个工厂每天各能加工16个、24个新产品；
（2）解：甲单独加工完成需要天，费用为：元，
乙单独加工完成需要天，费用为：元；
甲、乙合作完成需要天，费用为：元．
所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作．
【解析】【分析】（1）设乙工厂每天加工的数量是x，利用总件数÷它们的工作效率=它们的工作时间，找到正确的等量关系：甲工厂加工的时间-乙工厂加工的时间＝20 ，列方程即可。
（2）分别计算出甲单独加工完成，乙单独加工完成，甲乙合作完成需要的时间和费用 ，比较大小选择既省时又省钱的加工方案即可。
43．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
【拓展探究】
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_____．
【解决问题】
（3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积．
【知识迁移】
（4）当时，则的值是_____．（直接写出结果）
【答案】（1），，
（2），
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）
【解析】【解答】解：（1）图1阴影的面积：；
图2阴影的面积：；
（2）图3阴影的面积：；（
（4）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
【分析】（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案；
（2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案；
（3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案；
（4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可．
44．已知
（1）求 ab+ bc+ ca 的值.
（2）求 的值.
【答案】（1）解：
得
（2）解：由 得
即
得 又
平方得
故
【解析】【分析】(1)根据完全平方和公式展开( 然后将 整体代入来求 的值；
(2)根据完全平方和公式展开 然后将 整体代入来求 的值.
45．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____；
拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
【答案】（1）；（2）；
（3）解：，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）图1中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（2）图2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
【分析】（1）用两种方法表示图1中的大正方形的面积即可得解．
（2）用两种方法表示图2中正方体的体积即可得解．
（3）将和用含有，的式子表示出来即可得解．
46．利用我们学过的完全平方公式：，可以导出下面这个等式：
该等式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐性、简洁美．
（1）请尝试把上面等式从左到右进行推导，验证其正确性；
（2）利用上面等式进行计算：
．
【答案】（1）解：
原式=
（2）解：
原式
．
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的运用，熟练运用完全平方公式进行拆分配凑是解题关键.完全平方公式：．
（1）观察等式左边，为了利用完全平方公式，给整个表达式乘以2，将右边的表达式重新分组，凑成完全平方的形式，由此可推导出答案；
（2）利用(1)中的结论直接代值求解即可得到答案；
47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发，沿边AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，连结CD．设点D运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求边AB的长．
（2）当线段CD的长取最小值时，求t的值．
（3）当△ACD是轴对称图形时，求所有满足条件的t的值．
【答案】（1）解：∵在中，，
∴.
（2）解：由垂线段最短可知，当时，最短，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：当是轴对称图形时，则是等腰三角形．
①当时，则；
②当时，
过点C作于点E，
由（2）可知，
∴，
∴；
③当，
过点D作于M，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
综上所述，当是轴对称图形时t的值为或9或．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根据垂线段最短可得，当时，最短，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出即可得到答案；
（3）当是轴对称图形时，则是等腰三角形．再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论求解即可．
48．在因式分解中，添项是一种重要的技巧，即在要分解的代数式中添加符号相反的两项.请根据提示补全第（1）-（3）小题的过程和结果，并解决第（4）小题.
（1） .
（2） .
（3） .
（4）分解因式：.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：由（3）可得，
当a+b+c=0时，，即，
∵，
∴
.
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：；
(2)
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
【分析】（1）（2）（3）利用题目提供的添项，运用分组分解因式法解题即可；
（4）先根据（3）的结论发现当a+b+c=0时，，然后把原式分解为，然后结合（1）的结论和平方差公式进行分解因式即可.
49．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知信息如下：
信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时；
信息二：甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等；
信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的2倍．
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需多长时间？
【答案】解：设甲单独完成任务需x小时，乙单独完成任务需要（x-5）小时，由题意得
，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解；
∵ 丙的工作效率是甲的工作效率的2倍 ，
∴ 丙的工作效率是，
∵一轮的工作量为：，
四轮的工作量为：，
∴四轮后剩余的工作量为：，
∴剩余的工作量还需要甲乙各做1小时，丙还要做（小时），
∴共需要做的时间为3×4+1+1+（小时）.
【解析】【分析】设甲单独完成任务需x小时，乙单独完成任务需要（x-5）小时，由工作效率乘以工作时间=工作总量及甲4小时完成的工作量与乙3小时完成的工作量相等列出方程，求解并检验科求出甲乙独自完成需要的时间，进而根据题意可算出共需要的时间.
50．用数学的眼光观察
①等式：．
②若，求代数式的值．
解：因为，所以，所以，所以．
用数学的思维思考并表达：
（1）填空： ；
（2）若，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）4
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
由，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）
，
故答案为：；
【分析】⑴根据完全平方公式""化简即可.
⑵根据“”求出的值再开方即可.
⑶根据题意对化简得，再求的倒数的值.
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