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【临考冲刺·50道解答题专练】上海市数学八年级上册期末总复习
1．在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
2．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-4bx-4(a-c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
3． 关于x的方程为一元二次方程．
（1）求m的值．
（2）求该一元二次方程的根．
4．用矩形纸板制作长方体盒子】如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图所示的底面积为的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计）
（1）求将要剪去的正方形的边长；
（2）如图，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.
请你在图的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕）；
若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长.
5． 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10的平方根和立方根中， 哪些是有理数， 哪些是无理数
6．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
7．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长．
8． 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题：
（1）请表示出的小数部分；
（2）若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值；
（3）已知，其中x是一个正整数，，求的值．
9．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．
10．在中，平分交于点，点是射线上的动点不与点重合，过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点．
（1）如图，点在线段上运动．
若，，则 ；
若，则 °；
（2）探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点在射线上运动时，与之间的数量关系与中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．
11．如图，在中，，是边上的一点，，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的周长．
12．计算： ．
13． 已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
14．关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足x1＋x2＝－x1x2，求k的值．
15． 如图，点E，A，D，B在同一条直线上，，，.
（1） 与全等吗？请说明理由；
（2） 尺规作图：作的角平分线，与AC交于点P（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3） 在条件（2）下，若，，求的面积.
16．近年来，登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目，通过锻炼可以大大提升人们的身体素质，如图是南宁市大明山的某局部山体模拟图，段长度为，矩形和矩形均为起步平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知，．
（1）亮亮猜想山体高为，请判断亮亮的猜想是否正确？如果正确请说明理由，如果不正确，请求出正确的山体高；
（2）为加强攀登的安全性，若使得山体斜坡长，请你求出此时山脚C应向外延伸多少m到点F．
17．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
18．小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个.经过市场调查发现：若挂件以单价25元售出，一天能售出70个；若每个降价1元，则一天可多售出10个.
（1）当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个？
（2）要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元？
19．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
20．如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
21．某超市销售的红豆进价为每千克8元．当红豆每千克售价为15元时，日销售量为300千克．该超市为扩大销售量、增加经营利润，计划采取降价的方式进行促销．经市场调查发现，当红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克．
（1）当销售量为320千克时，红豆售价为 元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是多少千克？
（2）该商场计划每日销售红豆获利1020元，则红豆售价应定为每千克多少元？
22．要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用围栏围成．
（1）若围栏的总长为，墙足够长，则与墙平行的围栏长为多少？
（2）若围栏的总长为，墙长为，则与墙垂直的围栏长为多少？
23．交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
（1）若，则______；
（2）若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：；
（3）在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值．
24．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，那么射线就是的平分线.请你证明这一结论.
25．某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
26．一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点B（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到）
27．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得 ， ， ， ， .求阴影部分面积.
28．当a是什么整数时，关于 的一元二次方程 与 的根都是整数．
29．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
30． 2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱. 某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．
（1）若每件商品降价3元，则商店每天的平均销量是 件；
（2）不考虑其他因素的影响，若平均每天的利润为1280元，则每件商品应降价多少元？
31．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了避免走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为15千米，如图，上午8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走(OA方向)，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进(OB方向)，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
32．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形花园ABC（院墙 MN 长 25 米）.现有 50米长的篱笆，请你设计一种围法（篱笆必须用完），使矩形花园的面积为300米 2.
33．已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 、 ，有如下结论： ， .试利用上述结论，解决问题：
已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 、 ，求 的值.
34．如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
35．如图所示，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
36．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D.猜想∠DBC与∠A的数量关系，并说明理由.
37．如图，一条伸直的橡皮筋的两端被固定在水平桌面上，C是上的一点，，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2到D点．
（1）求的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
38．如图，，，于．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
39．已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．
40．若关于x的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，求实数m的取值范围．
41．如图，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长米，且米，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长米．
（1）试判定的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离的长度．
（3）若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．
42． 阅读下面的文字，解答问题.
无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确，于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间。根据上述信息，请回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）10+也是夹在两个整数之间的，可以表示为，则 ；
（3）若，其中是整数，且043．如图，在长方形中，，点是中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．设点的运动时间为秒，点的速度为，的面积为
（1）当时，与的数量关系是__________，此时是什么形状的三角形？请说明理由．
（2）当时，用含的代数式表示__________；当秒时，__________；
（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等？
44．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时
针旋转后，得到△P'AB，求点P与点P'之间的距离及∠APB的度数．
45．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”．
（1）[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ．
（2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ；
（3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值．
（4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”．
46．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
47．在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当时，则______（用含有的式子表示）；
（2）如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F，交于点E，连接．
①依题意在图2中补全图形，并求的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
48．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上.
（1）AC的长等于 ；
（2）在线段AC上有一点D，满足AB2=AD AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）.
49．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以 ， ， 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
50．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，分别求CD和AD的长；
（2）当t为何值时，△CBD是直角三角形？
（3）若△CBD是等腰三角形，请求出t的值．
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【临考冲刺·50道解答题专练】上海市数学八年级上册期末总复习
1．在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
【答案】解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里，
∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，
∴OB2＋OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，∴∠BOD＝50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
【解析】【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案。
2．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-4bx-4(a-c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
【答案】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（-4b）2-4（a+c）[-4（a-c）]=0，
∴16b2+16a2-16c2=0，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴
∴
可整理为：2ax2-4ax=0，
∴x2-2x=0，
解得：x1=0，x2=2．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的性质，若是有两个实根，关于方程，可得，进而可以推出题目方程中a、b、c的关系式；根据勾股定理的逆向证明，可知 △ABC 是直角三角形；
（2）根据等边三角形的性质，可得a=b=c；原方程可以进行化简，可得 x2-2x=0 ，因式分解解方程即可.
3． 关于x的方程为一元二次方程．
（1）求m的值．
（2）求该一元二次方程的根．
【答案】（1）解：∵关于x的方程为一元二次方程，
∴，
解得，．
（2）解：由（1）可得，，
∴，即，
∴，
∴，．
【解析】【分析】(1)由一元二次方程的定义知即可求得m的值；
(2)将m=-3代入方程，因式分解法即可求出方程的根.
4．用矩形纸板制作长方体盒子】如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图所示的底面积为的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计）
（1）求将要剪去的正方形的边长；
（2）如图，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.
请你在图的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕）；
若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长.
【答案】（1）解：设剪去的正方形的边长为
根据题意列方程为
解，得，
当时，，，
所以不符合题意舍去
答：剪去正方形的边长为3cm.
（2）解：①画出的图形如图所示.
②设剪去的正方形的边长为.
根据题意可列方程为
解得（舍），
答：剪去的正方形的边长为2cm.
【解析】【分析】（1）设剪去的正方形的边长为x cm，根据题意列方程即可得到结论；
（2）①根据题意画出的图形即可；
②设剪去的正方形的边长为y cm.根据题意列方程即可得到结论。解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5． 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10的平方根和立方根中， 哪些是有理数， 哪些是无理数
【答案】解： 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10的平方根为：±1，，，±2，，，，，±3，；
1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10的立方根为：1，，，，，，，2，，；
∴±1，±2，±3是有理数；
，，，，，，，，，，，，，，是无理数.
【解析】【分析】先求出各数的平方根和立方根，再判定有理数和无理数.
6．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB==24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′=20米，
BC′==15（米），
则：CC′=15﹣7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．
7．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长．
【答案】（1）解：，
，
，
，，
，
是直角三角形，，
需要绿化的空地的面积
（2）解：，，
，
，
解得：，
即小路的长为
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角得出是直角三角形，，再结合三角形面积公式求解即可；
（2）根据三角形的面积公式，列式计算即可求解.
（1）解：，
，
，
，，
，
是直角三角形，，
需要绿化的空地的面积；
（2）解：，，
，
，
解得：，
即小路的长为．
8． 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题：
（1）请表示出的小数部分；
（2）若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值；
（3）已知，其中x是一个正整数，，求的值．
【答案】（1）解：，
，
的小数部分是；
（2）解：，
，
∴，
，
，
．
；
（3）解：∵
∴
∴
∵x是一个正整数，，
∴x是的整数部分，y是的小数部分，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）估算出的取值范围可得答案；
（2）估算出和的取值范围，可得、的值，然后代入计算即可．
（3）估算出的取值范围，求出x和y的值，最后代入计算即可．
9．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．
【答案】解：如方程x2+5x+6=0，
（x+2）（x+3）=0，
∴x1=﹣2，x2=﹣3，
小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．
则x=
x=2和x=3，
这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，
故小红的结论是错误的．
【解析】【分析】假设一个一元二次方程，应用因式分解法求得方程的解，然后再根据小红的求根公式求得，看是否一致即可．
10．在中，平分交于点，点是射线上的动点不与点重合，过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点．
（1）如图，点在线段上运动．
若，，则 ；
若，则 °；
（2）探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点在射线上运动时，与之间的数量关系与中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）50；55
（2），理由如下：
因为，，
所以，
所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
（3）关系不同
当点在线段上，，
如图，若交于点，
由知：，，
因为，
所以，
所以，
因为，，且，
所以，，
即
；
当点在的延长线上，
如图，若交于点，
因为，
所以，
因为，
所以
；
综上，点在射线上运动时，或．
【解析】【解答】解：（1）①∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC
∴∠CBD=20°
∵EF∥BC，∠C=60°
∴
∵EG平分∠CEF
∴
∴
②∵∠A=70°
∴
∵EF∥BC
∴
∴
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF
∴
∵EF∥BC
∴
∴
∴
故答案为：50，55
【分析】（1）①根据角平分线性质可得∠CBD=20°，再根据直线平行性质可得，由EG平分∠CEF可得，即可求出答案；
②根据三角形内角定理，直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，则，再由EF∥BC，可得，即可求出答案；
（2）根据三角形内角和定理，直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）根据三角形内角和定理，直线平行性质，角平分线性质进行角之间的转换分情况讨论即可求出答案.
11．如图，在中，，是边上的一点，，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的周长．
【答案】（1）解：是直角三角形；理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，则
∴的周长．
【解析】【分析】(1)先根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，进而可得出结论；
(2)设AD=xcm，则AB=AC=(x+5)cm，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论.
12．计算： ．
【答案】解：原式= ；
【解析】【分析】利用立方根、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案。
13． 已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【答案】（1）解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）解：如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE＋×AC×DF＝×10×3＋×8×3＝27．
【解析】【分析】本题考查三角形的角平分线的性质和内角和。（1）根据∠B＝50°，∠C＝70°得∠BAC＝60°；根据AD是△ABC的角平分线，得∠BAD＝30°；根据DE⊥AB得∠EDA＝60°；（2）过D作DF⊥AC于F，
根据AD是角平分线和DE⊥AB得DF＝DE＝3，结合AB＝10，AC＝8，S△ABC=S△ABD+S△ADC＝27．
14．关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足x1＋x2＝－x1x2，求k的值．
【答案】（1）解：根据题意，得Δ＝[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋1)＝－4k－3>0，
解得
（2）解：因为x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋1，x1＋x2＝－x1x2，
所以2k－1＝－(k2＋1)，
整理得k2＋2k＝0.
解得k1＝0，k2＝－2，
因为，
所以k＝－2
【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，根据，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值．
15． 如图，点E，A，D，B在同一条直线上，，，.
（1） 与全等吗？请说明理由；
（2） 尺规作图：作的角平分线，与AC交于点P（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3） 在条件（2）下，若，，求的面积.
【答案】（1）解： 或 与 全等.理由如下：
∵，且 ，
∴.
∵，
∴.
在和中，
（SAS）.
（2）解：如下图：
射线 BP 即为所求；
（3）解：如下图，过点 P 作 于点 H，
，
，
平分， 且 ，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）通过线段和差得边相等，平行线得角相等，结合（实际是，因直角 ）证全等，关键是条件转化与全等判定.
（2）运用尺规作角平分线的基本方法，保留作图痕迹即可，核心是角平分线的尺规作图步骤.
（3）利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）得高相等，结合全等三角形性质得长度，最后用三角形面积公式计算，重点是性质应用与面积公式的结合.
16．近年来，登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目，通过锻炼可以大大提升人们的身体素质，如图是南宁市大明山的某局部山体模拟图，段长度为，矩形和矩形均为起步平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知，．
（1）亮亮猜想山体高为，请判断亮亮的猜想是否正确？如果正确请说明理由，如果不正确，请求出正确的山体高；
（2）为加强攀登的安全性，若使得山体斜坡长，请你求出此时山脚C应向外延伸多少m到点F．
【答案】（1）解：亮亮的猜想不正确，
理由：，，
设，
，
即，
解得，
，
；
，山体高的正确高度为.
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
．
答：山脚应向外延伸到点．
【解析】【分析】（1）设，由勾股定理得到，于是得到；
（2）由（1）知，，根据勾股定理得到，则．
17．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴，即，
解得
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合可得，再求出k的值即可.
（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴，即，
解得
（2）∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
18．小明计划在水亭门“有礼摊位”进行手工编织挂件售卖，每个挂件的成本为13元，每天最多售出100个.经过市场调查发现：若挂件以单价25元售出，一天能售出70个；若每个降价1元，则一天可多售出10个.
（1）当每个挂件定价为22元时，一天能卖出多少个？
（2）要使当天利润达到880元，则每个挂件应降价多少元？
【答案】（1）解：个.
答：当每个挂件定价为22元时，能卖出100个.
（2）解：设每个挂件降价x元，则每个挂件定价为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，时符合题意.时，每天售出超出100个，不符合题意，舍去.
答：每个挂件应降价1元.
【解析】【分析】(1)由定价可知降价，由题意可得销量；
(2)设降价x元可得销量为70+10x，列出方程并求解方程即可.
19．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
【答案】解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD中，CD2=132BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD AB+ DB BC，= ×4×3+ ×12×5=36．所以需费用36×200=7200（元）
【解析】【分析】连接BD，在Rt△ABD中利用勾股定理算出BD的长，根据勾股定理的逆定理由BC2+BD2=CD2，判断出∠DBC=90°，然后根据S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC由三角形的面积计算方法即可算出答案。
20．如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
21．某超市销售的红豆进价为每千克8元．当红豆每千克售价为15元时，日销售量为300千克．该超市为扩大销售量、增加经营利润，计划采取降价的方式进行促销．经市场调查发现，当红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克．
（1）当销售量为320千克时，红豆售价为 元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是多少千克？
（2）该商场计划每日销售红豆获利1020元，则红豆售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）13
（2）解：设红豆售价应定为每千克x元，则每千克的销售利润为（x﹣8）元，日销售量为300+×5＝（450﹣10x）千克，
根据题意得：（x﹣8）（450﹣10x）＝1020，
整理得：x2﹣53x+462＝0，
解得：x1＝11，x2＝42（不符合题意，舍去）．
答：则红豆售价应定为每千克11元．
【解析】【解答】解：（1）由题意得：当销售量为320千克时，红豆售价为：
当红豆每千克售价是10元时，日销售量是：
∴当销售量为320千克时，红豆售价为13元，当红豆每千克售价是10元时，日销售量是350千克，
故答案为：13.
【分析】（1）根据"当红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克"，可求出当销售量为320千克时的红豆售价和当红豆售价为10元时的日销售量；
（2）设红豆售价应定为每千克x元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，进而即可列出方程，解此方程即可求解.
22．要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用围栏围成．
（1）若围栏的总长为，墙足够长，则与墙平行的围栏长为多少？
（2）若围栏的总长为，墙长为，则与墙垂直的围栏长为多少？
【答案】（1）解：设与墙平行的围栏长为，则垂直于墙的边长为，
依题意，得：，
整理得：
解得：，，
答：与墙平行的围栏长为或者；
（2）解：设垂直于墙的边长为，则与墙平行的围栏长为，
依题意，得：，
整理得：
解得：，，
当时，，
当时，，不符合题意，
答：与墙垂直的围栏长为．
【解析】【分析】（1）设与墙平行的围栏长为，则垂直于墙的边长为，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案。
（2）设垂直于墙的边长为，则与墙平行的围栏长为，根据题意列出关于y的二次方程，解方程并代入检验即可求出答案。
23．交通部门为了安全起见在某道路两旁设置了，两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．
（1）若，则______；
（2）若点为线段上一点，且满足，当时，试说明：；
（3）在（1）问的条件下，探照灯，射出的光线在道路所在平面旋转．探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，探照灯射出的光线从处开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，当回到出发时的位置时同时停止转动．设转动时间为秒，则在转动过程中，当时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
由题意得，
当时，如图，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：；
综上所述，或．
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，解得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）先由平角的定义及角平分线的定义得出，再根据邻补角的意义求出，然后两直线平行，内错角相等求出∠C；
（2）设，先用x表示出，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的意义求出，，从而可得，再根据内错角相等，两直线平行判定；
（3）分“”、“”两种情况讨论，分别表示出两种情况下相关角的度数，根据直角三角形两锐角互余列出关于t的方程求解．
（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），
由题意得，
当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
当当时，如图，，此时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上，或．
24．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，那么射线就是的平分线.请你证明这一结论.
【答案】解：∵∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠POM=∠PON，
∴射线OP就是∠AOB的平分线.
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠OMP=∠ONP=90°，由已知条件可知OM=ON，利用“HL”证明Rt△OMP≌Rt△ONP，得到∠POM=∠PON，据此判断.
25．某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
【答案】解：设每台空气加湿器降价x元，则每天盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵要尽快减少库存，
∴x=20．
答：每台空气加湿器应降价20元．
【解析】【分析】设每台空气加湿器降价x元，则每台盈利(50-x)元，每天可以售出(30+2x)台，根据每台的利润×销售量=总利润结合题意可得关于x的方程，求解即可.
26．一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点B（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到）
【答案】解： 、D两村到储藏仓库P的直线距离相等，
，
， ，
，
在 和 中，由勾股定理得： ， ，
，
设 ，则 ，
，
解得： ，
答：储藏仓库P到A站点的距离约为
【解析】【分析】 由C、D两村到储藏仓库P的直线距离相等可知CP=DP，由垂直的定义可得∠A=∠B=90°， 由勾股定理得 ， ， 设 ，则 ， 由CP=DP即得CP2=DP2，据此建立方程并解之即可.
27．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得 ， ， ， ， .求阴影部分面积.
【答案】解：连接AC，
在 中，根据勾股定理， .
.
.
.
.
【解析】【分析】连接AC，首先利用勾股定理的逆定理判断三角形ABC和三角形ACD的形状，再根据阴影部分的面积等于三角形ACD的面积减去三角形ABC的面积即可.
28．当a是什么整数时，关于 的一元二次方程 与 的根都是整数．
【答案】解：∵关于 的一元二次方程 与 有解，
则a≠0，△≥0，
即16-16a≥0，解得a≤1，
16a2-16a2+16a+20≥0，
解得a≥-
∴- ≤a≤1，又a为整数，
∴a=1(a=0舍去)
当a=-1时，方程化为 和
方程的解为x= 不为整数，
故a=1.
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出a的可能取值，再根据求解.
29．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
【答案】解：由题意可知，OA=16+16× =24（海里），OB=12+12× =18（海里），AB=30海里，
∵242+182=302，即OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，
∵∠AOD=40°，
∴∠BOD=90°﹣40°=50°，即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．
【解析】【分析】先根据题意得出OA及OB的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△OAB的形状，进而可得出结论．
30． 2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱. 某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．
（1）若每件商品降价3元，则商店每天的平均销量是 件；
（2）不考虑其他因素的影响，若平均每天的利润为1280元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）200
（2）解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天能售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件商品应降价或元．
【解析】【解答】解：（1）由题意得每件商品降价3元，则商店每天的平均销量（件），
故答案为：；
【分析】（1）根据题意得到每件商品降价3元，进而即可求出其平均的销量；
（2）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天能售出件，根据“平均每天的利润为元”即可列出一元二次方程，从而即可求解。
31．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了避免走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为15千米，如图，上午8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走(OA方向)，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进(OB方向)，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
【答案】解：甲从上午8：00到上午 10：00 一共走了2小时，走了12千米，即OA=12千米．
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即0B=5千米．
在Rt△OAB中，AB2=122+52= 169，
∴AB=13千米，
因此，上午10：00，甲、乙两人相距13千米．
∴15>13．甲，乙两人还能保持联系．
答：上午10：00，甲，乙两人相距13千米，两人还能保持联系．
【解析】【分析】根据提议，画出图形利用速度×时间算出OA、OB的长度，在直角三角形ABO中，利用勾股定理算出AB的长度，通过比较得出结论。
32．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形花园ABC（院墙 MN 长 25 米）.现有 50米长的篱笆，请你设计一种围法（篱笆必须用完），使矩形花园的面积为300米 2.
【答案】解：设 AB 为 xm，则 BC 为（50-2x）m， 根据题意得方程：x（50-2x）=300，
2x2-50x+300=0，
解得；x1=10，x2=15，
当 x1=10
时 50-2x=30＞25（不合题意，舍去），
当 x2=15
时 50-2x=20＜25（符合题意）.
答：当砌墙宽为15 米，长为20 米时，花园面积为300 米2.
【解析】【分析】由题意可得相等关系： 矩形花园的面积=矩形的长×宽=300，根据相等关系列方程即可求解。
33．已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 、 ，有如下结论： ， .试利用上述结论，解决问题：
已知关于 的一元二次方程 的两根分别为 、 ，求 的值.
【答案】解：∵ ， ，
∴ ．
【解析】【分析】根据已给结论可得出 ， ，将 展开，再代入求解即可．
34．如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用“HL”定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解答．
（2）先由AB=BC，∠ABC=90°，可求出∠BAC=∠ACB=45°，从而可求出∠BCF的度数，由△ABE≌△CBF可得∠BAE=∠BCF=25°，最后根据∠CAE=∠BAC-∠BAE，即可解答．
35．如图所示，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
【答案】解：设树高x m，则x2+202=(10+20+10-x)2，解得x=15．
答：树高为15 m．
【解析】【分析】设树高xm，由题意可得x2+202=(10+20+10-x)2，求解即可.
36．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D.猜想∠DBC与∠A的数量关系，并说明理由.
【答案】解：∠DBC＝ ∠A，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C
∴∠C＝ （180°－∠A），
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°－∠C＝90°－ （180°－∠A）＝90°－90°＋ ∠A＝ ∠A.
【解析】【分析】先在等腰△ABC中运用等腰三角形的性质得∠C＝ （180°－∠A），再在Rt△BDC中，根据直角三角形两锐角互余求出∠DBC，最后运用等量代换即可解答.
37．如图，一条伸直的橡皮筋的两端被固定在水平桌面上，C是上的一点，，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2到D点．
（1）求的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可得：，
由勾股定理得，.
（2）解：由勾股定理得， ，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【解析】【分析】（1）结合图形并利用勾股定理求出AD的长即可；
（2）先利用勾股定理求出DB的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形即可．
38．如图，，，于．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：过点作，交的延长线于点．
，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
平分；
（2）解：由可得，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】【分析】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE=CF，则AC平分∠DAB；
（2）由（1）可得BF=DE=4，证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），可得AE=AF=10，根据AB=AF-BF即可求解．
39．已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．
【答案】解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，
∴ ，
解得， ，即m，n的值分别是1、﹣2．
【解析】【分析】利用根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求m、n的值．
40．若关于x的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，求实数m的取值范围．
【答案】解：①当1-m2=0时，m=±1．
当m=1时，可得2x-1=0，x= ， 符合题意；
当m=-1时，可得-2x-1=0，x=-，不符合题意
②当1-m2≠0时，(1-m2 )x2 +2mx-1=0，
[(1+m)x-1][(1-m)x+1]=0，
∴
关于x的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数， 0< <1，0< <1，解得m>2．
综上可得，实数m的取值范围是m=1或m>2．
【解析】【分析】分两种情况：①当1-m2=0时②当1-m2≠0时，先求出原方程的实数根，再根据方程所有根都是比1小的正实数，列出不等式即可求解.
41．如图，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长米，且米，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长米．
（1）试判定的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离的长度．
（3）若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．
【答案】（1）解：是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：米，米，，
可得（米，
∴AC=AD，
又∵∠CAD=90°，
故是等腰直角三角形；
（2）解：米，米，，，
∴（米．
答：船体移动距离的长度为5米．
（3）解：船在BD段所用时间为：=5（秒），
船在AD段所用时间为：=7.5（秒），
∴5+7.5=12.5(秒)．
答：把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长，并结合等腰直角三角形的定义即可判断求解；
（2）用勾股定理求出AB的长，结合（1）中AD的长以及线段的和差BD=AB-AD即可求解；
（3）分别求出B到D和D到A所需要的时间，然后把这两个时间相加即可求解．
（1）解：是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：米，米，，
可得（米，
∴AC=AD，
又∵∠CAD=90°，
故是等腰直角三角形；
（2）解：米，米，，
，
∴（米．
答：船体移动距离的长度为5米．
（3）解：船在BD段所用时间为：=5（秒），
船在AD段所用时间为：=7.5（秒），
∴5+7.5=12.5(秒)．
答：把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒．
42． 阅读下面的文字，解答问题.
无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确，于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间。根据上述信息，请回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）10+也是夹在两个整数之间的，可以表示为，则 ；
（3）若，其中是整数，且0【答案】（1）4；
（2）—1
（3）解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
∴x=2，y=-4，
∴x-y=2-+4=6-，
∴x-y 的相反数是 -6.
【解析】【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴的整数部分为：4，小数部分为：-4；
故第1空答案为：4；第2空答案为：-4；
（2）∵10+夹在两个整数之间， ，
∴b=a+1，
∴a-b=-1，
∴ （-1）2013=-1；
故答案为：-1；
【分析】（1）仿照阅读部分的推理，即可得出的整数部分为：4，小数部分为：-4；
（2）直接根据两个相邻的整数的差为1，即可得出a-b=-1，即可求得-1；
（3）根据 是整数，且043．如图，在长方形中，，点是中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．设点的运动时间为秒，点的速度为，的面积为
（1）当时，与的数量关系是__________，此时是什么形状的三角形？请说明理由．
（2）当时，用含的代数式表示__________；当秒时，__________；
（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等？
【答案】（1），是等腰直角三角形，理由见解析；
（2），；
（3）①当时，，，，
，
；
②当时，，，
则为的中点，
∵
∴，
∴，
．
综上所述：当或时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等．
【解析】【解答】（3）①当时，，，
，
，
；
②当时，，，
则为的中点，
∵
∴，
∴，
．
综上所述：当或时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等．
【分析】本题考查中点定义、直角三角形两锐角互余、等腰三角形的定义，全等三角形的性质和判定的应用.
（1）l利用线段的运算可推出，，再根据，利用全等三角形的判定定理可证明利用全等三角形的性质可得：，，利用角的运算可得：，进而可得：，据此可证明是等腰直角三角形．
（2）根据题意先求出，，利用线段的运算可求出，利用割补法和四边形的面积公式和三角形的面积公式可推出：，再将代入S进行计算可求出答案；
（3）以点，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等存在两种情况据此可得：和，根据题意利用全等三角形的性质可求出对应线段的长度，进而可求出时间t，再根据，代入数据可求出v的值，进而可求出答案．
（1）解：是等腰直角三角形，理由如下，
∵，点是中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，点在线段上以的速度由点向点运动，
∴，，
∴，
∴，
当时，；
故答案为：，；
（3）①当时，，，
，
，
；
②当时，，，
则为的中点，
∵
∴，
∴，
．
综上所述：当或时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等．
44．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时
针旋转后，得到△P'AB，求点P与点P'之间的距离及∠APB的度数．
【答案】解：连接PP'
∵ΔPAC绕点A旋转得ΔP'AB
∴ΔPAC≌ΔP'AB
∴∠P'AP=∠BAC=60°，AP=AP'=5，PC=P'B=13
∴ΔAPP'是等边三角形，∴PP'=5
∵PP'2+BP2=BP'2
∴ΔBPP'是直角三角形，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+60°=150°
【解析】【分析】由旋转的性质可知，旋转前后的图形大小和形状是全等的，由全等三角形的对应边相等，对应角相等可求得AP与AP'相等，旋转角度为60度，所以三角形APP'是等边三角形，求得PP'的长度，根据勾股定理的逆定理可以判定三角形BPP'是直角三角形，从而求得角APB的度数。
45．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”．
（1）[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ．
（2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ；
（3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值．
（4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”．
【答案】（1）8，10
（2）6
（3）解：，又∵，，
∴
∴，
∴．
（4）解：设，（a、b、c、d为整数），
∴，
．
又∵a、b、c、d为整数，
∴，均为整数，
∴是“雅美数”．
【解析】【解答】解：（1）8是“雅美数”，理由：因为；
10是“雅美数”，理由：因为．
故答案为：8，10．
（2）∵，，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【分析】
（1）根据“雅美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法得到，，然后比较，即可求得对应系数的值，解答即可；
（3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可解答；
（4）利用完全平方公式把原式变形得到，再根据“雅美数”的定义证明结即可解答．
（1）解：8是“雅美数”，理由：因为；
10是“雅美数”，理由：因为．
故答案为：8，10．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：6．
（3）解：，
又∵，，
∴
∴，
∴．
（4）解：设，（a、b、c、d为整数），
∴，
．
又∵a、b、c、d为整数，
∴，均为整数，
∴是“雅美数”．
46．关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
【答案】解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．
故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．
【解析】【分析】要判断方程是否为一元二次方程，则要看二次项系数是否为0，则根据判别式判断二次项系数=0时的方程是否有实数解，从而得出结论.
47．在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当时，则______（用含有的式子表示）；
（2）如图2，当时，作的角平分线交的延长线于点F，交于点E，连接．
①依题意在图2中补全图形，并求的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）解：①补全图形如下：
，
，
，
，
，
，
．
②解：，证明如下：
证明：延长，取，连接，如图所示：
，
，
，
，，
，为的角平分线，
，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
整理得．
【解析】【解答】（1）解：由旋转的性质可知，，，
，，
，，
为等腰三角形，
，
故答案为：．
【分析】（1）根据旋转性质可得，，由题意可得，，再根据等腰三角形判定定理可得为等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）①根据题意补全图形，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
②延长，取，连接，根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角平分线性质可得，即，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：由旋转的性质可知，，，
，，
，，
为等腰三角形，
，
故答案为：．
（2）解：①补全图形如下：
，
，
，
，
，
，
．
②解：，证明如下：
证明：延长，取，连接，如图所示：
，
，
，
，，
，为的角平分线，
，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
整理得．
48．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上.
（1）AC的长等于 ；
（2）在线段AC上有一点D，满足AB2=AD AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）.
【答案】（1）5
（2）
【解析】【解答】(1)AC= ；
( 2 )如图，连接格点M和N，由图可知：
AB=AM=4，
BC=AN= ，
AC=MN= ，
∴△ABC≌△MAN，
∴∠AMN=∠BAC，
∴∠MAD+∠CAB=∠MAD+∠AMN=90°，
∴MN⊥AC，
易解得△MAN以MN为底时的高为 ，
∵AB2=AD AC，
∴AD=AB2÷AC= ，
综上可知，MN与AC的交点即为所求D点.
【分析】(1)由勾股定理即可求解；(2)寻找格点M和N，构建与△ABC全等的△AMN，易证MN⊥AC，从而得到MN与AC的交点即为所求D点.
49．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以 ， ， 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
【答案】解：解法1：将①②两式相乘，得 ，即： ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，即b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．解法2：结合①式，由②式可得 ，变形，得 ③又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），代入③式，得 ，即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，所以a=16或b=16或c=16．结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°
【解析】【分析】根据题目中的已知条件可变形化简可得b+a=c或c+a=b或c+b=a，即以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形.
50．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，分别求CD和AD的长；
（2）当t为何值时，△CBD是直角三角形？
（3）若△CBD是等腰三角形，请求出t的值．
【答案】（1）解：t＝2时，CD＝2×1＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
AD＝AC-CD＝5-2＝3；
（2）解：①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC BD＝AB BC，
即×5 BD＝×4×3，
解得BD＝，
所以CD＝＝，
t＝÷1＝（秒）；
②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
t＝5÷1＝5（秒），
综上所述，t＝或5秒；
（3）解：①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE＝BE，
CD＝AD＝AC＝×5＝，
t＝÷1＝2.5；
②CD＝BC时，CD＝3，t＝3÷1＝3；
③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF＝，
CD＝2CF＝×2＝，
t＝÷1＝，
综上所述，t＝或3或秒时，△CBD是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）根据根据路程等于速度乘以时间德CD=2，再根据勾股定理即可求出AC的长，最后根据线段间的和差即可求出AD的长；
（2）根据题意可知需分两种情况，①：当∠CDB＝90°时，先根据三角形的面积计算公式建立方程求出BD的长，再有勾股定理算出CD的长，接着由根据时间=路程÷速度，可算出t的值；②当∠CBD＝90°时，点D和点A重合，根据时间=路程÷速度，即可求解；
（3）根据题意可知需分三种情况，①当CD＝BD时，②当CD＝BC时，③当BD＝BC时，分别根据根据时间=路程÷速度，即可求解.
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