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【临考冲刺·50道解答题专练】上海市数学九年级上册期末总复习
1．如图1，2中四边形，点E，F，G，H分别为各边中点，顺次连接得到四边形EFGH．
（1）在图1中，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）在图2中，P为四边形内一点，且满足，．判断四边形的形状，并说明理由．
2．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为？（结果精确到，参考数据：，，）
3．金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度.如图，小组成员选择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为 ，测得楼AB的底部B处的俯角为 .已知D处距地面高度为12 m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数.参考数据： ， ， ）
4．如图，在菱形中，，，为正三角形，点E，F分别在菱形的边．上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合，与交于点G．
（1）证明：当点E，F在边上滑动时，总有．
（2）当时，求的长．
5．如图，某小学门口有一直线马路，交警在门口设有一条宽度为4米的斑马线，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15°和∠FAD＝30°，司机距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E、D、C、B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据： ， ， ）
6．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB=3m，AD=1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB'C'D，如图3所示，此时，AB'与水平方向的夹角为60°·
（1）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
（2）图4中，—辆宽1.7m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.
（参考数据：≈1.732，π≈3.14，所有结果精确致0.1）
7． 明明在家用新买的台灯做作业时，将台灯垂直放置于桌面，发现台灯可以抽象成如图所示的几何图形，于是使用工具量出了如下数据：到桌面的距离为，，请你求出台灯上的点到桌面的距离结果精确到，参考数据：，，，，，
8．甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG=2.5m.已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长.（结果精确到0.1m）
9．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测，某高架路有一段限速每小时60km的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A 的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220m到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点的俯角是 45（注：四边形ABDC是梯形）。
（参考数据：
（1）求限速道路AB 的长.（结果精确到1m）
（2）如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1m in 20s，请判断他是否超速，并说明理由.
10．如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？
11．如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．
(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75)
12．在12×12的网格中，每个小正方形的边长均为1，建立如图所示的平面直角坐标系，按照要求作图并解答相关问题．
（1）将△ABC围绕这原点O按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，作出与△A1B1C1位似且位似比为1：2的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
13．如图，艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处这时，处距离灯塔有多远？
结果保留整数，参考数据：，，，
14．已知，且2a+bc＝4，求a、b、c的值．
15．如图，已知，，．
（1）求的长；
（2）求的长．
16．如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 处测得码头 的船的东北方向，航行40分钟后到达 处，这时码头 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 的最近距离.（结果精确的0.1海里，参考数据 ）
17．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m，AB=6 m，中间平台宽度DE=1 m，EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB=31°，DF⊥BC于点F，∠CDF=45°，求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
18．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为 ，底部B点的俯角为 ，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为 （如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据 ）．
19．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
20．如图，小明站在斜坡AB上的点A处，看到坡下一棵大树顶端的影子刚好落在山脚下的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面成60°角，在点A处测得大树顶端的俯角为15°.已知山坡AB的坡比为，AB为10米，请帮助小明计算这棵大树的高度.（结果精确到0.1米，参考数据：）
21．在 与 中，若 ，且 的周长为 ，求 的周长.
22．图1是一盏可调节台灯，图2为其平面示意图，固定底座与水平面垂直，为固定支撑杆，为可绕着点旋转的调节杆，若，，，，，求台灯灯体到水平面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
23．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
24．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）
25．数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高.如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高.（结果保留整数.参考数据：，）
26． 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
27．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由．
28．已知三个数2，，1，请你再添一个数，使这四个数成比例．
29．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
30．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗.如图，已有的遮阳棚AB=130cm，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC=40cm，遮阳棚的固定高度AD=240cm，sin∠BAD=.
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
（2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是53°（光线EC与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行，（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°=）
31． 数学社团的同学运用自己所学的知识进行区间测速，他们将观测点设在距遵义大道米的点处，如图，直线表示遵义大道这时一辆小汽车由进义大道上的处向处匀速行驶，用时秒经测点在点的南偏西方向上，点在点的南偏西方向上．
（1）求、之间的路程精确到米；
（2）请判断此车是否超过了遵义大道千米时的限制速度？参考数据：，，
32．如图所示，小亮在大楼 的观光电梯中的 点测得大楼 楼底 点的俯角为60°，此时他距地面的高度 为21米，电梯再上升9米到达 点，此时测得大楼 楼顶 点的仰角为45°，求大楼 的高度．（结果保留根号）
33．如图，隔湖有两点A，B，为了测A，B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向取一点C，若测得CB＝150m，∠ACB＝30°，求A，B两点间的距离.
34．如图1，是一台小型输送机，其示意图如图2所示.已知两个支架的端点的距离，传输带与支架所成的角，支架端点A离地面的高度，求支架端点B离地面的高度.（结果精确到0.1m；参考数据，，）.
35．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米， ）
36．如图，在中，是边上的中线，分别过点作的平行线，两线交于点，且交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
37．如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线隧道.工程人员为了计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离.
38． 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）．
39．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度.（取 ＝1.732，结果精确到1m）
40． 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E．已知，设△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，求的值．
41．如图，在菱形和菱形中，P是线段的中点，连接，，若，证明：且．
42．在中，已知是BC边的中点，点是的重心，过点的直线分别交AB，AC于点E，F.
（1）如图甲所示，当时，求证：.
（2）如图乙所示，当EF和BC不平行，且点E，F分别在线段AB，AC上时，第(1)题中的结论是否成立 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
43．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
（1）发现：
△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；
（2）思考：
线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；
（3）探究：
当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？
44．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
45．如图1，已知 为正方形 的中心，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ， ，连结 ，将△ 绕点 逆时针旋转 角得到△ （如图2）．连结 、 ．
（Ⅰ）探究 与 的数量关系，并给予证明；
（Ⅱ）当 ， 时，求：
① 的度数；
② 的长度．
46．材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求的最小值；
解：令，，
，，的最小值为．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．
（1）若，求矩形的面积；
（2）设求矩形的面积最大值．
47．如图，点P（m，n）是双曲线（x＜0）上一动点，且m、n为关于a的一元二次方程9a2+ba+32＝0的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，FO的延长线交过B点与AB垂直的直线于点Q．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求OP的最小值；
（3）若点O到AB的距离等于OP的最小值，求的值．
48．如图，已知中，，垂足为点，延长CO，BA交于点，连接DE.
（1）求证：平行四边形ACDE是菱形；
（2）连接OB，交AC于点，若，求证：.
49．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D．F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
50．如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角 ，木箱的长( )为2米，高( )和宽都是1.6米．通过计算判断：当 ，木箱底部顶点 与坡面底部点 重合时，木箱上部顶点 会不会触碰到汽车货厢顶部．
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【临考冲刺·50道解答题专练】上海市数学九年级上册期末总复习
1．如图1，2中四边形，点E，F，G，H分别为各边中点，顺次连接得到四边形EFGH．
（1）在图1中，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）在图2中，P为四边形内一点，且满足，．判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：四边形为平行四边形；理由如下：
连接，如图，
∵点E，F，G，H分别为各边中点，
∴为的中位线，为的中位线，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为矩形；理由如下：
连接，交于点，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
即：，
同法（1）可知：四边形为平行四边形，
∵是的中位线，是的中位线，
∴，
∵，
∴，即：，
∴四边形为矩形．
【解析】【分析】（1）连接，根据中位线的性质，可得，得出为平行四边形；
（2）连接，交于点，证明，进而推出，推出，进而得到，同（1）可知：四边形为平行四边形，即可得到四边形为矩形．
2．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为？（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】解：如图，作于H，作地面于P，
由题知，，
∴，
∴坐垫C离地面高度约为．
【解析】【分析】作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于P，由∠ABE的正弦函数可算出CH的长，最后根据坐垫C离地面高度等于CH+AP，代值计算可得答案.
3．金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度.如图，小组成员选择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为 ，测得楼AB的底部B处的俯角为 .已知D处距地面高度为12 m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数.参考数据： ， ， ）
【答案】解：过点D作 于点E，
则 ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，∴ .
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
答：这个小组测得大楼AB的高度是31 m.
【解析】【分析】过点D作 于点E，本题涉及到两个直角三角形△BDE、△ADE，通过解这两个直角三角形求得DE、AE的长度，进而可解即可求出答案．
4．如图，在菱形中，，，为正三角形，点E，F分别在菱形的边．上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合，与交于点G．
（1）证明：当点E，F在边上滑动时，总有．
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，平分，
，
，
是等边三角形
，，
为正三角形，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，
，
，，
．
又∵，
，
，即，
．
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△BDF，可得AE=BF；
（2）通过证明△ADE∽△BEG，可列出比例式求解．
5．如图，某小学门口有一直线马路，交警在门口设有一条宽度为4米的斑马线，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15°和∠FAD＝30°，司机距车头的水平距离为0.8米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E、D、C、B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据： ， ， ）
【答案】解：∵∠FAE＝15°，∠FAD＝30°，
∴∠EAD＝15°，
∵AF∥BE，
∴∠AED＝∠FAE＝15°，∠ADB＝∠FAD＝30°，
设AB＝x，
则在Rt△AEB中，
EB＝ ＝ ，
∵ED＝4，ED+BD＝EB，
∴BD＝ ﹣4，
在Rt△ADB中，
BD＝ ＝ ，
∴ ﹣4＝ ，
即（ ﹣ ）x＝4，解得x＝2，
∴BD＝ ＝2 ，
∵BD＝CD+BC＝CD+0.8，
∴CD＝2 ﹣0.8≈2×1.732﹣0.8≈2.7＞2，故符合标准．
答：该旅游车停车符合规定的安全标准
【解析】【分析】利用已知条件可求出∠EAD，利用平行线的性质证明∠AED＝∠FAE＝15°，∠ADB＝∠FAD＝30°，再在 Rt△AEB中，求出EB＝ ，就可得到BD＝ ﹣4，然后在Rt△ADB中，利用解直角三角形求出BD，然后建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到BD的长，求出CD与2比较大小，即可作出判断。
6．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB=3m，AD=1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB'C'D，如图3所示，此时，AB'与水平方向的夹角为60°·
（1）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
（2）图4中，—辆宽1.7m，高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.
（参考数据：≈1.732，π≈3.14，所有结果精确致0.1）
【答案】（1）解：∵点C'是点C绕点D旋转60°得到的，
∴点C经过的路径长为(m)，
答：点C所经过的路径约为3.1m
（2）解：汽车能安全通过.
在OM上取MK=0.4m，KF=1.6m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB'于点G，
即汽车与BC保持安全距离MK=0.4m，汽车的宽KF=1.7m，
∴OF=3-1.7-0.4=0.9m，
依题意得：∠AHG=90°，∠GAH=60°，四边形AOFH是矩形，
∴AH=OF=0.9m，HF=OA=0.2m，
在Rt△AGH中，，
∴(m)
∴GF=GH+HF≈1.559+0.2=1.759(m)
∵汽车高度为1.6m，1.759>1.6，
∴汽车能安全通过
【解析】【分析】(1)根据弧长公式解答即可；
(2)根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可.
7． 明明在家用新买的台灯做作业时，将台灯垂直放置于桌面，发现台灯可以抽象成如图所示的几何图形，于是使用工具量出了如下数据：到桌面的距离为，，请你求出台灯上的点到桌面的距离结果精确到，参考数据：，，，，，
【答案】解：过点作，交的延长线于点，
，
，
在中，，
，
，
台灯上的点到桌面的距离，
台灯上的点到桌面的距离约为．
【解析】【分析】过点A作AG⊥FB，交FB的延长线于点G，然后在Rt△ABG中，求出BG的长，根据，即可解答．
8．甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG=2.5m.已知甲直立时的身高为1.75m，求路灯的高AB的长.（结果精确到0.1m）
【答案】解：如图，设AB= x，由题意知AB⊥BG，CD⊥BG，FE⊥BG，CD=CE，∴AB∥CD∥EF，∴BE=AB=x，∴△ABG∽△FEC∴ ，即 ，∴ m答：路灯高AB约为5.8米.
【解析】【分析】利用平行得相似，因为AB，CD，EF都垂直于水平面，所以AB∥CD∥EF，所以有△ABG∽△FEC，得相似后对应边成比例即可求出AB的长。
9．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测，某高架路有一段限速每小时60km的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A 的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220m到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点的俯角是 45（注：四边形ABDC是梯形）。
（参考数据：
（1）求限速道路AB 的长.（结果精确到1m）
（2）如果李师傅在道路AB 上行驶的时间是1m in 20s，请判断他是否超速，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，作，
，，，
设，
，
，
，
，解得，
.
（2）解：，
，
答：他超速了.
【解析】【分析】(1)设，利用锐角三角函数表示出CE、DE、DF的长度，由CD=220m可列出方程，解得，即可求得AB的长度.
(2)利用路程公式求得李师傅的速度，即可知超速了，单位的转换是本题易错点.
10．如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？
【答案】解：如图，过P作PC⊥AM于C，则∠PCA=90°，且PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，
∵∠PAM=90°﹣45°=45°，
∴∠APC=45°=∠PAC，
∴PC=AC，
由勾股定理得：2PC2=AP2=322，
∴PC=16 ，
16 海里＜16 海里，
∴轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险；
设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，如图：
过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，
在Rt△PAE中，sin∠PAE= ，
∴∠PAE=60°，
∠MAD=60°﹣45°=15°，
即轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域．
【解析】【分析】过P作PC⊥AM垂足为C，则△PAC为等腰直角三角形，然后可求得PC的长，然后依据PC与暗礁半径的大小可做成判断，设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，然后依据特殊锐角三角函数值可求得∠PAE的度数，最后依据∠MAD=∠PAD-∠PAM求解即可.
11．如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．
(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75)
【答案】解：过点D作DF AB交AB于点F，∴∠DFA=∠DFE=90°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形BCDF是矩形，∴BC=DF，∵在Rt△ADF中，∠ADF=45°，∴AF=DF，∵在Rt△DFE中，∠EDF=37°，∴EF=DF·tan37°，又∵AF＋EF=AE=35，∴DF＋DF·tan37°=35，解得DF=BC=20（m）答：两建筑物间的距离BC为20m.
【解析】【分析】过点D作DF ⊥ AB交AB于点F，首先判断出四边形BCDF是矩形，根据矩形的对边相等得出BC=DF，在Rt△ADF中，根据等腰直角三角形的性质得出AF=DF，在Rt△DFE中利用正切函数的定义，得EF=DF·tan37°，根据AF＋EF=AE=35，列出方程求解得出DF的长，从而得出答案。
12．在12×12的网格中，每个小正方形的边长均为1，建立如图所示的平面直角坐标系，按照要求作图并解答相关问题．
（1）将△ABC围绕这原点O按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，作出与△A1B1C1位似且位似比为1：2的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【解析】【分析】（1）连接AO，BO和CO，顺时针向右旋转90°，即可做出三个对应点，描点连线即可。
（2）作△A1B1C1的位似图形，有两个答案，一种是位于第三象限，一种位于第一象限，即可写出对应点A2的坐标。
13．如图，艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处这时，处距离灯塔有多远？
结果保留整数，参考数据：，，，
【答案】解：过点作于点，
，
由题意可知，，，
在中，，
海里．
在中，，
海里．
答：处距离灯塔约海里．
【解析】【分析】过点作于点， 利用求出PH的长，再结合，求出PB的长即可.
14．已知，且2a+bc＝4，求a、b、c的值．
【答案】解：设，
则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
代入2a+bc＝4得：4k+3k5k＝4，
解得：k＝2，
即a＝4，b＝6，c＝10．
【解析】【分析】设，得出a＝2k，b＝3k，c＝5k，代入2a+bc＝4即可求出k．，再计算a、b、c的值。
15．如图，已知，，．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∴，
∴
∴；
故答案为：
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出AC的长，最后利用线段的和差求出CE的长即可；
（2）利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出AB的长即可.
16．如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 处测得码头 的船的东北方向，航行40分钟后到达 处，这时码头 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 的最近距离.（结果精确的0.1海里，参考数据 ）
【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，
由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB=30× =20，
∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，∴∠DAB=30°，∴BD= AB=10，
由勾股定理可知：AD=10
∵BC∥AN，∴∠BCD=45°，∴CD=BD=10，∴AC=10 +10
∵∠DAB=30°，∴CE= AC=5 +5≈13.7
答：船在航行过程中与码头C的最近距离是13.7海里
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD的长度，进而可求出CE的长度.
17．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m，AB=6 m，中间平台宽度DE=1 m，EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB=31°，DF⊥BC于点F，∠CDF=45°，求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
【答案】解：设DF= ，在Rt△DFC中，∠CDF= ，
∴CF=tan ·DF= ，
又∵CB=4，
∴BF=4－ ，
∵AB=6，DE=1，BM= DF= ，
∴AN=5－ ，EN=DM=BF=4－ ，
在Rt△ANE中，∠EAB= ，EN=4－ ，AN=5－ ，
tan
=0.60，
解得 =2.5，
答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．
【解析】【分析】设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－ x ，在Rt△ANE中，∠EAB= ，利用∠EAB的正切值解得x的值．
18．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为 ，底部B点的俯角为 ，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为 （如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据 ）．
【答案】解：由题意可得：∠ADC=30°，∠ACD=60°，∠BCE=45°，∠ABE=∠BEC=90°，∴在△ADC中，∠DAC=180°-30°-60°=90°，又∵CD=10，∠D=30°，∴AC=5，过点AF⊥CD于点F，∴∠AFC=90°，∵∠ACD=60°，∴∠CAF=30°，∴CF=2.5，AF=AC·sin60°= ，∵∠ABE=∠BEF=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，∴BE=AF= ，AB=EF，∵在△BEC中，∠BEC=90°，∠BCE=45°，∴CE=BE= ，∴AB=EF=CE+CF=2.5+ 6.8.
【解析】【分析】由题意可得：∠ADC=30°，∠ACD=60°，∠BCE=45°，∠ABE=∠BEC=90°，根据三角形的内角和得出∠DAC的度数，根据含30的直角三角形的边之间的关系得出AC=5；过点AF⊥CD于点F，根据三角形的内角和得出∠CAF=30°，根据含30的直角三角形的边之间的关系得出CF=2.5，再根据正弦函数的定义得出AF的长度；根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABEF是矩形，根据矩形的对边相等得出BE=AF，AB=EF，根据等腰直角三角形的性质得出CE=BE，根据线段的和差得出答案。
19．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
【答案】解：如图，AB＝20cm，OF＝15cm，CD＝5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴ ，即 ，
解得OE＝60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
【解析】【分析】根据题意，即可证明△OAB∽△ODC，根据相似三角形的性质，对应线段成比例即可得到OE的长度。
20．如图，小明站在斜坡AB上的点A处，看到坡下一棵大树顶端的影子刚好落在山脚下的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面成60°角，在点A处测得大树顶端的俯角为15°.已知山坡AB的坡比为，AB为10米，请帮助小明计算这棵大树的高度.（结果精确到0.1米，参考数据：）
【答案】解：过D作DM⊥AB于M，过A作AF⊥BC于F，
∵山坡AB的坡比为，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=60°，
∴∠ABD=180°-∠ABF-∠DBC=60°，
∴在Rt△MBD中，
tan∠MBD=，
设MB=x，则MD=x，
∵AE∥CB，
∴∠EAB=∠ABF=60°，
∴∠DAM=∠EAM-∠EAD=45°，
在Rt△AMD中，
tan∠MAD==1，
∴AM=MD=x，
∴x+x=10，
∴x=5-5，
在Rt△MBD中，cos∠MBD==，
∴BD=2x=10-10，
∵sin∠DBC==，
∴DC=15-5≈6.3(米)，
答：这棵大树的高度约为6.3米.
【解析】【分析】 过D作DM⊥AB于M，过A作AF⊥BC于F， 根据坡比的定义及特殊锐角三角函数值可得∠ABF=60°，根据平角的定义得∠ABD=60°，在Rt△MBD及 Rt△AMD中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值可设 MB=x，则MD=x ， AM=MD=x， 进而根据AM+BM=AB=10建立方程，求解得出x的值， 在Rt△MBD中 ，根据余弦函数的定义可得 BD=2x=10-10， 最后根据 sin∠DBC==， 即可算出DC的长得出答案.
21．在 与 中，若 ，且 的周长为 ，求 的周长.
【答案】解： ，
，
的周长与 的周长之比为 ，
的周长等于18cm，
的周长为 cm，
【解析】【分析】利用三边对应成比例放入两三角形相似，可证得△ABC∽△DEF，利用相似三角形的周长比等于相似比，可求出两三角形的周长比，然后求出△DEF的周长.
22．图1是一盏可调节台灯，图2为其平面示意图，固定底座与水平面垂直，为固定支撑杆，为可绕着点旋转的调节杆，若，，，，，求台灯灯体到水平面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】解：过 作 交于 ，过 作 交于 ，延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中 ，
，
，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中 ，
，
，
∴ ，
答： 到水平面 的距离约为 ，
【解析】【分析】根据题意先求出∠BAP=37°，再求出 四边形 为矩形， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
23．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m-10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE= （m），∴BC=BE-CE=70-10 ≈70-17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m
【解析】【分析】由图知，BC=BE-CE，要求BC的长，只须求得BE、CE的长即可，于是可作辅助线，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，易得四边形BFDE是矩形，所以BE=DF，在直角△ADF中易得DF的值，在直角△CDE中，由∠DCE的正切易求得CE的值，则BC的可求解。
24．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）
【答案】解：
如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵ =tan∠DBC，
∴CD=BC tan60°=30 m，
∴乙建筑物的高度为30 m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD﹣DF=（30 ﹣30）m，
∴甲建筑物的高度为（30 ﹣30）m．
【解析】【分析】在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，过A作F⊥CD于点F，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．
25．数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高.如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高.（结果保留整数.参考数据：，）
【答案】解：设为，
∵，∠CDB=90°，
∴，
∴，
在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，，
即，
∴
∴.
答：此建筑物的高度约为.
【解析】【分析】设CD=x，则BD=CD=x，AD=AB+BD=(60+x)，根据∠DAC的正切三角函数的概念可得x，据此解答.
26． 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
【答案】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴
在中，，
则，
在中，，
则，
过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
信号杆的高为．
【解析】【分析】过点E作于点，过点D作于点，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得HD，BH，过点E作于点，过点D作于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
27．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由．
【答案】（1）解：过B点作AC的垂线BD交AC于点D，如图所示，
由题意可知：，，
∴，
在中，，AB=40海里，
∴为等腰直角三角形，
∴(海里) ，
∵垂线段最短，AC上的D点距离B点最近，AD即为所求，
∴渔船航行海里时，距离小岛B最近．
（2）解： 救援队能在2小时内到达C处进行救援 ，理由如下：
由（1）知海里，
∴在中，根据勾股定理得，(海里)，
由题意知，救援队的速度为每小时30海里
∴救援时间(小时)，
∵通过计算可知，
∴救援队能在2小时内到达C处进行救援．
【解析】【分析】(1)为了求解渔船航行多远距离小岛B最近，可运用垂线段最短的原理。首先，应画出渔船的航行路线以及它到小岛B的最近距离。接下来，通过计算，可以得出最近距离。
(2)要确定救援队是否能在2小时内到达C处进行救援，首先需要计算救援队从B处到C处所需的时间。这可以通过计算BC的距离，再将其除以救援队的行驶速度得到，然后，将计算出的时间与2小时进行比较，即可确定救援队是否能在2小时内到达C处进行救援。
28．已知三个数2，，1，请你再添一个数，使这四个数成比例．
【答案】解：设添加的一个数为x，
当这四个数为x， 2，，1 ，则x： 2=：1，解得：x=2，
当这四个数为 2，x，，1 ， 则2：x=：1 ，解得：x=，
当这四个数为 2，，x，1 ，则2：=x：1 ，解得：x=，
当这四个数为2，，1 ，x，则2：=1：x，解得：x=，
∴添加的一个数为2，或.
【解析】【分析】设添加的一个数为x，可得这四个数为x， 2，，1 或2，x，，1 或2，，x，1 或2，，1 ，x，根据比例的性质分别求解即可.
29．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
【答案】解：在Rt△ACE中，∵tan∠CAE= ，∴AE= 在Rt△DBF中，∵tan∠DBF= ，∴BF= .∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF∴四边形CEFH是矩形，∴CH=EF=151（cm）.答：高、低杠间的水平距离CH的长为151cm
【解析】【分析】利用解直角三角形，分别在Rt△ACE和Rt△DBF中，求出AE、BF的长，再由AB的长，求出EF的长，然后利用矩形的性质可得出结果。
30．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗.如图，已有的遮阳棚AB=130cm，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC=40cm，遮阳棚的固定高度AD=240cm，sin∠BAD=.
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
（2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是53°（光线EC与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行，（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°=）
【答案】（1）解：如图，过点B作BK⊥AD于点K，
、
∵AB=130cm，
∴，
∴BK=120，
即的B点到墙面AD的距离为120cm.
（2）解：过点C作CH⊥DG于点H，设直线CE交DG于点F，
由勾股定理得，
(cm)，
∴DK=AD-AK=240-50=190(cm)，
∴BC=DK=190cm，
又∵BC=30cm，
∴CH=190-30=160(cm)，
又∵∠CFH=53°，
∴
∴
∴FH=120，
由(1)知，BK=120cm，
∴DG=BK=120cm，
∴FH=DG，
∴该商铺的落地窗方案可行.
【解析】【分析】(1)过点B作BK⊥AD于点K，根据代入数据求出BK的值即可；
(2)过点C作CH⊥DG于点H，设直线CE交DG于点F，通过，求出FH的长与DG比较大小即可得出结论.
31． 数学社团的同学运用自己所学的知识进行区间测速，他们将观测点设在距遵义大道米的点处，如图，直线表示遵义大道这时一辆小汽车由进义大道上的处向处匀速行驶，用时秒经测点在点的南偏西方向上，点在点的南偏西方向上．
（1）求、之间的路程精确到米；
（2）请判断此车是否超过了遵义大道千米时的限制速度？参考数据：，，
【答案】（1）解：过点作，垂足为点，
米，
，，
，
在中，米，
米，
，
，
，
米，
米；
（2）解：米千米，秒小时，
千米时．
，
该小车没有超速．
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为点，根据直线平行性质可得，再直角三角形APD中，根据勾股定理可求出AD长，再根据正切值的定义即可求出答案；
（2）根据速度=路程÷时间，进行计算即可求出答案。
32．如图所示，小亮在大楼 的观光电梯中的 点测得大楼 楼底 点的俯角为60°，此时他距地面的高度 为21米，电梯再上升9米到达 点，此时测得大楼 楼顶 点的仰角为45°，求大楼 的高度．（结果保留根号）
【答案】解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝ ，
∴EG＝ （米）．
∴DH＝EG＝ 米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝ 米．
∴BC＝CG＋HG＋BH＝CG＋DE＋BH＝21＋9＋ ＝（30＋ ）米．
答：大楼BC的高度是（30＋ ）米．
【解析】【分析】 过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．在Rt△CEG中，由tan∠CEG＝ ，求出EG，即得DH，由于△BDH为等腰直角三角形，可得BH＝DH，利用BC＝CG＋HG＋BH＝CG＋DE＋BH代入计算即可.
33．如图，隔湖有两点A，B，为了测A，B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向取一点C，若测得CB＝150m，∠ACB＝30°，求A，B两点间的距离.
【答案】解：在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，
∴tan∠ACB＝ ，
∴ ，
∴AB＝ （m）.
A，B两点间的距离 m
【解析】【分析】
在Rt△ACB中，由tan∠ACB＝ ，代入数据计算即可.
34．如图1，是一台小型输送机，其示意图如图2所示.已知两个支架的端点的距离，传输带与支架所成的角，支架端点A离地面的高度，求支架端点B离地面的高度.（结果精确到0.1m；参考数据，，）.
【答案】解：过点A作于点F，
可得，
在中，，
∴
∴
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，可得CF=AD=15cm，由三角函数的概念可得BF，然后根据BC=CF+BF进行计算.
35．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米， ）
【答案】解：∵BD=CE=6m，∠AEC=60°，
∴AC=CE tan60°=6× =6 ≈6×1.732≈10.4m，
∴AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9m．
答：旗杆AB的高度是11.9米
【解析】【分析】先根据锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据AB=AC+DE即可得出结论．
36．如图，在中，是边上的中线，分别过点作的平行线，两线交于点，且交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，
四边形是平行四边形，
．
在Rt中，为边上的中线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）解：在Rt中，，
．
四边形是平行四边形，
，
又四边形是菱形，为对角线，
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AD=CD，即可证出四边形是菱形；
（2）先利用解直角三角形的方法求出AC的长，再利用平行四边形的性质可得，最后利用菱形的面积公式求出
37．如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线隧道.工程人员为了计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离.
【答案】解：在△ABC与△AMN中， ， = ，∴ ，又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AMN，∴ ，即 ，
解得：MN=1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米
【解析】【分析】由已知条件计算可得，而∠A是公共角，根据“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的相等，那么这两个三角形相似”可得△ABC∽△AMN，于是可得比例式，把已知的线段代入比例式计算即可求解。
38． 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）．
【答案】解：延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，
由题意得： AE=BF=40米，AB=EF=70米，
在RtADE中，∠ADE=45°，
∴DE==40 (米)，
∴DF=EF-DE=70-40=30 (米) ，
在Rt△CDF中，∠CDF=30°，
∴CF=DFtan30°=30=(米)，
∴BC=BF-CF=40-≈23 (米)
∴楼房高度约为23米.
【解析】【分析】延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，根据题意可得 AE=BF=40米，AB=EF=70米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DF的长，再在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答.
39．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度.（取 ＝1.732，结果精确到1m）
【答案】解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m.
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝ ，即tan30°＝
∴ ，3x＝ (x＋100)
解得x＝50＋50 ＝136.6
∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)
答：该建筑物的高度约为138m。
【解析】【分析】 由题意可设CE=BE＝xm，由线段的构成AE=AB+BE可将AE用含x的代数式表示出来，在Rt△AEC中，根据tan∠CAE＝可得关于x的方程，解方程可求得x的值，于是由线段的构成CD＝CE＋ED可求解.
40． 如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E．已知，设△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，求的值．
【答案】解：设AD= BC=a，
∵，∴AB=CD=2a，∴AC=a．
易证明△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC：AC＝CE：BC， AB：AC＝AE：AB，
∴BC2=CE·AC，AB2=AE·AC，
∴a2=CE·a，(2a)2=AE·a，
∴CE=． AE=．∴
易证△CEF∽△AEB，
∴
【解析】【分析】设AD＝a，则BC=a， AB＝2a， AC=，证明△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC可推出BC2=CE·AC，AB2=AE·AC，可用a表示出CE，AE，再证明△CEF∽△AEB得出S1和S2的比等于CE和AE比值的平方。
41．如图，在菱形和菱形中，P是线段的中点，连接，，若，证明：且．
【答案】证明：如图，延长到H，使．连接，，．
∵，，
∴
∴，，
∴ ．
∵，
．
∵，，
∴．
∴
∴
∵，
，
∴．
又，，
．
，．
∴．
∴．
即是等边三角形
中，
∴．
【解析】【分析】 如图，延长到H，使．连接，，． 根据已知求， 从而得到，由平行的性质得出进而得出由三角形内角和得 从而求证得出 和，再利用等边三角形三线合一得出垂直，最后利用锐角三角函数即可求出。
42．在中，已知是BC边的中点，点是的重心，过点的直线分别交AB，AC于点E，F.
（1）如图甲所示，当时，求证：.
（2）如图乙所示，当EF和BC不平行，且点E，F分别在线段AB，AC上时，第(1)题中的结论是否成立 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明：点G是△ABC的重心，
，
又
，
∴；
（2）解：成立，理由如下：过点A作AN∥BC，交EF的延长线于点N，FE与CB的延长线相交于点M，
∴△BME∽△ANE，△ANF∽△CMF，△ANG∽△DMG，
∴，，，
∴，
又∵BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM，
∴，
∴，
∴结论成立.
【解析】【分析】（1）三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段，据此可得，然后根据平行线分线段成比例定理得，最后根据等式的性质可得结论；
（2）（1）中结论依然成立，理由如下：过点A作AN∥BC，交EF的延长线于点N，FE与CB的延长线相交于点M，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△BME∽△ANE，△ANF∽△CMF，△ANG∽△DMG，由相似三角形对应边成比例可得，，，进而根据等式性质、中点定义及线段和差可得，此题得解了.
43．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．
（1）发现：
△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；
（2）思考：
线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；
（3）探究：
当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？
【答案】（1）∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB．
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．
（2）设PB=x，则CP=4﹣x．
∵△CMP∽△BPA，
∴ ，
∴CM= x（4﹣x）．
如图1所示：作MG⊥AB于G．
∵AM= = ，
∴AG最小值时，AM最小．
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣2）2+3，
∴x=2时，AG最小值=3．
∴AM的最小值= =5．
（3）∵△ABP≌△ADN，
∴∠PAB=∠DAN，AP=AN，
又∵∠PAB=∠EAP，∠AEP=∠B=90°，
∴∠EAP=∠EAN，
∴∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°．
如图2：在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．
∴∠KPA=∠KAP=22.5°，
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK= z，
∴z+ z=4，
∴z=4 ﹣4．
∴PB=4 ﹣4．
【解析】【分析】发现：先证明∠MPA=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠CPM=∠PAB，结合条件∠C=∠B=90°，可证明量三角形相似；
思考：设PB=x，则CP=4﹣x，依据相似三角形的性质可得到CM= x（4﹣x），作MG⊥AB于G，依据勾股定理可得到AM= ，则AG最小值时，AM最小，然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG与x的函数关系，依据二次函数的性质可求得当x=2时，AG最小值=3；
探究：依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．然后可证明△BPK为等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK= z，最后依据AK+BK=4列出关于z的方程求解即可．
44．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，，
又∵平分，
∴，
∴，
则，
∴，
故．
（2）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
【解析】【分析】
（1）根据平行线分线段成比例得出 ，，，可推导出。
（2） 由 得，结合 ， 推导出 再结合角间关系推导出 。
45．如图1，已知 为正方形 的中心，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ， ，连结 ，将△ 绕点 逆时针旋转 角得到△ （如图2）．连结 、 ．
（Ⅰ）探究 与 的数量关系，并给予证明；
（Ⅱ）当 ， 时，求：
① 的度数；
② 的长度．
【答案】解：如图：（Ⅰ）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，又∵OF=2OA，OE=2OD，∴OE=OF，则OE′=OF′，在△AOE′和△BOF′中，∴△AOE′≌△BOF′∴AE′=BF′；（Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，∴∠AOE′=90°﹣30°=60°，∴△OME′是等边三角形，又∵AM=OA，∴AE′⊥OM，则∠E′AO=90°，∴∠AOE′=90°﹣α=60°，∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°；②∵∠AOE′=90°﹣α=60°，∠E′OF′=90°，∴∠AOF′=30°，又∵∠AOB=90°，∴∠BOF′=60°，又∵等腰直角△AOB中，OB= AB= ，∴在Rt△ABE'中得到AE'= OA= ，又BF'=AE'∴BF′= ．
【解析】【分析】（Ⅰ）由正方形的性质可证明△AOE′≌△BOF′，进而得出结论；
（Ⅱ）①延长OA到M，使AM=OA，则OM=OE′．由正方形的性质和已知可得△OME′是等边三角形，进而在直角△AOE′中可求出∠AE′O的度数；
②先求出∠BOF′=60°，在等腰直角△AOB中利用三角函数可求出OB的长，在Rt△ABE'中利用三角函数可求出AE′的长，从而可得BF′的长.
46．材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求的最小值；
解：令，，
，，的最小值为．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．
（1）若，求矩形的面积；
（2）设求矩形的面积最大值．
【答案】（1）解：为高，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
矩形的面积；
（2）解：由题意和知：，，，，且∽，
，即，
，
设矩形的面积为，
，
，
，
，
矩形的面积最大值为．
【解析】【分析】（1）先证出∽，可得，再结合，可得，最后求出EQ的长即可；
（2）设矩形的面积为，求出，再利用配方法求解即可.
47．如图，点P（m，n）是双曲线（x＜0）上一动点，且m、n为关于a的一元二次方程9a2+ba+32＝0的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，FO的延长线交过B点与AB垂直的直线于点Q．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求OP的最小值；
（3）若点O到AB的距离等于OP的最小值，求的值．
【答案】解：（1）∵m、n为关于a的一元二次方程9a2+ba+32＝0的两根，∴ ，
∵点P（m，n）在双曲线（x＜0）上．∴，
∴双曲线的解析式为 ；
（2）∵点P（m，n），
∴ ，
∴当 时，OP最小，最小值为 ，即OP的最小值为；
（3）如图，过点O作OG⊥AB于点G，
∵点O到AB的距离等于OP的最小值，∴ ，
设EF=x，∵点F是AE的中点，∴AE=2x，
∵OG⊥AB，AE⊥AB，QB⊥AB，∴QB∥OG∥AE，
∴△BOG∽△BEA，△BOQ∽△EOF，∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得 ，即可求解；
（2）根据题意可得，从而得到当 时，OP最小，即可求解；
（3）过点O作OG⊥AB于点G，可得到 ，设EF=x，可得AE=2x，再由OG⊥AB，AE⊥AB，QB⊥AB，可得到△BOG∽△BEA，△BOQ∽△EOF，从而得到 ，进而得到 ，即可求解，其中熟练掌握反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
48．如图，已知中，，垂足为点，延长CO，BA交于点，连接DE.
（1）求证：平行四边形ACDE是菱形；
（2）连接OB，交AC于点，若，求证：.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵CO⊥AD，
∴CO⊥BC
∴AE=AC，
∴AE=AB
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
四边形ACDE是平行四边形，
∴四边形ACDE是菱形；
（2）解：如图所示，连接OB交AC于点.
∵四边形ACDE是菱形，
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角及等角的余角相等得到由等角对等边得到AE=AC=AB，再根据平行四边形的性质得到BE∥CD，进而由一组对边偏心切相等得四边形是平行四边形得到四边形ACDE是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形证出即可；
（2）先由菱形的性质、等边对等角及对顶角相等推出∠AFB=∠AEO，由有两组角对应相等的两个三角形相似证出△BAF∽△BOE，再根据对应边成比例得到，最后证出即可.
49．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D．F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF
（2）证明：∵△BDE∽△CEF，
∴ ，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴ ，
∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△CEF，
∴∠DFE=∠CFE，
∴FE平分∠DFC
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，利用相似三角形的判定方法可得结论；
（2）根据相似三角形的性质得到BE：CF＝DE：EF，然后根据线段中点定义可得BE=CE，等量代换得到CE：CF＝DE：EF，根据相似三角形的判定即可得角相等，从而得到结论.
50．如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角 ，木箱的长( )为2米，高( )和宽都是1.6米．通过计算判断：当 ，木箱底部顶点 与坡面底部点 重合时，木箱上部顶点 会不会触碰到汽车货厢顶部．
【答案】解：∵ 米， ，∴ 米，∴ 米，∵ 米，∴ 米，作 于点 ，作 于点 ，∵ 米， ， ，∴ ， ，∴， =0.6米，即解得EK=1.28∴ ，∴木箱上部顶点 不会触碰到汽车货厢顶部．
【解析】【分析】根据特殊角的三角形函数值即可求出AB的长度，根据直角三角形的性质以及三角形全等的判定与性质即可得到推理的答案。
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