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【临考冲刺·50道解答题专练】湘教版数学八年级上册期末总复习
1．基本概念与代数推理：
（1）若两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，则括号里面可填______；
（2）请说明，不管取何值，二次根式有意义．
2．如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D．
求证：
（1）△ACE≌△ABD．
（2）BE=CD．
3．如图，在中，的平分线交于点D．若，，则的度数为多少？
4．在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同），
（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．
5． 如图， 在△ABC中， AB=AC=5， BC=8， AD为BC边上的中线， 求AD 的长.
6．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=4，BC=3，AD=.
（1）求CD，BD的长；
（2）试说明△ABC是直角三角形.
7．如图，在ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
8．如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为18 cm，求DE的长.
9．（1）已知：，求的值.
（2）已知：，求的值.
10．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，求∠AOB的度数．
11．如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A=30°，∠CDB=65°，求∠B的度数.
12．如图，P是等边 内的一点，若将 绕点B旋转到 ，判断 的形状？
13．（1）如图，在与中，，，，求证：；
（2）如图，在与中，，，，点，，在一条直线上，与交于点，为中点，求的度数．
14．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在聊天.老人说：“我们俩的年龄的平方差是 195 ”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩的年龄的平方差也是195.”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩的年龄的平方差也是195.”请你想一想，这些人的年龄各是多少岁？
15．习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种文学名著，已知甲种书籍每本价格比乙种书籍每本价格多10元，用1000元单独购买甲种书籍与用800元单独购买乙种书籍数量相同．求甲、乙两种书籍每本价格分别为多少元？
16．某校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少50元，用1500元购买足球的数量是用1000元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，则学校最多可以购买多少个篮球？
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD=2.6cm，DE=1.2cm，求BE的长．
18．如图，在Rt中，，直线DE是边AB的垂直平分线，连结BE.
（1）若，求的度数.
（2）若，求的面积.
19．一个零件的形状如图B所示，按规定这个零件中∠A 和∠C 都应是直角.工人师傅测得这个零件各边尺寸(单位：cm)如图所示，这个零件符合要求吗 请说明理由.
20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足 ．试判定△ABC的形状．
21．如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，
（1）若∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠1=∠2，∠ABO=∠ADO，求证：BO=DO
22．2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度．
23．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN交BC于点D，连接AD，若∠C=28°，AB=BD；
求∠B的度数．
24．如图，P是正三角形内的一点，且．若将绕点B逆时针旋转后得到．求
（1）点P与点Q之间的距离；
（2）的度数．
25．如图所示，沿海城市B的正南方向A处有一台风中心，沿AC的方向以30 km/h的速度移动，已知AC所在的方向与正北成30°的夹角，B市距台风中心最短的距离BD为120 km，求台风中心从A处到达D处需要多少小时？（ ，结果精确到0.1）
26．如图，中，是上的高，平分，，，求的度数．
27．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数 ．
28．如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数．
29．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的大小．
30．已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
31．一辆轿车原计划从甲地匀速行驶到距离千米的乙地，出发后小时内按原计划的速度行驶，小时后以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前小时到达，求原计划的行驶速度．
32．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
33．“五一”江北水城文化旅游期间，几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，求原来参加游览的同学有多少人？
34．若 ，求 的值.
35．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示：
燃油车油箱容积：50升油价：8元/升续航里程：a千米 新能源车电池容量：80千瓦时电价：0.6元/千瓦时续航里程：a千米
据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元．
（1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少？
（2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
36．已知：如图，点 ， 在线段 上， ， ， ，求证 ．
37．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，．
【问题提出】
（1）如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______；
【尝试解决】
（2）在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；
【类比应用】
（3）如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长．
38．在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．
39．如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE＝FB，CF＝DE。求证∠AFC＝∠BED．
40．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路，测得千米，千米，千米．
（1）是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路短多少千米？
41．观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．
解分式方程：1﹣ ＝ ．
解：去分母，得2x+2﹣（x﹣3）＝3x，…步骤1
去括号，得2x+2﹣x﹣3＝3x，…步骤2
移项，得2x﹣x﹣3x＝2﹣3，…步骤3
合并同类项，得﹣2x＝﹣1，…步骤4
解得x＝ ．…步骤5
所以，原分式方程的解为x＝ ．…步骤6
42．通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是 1滴水 (以20滴水为1g计)中大约有多少个水分子 假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个， 日夜不停，大约需要多长时间才能数完
43．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm．点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动．当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形；
（2）如图1，设D点的运动时间为ts，当t为多少时，∠DCB＝90°；
（3）如图2，设D点的运动时间为ts，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，说明理由．
44．如图（1），在和中，D为边上一点，平分．
图（1） 图（2）
（1）求证：；
（2）如图（2），若，连接交于为边上一点，满足，连接交于．
①求的度数；
②若平分，试说明：平分．
45． 已知：在中，，．
（1）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连结、，连结．
求证：；
求证：；
（2）在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结请补全图形，若，求．
46．某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
47．意大利著名画家达 芬奇验证勾股定理的方法如下：
①在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并连接BC、FE．
②沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ，请动手做一做．
③将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其他的图形．
④比较两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积，你能验证勾股定理吗？
48．如图，已知，，，将边绕点C逆时针旋转角至的位置，连接.
（1）求的度数；
（2）过点作的垂线，与交于点E，交的延长线于点F，连接.求证：是等腰直角三角形.
49．如图，已知直线EF与直线AB，直线CD分别交于点E，F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）求证：AB∥CD；
（2）点G是射线MD上的一个动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交直线CD 于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①点G在点F右侧，且β＝70°，求α的度数；
②点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出结论．
50．已知：如图，，平分，D是边上一点，将射线沿平移至射线，交于点F，E在F右侧，M是射线上一点（与D不重合），N是线段上一点（与D，F不重合），连接，.
（1）请在图1中根据题意补全图形；
（2）求的度数（用含，的式子表示）；
（3）点G在射线OF上（与O，F不重合），且满足，画出符合题意的图形，并探究与的数量关系.
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【临考冲刺·50道解答题专练】湘教版数学八年级上册期末总复习
1．基本概念与代数推理：
（1）若两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，则括号里面可填______；
（2）请说明，不管取何值，二次根式有意义．
【答案】（1）或
（2）解：
不管取何值，二次根式都有意义。
【解析】【解答】（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，
括号里面可填或，
故答案为：或。
【分析】（1）根据平方差公式的定义，然后再进行求解即可。
（2）先对二次根式进行展开，然后再进行运算，最后再根据完全平方的性质，即可求解
（1）解：两个二项式相乘，刚好满足平方差公式，
括号里面可填或，
故答案为：或；
（2）不管取何值，二次根式都有意义．
2．如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D．
求证：
（1）△ACE≌△ABD．
（2）BE=CD．
【答案】（1）证明：于点于点，.
在和中，
（2）∵△ACE≌△ABD，
.
又，
，
.
【解析】【分析】（1）根据垂线的性质，可得∠AEC=∠ADB=；根据三角形全等的判定（AAS），可得 △ACE≌△ABD .
（2）根据全等三角形的性质，可得AE=AD；根据等量代换原则，可得BE=CD.
3．如图，在中，的平分线交于点D．若，，则的度数为多少？
【答案】解：，，
，
的平分线交于点，
，
．
故答案为：．
【解析】【分析】由三角形内角和定理，根据， 可得，由角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质，即可求解．
4．在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同），
（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．
【答案】（1）解：列表如下：
红 红 蓝
红 （红，红） （蓝，红）
红 （红，红） （蓝，红）
蓝 （红，蓝） （红，蓝）
由表知，共有6种等可能结果，其中两次摸到一红一蓝的有4种结果，
∴两次摸到一红一蓝的概率为；
（2）解：设后来放入的蓝球有x个，
根据题意，得：，
解得 x=9，
经检验：x=9是分式方程的解，
答：后来放入袋中的蓝球有9个．
【解析】【分析】（1）根据列表法计算等可能事件概率即可.
（2） 根据题意建立方程求解放入蓝球的数量，使得摸到蓝球的概率达到给定值.
5． 如图， 在△ABC中， AB=AC=5， BC=8， AD为BC边上的中线， 求AD 的长.
【答案】解：因为AB=AC=5，BC=8，AD为BC边上的中线
所以
所以在直角三角形ADC中，
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，再利用勾股定理即可得出答案.
6．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=4，BC=3，AD=.
（1）求CD，BD的长；
（2）试说明△ABC是直角三角形.
【答案】（1）解：因为CD⊥AB，
所以∠ADC=∠BDC=90°.
所以△ADC和△BDC都是直角三角形.
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，
所以CD=
在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2，
所以BD=
所以CD的长为，BD的长为
（2）解：由（1）可得AB=AD+BD=+=5
在△ABC中，因为AC2+BC2=32+42=25，AB2=52=25，
所以AC2+BC2=AB2....分
所以△ABC为直角三角形
【解析】【分析】(1) 由CD⊥AB得△ADC和△BDC都是直角三角形，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出CD，在Rt△BCD中，利用勾股定理列式计算即可求出BD ；
(2)根据AB=AD+BD求出AB的长，从而得到 AC2+BC2=AB2 ，再利用勾股定理逆定理证明.
7．如图，在ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
【答案】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADC＝90°，
∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC，
而∠BAC＝180° ∠B ∠C，
∴∠EAC＝90° ∠B ∠C，
∵∠DAC＝90° ∠C，
∴∠DAE＝∠DAC ∠EAC＝90° ∠C （90° ∠B ∠C）
＝（∠B ∠C）
=（70° 40°）
＝15°．
【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质，根据垂直定义由AD⊥BC，得到∠ADC＝90°，再利用角平分线定义得∠EAC＝∠BAC，然后由三角形内角和定理得∠BAC＝180° ∠B ∠C，∠DAC＝90° ∠C，得到∠DAE＝（∠B ∠C），即可求解．
8．如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为18 cm，求DE的长.
【答案】解：∵点C在AE的垂直平分线上，
∴CA=CE，
∵AD⊥BE，BD=DC，
∴AB=AC，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC=18，
∴2AC+2DC=18，
∴AC+DC=9，
∴DE=DC+CE=AC+CD=9（cm）.
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA=CE，AB=AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
9．（1）已知：，求的值.
（2）已知：，求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：8
【解析】【解答】（1）
=（xa）3×（xb）5
=23×（）5
=8×
=；
（2）
=（23）x.（25）y÷22
=23x+5y-2
=25-2
=23=8.
【分析】（1）根据幂的乘方的逆运用及同底数幂相乘的逆运用即可得出答案；
（2）根据幂的乘方，同底数幂的乘除法即可得出答案。
10．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，求∠AOB的度数．
【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
（2）解：∵∠D＝90°，∠DAB＝70°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝20°，
由（1）得△ABC≌△BAD，
∴∠BAC＝∠ABD＝20°，
∴∠AOB＝180°-∠ABD-∠BAC＝180°-20°-20°＝140°，
∴∠AOB的度数是140°．
【解析】【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABD＝20°，然后根据全等三角形的对应角相等得到∠BAC＝∠ABD＝20°，然后根据三角形的内角和定理解答即可.
11．如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A=30°，∠CDB=65°，求∠B的度数.
【答案】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD.
∵∠CDB=∠A+∠ACD，
∴∠ACD=∠CDB-∠A=65°-30°=35°.
∴∠ACB=2∠ACD=70°.
∴∠B=180°-（∠A+∠ACB）=80°.
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ACB=2∠ACD，根据外角的性质可得∠CDB=∠A+∠ACD，据此求出∠ACD、∠ACB的度数，然后结合内角和定理进行计算.
12．如图，P是等边 内的一点，若将 绕点B旋转到 ，判断 的形状？
【答案】解：等边三角形，理由如下：
连接 ，根据旋转的性质可知，
旋转角 ， ，
为等边三角形.
故答案为：等边三角形
【解析】【分析】根据旋转的性质即可得到对应角相等以及对应边相等，即可得到三角形为等边三角形。
13．（1）如图，在与中，，，，求证：；
（2）如图，在与中，，，，点，，在一条直线上，与交于点，为中点，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，最后利用角的运算求出即可．
14．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们在聊天.老人说：“我们俩的年龄的平方差是 195 ”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩的年龄的平方差也是195.”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩的年龄的平方差也是195.”请你想一想，这些人的年龄各是多少岁？
【答案】解：设这些人的年龄从高到低分别为x，y，a，b，m，n，则由题意可得：x2-y2=a2-b2=m2-n2，即（x+y）（x-y）=（a+b）（a-b）=（m+n）（m-n）=195.∵195=1×195=3×65=5×39=13×15（最后一组数据不符合题意，舍去），
∴
解得：
所以两位老人的年龄分别是98岁、97 岁，中年夫妇的年龄分别是34岁、31岁，两个青年的年龄分别是22岁、17岁.
【解析】【分析】由题意可知：这两个老人，两个年青人，一对中年夫妇的年龄都是正整数，而且年龄差不大。所以由意可得：x2-y2=a2-b2=m2-n2，即（x+y）（x-y）=（a+b）（a-b）=（m+n）（m-n）=195.然后列方程组 ，，，分别求出方程组的解，验证即可.
15．习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种文学名著，已知甲种书籍每本价格比乙种书籍每本价格多10元，用1000元单独购买甲种书籍与用800元单独购买乙种书籍数量相同．求甲、乙两种书籍每本价格分别为多少元？
【答案】解：设甲种书籍每本价格为x元，
由题意可列方程
解得
经检验是原分式方程的解
乙种书籍：（元/本）
答：甲种书籍每本价格为50元，则乙种书籍每本价格为40元．
【解析】【分析】设甲种书籍每本价格为x元，可得乙种书籍每本价格为元，结合用1000元单独购买甲种书籍与用800元单独购买乙种书籍数量相同，建立方程，解方程即可求出答案.
16．某校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少50元，用1500元购买足球的数量是用1000元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，则学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设每个足球x元，每个篮球元，
根据题意得：，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
，
答：每个足球75元，每个篮球100元．
（2）解：设买篮球m个，则买足球个，由题意得：，
解得．
∴ 最多购进篮球80个．
【解析】【分析】（1）根据“用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的2倍”数量关系列方程求解并检验即可；
（2）根据总费用不超过元列出一元一次不等式求解即可.
（1）解：设每个足球x元，每个篮球元，
根据题意得：，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
，
答：每个足球75元，每个篮球100元．
（2）设设买篮球m个，则买足球个，
由题意得：，
解得．
∴ 最多购进篮球80个．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD=2.6cm，DE=1.2cm，求BE的长．
【答案】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠CDA=90°．
∴∠ACD+∠DAC=90°．∠ACD+∠BCD=90°．
∴∠BCD=∠DAC．
在△CEB 和△ADC中
∴△CEB≌△ADC（AAS）．
∴CE=AD=2.6cm，
∴BE=CD=CE-DE=2.6cm-1.2cm=1.4cm．
【解析】【分析】可先证明△BCE≌△CAD，可求得CE=AD，结合条件可求得CD，则可求得BE．
18．如图，在Rt中，，直线DE是边AB的垂直平分线，连结BE.
（1）若，求的度数.
（2）若，求的面积.
【答案】（1），
是 的垂直平分线，
，
．
（2）在 Rt 中， ，
， 由勾股定理，得
，
，
．
的面抧是 ．
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质求出. 根据线段垂直平分线的性质得出 求出 再求出答案即可；
(2)根据勾股定理求出BC，即可得到AC，再根据三角形的面积公式求出的面积即可.
19．一个零件的形状如图B所示，按规定这个零件中∠A 和∠C 都应是直角.工人师傅测得这个零件各边尺寸(单位：cm)如图所示，这个零件符合要求吗 请说明理由.
【答案】解：这个零件不符合要求.理由如下：由题图可知，AD=8cm，AB=23 cm，DC=20cm，BC=15 cm，BD=25 cm，所以 所以△ABD 不是直角三角形，△BDC 是直角三角形，所以∠A≠90°，∠C=90°，故这个零件不符合要求
【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足 ．试判定△ABC的形状．
【答案】解： 变形为：a4+b4+ c4﹣a2c2﹣b2c2=0，∴（a4﹣a2c2+ c4）+（b4﹣b2c2+ c2）=0，∴ + =0，∴a=b，a2+b2=c2，所以△ABC为等腰直角三角形
【解析】【分析】将a、b、c满足的等式右边的项移到左边可得：a4+b4+ c4﹣a2c2﹣b2c2=0，然后拆项并分组得：（a4﹣a2c2+ c4）+（b4﹣b2c2+ c2）=0，用完全平方公式整理得：，根据平方的非负性可得，于是可得a=b，两边相加可得，根据勾股定理的逆定理可得△ABC为等腰直角三角形。
21．如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，
（1）若∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠1=∠2，∠ABO=∠ADO，求证：BO=DO
【答案】（1）证明：在△ABC 和△ADC 中
∴△ABC △ADC(ASA)
（2）证明： 在△AOB 和△AOD 中
∴△AOB △AOD（AAS）
∴BO=DO
【解析】【分析】（1）由已知两组对应角相等，再结合公共边AC即可用ASA证明三角形全等。
（2）由已知两组对应角相等，再结合公共边A0即可用AAS证明△AOD≡△AOB，即可证BO=DO。
22．2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度．
【答案】解：设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑米，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义，
答：小明乐跑活动后每分钟跑300米．
【解析】【分析】设小明乐跑活动后每分钟跑x米，因为乐跑活动后跑步速度每分钟提升了60米，所以小明乐跑活动前每分钟跑(x 60)米。根据公式：时间 = 路程÷速度，分别表示出乐跑活动前后跑不同路程所用的时间。再根据“乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同”这一关键等量关系列出分式方程。最后求解方程并检验，得到符合实际情况的答案。
23．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN交BC于点D，连接AD，若∠C=28°，AB=BD；
求∠B的度数．
【答案】解：由作图知MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC=28°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=56°，
又∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=56°，
则∠B=180°﹣∠BAD﹣∠BDA=68°
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=DC，利用等边对等角可得∠C=∠DAC=28°，利用三角形外角的性质可求出∠ADB的度数，利用等边对等角可得∠BAD=∠BDA=56°，利用三角形内角和定理即可求出∠B的度数.
24．如图，P是正三角形内的一点，且．若将绕点B逆时针旋转后得到．求
（1）点P与点Q之间的距离；
（2）的度数．
【答案】（1）解：（1）如图，连接，
∵将绕点B逆时针旋转后，得到．
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点P与点Q之间的距离为4；
（2）解：（2）∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，进而求解；
（2）利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．
（1）解：如图，连接，
∵将绕点B逆时针旋转后，得到．
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点P与点Q之间的距离为4；
（2）∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
25．如图所示，沿海城市B的正南方向A处有一台风中心，沿AC的方向以30 km/h的速度移动，已知AC所在的方向与正北成30°的夹角，B市距台风中心最短的距离BD为120 km，求台风中心从A处到达D处需要多少小时？（ ，结果精确到0.1）
【答案】解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵∠BAD=30°，BD=120km，
∴AB=2BD=240km，
根据勾股定理得：AD= =120 km，
∵ ≈1.73，
∴从A到D处需要 =4 ≈6.9小时．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AD，此处有一个隐含条件，30°所对的直角边是斜边的一半
26．如图，中，是上的高，平分，，，求的度数．
【答案】解：在中，，，，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，，
∴，，
∴．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据角平分线定义可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAD，再根据角之间的关系即可求出答案.
27．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数 ．
【答案】（1）解：由题意得：∠ACB＝180°-（∠BAC+∠B）＝180°-（70°+40°）＝70°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴．
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°-∠BAC＝20°，
∴∠DCE＝∠ACE-∠ACD＝35°-20°＝15°．
（2）
【解析】【解答】解：（2）由题意得：∠ACB＝180°-（∠BAC+∠B）＝180°-（α+β），
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°-（α+β），
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°-∠BAC＝90°-α，
∴∠DCE＝∠ACE-∠ACD＝90°-（α+β）-（90°-α）＝．
故答案为：．
【分析】（1）根据角平分线求出 ，再根据三角形的高求出 ∠ADC＝90°， 最后计算求解即可；
（2）利用三角形的内角和等于180°求出∠ACB＝180°-（∠BAC+∠B）＝180°-（α+β），再根据角平分线求出∠ACE＝∠ACB＝90°-（α+β），最后计算求解即可。
28．如图，E是等边三角形的边上一点，，，求的度数．
【答案】解：∵E为等边的边上一点，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
【解析】【分析】根据证明推出AD=AE，∠CAD=∠BAE，进而可得是等边三角形即可求得.
29．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的大小．
【答案】解：∵ ，
∴
又∵ 、 分别是 的高和角平分线，
∴ ，
∴
【解析】【分析】先求出，，再利用三角形外角的性质可得。
30．已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式对所求式子进行变形，再整体代入，，进行计算即可求解.
(2)先提取公因式ab，再利用完全平方公式将原式分解为，然后整体代入，，进行计算即可求解.
31．一辆轿车原计划从甲地匀速行驶到距离千米的乙地，出发后小时内按原计划的速度行驶，小时后以原计划速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前小时到达，求原计划的行驶速度．
【答案】解：设原计划的速度为千米/小时，出发小时行驶千米，剩余千米，
小时后行驶速度为千米/小时，因为结果比原计划提前小时到达，
可列方程：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
原计划的行驶速度是千米/小时．
【解析】【分析】设原计划的速度为千米/小时，出发小时行驶千米，剩余千米，利用“ 结果比原计划提前小时到达 ”列出方程，再求解即可.
32．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
【答案】解：在△ABC中，
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°-40°-60°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝40°+60°＝100°．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据AD是△ABC的角平分线求出∠CAD的度数，最后根据三角形外角和定理求出∠ADB的度数.
33．“五一”江北水城文化旅游期间，几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，求原来参加游览的同学有多少人？
【答案】解：设原来参加游览的同学有多x人，则出发时的人数为（x+2），
依题意，得： ，
解得：x1=10，x2=-12，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意.
答：原来参加游览的同学有10人.
【解析】【分析】设原来参加游览的同学有多x人，则出发时的人数为（x+2），根据人均费用=总计÷人数结合实际每个同学比原来少摊了3元钱车费，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.
34．若 ，求 的值.
【答案】解：∵
∴a＋b＝5ab，
∴
＝
＝
＝
＝ .
【解析】【分析】根据等式的基本性质将已知等式变形，然后利用整体代入法和分式的基本性质约分即可求出分式的值.
35．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示：
燃油车油箱容积：50升油价：8元/升续航里程：a千米 新能源车电池容量：80千瓦时电价：0.6元/千瓦时续航里程：a千米
据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元．
（1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少？
（2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）解法一：依题意，得，
解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
．
答：燃油车每千米的行驶费用为0.625元，新能源车每千米的行驶费用为0.075元．
解法二：设燃油车每千米的行驶费用为x元，则新能源车每千米的行驶费用为元．
依题意，得
解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意
．
答：燃油车每千米的行驶费用为0.625元，新能源车每千米的行驶费用为0.075元．
（2）设每年行驶的里程为m千米．
依题意，得，
解得．
答：当每年的行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低．
【解析】【分析】（1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元列出方程，求得，再进行计算即可；
（2）设每年行驶的里程为m千米，根据题意列出一元一次不等式，解不等式可得答案．
36．已知：如图，点 ， 在线段 上， ， ， ，求证 ．
【答案】证明： ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【解析】【分析】由已知得出 ，利用 证明 ，即可得出结论．
37．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，．
【问题提出】
（1）如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______；
【尝试解决】
（2）在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；
【类比应用】
（3）如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长．
【答案】（1）等边三角形
（2）解：由（1）知，△BCD≌△B'AD，∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB'的面积，
∵BC＝AB'＝1，
∴BB'＝AB+AB'＝2+1＝3，
∴S四边形ABCD＝S△BDB'＝.
（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，
∴△BDM≌△CDP，
∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，
又∵△ABC等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
同理可得∠NCD＝90°，
∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，
∴∠DCN+∠DCP＝180°，
∴N，C，P三点共线，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，
即∠MDN＝∠PDN＝60°，
∴△NMD≌△NPD（SAS），
∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．
故△AMN的周长为4．
【解析】【解答】（1）解：∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，
∴BD＝B'D，∠BDB'＝60°，
∴△BDB'是等边三角形；
故答案为：等边三角形
【分析】（1）利用旋转的性质得到线段相等与角为，结合等边三角形的判定定理得出三角形形状.
（2）通过旋转全等将四边形面积转化为等边三角形面积，再利用等边三角形面积公式计算.
（3）通过旋转构造全等三角形，将的长度转化为，进而将的周长转化为的长度.
（1）解：∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，
∴BD＝B'D，∠BDB'＝60°，
∴△BDB'是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）解：由（1）知，△BCD≌△B'AD，
∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB'的面积，
∵BC＝AB'＝1，
∴BB'＝AB+AB'＝2+1＝3，
∴S四边形ABCD＝S△BDB'＝；
（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，
∴△BDM≌△CDP，
∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，
又∵△ABC等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
同理可得∠NCD＝90°，
∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，
∴∠DCN+∠DCP＝180°，
∴N，C，P三点共线，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，
即∠MDN＝∠PDN＝60°，
∴△NMD≌△NPD（SAS），
∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．
故△AMN的周长为4．
38．在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．
【答案】（1）证明：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴，
∴△ABD是直角三角形
（2）解：由（1）可知 △ABD是直角三角形∠ADB=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，DC==9．
【解析】【分析】（1）根据题意可知，根据勾股定理的逆定理可判断出△ADB为直角三角形；
（2）在Rt△ADC中利用勾股定理可得出DC的长度．
（1）解：证明：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°；
（2）∵∠ADB=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，DC==9．
39．如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE＝FB，CF＝DE。求证∠AFC＝∠BED．
【答案】证明：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
即AF=BE，
∵Rt△ACF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△BDE（HL），
∴∠AFC＝∠BED.
【解析】【分析】先求出AF=BE，再利用“HL”证明Rt△ACF和Rt△BDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFC＝∠BED．
40．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路，测得千米，千米，千米．
（1）是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路短多少千米？
【答案】（1）解：∵在中，，
，
∴是以为直角的直角三角形，
∴，
∵点到直线垂线段的长度最短，
∴是村庄到河边的最近路；
（2）解：设，千米，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
千米，
∴比短千米．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，进而确定最近路；
（2）设未知数，利用勾股定理建立求解方程，再计算路程差．
（1）解：∵在中，，
，
∴是以为直角的直角三角形，
∴，
∵点到直线垂线段的长度最短，
∴是村庄到河边的最近路；
（2）解：设，
千米，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
千米，
∴比短千米．
41．观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．
解分式方程：1﹣ ＝ ．
解：去分母，得2x+2﹣（x﹣3）＝3x，…步骤1
去括号，得2x+2﹣x﹣3＝3x，…步骤2
移项，得2x﹣x﹣3x＝2﹣3，…步骤3
合并同类项，得﹣2x＝﹣1，…步骤4
解得x＝ ．…步骤5
所以，原分式方程的解为x＝ ．…步骤6
【答案】解：出错的步骤：
步骤1：去分母时，方程两边同时乘2（x+1），等号右边应该是6x；
步骤2：遇到负号去括号时要变号，等号左边﹣3改成+3；
步骤3：移项要变号，等号右边是3﹣2；
步骤6：分式方程的根要检验．
符合题意结果：
1﹣ ＝ ．
2x+2﹣（x﹣3）＝6x
2x+2﹣x+3＝6x
2x﹣x﹣6x＝﹣2﹣3
﹣5x＝﹣5
x＝1
检验：把x＝1代入2（x+1）≠0，所以原分式方程的解是x＝1
【解析】【分析】先去分母，再利用整式方程的计算方法求解即可。
42．通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是 1滴水 (以20滴水为1g计)中大约有多少个水分子 假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个， 日夜不停，大约需要多长时间才能数完
【答案】解：由题意可得：
1滴水的质量水0.05g=5×10-5kg
∴(5×10-5)÷(3×10-26)≈1.67×1021（个）
∴(1.67×1021)÷(10×108×100)=1.67×1010(min)
∴1滴水中大约有个水分子，需要1.67×1010(min)才能数完.
【解析】【分析】结合同底数幂的除法列式计算即可求出答案.
43．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm．点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动．当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形；
（2）如图1，设D点的运动时间为ts，当t为多少时，∠DCB＝90°；
（3）如图2，设D点的运动时间为ts，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形．
（2）解：当∠DCB＝90°时，△BCD是直角三角形，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBD＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴BC＝BD，
∵△ABC是边长为4cm，
∴AB＝BC＝4（cm），
∴BD＝8（cm），
∵OA＝6cm，
∴OB＝OA＋AB＝10（cm），
∴OD＝OB﹣DB＝10﹣8＝2（cm），
∴t＝，
当t为2时，∠DCB＝90°．
（3）解：存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD＋4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD＝2（cm），
∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝(2＋4)cm
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得∠DCE＝60°，DC＝EC，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得∠CBD＝60°，则∠CDB＝30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BD＝8，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据旋转性质可得BE＝AD，根据三角形周长可得C△DBE＝4＋DE，再根据等边三角形性质可得DE＝CD，则C△DBE＝CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，即可求出答案.
44．如图（1），在和中，D为边上一点，平分．
图（1） 图（2）
（1）求证：；
（2）如图（2），若，连接交于为边上一点，满足，连接交于．
①求的度数；
②若平分，试说明：平分．
【答案】（1）证明：∵CA平分∠BCE，
∴∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；
（2）解：①解：在△BCF和△DCG中，，
∴△BCF≌△DCG（SAS）；
∴∠CBF＝∠CDG，
在△BCF和△DHF中，∵∠BFC＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠ACB＝60°；
②证明：如图（2）所示：
由（1）得：△ABC≌△EDC，
∴∠DEC＝∠A，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ECM＝60°，
∵EB平分∠DEC，
∴∠DEC＝2∠1，
∵∠ECM＝∠2+∠1＝60°，∠DCM＝∠A+∠ABC＝120°，
∴∠A+∠ABC＝2（∠2+∠1）＝2∠2+2∠1＝2∠2+∠A，
∴∠ABC＝2∠2，
∴BE平分∠ABC．
【解析】【分析】（1）先运用角平分线的性质得到∠ACB＝∠ECD，进而根据三角形全等的判定（SAS）即可求解；
（2）①先根据三角形全等的判定与性质即可得到∠CBF＝∠CDG，进而结合题意即可得到∠DHF＝∠ACB＝60°；
②先根据三角形全等的性质得到∠DEC＝∠A，进而结合题意得到∠ECM＝60°，再根据角平分线的性质得到∠DEC＝2∠1，从而结合题意运用角平分线的判定即可求解。
45． 已知：在中，，．
（1）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连结、，连结．
求证：；
求证：；
（2）在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结请补全图形，若，求．
【答案】（1）证明：如图：
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，且，
，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
；
过点作于点，如图：
由知：，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：补全图形如下：
以为顶点，为一边作，设交于，
∵，，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【解析】【分析】（1）①先根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质结合题意进行角的运算得到，进而得到，从而运用三角形全等的判定与性质证明≌得到，，等量代换即可求解；
②过点作于点，由知：，进而根据含30度角的直角三角形的性质得到，从而进行线段的运算即可求解；
（2）先根据题意补全图形，以为顶点，为一边作，设交于，进而根据等腰三角形的性质结合题意得到，再根据旋转得到，，从而结合题意证明≌即可得到，再证明≌得到，最后根据即可求解。
46．某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】（1）解：设乙每天加工新产品件，则甲每天加工新产品件．
根据题意得，解得，经检验，符合题意，则，
所以甲、乙两个工厂每天各能加工16个、24个新产品；
（2）解：甲单独加工完成需要天，费用为：元，
乙单独加工完成需要天，费用为：元；
甲、乙合作完成需要天，费用为：元．
所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作．
【解析】【分析】（1）设乙工厂每天加工的数量是x，利用总件数÷它们的工作效率=它们的工作时间，找到正确的等量关系：甲工厂加工的时间-乙工厂加工的时间＝20 ，列方程即可。
（2）分别计算出甲单独加工完成，乙单独加工完成，甲乙合作完成需要的时间和费用 ，比较大小选择既省时又省钱的加工方案即可。
47．意大利著名画家达 芬奇验证勾股定理的方法如下：
①在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并连接BC、FE．
②沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ，请动手做一做．
③将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其他的图形．
④比较两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积，你能验证勾股定理吗？
【答案】解：∵四边形ABOF、四边形CDEO是正方形，
∴OB=OF，OC=OE，∠BOF=∠COE=90°，
∴∠BOC=∠FOE=90°，
在△BOC和△FOE中，
∴△BOC≌△FOE（SAS），
同理可证△BOC≌△B′A′F′≌△E′D′C′，
∴BC=EF，B′C′=B′F′=F′E′=E′C′，设BC=EF=c，
∴四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′=c，
∵∠DEF=∠A′F′E′，∠OEF=∠A′F′B′，
∴∠B′F′E′=90°，
∴四边形B′C′E′F′是正方形，
∵两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积相等，
∴正方形ABOF的面积+正方形OCDE的面积=正方形B′C′F′的面积，
∴a2+b2=c2．
【解析】【分析】只要证明四边形B′C′E′F′是正方形，再证明△BOC≌△FOE，同理可证△BOC≌△B′A′F′≌△E′D′C′，推出BC=EF，B′C′=B′F′=F′E′=E′C′，设BC=EF=c，推出四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′=c，由两个多边形ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的面积相等，推出正方形ABOF的面积+正方形OCDE的面积=正方形B′C′F′的面积，即a2+b2=c2．
48．如图，已知，，，将边绕点C逆时针旋转角至的位置，连接.
（1）求的度数；
（2）过点作的垂线，与交于点E，交的延长线于点F，连接.求证：是等腰直角三角形.
【答案】（1）解：∵CA＝CD，∠ACD＝α，∴∠CDA＝∠CAD＝90°－α．
∵CA＝CB，CA＝CD，∴CB＝CD．
又∠BCD＝90°－α，∴∠CDB＝∠CBD＝45°＋α．
∴∠ADB＝∠CDA＋∠CDB＝90°－α＋45°＋α＝135°．
（2）解：∵CB＝CD，CE⊥BD，∴DE＝BE．∴CF垂直平分BD．
∴FD＝FB．
∴∠FBD＝∠FDB＝180°－∠ADB＝45°．
在△FBD中，∠BFD＝180°－∠FBD－∠FDB＝90°．
∴△BFD是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质分别用α表示∠CAD和∠CDB，然后即可求∠ADB；
（2）利用旋转的性质可以证明CE是BD的垂直平分线，然后利用（1）的结论即可证明．
49．如图，已知直线EF与直线AB，直线CD分别交于点E，F，EM平分∠AEF交直线CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）求证：AB∥CD；
（2）点G是射线MD上的一个动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交直线CD 于点H，过点H作HN∥EM交直线AB于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①点G在点F右侧，且β＝70°，求α的度数；
②点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出结论．
【答案】（1）证明：∵EM平分∠AEF，∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD；
（2）解：①
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN∥EM，
∴∠EHN＝∠HEM＝∠HEF+∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EHN＝∠HEF+∠FME＝α，
∵∠EGF＝180° ∠FME ∠GEM
＝180° ∠FME ∠FEM 2∠HEF
＝180° 2(∠FME+∠HEF)，
∴β＝180° 2α，
∵β＝70°，
∴70°＝180° 2α
解得α＝55°．
②α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180° 2α．
理由如下：
当点G在点F的右侧，由上题得α＝180° 2β，
当点G在点F的左侧时，如下图，
∵EH平分∠FEG，
∴∠HEF＝∠HEG，
∵HN∥EM，
∴∠EHN＝∠HEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠EGF＝∠FME+∠GEM＝∠FEM+∠GEM
＝∠GEM+2∠HEG+∠GEM＝2(∠GEM+∠HEG)＝2∠HEM，
∴∠EGF＝2∠EHN，
即β＝2α，
综上所述，α和β之间的数量关系为β＝2α或β＝180° 2α．
【解析】【分析】（1）由EM平分∠AEF 可得 ∠AEM＝∠FEM ，又已知 ∠FEM＝∠FME． 等量代换可知∠AEM=∠FME，由图易知这是一组内错角，据平行线的判定可知结论成立；
（2）①由EH平分∠FEH得到∠HEF=∠HEG，再根据平行线的性质得到∠EHN=∠HEM=∠HEF+∠FEM，由于∠FEM=∠FME，则三角形内角和定理得到∠EGF=180°-2（∠FME+∠HEF），即β=180°-2α，然后把β=70°代入可计算出α的值；
②当点G在点F的右侧，由①得α=180°-2β；当点G在点F的左侧时，如图2，由EH平分∠FEH得到∠HEF=∠HEG，根据平行线的性质得到∠EHN=∠HEM，由于∠FEM=∠FME，利用三角形外角性质得到∠EGF=∠FME+∠GEM=2（∠GEM+∠HEG）=2∠HEM，即β=2α，综上所述，α和β之间的数量关系为β=2α或β=180°-2α．
50．已知：如图，，平分，D是边上一点，将射线沿平移至射线，交于点F，E在F右侧，M是射线上一点（与D不重合），N是线段上一点（与D，F不重合），连接，.
（1）请在图1中根据题意补全图形；
（2）求的度数（用含，的式子表示）；
（3）点G在射线OF上（与O，F不重合），且满足，画出符合题意的图形，并探究与的数量关系.
【答案】（1）解：图形如图1所示：
（2）解：∵将射线 沿平移至射线，
∴，
∴，
∴；
（3）解：结论：．
理由：如图，设直线交于H．．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵
，
∴
【解析】【分析】（1）根据题中画图要求画出即可；
（2）由二直线平行，同位角相等得，进而根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得；
（3）结论：∠ENM=180°-2∠ENG，理由如下：设直线GN交OA于H，；由已知可得，结合（2）的结论可得，进而根据对顶角相等、三角形外角性质及角平分线的定义可得∠ENG，从而整体替换可得答案.
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