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【临考冲刺·50道解答题专练】苏科版数学九年级上册期末总复习
1．随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小明和小亮都想从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中选择一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
2．某商场招聘员工一名，现有甲、乙两人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示
应试者 计算机 语言 商品知识
甲 70 50 80
乙 90 75 45
若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2：3：5计算两名应试者的测试成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
3．桌上放有20张卡片，正面分别标有数字1到20，这些卡片除所标数字外完全相同，将背面朝上混合在一起，小乐从这20张卡片中任取一张，求下列事件发生的概率：
（1）抽到的卡片上数字比15小的概率；
（2）抽到的卡片上数字是6的倍数的概率；
（3）抽到的卡片上数字既是2的倍数，又是5的倍数的概率．
4．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形、分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定、转动转盘，等转盘停止转动后、观察指针所将区城的颜色，若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘。
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 .
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后、再第二次转动转盘），用
树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率。
5．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整；
（2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 人；
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
6．如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．
（1）怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
（2）长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
7．已知a、b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，求a2+2a+b的值．
8．某班准备从甲、乙两名男生和丙、丁两名女生中任选两人分别任命为正、副值日班长．
（1）求女生当选正值日班长的概率．
（2）用列表或画树状图的方法求两名女姓同时当选正、副值日班长的概率．
9．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：A—学校作业有明显减少；B—学校作业没有明显减少；C—课外辅导班数量明显减少；D—课外辅导班数量没有明显减少；E—没有关注；已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有______人；______°；______；
（2）补全条形统计图；
（3）该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．
10．小陈同学从市场上购买了如图1的花盆，花盆底部的横截面是直径为的圆，他家中有如图2的托盘，托盘底部的横截面是边长为的正三角形。
（1）求正三角形一边的高线长；
（2）这个托盘是否适用于该花盆 请判断并说明理由。
11．如图，长方形ABCD的边AB=3，AD=4．
（1）以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
12．已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
13．为鼓励学生多读书，读好书，七年级（8）班班主任精选了《朝花夕拾》、《平凡的世界》、《长征》、《红岩》、《文化苦旅》共5种书，准备送给学生．
（1）若上述5种书各有2本，小明从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少？
（2）若上述5种书各有3本，小明从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，班主任老师只需要增加几本《长征》书？
14．某服装专卖店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件该服装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件服装降价元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
15．一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球.第一次摸出1个球，记下颜色，放回摇匀，再摸出1个球，求两次摸出颜色相同的球的概率（用树状图或列表来表示分析过程).
16．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.
17．尺规作图题：
如图，在中，点A为上一点，以A为圆心，长为半径作弧，交于点B，点C，连结．
（1）求的度数；
（2）求证：垂直平分．
18．如图， 以等边三角形 的 边为直径画圆， 交 于点 于点 ， 连结 ， 且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2） 求线段 的长度．
19．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550 台；每台售价为40万元时，年销售量为 500 台.假定该设备的年销售量(单位：台)和销售单价(单位：万元)成一次函数关系.
（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元/台
20．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
21．家乐商场销售某种衬衣，每件进价100元，售价160元，平均每天能售出30件为了尽快减少库存，商场采取了降价措施.调查发现，这种衬衣每降价1元，其销量就增加3件.商场想要使这种衬衣的销售利润平均每天达到3600元，每件衬衣应降价多少元？
22．小华在八年级上学期的数学成绩如下表所示：
测试类别 平时测试 期中测试 期末测试
测试 1 测试 2 测试 3 课题学习
成绩(分) 88 70 98 86 90 87
（1）小华该学期平时测试的平均成绩是 分.
（2）如果该学期的总评成绩根据如图所示的权重计算，请计算出小华该学期的总评成绩.
23．甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．
24．某市中学的师生在春节上街参加“写春联，迎新春、送祝福，义卖捐助敬老院”的活动，师生写的春联平均每天可卖出500副，每副春联除去成本可盈利0.3元，后来参与活动的师生愈来愈多，写的春联愈来愈多，决定适当降价，调查发现，春联的售价每下降0.05元，那么平均每天可多卖出200副。
（1）设每副春联降价x元，每天春联的销量为y副，求y与的函数关系。
（2）参与活动的全体师生想平均每天盈利180元，每副春联应降价多少元？
25． 某公司向厂家订购 A，B两款洗手液共50 箱.已知A 款洗手液的进价为每箱 200元，在此基础上，所购买的 A 款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2 元.厂家为保障盈利，每次最多可订购 30 箱 A 款洗手液，B 款洗手液的进价为每箱 100 元.设该公司购买 A 款洗手液x箱.
（1）根据信息填表：
型号 数量(箱) 进价(元/箱)
A x
B 100
（2）若订购这批洗手液的总进价为 6 240元，则该公司订购了多少箱A 款洗手液
26．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
27．某小区将原来400平方米的正方形场地改建成300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3∶2.如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？并说明理由．
28．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．
（1）若花园的面积为300米2，求x的值；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
29．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
30． 为了解学校七年级学生的平均身高，某小组随机抽取了30名同学测量身高，结果(单位：cm)如下：
167 162 165 160 165 167 165 166 159 169 168 158 160 159 162
162 157 160 164 161 162 164 163 154 172 153 156 163 164 161
绘制频数直方图，估计该校七年级学生的平均身高状况。
31．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8
八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b C
（1）填空： ， ， ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
32．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字-3，-1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出的骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出的骰子正面朝上的数记为n，则点P记作 ．请用画树状图或列表法求点 恰好落在第二象限的概率．
33．已知△ABC，求作内切圆（保留作图痕迹，不写作法）
34．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
A班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
B班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
A班 100 a 93 93 c
B班 99 95 b 93 8.4
（1）直接写出表中a、b、c的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班的成绩比B班好”，但也有人说B班的成绩要好，请给出两条支持B班成绩好的理由．
35．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中有三个小球，分别标有数字1、2、3，乙盒中有两个小球，分别标有数字4、5．每个小球除数字不同外其余均相同．小亮从甲盒中随机摸出一个小球，小丽从乙盒中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之积大于10的概率．
36．兴盛小区去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年绿化面积的年平均增长率.
37．三张卡片正面分别写有，，，除正面的数字不同外，其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的数字是偶数的概率为 ；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点的横坐标，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，记正面数字为点的纵坐标，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果，并求出点在反比例函数的图象上的概率．
38．如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
39．一组数据2，3，4，x中，若中位数与平均数相同，求x的值．
40．已知排水管的截面为如图所示的 半径为13dm，圆心 到水面的距离是5dm，求水面宽.
41． 如图，公路 MN，PQ在点 P 处交会，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160 m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响 请说明理由；如果会受到噪声的影响，且拖拉机的速度为 18 km/h，那么学校受噪声影响的时间是多少秒
42．2020年8月，今年第4号台风“黑格比”来袭，宁波市某镇被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=24米，拱高PM=8米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到8米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有1米，问是否需要采取紧急措施？请说明理由．
43．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根.如图，先画Rt，使，，再在斜边AB上截取，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
（1）用含a，b的代数式表示AD的长.
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根？请说明理由.
44．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y1= 的图象经过点B；反比例函数y2= 的图象经过点C（ ，m）．
（1）求点B的坐标；
（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．
45． 如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片．
（1）若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？
（2）若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？
46．如图，在等腰△ABC中，已知AB=AC，∠ACB的平分线与边AB交于点P，S，M分别为△ABC的内切圆⊙I与边AB，BC的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D.求证：PD是⊙I的切线.
47．据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
48．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）求证：BD1=CE1；
（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；
（3）连接PA，△PAB面积的最大值为 ．（直接填写结果）
49．如图，正方形的边长是是边的中点，是边上的一个动点，将沿着折叠，使得点落在点，连接．
（1）点在运动过程中，求的最小值；
（2）点在运动过程中，求面积的最小值；
（3）当是等腰三角形时，请直接写出的长度．
50．如图1、图2是走廊上的一个半圆柜的俯视图，其中表示走廊且，是半圆的直径且长为是半圆的圆心，C，D是半圆上两点，且．
（1）求的长；
（2）将半圆柜绕点B顺时针旋转，当半圆O与相切于点E时，点A到的距离为，如图2，求之间的距离．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【临考冲刺·50道解答题专练】苏科版数学九年级上册期末总复习
1．随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小明和小亮都想从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中选择一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】解：根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为 ．
【解析】【分析】 利用树状图列举出共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，然后利用概率公式计算即可.
2．某商场招聘员工一名，现有甲、乙两人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示
应试者 计算机 语言 商品知识
甲 70 50 80
乙 90 75 45
若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2：3：5计算两名应试者的测试成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
【答案】解：，
，
∵，
∴应该录取甲．
【解析】【分析】分求出甲、乙测试成绩的加权平均数，再比较即可.
3．桌上放有20张卡片，正面分别标有数字1到20，这些卡片除所标数字外完全相同，将背面朝上混合在一起，小乐从这20张卡片中任取一张，求下列事件发生的概率：
（1）抽到的卡片上数字比15小的概率；
（2）抽到的卡片上数字是6的倍数的概率；
（3）抽到的卡片上数字既是2的倍数，又是5的倍数的概率．
【答案】（1）解：∵一共有20张卡片，其中卡片上的数字比15小的卡片有14张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小乐从这20张卡片中任取一张，抽到的卡片上数字比15小的概率；
（2）解：∵一共有20张卡片，其中卡片上的数字是6的倍数的卡片有3张（数字为6，12，18），且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小乐从这20张卡片中任取一张，抽到的卡片上数字是6的倍数的概率；
（3）解：∵一共有20张卡片，其中卡片上的数字既是2的倍数，又是5的倍数的卡片有2张（数字为10，20），且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小乐从这20张卡片中任取一张，抽到的卡片上数字既是2的倍数，又是5的倍数的概率．
【解析】【分析】等可能事件发生的概率相等.找出可能事件A发生的总的数量m，在求出特殊事件可能发生的数量n，特殊事件的概率为：.准确求出m、n是解决本题的关键.（1）共有20张卡片即事件发生的可能性有20种即m=20，其中卡片上的数字比15小的卡片有14张及n=14，且每张卡片被抽到的概率相同，数字比15小的概率为：；（2）一共有20张卡片即事件发生的可能性有20种即m=20，其中卡片上的数字是6的倍数的卡片有3张(数字为6， 12， 18)即n=3，且每张 卡片被抽到的概率相同，数字是6的倍数的概率为： ；（3）一共有20张卡片即m=20，卡片上的数字既是2的倍数，又是5的倍数的卡片有2张(数字为10，20) ，且每张卡片被抽到的概率相同，卡片上数字既是2的倍数，又是5的倍数的概率为：.
4．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形、分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定、转动转盘，等转盘停止转动后、观察指针所将区城的颜色，若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘。
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 .
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后、再第二次转动转盘），用
树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率。
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
∴共有9种等可能结果，其中指针所落区域颜色不同的结果有6种，
∴指针所落区域颜色不同的概率为.
【解析】【解答】解：（1）∵转盘被等分成3个扇形、分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，
∴任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式进行求解；
（2）用”列表法“得到所有的等可能结果数，从而得指针所落区域颜色不同的结果数，进而利用概率公式进行求解.
5．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整；
（2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 人；
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
【答案】（1），
参加活动的总人数为（人），“良好”的人数为（人），
将条形统计图补充完整，如图所示：
（2）136
（3）解：画树状图，如图所示，
共有种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为．
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人），
故答案为：；
【分析】（）由乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；
（）根据比赛成绩良好的占比乘以即可求解；
（）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出选中的两名同学恰好是甲、丁的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：，
故答案为：；
参加活动的总人数为（人），“良好”的人数为（人），
将条形统计图补充完整，如图所示：
（2）解：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人），
故答案为：；
（3）解：画树状图，如图所示，
共有种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为．
6．如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．
（1）怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
（2）长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【答案】解：（1）设CD=xm，则DE=（32﹣2x）m，
依题意得：x（32﹣2x）=126，
整理得 x2﹣16x+63=0，
解得 x1=9，x2=7，
当x1=9时，（32﹣2x）=14
当x2=7时 （32﹣2x）=18＞15 （不合题意舍去）
∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．
（2）设CD=ym，则DE=（32﹣2y）m，
依题意得 y（32﹣2y）=130
整理得 y2﹣16y+65=0
△=（﹣16）2﹣4×1×65=﹣4＜0
故方程没有实数根，
∴长方形场地面积不能达到130m2．
【解析】【分析】（1）首先设CD=xm，则DE=（32﹣2x）m，进而利用面积为126m2得出等式求出即可；
（2）结合（1）中求法利用根的判别式分析得出即可．
7．已知a、b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，求a2+2a+b的值．
【答案】解：a+b=﹣1，
a是方程的解，则a2+a﹣2016=0，
即a2+a=2016，
则原式=a2+a+a+b=2016﹣1=2015．
【解析】【分析】首先根据根与系数的关系求得a+b的值，然后根据a是方程的解可得a2+a=2016，然后根据a2+2a+b=a2+a+a+b，代入求解即可．
8．某班准备从甲、乙两名男生和丙、丁两名女生中任选两人分别任命为正、副值日班长．
（1）求女生当选正值日班长的概率．
（2）用列表或画树状图的方法求两名女姓同时当选正、副值日班长的概率．
【答案】（1）解：女生当选正值日班长的概率为.
（2）解：列表如下，
甲 乙 丙 丁
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙 丁丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
共有12种情况，两名女生同时当选正、副班长为2种，所以两名女生同时当选正、副班长的概率为.
【解析】【分析】（1）用概率公式计算即可求解；
（2）由题意列出表格，根据表格中的信息可知：共有12种情况，两名女生同时当选正、副班长为2种，然后由概率公式计算可求解.
9．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．为了解我校“双减”政策的实施情况，校学生会在全校范围内随机对一些学生进行了问卷调查，问卷共设有四个选项：A—学校作业有明显减少；B—学校作业没有明显减少；C—课外辅导班数量明显减少；D—课外辅导班数量没有明显减少；E—没有关注；已知参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有______人；______°；______；
（2）补全条形统计图；
（3）该校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．
【答案】（1）200，144，20
（2）解：如图
（3）解：树状图如图：
既有八年级又有九年级的情况有12种，
概率．
【解析】【解答】解：（1）设D人数为人，由图可得：
，
解得：，
总人数为：人，
，
，
．
【分析】（1）设D人数为人，由图可列方程求解；求出类所占的百分比，乘以即为的数值；用类的人数除以总人数即得的数值；
（2）由（1）求得的数值补全即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出既有八年级又有九年级的，再根据概率公式即可求出答案.
10．小陈同学从市场上购买了如图1的花盆，花盆底部的横截面是直径为的圆，他家中有如图2的托盘，托盘底部的横截面是边长为的正三角形。
（1）求正三角形一边的高线长；
（2）这个托盘是否适用于该花盆 请判断并说明理由。
【答案】（1）解：如图，
AD为等边三角形ABC的高，
∴
∴
∴.
（2）解：为的内接圆，连接OB，
∵点O为等边三角形ABC的内心，
∴点O在AD上，
∴
∴的直径为
∵
∴这个托盘不适用于该花盆.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到：最后利用勾股定理计算即可；
（2）为的内接圆，连接OB，根据等边三角形的性质和三角形内心的性质得到点O在AD上，再利用含30°角的直角三角形计算出OD的长度，进而即可求解.
11．如图，长方形ABCD的边AB=3，AD=4．
（1）以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【答案】（1）解：如图，连接AC，
∵AB=3<4，
∴点B在圆内；
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，DC=AB=3，
∴AC=，
∴点C在圆外；
∵ 以点A为圆心，4为半径作⊙A， AD=4，
∴点D在圆上，
综上，点B在圆内，点C在圆外，点D在圆上；
（2）解：∵ 以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为 ； 3【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得∠D=90°，DC=AB=3，根据勾股定理算出AC的长，进而根据设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，判断即可得出答案；
（2） B，C，D三点中，但B离点A的距离最近为3，点C离点A的距离最远为5，从而根据点与圆的位置关系，可求出使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外时，r的取值范围.
12．已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
【答案】解：∵Rt△ABC的斜边AB=13cm，直角边AC=5cm，
∴另一直角边BC=12cm，
以斜边AB为轴旋转一周，得到由两个圆锥组成的几何体，
直角三角形的斜边上的高OC= = cm，
则以 cm为半径的圆的周长= πcm，
几何体的表面积= × π×（5+12）= π（cm2）
【解析】【分析】根据表面积为两个圆锥的侧面积，需求得圆锥的底面半径，进而利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2即可求得所求的表面积．
13．为鼓励学生多读书，读好书，七年级（8）班班主任精选了《朝花夕拾》、《平凡的世界》、《长征》、《红岩》、《文化苦旅》共5种书，准备送给学生．
（1）若上述5种书各有2本，小明从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少？
（2）若上述5种书各有3本，小明从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，班主任老师只需要增加几本《长征》书？
【答案】（1）解：根据题意得：
选中《红岩》的概率
（2）解：设只需增加本《长征》书，
根据题意，得，
，
经检验，是原分式方程的解，
答：只需增加1本《长征》书．
【解析】【分析】（1）根据题意求概率即可；
（2）根据题意求出 ， 再解方程判断求解即可。
14．某服装专卖店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件该服装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件服装降价元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
【答案】（1）解：设每件服装降价x元，则每天销售量为件，
∴每件盈利：
（2）解：设每件服装降价x元，则每天销售量为件，
∴
解得：
∵要扩大销售量，
∴每件服装降价20元时，平均每天盈利1200元
（3）解：
展开并整理：
=∴方程无实数解，故无法达到2000元利润
【解析】【分析】（1）设每件服装降价x元，然后根据利润的计算公式计算即可；
（2）设每件服装降价x元，则每天销售量为件，结合题意得到方程，解此方程即可求解；
（3）根据题意得到方程，整理得到，然后计算其判别式即可.
15．一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球.第一次摸出1个球，记下颜色，放回摇匀，再摸出1个球，求两次摸出颜色相同的球的概率（用树状图或列表来表示分析过程).
【答案】解：树状图如下：
或列表如下：
【解析】【分析】由题意可知此事件是抽取放回，列树状图（或列表）求出所有的可能的结果数及两次摸出颜色相同的球的情况数，再利用概率公式可求解。
16．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.
【答案】解：设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，
所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）=800，
即：x2﹣50x+400=0，
解得x1=10，x2=40（不合题意舍去）．
答：截去正方形的边长为10厘米．
【解析】【分析】设截去正方形的边长为x厘米，分别表示出长方体底面的长和宽，再根据长方体的底面积=800，建立方程，解方程求解，然后根据0＜x＜30，得出截去正方形的边长即可。
17．尺规作图题：
如图，在中，点A为上一点，以A为圆心，长为半径作弧，交于点B，点C，连结．
（1）求的度数；
（2）求证：垂直平分．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
由题意得：，
∴是等边三角形，
∴；
答：∠AOB的度数为60°；
（2）证明：连接，如图所示：
同理可得：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分.
【解析】【分析】
（1）连接，由题意得：，根据三边都相等的三角形是等边三角形可得是等边三角形，然后由等边三角形的每一个角都等于60°可求解；
（2）连接，同理可得：，然后根据四边都相等的四边形是菱形可得四边形ACOB是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分可求解.
（1）解：连接，如图所示：
由题意得：，
∴是等边三角形，
∴；
（2）证明：连接，如图所示：
同理可得：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分
18．如图， 以等边三角形 的 边为直径画圆， 交 于点 于点 ， 连结 ， 且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2） 求线段 的长度．
【答案】（1）证明： 连结 OD ，如图所示．
是等边三角形，
．
，
是等边三角形，
．
，
，
，
是 的切线．
（2）解：，
是 的中位线．
，
，
，
，
在 Rt 中，
．
【解析】【分析】（1） 连结 OD ，证三角形OCD是等边三角形，根据平行线的性质和垂线的定义证明∠ODF=90°即可；
（2）证OD是三角形ABC的中位线，求∠ADF=30°，根据中位线的性质，30°直角三角形的性质，勾股定理求解即可。
19．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550 台；每台售价为40万元时，年销售量为 500 台.假定该设备的年销售量(单位：台)和销售单价(单位：万元)成一次函数关系.
（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元/台
【答案】（1）解：设y=kx+b，依题意
解得k=-10，b=900
∴年销售量 y 与销售单价x 的函数关系式为y=-10x+900
（2）解：设此设备的销售单价为x 万元/台，则每台设备的利润为(x一30)万元，销售数量为(一10x+900)台，根据题意得
(x-30)(-10x+900)=8000.
整理得
解得.
∵此设备的销售单价不得高于60万元，
∴x=50.
答：该设备的销售单价应是50万元/台
【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求一次函数解析式；
(2)根据“单件商品利润×销售量=总利润”建立方程并求解，结合实际取舍.
20．如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
【答案】（1）解：解：连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH＝DH＝4，
在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，
∴r2＝42+（r﹣2）2
，解得r＝5，
即⊙O的半径为5；
（2）证明：连接CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG＝FG，
∴∠OAH＝∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH＝BG，
∴BF＝2AH．
【解析】【分析】
(1)连接OA，则△OAH是直角三角形，设OA=r，结合已知条件，根据勾股定理列方程可求出OA。
(2)根据垂径定理可得弧AB=弧BD，AD=2AH，根据∠EAB＝∠EBA推得弧BD=弧AF，得A是弧BF中点，连接OA交BF于G，证明△OAH和△OBG全等得AH=BG，证得BF=2AH。
21．家乐商场销售某种衬衣，每件进价100元，售价160元，平均每天能售出30件为了尽快减少库存，商场采取了降价措施.调查发现，这种衬衣每降价1元，其销量就增加3件.商场想要使这种衬衣的销售利润平均每天达到3600元，每件衬衣应降价多少元？
【答案】解：设每件衬衣降价x元，
依题意，得：（160﹣100﹣x）（30+3x）＝3600，
整理，得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30，
∵为了尽快减少库存，
∴x＝30.
答：每件衬衣应降价30元.
【解析】【分析】设每件衬衣降价x元，根据商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数列出方程求解即可.
22．小华在八年级上学期的数学成绩如下表所示：
测试类别 平时测试 期中测试 期末测试
测试 1 测试 2 测试 3 课题学习
成绩(分) 88 70 98 86 90 87
（1）小华该学期平时测试的平均成绩是 分.
（2）如果该学期的总评成绩根据如图所示的权重计算，请计算出小华该学期的总评成绩.
【答案】（1）85.5
（2）解：85.5×10%+90×30%+87×60%=87.75分；
∴小华该学期的总评成绩为87.75分.
【解析】【解答】解：（1）（88+70+98+86）÷4=85.5分；
故答案为：85.5.
【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数计算平时平均成绩即可；
（2）根据若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数计算该学期的总评成绩即可.
23．甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．
【答案】解：根据题意列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：（2，1），（1，2），（4，2），（3，3），（2，4），共5种，
∴P（甲获胜）= ，P（乙获胜）=1﹣ = ，
则该游戏不公平
【解析】【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况数，求出甲获胜的概率，进而求出乙获胜的概率，比较即可．
24．某市中学的师生在春节上街参加“写春联，迎新春、送祝福，义卖捐助敬老院”的活动，师生写的春联平均每天可卖出500副，每副春联除去成本可盈利0.3元，后来参与活动的师生愈来愈多，写的春联愈来愈多，决定适当降价，调查发现，春联的售价每下降0.05元，那么平均每天可多卖出200副。
（1）设每副春联降价x元，每天春联的销量为y副，求y与的函数关系。
（2）参与活动的全体师生想平均每天盈利180元，每副春联应降价多少元？
【答案】（1）解：由题意得：y=500+×200，
即y=4000x+500，
∴y与x的函数关系式为：y=4000x+500；
（2）解：设每副春联应降价x元。
根据题意得：
整理得：
解得：（不合实际，舍去）
答：每副春联应降价0.1元，每天就可盈利180元。
【解析】【分析】（1）由题意春联的售价每下降0.05元，那么平均每天可多卖出200副，降价x元，则多卖（)，即可解答y=500+，整理y=4000x+500。
（2）设每副春联降价x元，根据题意参与活动的全体师生想平均每天盈利180元，由（1）中可得y=4000x+500，可得（4000x+500)(0.3-x)=180，即可解答。
25． 某公司向厂家订购 A，B两款洗手液共50 箱.已知A 款洗手液的进价为每箱 200元，在此基础上，所购买的 A 款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2 元.厂家为保障盈利，每次最多可订购 30 箱 A 款洗手液，B 款洗手液的进价为每箱 100 元.设该公司购买 A 款洗手液x箱.
（1）根据信息填表：
型号 数量(箱) 进价(元/箱)
A x
B 100
（2）若订购这批洗手液的总进价为 6 240元，则该公司订购了多少箱A 款洗手液
【答案】（1）202-2x；50-x
（2）解：设该公司购买A款洗手液x箱，
则（202-2x）x+100（50-x）=6240，
整理得：-2x2+102x-1240=0
解得：x1=31，x2=20；
∵最多可订购30箱A款洗手液，
∴x的取值为20；
故该公司购买A款洗手液20箱.
【解析】【解答】解：（1）该公司购买 A 款洗手液x箱，
则购买B款洗手液（50-x）箱，购买A款洗手液的进价为200-2（x-1）=（202-2x）元；
故答案为：202-2x；50-x.
【分析】（1）根据“A，B两款洗手液共50箱”和“购买A款洗手液1箱进价为200元，购买的A款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元”即可求解；
（2）根据“订购这批洗手液的总进价为6240元”列出一元二次方程，求出x的值，结合题意即可得出答案.
26．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
【答案】根据题意，可以画出如下树状图：
共有种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有种，
所以小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率为
【解析】【分析】由题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数和小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的情况数，然后利用概率公式进行计算.
27．某小区将原来400平方米的正方形场地改建成300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3∶2.如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？并说明理由．
【答案】解：设长方形场地的长为3x米，宽为2x米，根据题意，得；
3x·2x＝300，
＝50，
∴x＝± .
∵长方形的长度为正数，
∴x＝ ，即长方形的长为15 ，宽为 ，周长为50 ；
再设正方形的边长为y米，则：
＝400，
y＝±20，
∵正方形的边长为正数，
∴y＝20；
∴正方形的周长＝4×20＝80米；
∵80＞50 ，
∴这些铁栅栏够用.
【解析】【分析】根据题意可以求出正方形的周长和长方形的周长，然后比较大小即可。
28．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．
（1）若花园的面积为300米2，求x的值；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）∵AB＝x米，
∴BC＝（40﹣x）米，
由题意得：x（40﹣x）＝300，
解得：x1＝10，x2＝30，
即x的值为10或30；
（2）花园的面积不能为400米2，理由如下：
由题意得：x（40﹣x）＝400，
解得：x1＝x2＝20，
当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20，
即当AB＝20米，BC＝20米＜24米，这棵树没有被围在花园内，
∴将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积不能为400米2．
【解析】【分析】（1）先根据题意得到AB＝x米，BC＝（40﹣x）米，进而根据矩形的面积即可列出一元二次方程；
（2）根据（1）中的方程结合题意求出各个边长，进而比较即可求解。
29．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
【答案】解：设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
【解析】【分析】设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.
30． 为了解学校七年级学生的平均身高，某小组随机抽取了30名同学测量身高，结果(单位：cm)如下：
167 162 165 160 165 167 165 166 159 169 168 158 160 159 162
162 157 160 164 161 162 164 163 154 172 153 156 163 164 161
绘制频数直方图，估计该校七年级学生的平均身高状况。
【答案】解：计算最大值与最小值的差：172-153=19；
决定组距和组数
∵是30个数据，结合最大值与最小值的差为19，决定组距为4，
∴组距为4，组数为5分组，具体分组如下：
153≤x<157，157≤x<161， 161≤x<165，165≤x<169，169≤x<173；
频数分布直方图
∴·估计该校七年级学生的平均身高约为162.73cm.
【解析】【分析】根据绘制频数分布直方图的一般方法绘制频数分布直方图，再估计该校七年级学生的平均身高状况即可.
31．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据， 现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七 年 级 ： 7 ， 6 ， 8 ， 7 ， 4 ， 7 ， 6 ， 1 0 ， 7 ， 8
八 年 级 ： 6 ， 8 ， 8 ， 5 ， 5 ， 8 ， 8 ， 8 ， 7 ， 7
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b C
（1）填空： ， ， ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
【答案】（1）7.5，8，1.4
（2）答：甲说的不对，理由如下：∵，
∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的；
（3）答：八年级的阅读情况较好，理由如下：∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大，
∴八年级的阅读情况较好．
【解析】【解答】（1）解：将八年级的数据排序，得：
5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ；
∴，
出现次数最多的是，
∴，
；
故答案为：；
【分析】
（1）求中位数时，先按照从小到大的顺序对一组数据进行排序，再取最中间一个数据或两个数据的平均值即可；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；方差指的每个数据与平均值差的完全平方和的平均值；
（2）对照两个年级的中位数进行判断即可；
（3）利用中位数和众数进行判断即可．
（1）解：将八年级的数据排序，得：
5 ，5 ，6 ，7 ，7，8 ，8 ，8 ，8 ，8 ；
∴，
出现次数最多的是，
∴，
；
故答案为：；
（2）甲说的不对，理由如下：
∵，
∴如果甲在七年级，他说的是正确的，如果甲在八年级，他说的是错误的；
（3）八年级的阅读情况较好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，但是，八年级的中位数和众数都比七年级的大，
∴八年级的阅读情况较好．
32．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字-3，-1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出的骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出的骰子正面朝上的数记为n，则点P记作 ．请用画树状图或列表法求点 恰好落在第二象限的概率．
【答案】解：列表如下，
-3 -1 0 1 2 4
-3 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
-1 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
0 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
1 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
2 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
4 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
共有36中等可能结果，点 恰好落在第二象限的有：
（-3，1） （-1，1）
（-3，2） （-1，2）
（-3，4） （-1，4）
共6种情形
点 恰好落在第二象限的概率为 ．
【解析】【分析】先列表，再求出 共有36中等可能结果，点 恰好落在第二象限的有6种情形 ，最后求概率即可。
33．已知△ABC，求作内切圆（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示：⊙O即为所求．
【解析】【分析】首先作出三角形的内角平分线，进而得出交点即为圆心位置，再向角的一边作垂线得出半径长，进而画出即可．
34．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
A班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
B班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
A班 100 a 93 93 c
B班 99 95 b 93 8.4
（1）直接写出表中a、b、c的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班的成绩比B班好”，但也有人说B班的成绩要好，请给出两条支持B班成绩好的理由．
【答案】解：（1）A班的平均分==94，
A班的方差=，
B班的中位数为（96+95）÷2=95.5，
故答案为：a=94 b=95.5 c=12；
（2）①B班平均分高于A班；
②B班的成绩集中在中上游，故支持B班成绩好；
【解析】【分析】（1）求出A班的平均分确定出a的值，求出A班的方差确定出c的值，求出B班的中位数确定出b的值即可；
（2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持B成绩好的原因．
35．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中有三个小球，分别标有数字1、2、3，乙盒中有两个小球，分别标有数字4、5．每个小球除数字不同外其余均相同．小亮从甲盒中随机摸出一个小球，小丽从乙盒中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之积大于10的概率．
【答案】解：由题意可得：
共有6种等可能的结果数，其中摸出的小球上的数字之积大于10的结果数为2，
∴摸出的小球上的数字之积大于10的概率 ．
【解析】【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果以及摸出的两个小球上的数字之积大于10的情况数，再利用概率公式求解即可．
36．兴盛小区去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年绿化面积的年平均增长率.
【答案】解：设这两年的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，
开方得：1+x=1.2或x+1=﹣1.2，
解得：x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．
答：这两年的年平均增长率为20%．
【解析】【分析】设这两年的年平均增长率为x，第一次增长后绿化面积=5000+5000x=5000(1+x)，第二次增长后绿化面积=5000(1+x)+5000(1+x)x=5000，所以可得方程5000=7200，解方程即可求解。
37．三张卡片正面分别写有，，，除正面的数字不同外，其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的数字是偶数的概率为 ；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点的横坐标，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，记正面数字为点的纵坐标，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果，并求出点在反比例函数的图象上的概率．
【答案】（1）
（2）解：补充表格如下
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
共有种结果，只有和在反比例函数上，
点在反比例函数的图象上的概率为．
【解析】【解答】（1）解：，，中只有是偶数，
抽到的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等节能的结果，再求出点在反比例函数的图象上的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：，，中只有是偶数，
抽到的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）解：补充表格如下
共有种结果，只有和在反比例函数上，
点在反比例函数的图象上的概率为．
38．如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
【答案】解：设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，
由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化简，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）
即花砖路面的宽度为1米．
【解析】【分析】设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，根据“中间花圃的面积是126m2”列出方程（20－2x）（8－x）＝126， 求解即可。
39．一组数据2，3，4，x中，若中位数与平均数相同，求x的值．
【答案】解：当x≤2时，有 = ，解得x=1．
当2＜x＜4时，有 = ，解得x=3．
当x≥4时， = ，解得x=5．
则x的值为1或3或5
【解析】【分析】先分三种情况讨论，当x≤2时，2＜x＜4时，x≥4时，再根据中位数与平均数相同，列出算式，求出x的值即可得出答案．
40．已知排水管的截面为如图所示的 半径为13dm，圆心 到水面的距离是5dm，求水面宽.
【答案】解：过O点作OC⊥AB，连接OB，
∴AB=2BC，
在Rt△OBC中，BC2+OC2=OB2，
∵OB=13 ，OC=5 ，
∴BC= ），
∴AB=2BC=24（ ）.
答：水面宽AB为24 .
【解析】【分析】过O点作OC⊥AB，连接OB， 利用垂径定理可证得AB=2BC，再利用勾股定理求出BC的长，由此可得到AB的长.
41． 如图，公路 MN，PQ在点 P 处交会，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160 m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响 请说明理由；如果会受到噪声的影响，且拖拉机的速度为 18 km/h，那么学校受噪声影响的时间是多少秒
【答案】解：学校会受到噪声的影响.
理由如下：
过点 A 作AH⊥MN 于点 H，如图，
∵AP=160 m，∠QPN=30°，
∵80 m<100 m，
∴拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声的影响.
以点 A 为圆心，100m为半径作⊙A 交MN 于点 B，C，连结AB，AC.
∵AH⊥BC，∴BH=CH.
在 Rt△ABH 中，∵AB=100 m，AH=80 m ∴BC=2BH=120 m.
∵拖拉机的速度为18 km/h，18 km/h=5m /s，
∴拖拉机在线段 BC 上行驶的时间为
∴学校受噪声影响的时间为24 s.
【解析】【分析】先作AH⊥MN求出AH的长度，即可判断学校是否受到噪音影响；然后以点A为圆心，100m为半径作⊙A，交直线MN于点B、C，再根据垂径定理及勾股定理求出BC，进而计算出拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间.
42．2020年8月，今年第4号台风“黑格比”来袭，宁波市某镇被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=24米，拱高PM=8米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到8米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有1米，问是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】解：连结OB，
设半径为r，则 ，
即， ，解得r=13
， 即， 解得 =5 …8分
不需要采取紧急措施.
【解析】【分析】连接OB，OB1，利用垂径定理求出BM的长，利用勾股定理求出圆的半径，再求出ON的长，再利用勾股定理求出B1N的长；然后求出A1B1的长，将其与8比较大小可作出判断。
43．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根.如图，先画Rt，使，，再在斜边AB上截取，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根.
（1）用含a，b的代数式表示AD的长.
（2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax=b2的一个正根？请说明理由.
【答案】（1） b，
（2）解：线段 的长是一元二次方程 的一个正根.
理由如下：设 ， 则 .在 Rt 中， 由勾股定理， 得 ， 整理得 ， 线段 的长是一元二次方程 的一个正根.
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据AD=AB-BD，可求出AD的长.
（2）线段 的长是一元二次方程 的一个正根，将AD=x代入，可得到关于x，a，b的方程，将方程整理后可作出判断.
44．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y1= 的图象经过点B；反比例函数y2= 的图象经过点C（ ，m）．
（1）求点B的坐标；
（2）△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．
【答案】（1）解：∵CA⊥x轴，∠ACB=90°，
∴CB∥x轴．
∵将C（ ，m）代入函数y2= 得：n= = ，
∴点C（ ， ）．
∴点B的纵坐标为 ．
∵将y1= 代入得： = ，解得；x=2 ，
∴点B的坐标为（2 ， ）。
（2）解：如图所示：连接ME、MD、MF．
∵⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，
∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．
∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．
∴四边形CDME为矩形．
∵MD=ME，
∴四边形CDME为正方形．
∵在Rt△ACB中，AC= ，BC= ，
∴AB=2．
∵S△ACB= AC BC= （AC+BC+AB） r，
∴⊙M的半径= = ﹣1．
∴点M的坐标为（2 ﹣1，1）．
【解析】【分析】（1）由 y2= 的图象经过点C（ ，m)可得m=，再由 CB∥x轴 可知点B纵坐标为，代入 y1= 即可得B点坐标；
（2） 连接ME、MD、MF，由切线的性质及同圆半径相等可得 四边形CDME为正方形 ，再根据面积法即可 ⊙M的半径 ，据此可得点M的坐标。
45． 如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片．
（1）若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？
（2）若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？
【答案】（1）解：设裁去的正方形边长为xcm，
由题意得：(40-2x)(30-2x)=600，
解得：x=5或x=30(不合题意，舍)
答：裁去的正方形边长5cm.
（2）解：延长EF交CD于点P，
∵等边△NEF，
∴NF=EF，∠NFE=60°，
由矩形可得：EF=HK=NF=MQ，FK=FQ，∠NFQ=90°
∴设EF=NF=MQ=HK=2a，
由题意得：四边形CKFP为矩形，
∴FK=PC，FP=KC=BH
设FK=FQ=PC=x，
∵∠NFE=60°，
∴∠QFP=90°-60°=30°，∠FQP=60°，
在Rt△FQP中，，
∴
∵BH+HK+KC=40
∴①，
∵∠MQF =90°，
∴∠MQD=90°-∠FQP=30°，
∴在Rt△MQD中，，
∴由勾股定理得：，
∵l=DQ+PQ+PC
∴
∵①，
∴
过点N作NG⊥EF于点G，则GE=GF=a，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵当纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积)相等，，
∴
将代入①，
则①
解得：a=16cm，
∴等边三角形边长为32cm
【解析】【分析】(1)设裁去的正方形边长为xcm，由题意得：(40-2x)(30-2x)= 600，再解一元二次方程即可；
(2)延长EF交CD于点P，由题意可设EF=NF=MQ=HK=2a，设FK=FQ=PC=x，在Rt△FQP中，，则，那么①，在Rt△MQD中，，，则，过点N作NG⊥EF于点G，则GE=GF=a，则，而，则，解得，再代入①即可求解.
46．如图，在等腰△ABC中，已知AB=AC，∠ACB的平分线与边AB交于点P，S，M分别为△ABC的内切圆⊙I与边AB，BC的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D.求证：PD是⊙I的切线.
【答案】如图，连接IS，ID，IM.
∵AB，BC与⊙O相切，
∴IS⊥AB，IM⊥BC，
即∠PSI=∠IMC=∠IMB=90°.
设∠B=∠ACB=2α，则∠PCB=α，∠SPI=∠B+∠PCB=3α.
则∠SIP=90°-∠SPI=90°-3α.
∵MD∥AC，
∴∠DMB=∠ACB=2α，∠IMD=90°-∠DMB=90°-2α=∠IDM.
∴∠DIM=180°-∠IDM-∠IMD=4α，而∠MIC=90°-∠ICM=90°-α.
∴∠DIP=180°-∠DIM-∠MIC=90°-3α=∠SIP.
∵在△PIS和△PID中，PI=PI，∠SIP=∠DIP，SI=DI，
∴△PIS≌△PID.
∴∠PDI=∠PSI=90°，故PD是⊙I的切线
【解析】【分析】连接IS，ID，IM，根据切线的性质得到∠PSI=∠IMC=∠IMB=90°，设∠B=∠ACB=2α，则可求出∠SIP=90°-∠SPI=90°-3α.然后推理得到∠DIP=90°-3α，再证明△PIS≌△PID，即可得到对应角相等∠PDI=∠PSI=90°，得到结论即可.
47．据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得5000（1+x）2＝7200，
解得x1＝0.2，x2＝-2.2（舍去）．
答：平均增长率为20%；
（2）解：设售价应降低m元，
则每天的销量为（500+m）个．
根据题意可得（10-m-5）（500+m）＝2800，
解得m1＝，m2＝1（舍去）．
答：售价应降低元．
【解析】【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，列出关于x的一元二次方程即可；
（2）设售价应降低m元，根据利润公式列出关于m的一元二次方程求解，并结合实际情况判断.
48．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）求证：BD1=CE1；
（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；
（3）连接PA，△PAB面积的最大值为 ．（直接填写结果）
【答案】（1）解：∵等腰Rt△AD1E1由等腰Rt△ADE旋转得到，
∴∠EAD=∠E1AD1=90°，
∴∠EAD+∠D1AC=∠E1AD1+∠CAD1 ，
∴∠D1AB=∠E1AC，
∵AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC，AB=AC
∴△D1AB≌△E1AC
∴BD1=CE1
（2）解：由(1)知△ABD1≌△ACE1，可证∠CPD1=90°，
∴∠CAD1=45°，∠BAD1=135°
在△ABD1中，可以求得BD12=20+8
∴CE12=20+8
∴CE1=
（3） .
【解析】【解答】解：(3)作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，如图
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，
则BD1=
∴∠ABP=30°，
∴PB=2+
∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+ ，
∴△PAB的面积最大值为 AB×PG=2+ .
故答案为：2+ .
【分析】（1）由旋转的性质可知三角形ABD1与三角形ACE1是全等的，就可以得到BD1与CE1相等；
（2）由（1）的结论可知BD1与CE1是互相垂直的，且角∠CAD1=45°，延长BA与D1E1相交于一点M，且三角形D1BM是直角三角形，利用勾股定理即可求得BD1的值，从而求得CE1的长；
（3）由题意可知，BD1与以点A为圆心的圆相切时，此时点P到AB所在的直线距离最大，即三角形PAB的面积最大，求出点P到直线AB的距离就可以求得三角形PAB的面积。
49．如图，正方形的边长是是边的中点，是边上的一个动点，将沿着折叠，使得点落在点，连接．
（1）点在运动过程中，求的最小值；
（2）点在运动过程中，求面积的最小值；
（3）当是等腰三角形时，请直接写出的长度．
【答案】（1）解：如图1，以点E为圆心、AE长为半径作圆E，则B在圆E上，连接DE与圆E的交点为B，当E、B、D在同一条直线上，此时DB有最小值．
∴DB=DE-EB=
所以DB最小值是
（2）解：当点F运动到点C时，此时点B距离AD最短．此时△ADB的面积最小如图2，过点B作MN∥BC分别交AB，CD于点M，N，四边形AMND和四边形BMNC是矩形，
∴MN=AD=4
∵∠BMN=∠CNM=90°，∠B=∠EB C=90°
∠MBE+∠NBC=90°，∠MBE+∠MEB=90°
∴∠MEB=∠NBC
∴△MEB∽NBC(AA)
设AM=DN=x，则ME=2-x， NC=4-x，
解得．
面积的最小值为．
（3）1或2
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质与判定，折叠的性质，圆的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题．（1）以点E为圆心、AE长为半径作圆E，则B在圆E上，连接DE与圆E的交点为B，当E、B、D在同一条直线上，此时DB有最小值．在Rt△AED中勾股定理求出DE，而DB=DE-EB即可求解。
（2）当点F运动到点C时，此时点B距离AD最短．此时△ADB的面积最小，如图2，过点B作MN∥BC分别交AB，CD于点M，N. 用一线三直角模型证明△MEB∽NBC得到
设△ADB的高为x，根据比例关系， MB，NB的长度用含有x的代数式表示出来，根据 MB+NB=4，求出x的值，继而求出△ADB面积的最小值。
（3）分①当AD=BD=4时和②当AB=DB时两种情况求解即可．
①当AD=BD=4时，利用SSS证明△ADE≌△BDE，得到∠DAE=∠DBE=90°，有折叠知∠FBE=90°
即可说明D、B，F共线，设BF=x，有含有x的式子表示FC、DF，在直角三角形CDF中利用勾股定理求出x的值，
②当AB=DB时，B在AD的垂直平分线上，证明AEBH、EBFB均为正方形，BF=BE=2
（3） 由AE=EB=2，可知在△AEB中，AB＜AE+EB=4．AD=4，故AB＜4
若△AEB为等腰三角形，则只能为以下两种情况：
①当AD=BD=4时，连接DE，如图
AE=BE=BD，AD=BD ED=ED
∴△ADE≌△BDE．
∠DAE=∠DBE=90°．
由折叠可知∠FBE=90°，
∴∠FBD=∠FBE+∠EBD=180°
∴D、B、D三点共线．
设BF=FB=x，则CF=4-x DF=BF+BD=4+x．
由，得，
解得，
∴BF=1．
②当AB=DB时，B在AD的垂直平分线上，如图
AH=2，
B到AB的距离是2
此时AEBH、EBFB是正方形，B是正方形的中心.
BF=BE=2，
综上，BF的长度为1或2．
（1）如图1，以点为圆心、长为半径作圆，则在圆上，连接与圆的交点为，则此时有最小值．
是中点，
．
，
．
．
的最小值为．
（2）当点运动到点时，此时点距离最短．
如图2，过点作分别交于点，四边形和四边形是矩形，
∴．
由，得．
，
．
．
．
设，则，
．
，
，
解得．
．
面积的最小值为．
（3）由，可知在中，．
而，故．
若为等腰三角形，则只能为以下两种情况：
①当时，连接，
，
．
．
由折叠可知，
．
三点共线．
设，则．
由，得，
解得，
．
②当时，则点在的垂直平分线上，
点到的距离为．
，此时四边形为正方形．
．
综上，的长度为1或2．
50．如图1、图2是走廊上的一个半圆柜的俯视图，其中表示走廊且，是半圆的直径且长为是半圆的圆心，C，D是半圆上两点，且．
（1）求的长；
（2）将半圆柜绕点B顺时针旋转，当半圆O与相切于点E时，点A到的距离为，如图2，求之间的距离．
【答案】（1）解：连接，
∵直径，
，
又，
，
是等边三角形，
，
（2）解：过点A作于点F，连接，延长交于点G，
由题意，，
∵半圆O与相切于点E，
，
，
，
，
，
，
∵点O为的中点，
点G为的中点，
，
，
即之间的距离为．
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据弧长公式即可求出答案.
（2）过点A作于点F，连接，延长交于点G，由题意，，根据切线性质可得，再根据直线平行性质可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据三角形中位线定理可得OG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：连接，
∵直径，
，
又，
，
是等边三角形，
，
（2）解：过点A作于点F，连接，延长交于点G，
由题意，，
∵半圆O与相切于点E，
，
，
，
，
，
，
∵点O为的中点，
点G为的中点，
，
，
即之间的距离为．
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