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【临考冲刺·50道填空题专练】上海市数学九年级上册期末总复习
1．如图，小华做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 的地方时，蜡烛焰是像的一半．
2．计算： cos45°=
3．计算： = ．
4．魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理.已知四边形ABCD、四边形AHFE、四边形DGME均为正方形.
（1）若AH=13，DE=12，则 ；
（2）若，则 .
5．如图，在平行四边形 中， ， 相交于点 ， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．
（1） ；
（2）若 的面积为 ，则平行四边形 的面积为 ．
6．已知线段，，是线段AB的两个黄金分割点，则= ．
7．如图，梯形中，，，若，则 ．
8．若一个等腰三角形的两边长分别为 和 ，则底角的正切值为 .
9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC= ．
10．已知矩形纸片 的边 ， （如图），将它折叠后，点 落在边 的中点处，那么折痕的长为 ．
11．如图，在 中， ，D是 上一点，且 ，连接 ．若 ，则 的长为 ．
12．抛物线y＝(x﹣1)(x﹣3)的对称轴是直线x＝ .
13．一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了 米．
14．两个相似三角形周长的差是4，对应中线的比是4：5，那么较大三角形的周长是 ．
15．为了美观，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．若一本书的长为24cm，则它的宽为 cm。
16．定义一种运算：
，
．
例如： 当 时， ， 则 的值为 .
17．在△ABC中，AC=2 ，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所成锐角的正切值为 ，并且CD⊥AC，则BC的长为 ．
18．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点P是第二象限内一点，连接 .若 与x轴的负半轴之间的夹角 ，则点P到x轴的距离约为 .（用科学计算器计算，结果精确到0.01）
19．（1）若sinα=0.5138，则锐角α=
（2）若2cosβ=0.7568，则锐角β=
（3）若tanA=37.50，则∠A= （结果精确到1〞）
20．已知 ，则a：b= .
21．如图，菱形 中， ， ，E为 上一点，且 ，连接 、 交于点F，过点F作 于点G，则 的长为 .
22．抛物线y＝2（x-1）2的对称轴是 .
23．如图，支点O是跷跷板的中点，若支柱m，当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为 m．
24．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为 ．
25．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，点D是斜边AC的中点，将△DBC沿直线BD对折，C点落在E处，连接AE，则AE的长度为 ．
26．如图 31-1， 在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ， ， 现以原点 为位似中心， 在第一象限内作与 的位似比为 2： 1 的位似图形 ， 则顶点 的坐标是 .
27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC上的点A′重合时，那么∠AA′B的余弦值等于 ．
28．若函数y=（m﹣3） 是二次函数，则m= ．
29．如图，中，，，，，则的长为 ．
30．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 海里（精确到1海里，参考数据 ≈1.414， ≈1.732）．
31．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
32．小蓝周末去广场放风筝，如图，当风筝飞到点C处时的线长BC约为25m，此时小蓝正好站在点A处，并测得∠CBD=61°，牵引底端B距离地面1.5m，则此时风筝距离地面的高度CE约为 m（用科学计算器计算，结果精确到0.1m）．
33．如图，在中，，以点为圆心、为半径画劣弧交射线于点，为的中点，联结、，分别交、于点、，如果点是线段的黄金分割点，则 ．
34．如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为 ．（杆的宽度忽略不计）
35．如图，在 ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝ AD，连接CE交BD于点F，则 的值是 ．
36．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD DH中，正确的是 ．
37． 如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝2，EF＝3，AB＝3，则AC＝ ．
38．在△ABC中， ，垂足为D. 若且AD=2.5cm，DB=0.9cm， ．
39． sin260°+cos260°﹣tan45°= ．
40．如图，为了绿化荒山，在坡角∠BAC为31°的山坡上修建扬水站，扬水站中出水口B的高度BC为50m，现在打算从山脚下的机井房A沿山坡铺设水管，则铺设水管AB的长度约为 m（结果精确到1m）（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60）
41．如图，四边形 ABCD 为矩形，点 E 为 BC 上的一点，满足 AB × CF = BE × CE ，连接 DE ，延长 EF交 AD 于 M 点，若 AE2+ FD2 = AF2， ∠DEF = 15°，则∠M 的度数为 .
42．如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1BC，D2E2BC，D2E3BC；…，D2021E2021BC，则＝ .
43．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为
.
44．如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点，则 的值为 .
45．如图，在四边形ABCD中，，，BD平分且与CD垂直，E为AB的中点．当与的差最大时，则EF的长为 ．
46．如图，在矩形 中， 分别是 的中点， 分别在 ， 上， 且 ，连结 ，则 与 重叠部分六边形 的周长为
47．如图，点E、F为平行四边形ABCD的边BC上两点，且，连接DE、AF，DE与AF相交于点P，连接PB、PC，若PAB与PCD的面积之和为30，则PBE与PCF的面积之和为 .
48．如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，On和点E4，E5，…，En．则OnEn= AC．（用含n的代数式表示）
49．如图，在中，，，延长到D，使得，点E在线段上运动（不与B，C重合）过E作平行四边形，M为的中点，则的范围是 ．
50．如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O，则AB= .
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【临考冲刺·50道填空题专练】上海市数学九年级上册期末总复习
1．如图，小华做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 的地方时，蜡烛焰是像的一半．
【答案】7
【解析】【解答】解：设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，由题意得：
解得，
经检验，是原方程的解，
则小孔纸板应放在离蜡烛的地方时，蜡烛焰是像的一半．
故答案为：7．
【分析】设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，根据蜡烛焰是像的一半建立方程，解方程即可求出答案.
2．计算： cos45°=
【答案】1
【解析】【解答】解： cos45°=
故答案为：1.
【分析】将cos45°= 代入进行计算即可.
3．计算： = ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式= = =6 ．
故答案为：6
【分析】将特殊锐角三角函数值分解代入，再根据实数的混合运算顺序及计算方法即可算出答案。
4．魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理.已知四边形ABCD、四边形AHFE、四边形DGME均为正方形.
（1）若AH=13，DE=12，则 ；
（2）若，则 .
【答案】（1）5
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵ 四边形ABCD、四边形AHFE、四边形DGME均为正方形， AH=13，DE=12，
∴AB=AD，AH=AE=13，∠ADE=90°，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可知：，
∴AD=AB=5；
故答案为：5；
（2）设HQ⊥AN于点Q，
∴∠HQA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DE，AB=DC，∠ADC=90°，
∴△ABP∽△ECP，
∵S△ABP∶S△ECP=1∶9，
∴，
∴，
设AB=1，则CE=3，DC=1，DE=DC+CE=4，
∵四边形AHFE正方形 ，
∴∠HAE=90°，AE=AH，
∵∠HAQ+∠EAQ=90°=∠HAQ+∠AHQ，
∴∠AHQ=∠EAQ，
在△ADE与△HQA中，
∵∠AHQ=∠EAQ，∠ADE=∠AQH=90°，AH=AE，
∴△ADE≌△HQA（AAS），
∴AQ=DE=4，HQ=AD=1，
∴DQ=AQ-AD=3，
设DN=x，则NQ=3-x，
∵∠EDN=∠HQN=90°，
∴DE∥HQ，
∴△DEN∽△QHN，
∴，即，
解得x=，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，AH=AE=13，∠ADE=90°，进而在Rt△ADE中，由勾股定理算出AD即可得出答案；
（2）设HQ⊥AN于点Q，则∠HQA=90°，由正方形性质得AB∥DE，AB=DC，∠ADC=90°，由平行于三角形一边得直线截其它两边得延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ABP∽△ECP，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出，设AB=1，则CE=3，DC=1，DE=DC+CE=4；由正方形的性质得∠HAE=90°，AE=AH，由同角的余角相等得∠AHQ=∠EAQ，由AAS判断出△ADE≌△HQA，得AQ=DE=4，HQ=AD=1，则DQ=AQ-AD=3，设DN=x，则NQ=3-x；由内错角相等，两直线平行，得DE∥HQ，由平行于三角形一边得直线截其它两边得延长线，所截的三角形与原三角形相似得△DEN∽△QHN，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
5．如图，在平行四边形 中， ， 相交于点 ， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．
（1） ；
（2）若 的面积为 ，则平行四边形 的面积为 ．
【答案】（1）2
（2）96
【解析】【解答】解：（1）∵在 ABCD中，AO= AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE= CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ ，
∵AD=BC，
∴AF= AD，
∴ 2；
（2）由（1）得△AFE∽△CBE，且 ， 的面积为 ，
∴ ，
∵E为AO的中点，AO=CO，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2，96．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AE= CE，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得出AF= AD，即可得出的值；
（2）先得出 ，再利用E为AO的中点，AO=CO，得出 ，即可得出答案。
6．已知线段，，是线段AB的两个黄金分割点，则= ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，由于，是线段的两个黄金分割点，
根据黄金分割的定义，有，，
则，
，
解得，，
，
，
解得，，
．
故答案为：．
【分析】根据题意作图，借助黄金分割的定义找到比例关系求解即可．
7．如图，梯形中，，，若，则 ．
【答案】1：4
【解析】【解答】解：，
．
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】先证明，可得，求出，即可得到。
8．若一个等腰三角形的两边长分别为 和 ，则底角的正切值为 .
【答案】
【解析】【解答】如图，△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC于D，
当腰长为2cm时，三边长为2cm，2cm，5cm，
∵2+2=4<5，
∴不能构成三角形，
当腰长为5cm时，三边长为5cm，5cm，2cm，能构成三角形，
∴AB=AC=5，BC=2，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD= BC=1，
∴AD= = ，
∴tan∠B= = = ，即底角的正切值为 ，
故答案为：
【分析】如图，AB=AC，过A作AD⊥BC于D，先根据三角形的三边关系确定腰长和底边长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得BD的长，利用勾股定理可求出AD的长，根据正切的定义求出∠B的正切值即可.
9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC= ．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，
设DE=2x，
依题意，得DE为△ABC的中位线，∴BC=4x，
又∵四边形BCDE为等腰梯形，
∴BF= （BC﹣DE）=x，则FC=3x，
∵BD⊥CE，
∴△BCG为等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=CF=3x，
在Rt△BEF中，EF=3x，BF=x，
∴tan∠ABC= = =3．
故本题答案为：3．
【分析】连接DE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，设DE=2x，DE为△ABC的中位线，故BC=4x，四边形BCDE为等腰梯形，根据等腰梯形的性质可知，BF= （BC﹣DE）=x，则FC=3x，又△BCG为等腰直角三角形，故△CEF为等腰直角三角形，则EF=CF=3x，解Rt△BEF可求解．
10．已知矩形纸片 的边 ， （如图），将它折叠后，点 落在边 的中点处，那么折痕的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作出折叠后的图形，作 ，垂足为点M，连接PD．
∵矩形纸片 ，将它折叠后，点D落在边 的中点处，与点P重合
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵四边形 是矩形， ， ，点D落在边 的中点P处，
∴ ， ， ，
在 中， ，
∴ 则 ．
故答案： ．
【分析】作出折叠后的图形，作 ，垂足为点M，连接PD.可证得出 ，根据矩形及折叠的性质得出 ， ， ，在 中，利用勾股定理求出PD的长，再代入比例式即可求出EF的长.
11．如图，在 中， ，D是 上一点，且 ，连接 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵ ， ，
∴AB＝ ，
又∵ ，
∴BD＝AB－AD＝5－ ＝ ，
∵DE//BC，
∴∠BDE=∠CBA，
在△ABC和△DEB，
，
∴△ABC △EDB，
∴ ，即
∴BE＝2．
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求出AB=5，再求出△ABC △EDB，最后求解即可。
12．抛物线y＝(x﹣1)(x﹣3)的对称轴是直线x＝ .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝(x﹣1)(x﹣3)＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
故答案为：2.
【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴；
13．一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了 米．
【答案】50
【解析】【解答】解：设此人升高了x米，
∵坡比为1：2.4，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x2+（2.4x）2=1302，
解得，x=50(负值舍去)，
即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50．
【分析】根据题意先求出x2+（2.4x）2=1302，再计算求解即可。
14．两个相似三角形周长的差是4，对应中线的比是4：5，那么较大三角形的周长是 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：令较大的三角形的周长为x．
小三角形的周长为x﹣4，
由两个相似三角形对应中线的比为4：5得，
4：5＝（x﹣4）：x，
解之得x＝20．
故答案为20．
【分析】利用相似三角形的对应周长比等于相似比，对应中线比等于相似比即可得出．
15．为了美观，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．若一本书的长为24cm，则它的宽为 cm。
【答案】14.8
【解析】【解答】解：∵一本书的宽与长之比设计成黄金比．若一本书的长为24cm，
∴这本书的宽为≈14.8.
故答案为：14.8
【分析】利用一本书的宽与长之比设计成黄金比，可知宽：长=，代入计算可求解.
16．定义一种运算：
，
．
例如： 当 时， ， 则 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：====．
故答案为：
【分析】根据定义新运算结合题目给出的例子进行展开，进而根据特殊角的三角函数值即可求解.
17．在△ABC中，AC=2 ，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所成锐角的正切值为 ，并且CD⊥AC，则BC的长为 ．
【答案】 或5
【解析】【解答】解：如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，
∵AC⊥CD，
∴AC∥BE，
∴ = = ，
∵ ，
∴BE= ，
∵tan ，
∴EC=2BE= ，
∴BC= = = ．
如图2中，当点D在线段AB上时，作BE⊥CD于E，
∵AC∥BE，AC=2 ，
∴ = = ，
∴BE= ，
∵tan∠BCE= ，
∴EC=2BE=2 ，
∴BC= =5．
故答案为 或5．
【分析】如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，先求出BE，EC，在Rt△BCE中利用勾股定理即可解决，如图2中，当点D在线段AB上时，作BE⊥CD于E，方法类似第一种情形．
18．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点P是第二象限内一点，连接 .若 与x轴的负半轴之间的夹角 ，则点P到x轴的距离约为 .（用科学计算器计算，结果精确到0.01）
【答案】10.34
【解析】【解答】解：过点P作 轴于点A，
如图所示，∵ ，
∴ ，
故答案为：10.34.
【分析】过点P作PA⊥x 轴于点A，根据三角函数的概念可得sinα=，表示出PA，然后利用计算器求解即可.
19．（1）若sinα=0.5138，则锐角α=
（2）若2cosβ=0.7568，则锐角β=
（3）若tanA=37.50，则∠A= （结果精确到1〞）
【答案】30.92° ；67.77°；88°28′12″
【解析】【解答】解：（1）若sinα=0.5138，则锐角α=30.92°；
（2）若2cosβ=0.7568，则锐角β=67.77°；
（3）若tanA=37.50，则∠A=88.47°=88°28′12″．
故答案为：30.92°；67.77°；88°28′12″．
【分析】（1）先按键函数值，再按功能转换键，然后按正弦键即可得解；
（2）先按键函数值，除以2，再按功能转换键，然后按余弦键即可得解；
（3）先按键函数值，再按功能转换键，然后按正切键即可得解．
20．已知 ，则a：b= .
【答案】
【解析】【解答】由 去分母得 ，再去括号移项整理即可得到结果。
∵ ，
∴ ，
，
，
【分析】利用比例的性质：两内项之积等于两外项之积，再将其化简，就可求出a与b的比值。
21．如图，菱形 中， ， ，E为 上一点，且 ，连接 、 交于点F，过点F作 于点G，则 的长为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，过点A作 ，
∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ，
∴
，
∴
∴
∴
故答案为：4.
【分析】过点A作AH⊥BC，根据菱形的性质可得AE∥BC，根据菱形的面积可得AH的值，易证△AEF∽△CBF，△AHC∽△FGC，然后根据相似三角形的性质求解即可.
22．抛物线y＝2（x-1）2的对称轴是 .
【答案】x＝1
【解析】【解答】解：抛物线y＝2（x-1）2的对称轴是直线x＝1.
故答案为：x＝1.
【分析】抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中对称轴为直线x=h.
23．如图，支点O是跷跷板的中点，若支柱m，当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为 m．
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作，垂足为D，则，
∵ O为中点，
∴，又m
∴m
故答案为：
【分析】本题考查的时是相似三角形的判定与性质，关键是通过作辅助线构造相似三角形，过点A作，得到，再利用相似三角形的对应边成比例关系，结合中点条件求出线段长度.
24．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，
∴点A，F，C，D四点共圆，
∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∵AC＝FC，
∴∠FAC＝∠AFC，
∵DF⊥AB，
∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，
∴∠ABF＝∠CDF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝6，
∵DF﹣AD＝2，
∴DF＝AD+2，
∵DF2＝AF2+AD2，
∴（2+AD）2＝62+AD2，
解得：AD＝8，
∴DF＝10，
∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，
∴△ADE∽△DAF，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】由∠CAD=∠CFD可知点A、F、C、D四点共圆，根据圆内接四边形性质可知∠FAC=∠FDC，再由∠BCD=90°，可知∠FAD=90°；根据已知DF⊥AB与同角的余角相等，可得∠ABF=∠FDC；由已知AC=CF，可知∠CAF=∠CFA，可得∠AFB=∠ABF，根据等角对等边得到AB=AF；根据勾股定理得到DF2=AD2+AF2，再由已知中DF-AD=2，解出AD的长，即可知DF的长；最后根据△ADE∽△DAF与相似三角形的对应边成比例求出DE的长。
25．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，点D是斜边AC的中点，将△DBC沿直线BD对折，C点落在E处，连接AE，则AE的长度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接CE，延长BD交CE于F，过点E作EG⊥AC于G，
由折叠可知，点C与点E关于直线BD对称，
∴CD=DE，BE=BC=4，EF=CF，DF⊥CE，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=，
∵点D是斜边AC的中点，
∴BD=CD=AC=，
∴DE=CD=，
在Rt△EFD中，由勾股定理，得
EF=，
在Rt△EFB中，由勾股定理，得
EF==，
∴5-DF2=42-（+DF）2，
解得：DF=，
∴CF=EF=，
∴CE=，
∵∠CGE=∠CFD=90°，∠ECG=∠DCF，
∴△ECG∽△DCF，
∴，即，
∴EG=，CG=，
∴AG=AC-CG=，
在Rt△AEG中，由勾股定理，得
AE==．
故答案为：．
【分析】连接CE，延长BD交CE于F，过点E作EG⊥AC于G，由折叠可知，点C与点E关于直线BD对称，得出CD=DE，BE=BC=4，EF=CF，DF⊥CE，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC的值，在Rt△EFD中，由勾股定理，得出EF的值，代入计算得出CE的值，证出△ECG∽△DCF，推出AG=AC-CG，在Rt△AEG中，由勾股定理得出AE的值即可。
26．如图 31-1， 在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ， ， 现以原点 为位似中心， 在第一象限内作与 的位似比为 2： 1 的位似图形 ， 则顶点 的坐标是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 的位似比为 2： 1 的位似图形 且 原点 为位似中心， 点C（3，2），
∴点C'（3×2，2×2）即（6，4）.
故答案为：（6，4）.
【分析】利用已知条件： 的位似比为 2： 1 的位似图形 且 原点 为位似中心，由点C的坐标可得到点C'的坐标.
27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC上的点A′重合时，那么∠AA′B的余弦值等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝DC＝ BC＝3，
∴ ，
由旋转的性质可知： ，
∴ ，
根据勾股定理，得
，
∴ 的余弦值等于 ，
故答案为： ．
【分析】如图，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝DC＝ BC＝3，利用勾股定理求出AD2，再根据旋转的性质可得，从而求出，利用勾股定理求出AA'，由cos=即可求出结论.
28．若函数y=（m﹣3） 是二次函数，则m= ．
【答案】﹣5
【解析】【解答】解：∵y=（m﹣3） 是二次函数，
∴ ，
解得m=﹣5．
故答案为﹣5．
【分析】根据二次函数的定义解答．
29．如图，中，，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得（舍去）．
故答案为：．
【分析】根据题意可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，再代值计算即可求出答案.
30．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 海里（精确到1海里，参考数据 ≈1.414， ≈1.732）．
【答案】38
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝AD，
在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，
∴tan30°＝ ，
即 ＝ ，
解得CD≈38（海里）．
答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．
故答案为38．
【分析】根据题意可得，AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，如图，作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出CD的长，即为轮船在航行中离小岛最近的距离。
31．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
【答案】（9，0）
【解析】【解答】解：连接BB1，A1A，易得交点为（9，0）．
故答案为：（9，0）．
【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．
32．小蓝周末去广场放风筝，如图，当风筝飞到点C处时的线长BC约为25m，此时小蓝正好站在点A处，并测得∠CBD=61°，牵引底端B距离地面1.5m，则此时风筝距离地面的高度CE约为 m（用科学计算器计算，结果精确到0.1m）．
【答案】23.3
【解析】【解答】解：由题意可得，
BC=25m，BA=DE=1.5m，∠CBD=61°，
∵sin∠CBD= ，
∴CD=BC sin∠CBD=25×sin61°≈25×0.87≈21.8，
∴CE=CD+DE=21.8+1.5=23.3m，
故答案为：23.3．
【分析】根据解直角三角形中三角函数的定义，由sin∠CBD的定义，求出CD=BC sin∠CBD的值，得到CE=CD+DE的值.
33．如图，在中，，以点为圆心、为半径画劣弧交射线于点，为的中点，联结、，分别交、于点、，如果点是线段的黄金分割点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：BD=BA，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB> BC，
即BD> BC，
∵点B是线段CD的黄金分割点，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意可得：BD= BA，然后利用黄金分割的定义可得，于是在中利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.
34．如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为 ．（杆的宽度忽略不计）
【答案】8m
【解析】【解答】解：如图，
由题意知∠BAO=∠C=90°，
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ ，即 = ，
解得：CD=8，
故答案为：8m．
【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得 ，即 = ，解之可得．
35．如图，在 ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝ AD，连接CE交BD于点F，则 的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．AD＝BC，
设AD＝3a，则AE＝a，
∵DE∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴ ＝
故答案为 ．
【分析】由△EDF∽△CBF，可得 ，由此即可解决问题．
36．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD DH中，正确的是 ．
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
在HD上截取HK=AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK=AH，∠AKH=60°，
∴∠AKD=∠AHC=120°，
在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH=DK，
∴DH=HK+DK=AH+CH；
故③正确；
∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH=OD：AD，
∴AD2=OD DH．
故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD DH．
37． 如图，已知l1∥l2∥l3，DE＝2，EF＝3，AB＝3，则AC＝ ．
【答案】7.5
【解析】【解答】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝2，EF＝3，AB＝3，
∴，
解得：BC=4.5，
∴AC=AB+BC=7.5，
故答案为：7.5.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用线段的和差求出AC的长即可.
38．在△ABC中， ，垂足为D. 若且AD=2.5cm，DB=0.9cm， ．
【答案】
【解析】【解答】∵在Rt△ACD与Rt△CBD中，∠ADC=CDB= ，∠ACD=∠B，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
即 =AD×BD=2.5×0.9，CD=1.5，
故答案为： ；
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，故只需证Rt△ACD∽Rt△CBD，并求出其相似比即可．
39． sin260°+cos260°﹣tan45°= ．
【答案】0
【解析】【解答】解：原式=（ ）2+（ ）2﹣1
=0．
故答案为：0．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
40．如图，为了绿化荒山，在坡角∠BAC为31°的山坡上修建扬水站，扬水站中出水口B的高度BC为50m，现在打算从山脚下的机井房A沿山坡铺设水管，则铺设水管AB的长度约为 m（结果精确到1m）（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60）
【答案】96
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC＝31°，BC＝50m，
∴sin31°＝ ，
∴AB＝ ≈96（m），
故答案为96
【分析】在△ABC中，∵∠BAC＝31°，根据sin31°＝ 计算即可
41．如图，四边形 ABCD 为矩形，点 E 为 BC 上的一点，满足 AB × CF = BE × CE ，连接 DE ，延长 EF交 AD 于 M 点，若 AE2+ FD2 = AF2， ∠DEF = 15°，则∠M 的度数为 .
【答案】60°
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 为矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD∥BC
∴∠EFC＋∠FEC=90°
∵AB × CF = BE × CE ，
∴
∴△ABE∽△ECF
∴∠AEB=∠EFC
∴∠AEB＋∠FEC=90°
∴∠AEF=180°－（∠AEB＋∠FEC）=90°
在Rt△AEF中，AE2+ EF2 = AF2，
∵AE2+ FD2= AF2，
∴EF=FD
∴∠DEF=∠EDF=15°
∴∠EFC=∠DEF＋∠EDF=30°
∴∠FEC=90°－∠EFC=60°
∵AD∥BC
∴∠M=∠FEC=60°
故答案为：60°.
【分析】根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AD∥BC，然后根据相似三角形的判定定理即可证出△ABE∽△ECF，从而得出∠AEB=∠EFC，然后求出∠AEF，结合勾股定理和已知条件即可证出EF=FD，根据等边对等角可得∠DEF=∠EDF=15°，然后根据三角形外角的性质、平行线的性质即可求出结论.
42．如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1BC，D2E2BC，D2E3BC；…，D2021E2021BC，则＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：∵D1E1∥BC，
∴△AD1E1∽△ABC，
∴，
∴D1E1＝BC；
∵D1D2＝D1B，
∴AD2＝AB，
同理可得：D2E2＝BC＝（1﹣）BC＝[1﹣（）2] BC，
D3E3＝BC＝[1﹣（）3] BC，
∴DnEn＝[1﹣（）n] BC，
∴，
故答案为：1﹣（）2021.
【分析】由D1E1∥BC可证△AD1E1∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例可得D1E1＝BC，由
D1D2＝D1B，可得AD2＝AB，同理求出D2E2，D3E3，从而得出规律DnEn＝[1﹣（）n] BC，继而求出n=2021时的值即可.
43．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为
.
【答案】 或
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1，∠D'AB'＝90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，
∴∠H＝∠AGB'＝∠BGB'＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，
∵tan∠ABD＝
，即
，
设B'G＝3x，BG＝4x，
∴BB'＝a＝5x，
由平移得：DD'＝BB'＝5x，
∴D'H＝3+3x，AH＝BG＝4x，
∴AG＝AB＝BG＝4﹣4x，
∵∠D'AB'＝∠HAD'+∠BAB'＝90°，
∠AD'H+∠HAD'＝90°，
∴∠AD'H＝∠GAB'，
∵∠H＝∠AGB'＝90°，
∴△D'HA∽△AGB'，
∴ ，即
，
∴x＝
，
∴a＝5×
＝
；
②如图2，∠AB'D'＝90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，
∴∠AMB'＝90°，
由平移得：B'C'＝BC＝3，
同理设B'M＝3m，BM＝4m，则BB'＝a＝5m，
∴AM＝4﹣4m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'＝90°，∠MAB'+∠AB'M＝90°，
∴∠D'B'C'＝∠MAB'，
∵∠C'＝∠AMB'＝90°，
∴△D'C'B'∽△B'MA，
∴ ，即
，
∴m＝
，
∴a＝5m＝5×
＝
；
综上，a的值是
或
.
故答案为：
或
.
【分析】①当∠D'AB'＝90°时，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，由矩形的性质可得∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，根据∠ABD的正切函数可设B'G＝3x，BG＝4x，则BB'＝a＝5x，由平移得：DD'＝BB'＝5x，则D'H＝3+3x，AH＝BG＝4x，AG＝AB＝BG＝4-4x，证明△D'HA∽△AGB'，然后根据相似三角形的性质求出x，据此可得a的值；②当∠AB'D'＝90°时，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，由平移得：B'C'＝BC＝3，同理设B'M＝3m，BM＝4m，则BB'＝a＝5m，则AM＝4-4m，证明△D'C'B'∽△B'MA，由相似三角形的性质求出m，进而可得a的值.
44．如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点，则 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h.
∵ ，
∴BD= CD.
如下图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM.连接DM.
在△ABD与△AMD中，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=5m.
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K.
∵MN∥AD，
∴ ，
∴CK= CD，
∴KD= CD.
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM.
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（对顶角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD.
∵点H为AC中点，AC=4CM，
∴ .
∵MN∥AD，
∴ ，即 ，
∴ .
故答案为： .
【分析】由角平分线的性质可得：点D到AB、AC的距离相等，设为h，根据三角形的面积公式可得BD=CD，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM，连接DM，证△ABD≌△AMD，得到MD=BD=5m，过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K，根据MN∥AD，结合平行线分线段成比例的性质可得KD=CD，推出△DMK为等腰三角形，得到∠DMK=∠DKM，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2，由平行线的性质可得∠3=∠4=∠1=∠2，推出四边形DMNG为平行四边形，得到MN=DG=2FD，然后根据MN∥AD以及平行线分线段成比例的性质进行求解.
45．如图，在四边形ABCD中，，，BD平分且与CD垂直，E为AB的中点．当与的差最大时，则EF的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
如图，过点A作AG⊥BD于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴
∵AD//BC，
∴∠1=∠CBD，
∴∠ABD=∠1，
∴AB=AD=2，
∵AG⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AGD=∠CDB=90°，
∴，
∴，
∴CB=2AD=4，
∵，
分别过点E、A、D作EN⊥BC，AP⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为N、P、H，
∴EN//AP//DH，∠APH=∠DHP=90°，
∵AD//BC，
∴四边形ADHP是平行四边形，
∵∠APH=90°，
∴平行四边形ADHP是矩形，
∴AP=DH，
∵EN//AP，
∴，
∴，
∵E为AB中点，
∴，
∵，
∴
=
，
∴当面积最大时，与的差最大，
此时，
当BE⊥BC，四边形ABHD是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABHD是正方形，
∴CH=BC-BH=2，
∵BE⊥BC，DH⊥BC，
∴BE//DH，
∴
∴，
∴
∴，
∵BE//DH，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BD于点G，分别过点E、A、D作EN⊥BC，AP⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为N、P、H，证明当面积最大时，与的差最大，进而求出此时EF的长，即可得到答案.
46．如图，在矩形 中， 分别是 的中点， 分别在 ， 上， 且 ，连结 ，则 与 重叠部分六边形 的周长为
【答案】9.8
【解析】【解答】解：连接IK，LN，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC
∴点E，F是AD和BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF=3，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF，
∵∠BEG=∠DFH=90°，
∴∠EMF=∠EJF=90°，
∴四边形EJMF是矩形，
在Rt△ABE中，
∵∠DEG+∠ABE=90°，∠DEG+∠DGE=90°
∴∠ABE=∠DGE，∠A=∠EDG=90°
∴△DEG∽△ABE，
∴即
解之：，
∴
∴△BEG∽△BAE
∴∠ABE=∠EBG
同理可得BH=DG=，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴BG∥DH，
∴∠IBK=∠BIH=∠ABI，
∵HK⊥BI
∴点J是HK的中点，则BI垂直平分HK，
同理可证HK垂直平分BI
∴四边形BHIK是菱形，四边形IKLN是平行四边形
∴BH=BK=IK=HI=，IN=LK
同理可得，LN=DG=DN=LG=；
易证△JIH∽△ABE，
∴即
解之：
同理可得：
在Rt△ADH中，AH=AB-BH=
，
∴IM=LK=DH-HI-DN=；
∴六边形LKJINM的周长为：LK+KJ+IJ+LM+NI+MN
=.
故答案为：9.8.
【分析】连接IK，LN，利用矩形的性质可得到AD=BC，AD∥BC，利用点E，F是AD和BC的中点，可证得AE=DE=BF=CF，就可得到四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得BE=DF，BE∥DF，再证明四边形EJMF是矩形，利用锐角三角函数的定义可得到AE与AB的比值，利用勾股定理求出DF，BE的长，易证△DEG∽△ABE，利用相似三角形的性质可求出DG，EG的长，可得到BE与AB的比值，同理可证△BEG∽△BAE，可得到∠ABE=∠EBG，易求出BH，DG的长，同理可证四边形BHDG是平行四边形，四边形BHIK是菱形，四边形IKLN是平行四边形，利用相似三角形的判定和性质及勾股定理，分别求出IJ，MN，LN，LK，JK及ML的长，然后求出这六条线段之和。
47．如图，点E、F为平行四边形ABCD的边BC上两点，且，连接DE、AF，DE与AF相交于点P，连接PB、PC，若PAB与PCD的面积之和为30，则PBE与PCF的面积之和为 .
【答案】5
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥BC于点M，过点P作PN⊥AD于点N，
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
∵
∴
设PM＝，PN＝，直线AD与BC之间的距离为h，则h＝＋，
设AD＝BC＝a，
则，，
＋＝a（）＝ah＝
同样地，
∵PAB与PCD的面积之和为30
∴＋30，
∵AD∥BC
∴∠ADP＝∠FEP，∠DAP＝∠EFP
∴△PAD∽△PFE
∴
设m，则4m，
∵，
∴
∴PBE与PCF的面积之和m
∴＋＋＝6m＝30
∴m＝5
即PBE与PCF的面积之和为5.
故答案为：5.
【分析】过点P作PM⊥BC于点M，过点P作PN⊥AD于点N，得出M、N、P三点共线，根据平行四边形的性质求出，则得＋30，再证明△PAD∽△PFE，根据相似三角形的性质得出，设m，则4m，根据＋＋＝6m＝30求出m，从而解决问题.
48．如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，On和点E4，E5，…，En．则OnEn= AC．（用含n的代数式表示）
【答案】
【解析】【解答】解：∵O1E1∥AC，
∴△BO1E1∽△BAC，
∴，
∵CO1是△ABC的中线，
∴=，
∵O1E1∥AC，
∴△O2O1E1∽△ACO2，
∴，
由O2E2∥AC，
可得：，
…
可得：OnEn=AC．
故答案为：．
【分析】由CO1是△ABC的中线，O1E1∥AC，可证得=，，以此类推得到答案．
49．如图，在中，，，延长到D，使得，点E在线段上运动（不与B，C重合）过E作平行四边形，M为的中点，则的范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：取AD的中点N，连接MN，
∵M为AF的中点，
∴MN为△AFD的中位线，
∴，，
∵平行四边形EFDC，
∴，
∴，
∴点M在直线MN上移动，
∴当EM⊥MN时，EM的值最小，
过点A作AG⊥BC，过点C作CH⊥DF，过点N作NK⊥DF，交BC于点P，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴当时，；
当点E与B点重合时：设AG与MN交于点I，过M作MQ⊥BC，如图，
则：四边形MIGQ的矩形，，
∴，（平行线间的距离处处相等）；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点E与点C重合时，M与点N重合，此时，
∴；
故答案为：．
【分析】取AD的中点N，连接MN，根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可推出MN∥DF∥BC，得到点M在直线MN上移动，当EM⊥MN时，EM的值最小，过点A作AG⊥BC，过点C作CH⊥DF，过点N作NK⊥DF，交BC于点P，根据等腰三角形的三线合一可得BG=CG=8，用勾股定理算出AG，由等角的同名三角函数值相等可得，据此可求出CH、NK、NP，从而得到结论当EM⊥MN时，EM=NP=1.5；当点E与B点重合时：设AG与MN交于点I，过M作MQ⊥BC，如图，由矩形的性质、平行四边形性质、三角形中位线定理、平行线间的距离处处相等等可求出AI=4.5，由勾股定理算出NI，EM；当点E与点C重合时，M与点N重合，此时EM=AC-CN=2.5，综上可得答案.
50．如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O，则AB= .
【答案】
【解析】【解答】解：连接DE，
∵AD、BE为三角形中线，
∴DE∥AB，DE= AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴ = = = ，
设OD=x，OE=y，
∴OA=2x，OB=2y，
在Rt△BOD中，
x2+4y 2=4 ①，
在Rt△AOE中，
4x2+y2= ②，
∴①+ ②得：
5x2+5y2= ，
∴x2+y2= ，
在Rt△AOB中，
∴AB2=4x2+4y2=4（x2+y 2）=4× ，
即AB= .
故答案为： .
【分析】连接DE，根据三角形中位线性质得DE∥AB，DE= AB，从而得△DOE∽△AOB，根据相似三角形的性质可得 = = = ；设OD=x，OE=y，从而可知OA=2x，OB=2y，根据勾股定理可得x2+4y2=4，4x2+y2= ，两式相加可得x2+y2= ，在Rt△AOB中，由股股定理可得AB= .
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