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【临考冲刺·50道填空题专练】湘教版数学九年级上册期末总复习
1．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
2．已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
3．若甲、乙、丙、丁四个同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为s甲2＝0.80，s乙2＝1.31，s丙2＝1.72，s丁2＝0.42，则成绩最稳定的同学是 ．
4．从小到大排列的一组数 ，如果这组数据的平均数与中位数相等，则 的值为 ．
5．如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
6．若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为 ．
7．已知x，y，z满足，且，则 ．
8．已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数是3，方差是 ，那么另一组数据 ， ， ， ， 的平均数是 ，方差是 ．
9．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程，且有两个相等的实数根，则 ．
10．已知，点在某反比例函数的图象上，若该反比例函数的图象也经过点、、，则、、之间的大小关系是 .（用“＜”连接）
11．当x= ，y= 时，代数式 的最小值为 .
12．如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围部是 ．
14．已知，那么 ．
15． 若一组数据 的平均数和众数都是 3 ， 则这组数据的中位数为 .
16．计算：
= .
17．新冠病毒传染性很强，如不注重个人防疫，有一个人感染，经过两轮传染后共有144人会被感染．若设平均每轮传染x人，则可列方程为 ．
18．已知、是方程的两根，则代数式的值为 ．
19．如图是路灯维护工程车，如图是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，米，当，时，则工作篮底部到支撑平台的距离是 米．
20．若一元二次方程ax2 bx 2022＝0有一根为x＝ 1，则a＋b＝ .
21．对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2－ab，例如1※3＝12－1×3．若x※4＝0，则x＝ ．
22．若的解是x1=-2，x2=1，则的解是 .
23．某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
24．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是 ．
25． 如图，在中，，，，的顶点在轴的正半轴上，点，点在第一象限，且直角边平行于轴，反比例函数且的图象经过点和边的中点，则的值为 ．
26．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是 个．
27．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感。在如图所示的五角星中，，且C，D两点都是的黄金分割点，则的长为 ．
28．一名高山滑雪运动员沿着斜坡滑行，他在点D处相对大树顶端A的仰角为，从D点再滑行米到达坡底的C点，在点C处相对树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上），则大树的高度 米（结果保留根号）．
29．有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．
30．已知关于x的一元二次方程满足，则方程必有一个根为 ．
31．如图，矩形中，，点E在边上，与相交于点F．设，，当时，y关于x的函数解析式为 ．
32．已知a是方程x2+3x-1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
33．已知关于 的方程 的一个根是1，则 ．
34．若，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
35．已知关于一元二次方程，有下列说法：
①若则；
②若方程两根为1和2，则；
③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根；
④若，则方程有两个不相等的实数根.
其中正确的是 .（填写序号）
36．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为
37．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，．
38．若菱形的边长为10，内角，则菱形的面积为 .
39．已知x ，x 分别是一元二次方程. 的两个实数根，则的值是 .
40．将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在y轴上.反比例函数y=（x>0）的图象恰好经过点D，且AD=2BD，若∠OBC =60°，S△ABC=12，则k的值为 .
41．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 ．
42．小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在和之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则 （填“1班”，“2班”或“3班”）的可供挑选的空间最大．
身高/厘米频数班级 合计
1班 1 8 12 14 5 40
2班 10 15 10 3 2 40
3班 5 10 10 8 7 40
43．如图，在△ABC中，BC＝16
如图甲，B1是AB的中点，BC∥B1C1，则B1C1＝8
如图乙，B1、B2是AB的三等分点，BC∥B1C1∥B2C2，则B1C1＋B2C2＝ ；
如图丙，B1、B2、…、Bn是AB的（n＋1）等分点，BC∥B1C1∥B2C2∥…∥BnCn，则BC＋B1C＋B2C2＋…＋BnCn＝ ．
44．如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ．
45．如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为 .
46．如图，将面积为的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点，连接交AD于点E.若，则的长为 .
47．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正确的有 （填序号）．
48．如图，在矩形 中，将 绕点D逆时针旋转 得到 ，使得B、F、E三点恰好在同一直线上， 与 相交于点G，连接 ．以下结论正确的是 ．
① ；
② ；
③点F是线段 的黄金分割点；
④ ．
49．如图，正三角形ABC的边长为8，点为BC边上一个动点（不与点B，C重合），以CD为边向下作正三角形CDE，连结AD并延长交BE于点，则的度数为 ；当时，的值为 .
50．如图， 的顶点 的坐标为 在第一象限.反比例函数 和 的图象分别经过 ， 两点，延长BC交 轴于点 .设 是反比例函数 图象上的动点.若 的面积是 面积的2倍， 的面积等于 ，则 的值为 .
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【临考冲刺·50道填空题专练】湘教版数学九年级上册期末总复习
1．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
【答案】m＞
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，
∴Δ<0，
即，
解得m＞．
故答案为：m＞．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出，再计算求解即可.
2．已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为.
【分析】根据比例中项的概念可得：a、b的比例中项为，据此计算.
3．若甲、乙、丙、丁四个同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为s甲2＝0.80，s乙2＝1.31，s丙2＝1.72，s丁2＝0.42，则成绩最稳定的同学是 ．
【答案】丁
【解析】【解答】∵S
甲2＝0.80，S
乙2＝1.31，S
丙2＝1.72，S
丁2＝0.42，∴S
丁2＜S
甲2＜S
乙2＜S
丙2，∴成绩最稳定的是丁，故答案为丁同学.
【分析】 首先比较出S甲2，S乙2，S丙2，S丁2的大小关系，然后根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出成绩最稳定的同学是谁即可．
4．从小到大排列的一组数 ，如果这组数据的平均数与中位数相等，则 的值为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵这组数据的中位数和平均数相等，
∴（4+x）÷2=（2+4+10+x）÷4，
解得：x=8．
故答案为：8．
【分析】利用中位数和平均数的定义及计算方法求解即可。
5．如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：因为双曲线与直线交于，两点，直线经过原点，
所以、两点关于原点对称，
又因为·点的坐标为，所以点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的中心对称性（反比例函数的图象属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线）判断即可．
6．若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为 ．
【答案】2或8
【解析】【解答】解：设最短边为x，由题意得，
10：20=4：x，或10：20=x：4，
∴x=8或2．
故答案为： 2或8．
【分析】先求出10：20=4：x，或10：20=x：4，再计算求解即可。
7．已知x，y，z满足，且，则 ．
【答案】14
【解析】【解答】解：设，
则，，，
代入得：
解得：，
.
故答案为：14.
【分析】设=t，则x=3t-4，y=2t-3，z=4t-8，代入x-2y+z=12中求出t的值，进而可得x.
8．已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数是3，方差是 ，那么另一组数据 ， ， ， ， 的平均数是 ，方差是 ．
【答案】10；
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，
∴数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的平均数是3×3+1＝10，
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是×32＝，
∴数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的方差是.
故答案为：10；.
【分析】根据平均数的变化规律，可得出数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的平均数是3×3+1；根据方差的变化规律，由数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为，求出数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是×32，即可求出数据据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的方差.
9．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程，且有两个相等的实数根，则 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵方程是“湘”方程，
∴，
∴①，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴②，
将①代入②，得，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据题目中”湘“方程的定义得①，由一元二次方程根的判别式得②，然后将①代入②求出dd 值，从而得的值，进而得的值.
10．已知，点在某反比例函数的图象上，若该反比例函数的图象也经过点、、，则、、之间的大小关系是 .（用“＜”连接）
【答案】
【解析】【解答】解：∵点在某反比例函数的图象上，且
∴k=＞0
∴该反比例函数的图象经过一、三象限
又∵点、、
∴根据反比例函数图象的性质可知，
故答案为：.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得k=＞0，可知该反比例函数的图象经过一、三象限，即得在每个象限内，y随x的增大而减小，据此解答即可.
11．当x= ，y= 时，代数式 的最小值为 .
【答案】2；1；1
【解析】【解答】解：)2+ ，
∴当x-2y=x-2=y-1=0，原式有最小值，
即x=2，y=1时，原式有最小值，
∴原式的最小值是1.
【分析】先对原式进行分组凑成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性即可得出答.
12．如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作于H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，，再根据角之间的关系可得，由正切定义可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围部是 ．
【答案】且
【解析】【解答】解： ∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且K≠0，
解得： 且 。
故答案为： 且 。
【分析】 一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是：a≠0，b2-4ac>0。
14．已知，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】由得到代入进行化简从而求解.
15． 若一组数据 的平均数和众数都是 3 ， 则这组数据的中位数为 .
【答案】3
【解析】【解答】解：∵数据中众数为3，
∴x、y中至少有一个为3，设x=3，
∵数据中平均数为3，
∴（1+5+2+3+3+y）÷6=3，
解得y=4，
∴对数据进行排列后为1，2，3，3，4，5，
∴中位数为3.
故答案为：3.
【分析】通过数据中众数为3，可知数据中3不只一个，即x、y中至少有一个为3，假设x为3，此时未知的数据只剩下y ，再通过平均数为3，可求出y值为4，最后确定中位数即可.
16．计算：
= .
【答案】
【解析】【解答】解：
=
=
.
故答案为：
.
【分析】从左到右，分别计算60°的正切值、非零数的零次幂、30°的余弦值、及负整数指数幂，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
17．新冠病毒传染性很强，如不注重个人防疫，有一个人感染，经过两轮传染后共有144人会被感染．若设平均每轮传染x人，则可列方程为 ．
【答案】1+x+(1+x)x=144
【解析】【解答】第一轮后共有（1+x）人被感染，第二轮后每个人传染x人，则有(1+x)x人被感染
由题意得：1+x+(1+x)x=144
故答案为：1+x+(1+x)x=144
【分析】根据“ 经过两轮传染后共有144人会被感染 ”列方程即可得到答案。
18．已知、是方程的两根，则代数式的值为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：x1、x2为2x2-3x+1=0的两个根，由根于系数的关系得x1+x2=，x1x2=，
∴
故答案为：1.
【分析】利用根于系数的关系求出x1+x2、x1x2的值，再代入求解即可.
19．如图是路灯维护工程车，如图是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，米，当，时，则工作篮底部到支撑平台的距离是 米．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，交于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵米，
∴，
∴，
∴米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴（米），
即工作篮底部到支撑平台的距离是米，
故答案为：．
【分析】过点作于点，交于点，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据直线平行性质可得，根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．若一元二次方程ax2 bx 2022＝0有一根为x＝ 1，则a＋b＝ .
【答案】2022
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有一根为，
∴a+b-2022=0，
∴a+b=20202.
故答案为：2022.
【分析】将x=-1代入方程中并化简可得a+b的值.
21．对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2－ab，例如1※3＝12－1×3．若x※4＝0，则x＝ ．
【答案】0或4
【解析】【解答】解：※，
，
，
，，
或4，
故答案为：0或4．
【分析】根据a※b＝a2－ab， 由x※4＝0可得，解出方程的解即可.
22．若的解是x1=-2，x2=1，则的解是 .
【答案】-5或-2
【解析】【解答】解：∵的解比的解小3
的解是x1=-2，x2=1
∴的解是x1=-2-3=-5，x2=1-3=-2
故答案为：-5或-2.
【分析】由题意可得方程a(x-h+3)2+k=0的解比方程a(x-h)2+k=0的解小3，据此求解.
23．某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可知2021年底的新注册用户达到万；2022年底的新注册用户达到万.
∴列方程如下：.
故答案为：.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
24．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是 ．
【答案】∠A=∠CBD或∠CDB=∠ABC或
【解析】【解答】解：添加∠CBD=∠A．
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB．
添加
∵∠C=∠C， ，
∴△CBD∽△CAB．
添加
∵
∴
又∠C=∠C
∴△CBD∽△CAB
故答案为：∠A=∠CBD或∠CDB=∠ABC或 ．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
25． 如图，在中，，，，的顶点在轴的正半轴上，点，点在第一象限，且直角边平行于轴，反比例函数且的图象经过点和边的中点，则的值为 ．
【答案】12
【解析】【解答】解： ∵在中，，，
∴，
∵边的中点 ，
∴AD=2，
∴B（4，），D（2，）
∴，
解得：k=12。
故答案为：12。
【分析】先用勾股定理求出AC的长度，再用k表示点B和点D的坐标，最后利用BC=3建立方程求解。
26．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是 个．
【答案】5
【解析】【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据摸出红球的频率稳定在0.25左右得：
=0.25，
解得x=5，
∴袋子中红球的个数可能是5个.
故答案为： 5.
【分析】设袋子中红球有x个，利用摸出红球的频率稳定在0.25左右即可列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
27．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感。在如图所示的五角星中，，且C，D两点都是的黄金分割点，则的长为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵ 点C，D两点都是AB的黄金分割点 ，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
解之：CD=1.
故答案为：1
【分析】利用点C，D两点都是AB的黄金分割点 ，可得到，根据AC+BD=AB+CD，代入可用含CD的代数式表示出AB，再根据AB=AD+BD+CD，代入可用含CD的代数式表示出AB，由此可得到关于CD的方程，解方程求出CD的长.
28．一名高山滑雪运动员沿着斜坡滑行，他在点D处相对大树顶端A的仰角为，从D点再滑行米到达坡底的C点，在点C处相对树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上），则大树的高度 米（结果保留根号）．
【答案】6+4
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥CE于点H，过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
设BC＝a米，由题意知CD＝米，
∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，
∴，
设DH＝x米，则CH＝3x米，
∵DH2＋CH2＝DC2，
∴，
∴x＝2，
∴DH＝2米，CH＝6米，
∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴四边形DHBG为矩形，
∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a＋6）米，
∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝a（米），
∴AG＝（a 2）米，
∵∠ADG＝30°，
∴，
∴，
∴a＝，
∴AB＝，
故答案为：．
【分析】过点D作DH⊥CE于点H，过点D作DG⊥AB于点G，设DH＝x米，则CH＝3x米，利用勾股定理可得DH2＋CH2＝DC2，，求出x的值，再结合，可得，求出a的值，最后求出AB的长即可.
29．有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．
【答案】1；
【解析】【解答】解：
根据题中的方法，可令图中的正方形的四个角位置上的正方形的边长为，则大正方形的边长为（x+3），得到大正形的面积为（x+3）2=x2+6x+9=7+9=16，所以x+3=4，得到x=1；
阴影部分每个正方形的边长为.
故答案为：1；.
【分析】利用题中方法，可以直接得出阴影部分正方形的边长；再利用正方形面积公式和 得到（x+3）2=16，进而得出小正方形的边长x的值.
30．已知关于x的一元二次方程满足，则方程必有一个根为 ．
【答案】x=-1
【解析】【解答】解：将x＝ 1代入ax2＋bx＋c＝0得：a b＋c＝0，
∴x＝ 1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
故答案为：x= 1．
【分析】根据a b＋c＝0可知x＝ 1时满足此条件．
31．如图，矩形中，，点E在边上，与相交于点F．设，，当时，y关于x的函数解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵四边形是矩形
∴∠BAD=，BC=AD=8，AB=CD=6
∴在ABD中，BD=
∴FD=BD BF=10 y
又∵ADBC
∴FEDFBC
∴
∴
∴
故答案为
【分析】利用相似证出FEDFBC，得出代入求解即可。
32．已知a是方程x2+3x-1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
【答案】2023
【解析】【解答】解：∵a是方程x2+3x-1＝0的一个实数根，
∴a2+3a-1=0，
∴a2+3a=1，
∴2a2+6a+2021=2（a2+3a）+2021=2×1+2021=2023.
故答案为：2023.
【分析】由题意将a代入一元二次方程，变形可得a2+3a=1，然后整体代换可求解.
33．已知关于 的方程 的一个根是1，则 ．
【答案】-24
【解析】【解答】解：∵方程 的一个根是1，
∴1+6+m2-2m+5=0，
∴m2-2m=-12，
∴2（m2-2m）=-24．
∴
故答案为：-24
【分析】将x=1代入方程中求出m2-2m=-12，将原式变形为2（m2-2m），然后代入计算即可.
34．若，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】-7
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根
∴m+n=2，mn=-5
∴
故答案为：-7
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得m+n=2，mn=-5，化简代数式，再整体代入即可求出答案。
35．已知关于一元二次方程，有下列说法：
①若则；
②若方程两根为1和2，则；
③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根；
④若，则方程有两个不相等的实数根.
其中正确的是 .（填写序号）
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0有一根为-1，
又∵a≠0，
∴b2-4ac≥0，故①正确；
由根与系数的关系可知， 1×2＝
c
a
，整理得：2a+c=0，故②正确；
若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，
∴b2-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故③正确；
若b=2a+c，则Δ=b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2＞0，
即方程有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：①②③④.
【分析】 根据根的判别式的关系，判断①③④；根与系数的关系判断②．
36．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为
【答案】4
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ = ，
∴AC2=AD AB=2×8=16，
∵AC＞0，
∴AC=4.
故答案为：4.
【分析】易证△ADC∽△ACB，然后根据相似三角形的性质进行求解.
37．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，．
【答案】70
【解析】【解答】解：，，
，
时，
，，
．
故答案为：70．
【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出，有∠BDC=∠ABC=70°，据此求解。
38．若菱形的边长为10，内角，则菱形的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AB=BC=10，
∵∠ABC=60°，
∴AE=AB·sin60°=10×=，
∴S菱形ABCD=BC·AE=10×=.
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据菱形的性质可得AB=BC=10，根据三角函数的概念可得AE，然后根据S菱形ABCD=BC·AE进行计算.
39．已知x ，x 分别是一元二次方程. 的两个实数根，则的值是 .
【答案】0
【解析】【解答】解：∵ x ，x 分别是一元二次方程x2-x-4=0的两个实数根，
∴，，
∴x1x2+4(x1+x2)=-4+4×1=0.
故答案为：0.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数，可求出x1x2及x1+x2的值，然后整体代入待求式子计算可得答案.
40．将一块含30°角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在y轴上.反比例函数y=（x>0）的图象恰好经过点D，且AD=2BD，若∠OBC =60°，S△ABC=12，则k的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：
设BE=a，
依题意得：∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，
∵∠OBC=60°，
∴∠DBE=180°-(∠OBC+∠ABC)=60°，
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠DBE=30°
∴BD=2BE=2a，
由勾股定理得：，
∵AD=2BD，
∴AD=4a，
∴AB=AD+BD=6a，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴，
由勾股定理得：
，
在Rt△OBC中，∠OCB=90°-∠OBC=30°，
∴
∴
∴点D的坐标为点
∵反比例函数(x>0)的图象恰好经过点D，
∴
∵S△ABC=12，
∴，
∴，
解得：
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，设BE=a，利用含有30°角的直角三角形性质及勾股定理得BD=2a，，AB=6a，进而得BC=3a，，，则，继而得点D，则，根据S△ABC=12，即可得出k的值.
41．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，
∴ 3m2﹣4m+n2=2m2﹣4m+m2+n2=1+（m+n）2-2mn
=1+22-2×（）=6.
故答案为：6.
【分析】由根与系数的关系可得2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，将原式化为2m2﹣4m+（m+n）2-2mn，再代入计算即可.
42．小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在和之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则 （填“1班”，“2班”或“3班”）的可供挑选的空间最大．
身高/厘米频数班级 合计
1班 1 8 12 14 5 40
2班 10 15 10 3 2 40
3班 5 10 10 8 7 40
【答案】1班
【解析】【解答】解：身高在和之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，
因此可挑选空间最大的是一班，
故答案为：1班．
【分析】利用频数的大小求解即可。
43．如图，在△ABC中，BC＝16
如图甲，B1是AB的中点，BC∥B1C1，则B1C1＝8
如图乙，B1、B2是AB的三等分点，BC∥B1C1∥B2C2，则B1C1＋B2C2＝ ；
如图丙，B1、B2、…、Bn是AB的（n＋1）等分点，BC∥B1C1∥B2C2∥…∥BnCn，则BC＋B1C＋B2C2＋…＋BnCn＝ ．
【答案】16；16+8n
【解析】【解答】解：在图乙中，∵B1、B2是AB的三等分点，BC∥B1C1∥B2C2，
∴；
∴＝＝，＝＝，
∴B1C1＝BC，B2C2＝BC，
∴B1C1+B2C2＝BC+BC＝BC＝16，
那么在图丙中，同理可得，B1C1＝BC，B2C2＝BC，Bn n＝BC，
∴BC+B1C1+B2C2+…+Bn n＝BC+＝BC+＝．
故答案为：16；16+8n．
【分析】根据相似三角形的性质，和等分点求出边与BC的相似比，找出规律，计算出BC+B1C1+B2C2+…+Bn n的值。
44．如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可知：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，
点坐标为，点坐标为，
∴，
，
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
四边形是以为边的正方形，且点坐标为，
，
，
=，
∴，
∴，
，
四边形是以为边的正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
=，
点的坐标为，
正方形的边长为3，
同理可得：，
，
=，
∴，
∴，
，
四边形是以为边的正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
=，
同理可得：正方形的边长是9，，，，，，
，
根据以上规律可以得出：，为整数），
，
的长为．
故答案为：．
【分析】先利用等腰直角三角形得性质、勾股定理和三角函数求出、的长，找出规律，为整数），再根据规律即可求得的长.
45．如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接DC，设平行线间的距离为h，
AD=2a，如图所示：
∵ ，
，
∴S△DEF=S△DEA，
又∵S△DEF=1，
∴S△DEA=1，
同理可得： ，
又∵S△ADC=S△ADE+S△DEC，
∴ ，
又∵平行线是一组等距的，AD=2a，
∴ ，
∴BD=3a，
设C到AB的距离为k，
∴ ak，
，
∴ ，
又∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，
∴ .
故答案为： .
【分析】在三角形中由同底等高，同底倍高求出 ，根据平行线分线段成比例定理，求出 ，最后由三角形的面积的和差法求得 .
46．如图，将面积为的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点，连接交AD于点E.若，则的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，设CC'交BD于点O，
设CD=a，BC=b，则ab=①，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠DCE+∠BCE=90°，
由折叠知：CC'⊥BD，C'O=CO，
∴∠DEC=90°，
∴∠ECD+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠BCE，
∴△CDE∽△ADC，
∴即
∴b=a2②，
联立①②求出a=4，b=，
∴CD=4，BC=，
∴BD==12，
∵△BCD的面积=BC·CD=BD·CO，
∴CO=，
∴CC'=2CO=.
故答案为：.
【分析】设CC'交BD于点O，设CD=a，BC=b，则ab=①，证△CDE∽△ADC可得，据此求出b=a2②，联立①②求出a、b值，即得BC、CD的长，再利用勾股定理求出BD的长，根据△BCD的面积=BC·CD=BD·CO，可求出CO，由折叠知C'O=CO，继而求出CC'的长.
47．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△ECF．其中正确的有 （填序号）．
【答案】②④
【解析】【解答】解：tan∠BAE＝ ，
∴∠BAE≠30°，故①不符合题意；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴ ，
∵BE＝CE＝ BC，
∴ ＝ ＝4，
∴S△ABE＝4S△ECF，故④符合题意；
∴CF＝ EC＝ CD，
∴CD＝4CF，
故③不符合题意；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴AE＝2 a，EF＝ a，AF＝5a，
∴ ， ，
∴ ，
∴△ABE∽△AEF，故②符合题意．
∴②与④符合题意．
故答案为：②④．
【分析】由正方形的性质和三角函数得出∠BAE＜30°，①不符合题意；由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，得出②符合题意，CF=13FD，③不符合题意；进而又可得出△ABE∽△AEF，得出④符合题意，即可得出题中结论．
48．如图，在矩形 中，将 绕点D逆时针旋转 得到 ，使得B、F、E三点恰好在同一直线上， 与 相交于点G，连接 ．以下结论正确的是 ．
① ；
② ；
③点F是线段 的黄金分割点；
④ ．
【答案】②③④
【解析】【解答】解：
∵△FDE是由△ADC旋转得到，
∴△FDE≌△ADC，
∴AD=DF，DC=DE，∠DEF=∠DCA，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，即∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠DAC+∠E=90°，
∴∠AGE=90°，即AC⊥BE，故②符合题意；
∵AC⊥BE，
∴∠BGC=90°，
而△AGD为锐角三角形，
则△BGC和△AGD不相似，故①不符合题意；
∵AD∥BC，
∴△FCB∽△FDE，
∴ ，
∵BC=AD=DF，DE=DC，
∴ ，即点F是线段CD的黄金分割点，故③符合题意；
在EF上取EG′=CG，连接DG′，
∵DC=DE，∠DCG=∠E，
∴△DCG≌△DEG′（SAS），
∴DG=DG′，∠CDG=∠EDG′，
∵∠EDG′+∠CDG′=90°，
∴∠CDG+∠CDG′=90°，即DG⊥DG′，
∴△DGG′是等腰直角三角形，
∴GG′= DG，
∴EG′+GG′=CG+ DG=EG，故④符合题意，
故答案为：②③④．
【分析】由△FDE是由△ADC旋转得到，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAC+∠DCA=90°，即AC⊥BE，故②符合题意；由∠BGC=90°，而△AGD为锐角三角形，则△BGC和△AGD不相似，故①不符合题意；由△FCB∽△FDE和BC=AD=DF，DE=DC，得出 ，即点F是线段CD的黄金分割点，故③符合题意；在EF上取EG′=CG，连接DG′，通过△DCG≌△DEG′，得出△DGG′是等腰直角三角形，故④符合题意。
49．如图，正三角形ABC的边长为8，点为BC边上一个动点（不与点B，C重合），以CD为边向下作正三角形CDE，连结AD并延长交BE于点，则的度数为 ；当时，的值为 .
【答案】60°；或
【解析】【解答】解：∵三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
在△BDF中，∠AFB=180°-∠CBE-∠BDF，
在△ACD中，∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°，
又∵∠ADC=∠BDF，
∴∠AFB=∠ACD=60°，
作FG∥AC交于点G，如图：
∵三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，
∴AC=BC=8，∠ACD=∠EDC=60°，CD=DE，
∴AC∥DE，
∴FG∥AC∥DE，
∴△ACD∽△FGD，△BGF∽△BDE，
∴，
∴FG=2，DC=4DG，
设DG=x，则DC=4x，BD=BC-CD=8-4x，BG=BD-DG=8-5x，
∵△BGF∽△BDE，
∴，
即，
整理得：5x2-10x+4=0，
解得：，
当时，，，
故；
当时，，，
故；
故的值为或；
故答案为：60°；或.
【分析】根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°角可得AC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，CD=CE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应角相等可得∠CAD=∠CBE，根据三角形的内角和是180°和对顶角相等可得∠AFB=∠ACD=60°；作FG∥AC交于点G，由等边三角形三条边相等，三个角都是60°角得AC=BC=8，∠ACD=∠EDC=60°，CD=DE，由内错角相等，两直线平行得AC∥DE，由平行于同一条直线的两直线平行得FG∥AC∥DE，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边或两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ACD∽△FGD，△BGF∽△BDE， 由相似三角形的对应边之比相等可得FG=2，DC=4DG，设DG=x，则DC=4x，BD=8-4x，BG=8-5x，根据相似三角形的对应边之比相等可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再求BD和的值.
50．如图， 的顶点 的坐标为 在第一象限.反比例函数 和 的图象分别经过 ， 两点，延长BC交 轴于点 .设 是反比例函数 图象上的动点.若 的面积是 面积的2倍， 的面积等于 ，则 的值为 .
【答案】6.4
【解析】【解答】解：∵ 的顶点 的坐标为 ，
∴ 轴， .
∵反比例函数 和 的图象分别经过C，B两点，
∴
∴
∴
∴
∴
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴
∴
∵ 的面积等于 ，
∴ ，即 ，解得 .
故答案为：6.4.
【分析】根据反比例函数的性质求出CD=BC=2，则可求得OD= ，然后根据△POA的面积是△PCD面积的2倍列式求出xp=3， 根据△POD的面积等于2k - 8，建立关于k的方程求解，即可解答.
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