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【临考冲刺·50道解答题专练】湘教版数学九年级上册期末总复习
1．在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式电流与电阻之间的函数关系如图．
（1）写出Ⅰ 与R的函数解析式；
（2）结合图象回答：当电路中的电流不超过 12 A时，电路中电阻 R的取值范围是什么
2．某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．
（1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程
3．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法.“互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展. 请根据下面张老师与记者的对话内容，求2014年到2016年中国在线教育市场产值的年平均增长率.
4．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为 ， ，此时热气球C处所在位置到地面上点A的距离为400米.求地面上A，B两点间的距离.
5．如下图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？
6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 ；
（3）过点作轴，垂足为，求．
7．如图，在长为50m、宽为38m的长方形地面内的四周修筑同样宽的道路余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2 ，道路的宽应为多少？
8．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 ▲ 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 ▲ 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
9．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东 方向以每小时15海里的速度航行，甲沿南偏西 方向以每小时 海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东 方向追赶乙船，正好在B处追上 甲船追赶乙船的速度为多少海里 小时？
10．如图，某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52 米到达坡顶点 B 处，然后在点 B 处测得大楼顶点 C 的仰角为53°，已知斜坡AB 的坡比为1：2.4，点 A 到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度 CD(参考数据：
11．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等）
（1）求的长度：
（2）小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由．
12． 4月18日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝A，小江抓着风筝线的一端站在D处，他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°，同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC＝30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°，已知小江与居民楼的距离CD＝40米，牵引端距地面高度DE＝1.5米，根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.414).
13．如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD的顶部其仰角为27°．如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）
14．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数。
15．如图：两座建筑物AB、CD相距60米，从点A测得D点的俯角为30°，从A点下降10米到E点，在E点测得C点的俯角为43°求两座建筑物的高度．（精确到0.1）（参考数据： ≈1.73，cos43°≈0.73，sin43°≈0.68，tan43°≈0.93）
16．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为 米，tanA= ．现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）
17．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0有一个根为﹣1，求k的值及方程的另一个根．
18．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得，观测者目高，则树高约是多少
19．如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
20． 银行在某储蓄所抽样调查了50名顾客，他们的等待时间(从进入银行到接受受理的时间间隔，单位：min)如下：
15 20 18 3 25 34 6 0 17 24
23 30 35 42 37 24 21 1 14 12
34 22 13 34 8 22 31 24 17 33
4 14 23 32 33 28 42 25 14 22
31 42 34 26 14 25 40 14 24 11
将数据适当分组，并绘制相应的频数直方图。
21．为了了解某校七年级学生100m跑成绩(精确到0.1s)，对该年级全部学生进行100m跑测试，把测得的数据分成五组，绘制成如下所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).
某校七年级全部学生100 m跑成绩频数表
成绩段(s) 频数
12.5~13.5 32
13.5～14.5 a＋16
14.5～15.5 112
15.5～16.5 a
16.5～17.5 32
（1）求该年级学生的总人数.
（2）把频数直方图补充完整.
（3）求该年级100m跑成绩不超过15.5s的学生人数占该年级全部学生人数的百分比.
22．写出下列问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是变量 哪些是常量
（1）用总长为60 m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系；
（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔的数量x(支)之间的关系；
（3）运动员在400 m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系.
23．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
24．数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)
25．某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力F（单位：N）一定时，木板面积S（单位：m2）与人和木板对地面的压强p（单位：Pa）成反比例。当木板面积为0.2m2时，人和木板对地面的压强为3000PA。
（1）求P关于S的函数表达式：
（2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少
（3）如果要求压强不超过1200Pa，木板面积至少要多大？请说明理由。
26． 如图，在平行四边形中，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，且．
（1）求证：∽；
（2）如果，，求的长．
27．学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？
28．如图，直线经过两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
29．如图，在矩形中，，在边 上是否存在一点 E，使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
30．某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从的增加到年的．
（1）求这种无籽西瓜平均每年增产的百分率；
（2）若平均每年增产率不变，年该西瓜地的无籽西瓜产量能突破吗？
31．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα= ，求t的值．
32．如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶端处的仰角为求旗杆的高．精确到米
参考数据：，，
33．如图是一种机器零件的左视大致图形，已测得，，，，，，求点E到直线CD之间距离EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：，，，）
34．已知m 为一元二次方程. 的根，求 的值.
35．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：
（ 1 ）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0.
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0.
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意.舍去）
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0.
解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意.舍去）
∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2.
（ 2 ）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0.
36．直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件．
（1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为 件；
（2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？
37．如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C．已知DC⊥BC，AB⊥BC．∠A=60°，AB=11m，CD=4m．求管道A-D-C的总长.
38．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图．小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在地上的影子高度，，（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高是1.7m．请你帮小明求出楼高．
39．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．若AB=6，AD=12，BE=8，求：DF的长，以及四边形DCEF的面积。
40．先化简，再求值： ，其中 ．
41．如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB于点F.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形.
（2）若AE平分∠BAC，BE=5，cosB=，求BF和AD的长.
42．为了解学生对五一劳动节上映的《长空之王》与《灌篮高手》两部电影的评价，某调查小组从该校八年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
《长空之王》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
《灌篮高手》的得分统计图：
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：
平均数 众数 中位数
《长空之王》 8.2 8.5
《灌篮高手》 7.8 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的 ， ．
（2）根据上述数据，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）．
43．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a+0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值.
44．某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．）
45．今年贵州榕江村超爆火出圈，全国各地足球爱好者闻讯而至．在某一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员A、C、D，与乙队的防守球员B的位置如图所示．此时足球在球员A脚下，他想将球绕过对手B传至队友D处，再由D经线路DC回传给队友C．已知对手B在A的北偏东60°方向，AB＝12米．球员C在对手B的正东方向，BC＝3米．球员D在队友C的正北方向，且在队友A的北偏东30°方向．（参考数据：≈1.73）
（1）求传球线路CD的长（结果精确到1米）；
（2）根据对手B的跑动和拦截范围估计，对手B可以破坏掉在B点5米范围内的球．球员D经线路DC传球给队友C的同时，队友C沿CD方向去接球，已知球速为10m/s，球员C的平均速度为5m/s．计算说明球员C是否能避开防守顺利接到球？
46．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，连接．
（1）求反比例函数的解析式，并直接写出的面积： ；
（2）动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于，若以为顶点的四边形是平行四边形，求值．
47．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
48． 问题 1： 如图 ①， 在四边形 中， 是 上一点， ， ， 求证： ．
问题 2： 如图 ②， 在四边形 中， 是 上一点， ， ． 求 的值．
49．如图的方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上；
（1）在图中画出以AB为腰，面积为7.5的等腰△ABC，且点C在格点上；
（2）在图中画出平行四边形ABDE，且点D、E均在格点上，使tan∠EAC＝ ，连接CD，请直接写出线段CD的长．
50．已知点A（1，a），点B的横坐标为m（m＞1）均在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y=的图象经过点A，过点B作BD⊥x轴于D，交反比例函数y=的图象于点C，连接AC．
（1）当m＝2时，求直线AC的解析式；
（2）当AB＝2OA时，求BC的长；
（3）是否存在一个m，使得S△BOD＝3S△OCD，若存在，求出m的值，不存在，说明理由。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【临考冲刺·50道解答题专练】湘教版数学九年级上册期末总复习
1．在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式电流与电阻之间的函数关系如图．
（1）写出Ⅰ 与R的函数解析式；
（2）结合图象回答：当电路中的电流不超过 12 A时，电路中电阻 R的取值范围是什么
【答案】（1）解：电源电压U保持不变，由图象可知，
I与R的函数解析式为；
把点A的坐标代入上式中得：，即，
∴；
（2）解：由（1）可知，函数解析式为．
∵电源电压U保持不变，
∴当时，．
∵函数图象在第一象限内，I随R的增大而减小，
∴当电路中的电流不超过时，．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将代入函数解析式即可求出答案.
2．某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．
（1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程
【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）得，
∴当时，有，当时，有，
∵，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）求出当，时的函数值，作差后即可求解.
（1）解：设与之间的函数表达式为，
∵该函数关系的图象经过点，
∴，
∴，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
∵，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程．
3．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法.“互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展. 请根据下面张老师与记者的对话内容，求2014年到2016年中国在线教育市场产值的年平均增长率.
【答案】解：设2014年到2016年中国在线教育市场产值的年平均增长率是 x ，
依题意，得： 1000(1+x)2=1440 ，
解得：1+x=±1.2
∴x1=0.2，x2=-2.2（舍去）
答：2014年到2016年中国在线教育市场产值的年平均增长率是20%。
【解析】【分析】根据2015年比2014年多一个增长率，2016年又比2015年多一个增长率列方程求解即可。
4．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为 ， ，此时热气球C处所在位置到地面上点A的距离为400米.求地面上A，B两点间的距离.
【答案】解： 过点C作 于点D
由题意得 ，
∵在Rt△ACD中， ，
∴CD=AC = =400× =200(m)
AD= AC = =400× =200 （m）
∵在Rt△BCD中， tanB=
∴BD= = =200 (m)
∴AB=AD+BD= m
答：地面上A，B两点间的距离为 m .
【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于点D，先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠B与∠A的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论.
5．如下图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？
【答案】解：设道路的宽为米，由题意得
整理得，
即，
解得或（舍去）
所以道路的宽应为1米．
【解析】【分析】设道路的宽为米，根据题意列出方程求解即可。
6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 ；
（3）过点作轴，垂足为，求．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象交于，两点．
∴，
∴，，
∴反比例函数的解析式为，的坐标是．
把，代入，得：
，解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）或
（3）解：作交于点，
以为底，则边上的高，
∴．
【解析】【解答】（2）要使得，只需函数得图象在函数的上方，
由图象可知，此时或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入反比例函数解析式即可得反比例函数的解析式为，的坐标是．再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）要使得，只需函数得图象在函数的上方，结合函数图象即可求出答案.
（3）作交于点，求出中边上的高，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵反比例函数的图象交于，两点．
∴，
∴，，
∴反比例函数的解析式为，的坐标是．
把，代入，得：
，解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）要使得，只需函数得图象在函数的上方，
由图象可知，此时或，
故答案为：或；
（3）作交于点，
以为底，则边上的高，
∴．
7．如图，在长为50m、宽为38m的长方形地面内的四周修筑同样宽的道路余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2 ，道路的宽应为多少？
【答案】解：设路宽应为xm，根据等量关系列方程得(50-2x)(38-2x)=1260，
解得x1=4，x2 =40(不合题意，舍去)，∴x=4，即道路的宽应为4m．
【解析】【分析】设路宽应为xm，则矩形草坪的长为(50-2x)m，宽为(38-2x)m，根据矩形的面积=长×宽列出方程并解之即可.
8．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他 ▲ 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 ▲ 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
【答案】解：（Ⅰ）（x﹣1）；x（x﹣1）；（Ⅱ）根据题意列方程得：x（x﹣1）＝45，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去）检验：x＝﹣9不合题意舍去，所以x＝10．
答：共有10家公司参加商品交易会．
【解析】【分析】根据题意得出，x家公司要与(x-1)家公司签订合同， 因为每两家公司之间都签订一份合同，可以得出共签订x（x﹣1）份合同，即x（x﹣1）＝45，求解\验证即可得出答案.
9．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东 方向以每小时15海里的速度航行，甲沿南偏西 方向以每小时 海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东 方向追赶乙船，正好在B处追上 甲船追赶乙船的速度为多少海里 小时？
【答案】解：过O作 于C．由题意可得： ， 海里 ，∴ 海里 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ 海里 ， 海里 ，乙船从O点到B点所需时间为2小时，∴甲船追赶乙船速度为 海里 小时．
【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠OAC=，而∠AOB=，所以∠B=，于是可作辅助线，过O作 O C ⊥ A B 于C，将特殊角和放在直角三角形AOC和BOC中，解直角三角形即可求得OB的长，则甲行驶的路程AB=(15+15)海里，而乙船从O点到B点所需时间为2小时，所以甲船追赶乙船速度为海里 / 小时.
10．如图，某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52 米到达坡顶点 B 处，然后在点 B 处测得大楼顶点 C 的仰角为53°，已知斜坡AB 的坡比为1：2.4，点 A 到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度 CD(参考数据：
【答案】解：如图，过点 B 作BE⊥AD 于点 E，BF⊥CD 于点F.
∵CD⊥AD，
∴ 四边形 BEDF 是矩形.
∴FD=BE，FB=DE.
由题意，得在 Rt△ABE 中，BE ：AE=1：2.4=5：12，
设BE=5x米，AE=12x 米，根据勾股定理，易得AB=13x米，
∴ 13x=52，解得x=4.
∴ BE = FD=5x = 20 米，AE =12x=48米.
∴ DE=FB=AD-AE=72-48=24(米).
∴ 在 Rt△CBF 中， CF = FB × (米).
∴ CD = FD + CF = 20 + 32 =52(米).
∴ 大楼的高度CD约为52米.
【解析】【分析】 利用坡比求出AB的垂直高度和水平距离，再结合点A到大楼的水平距离AD，确定点B到大楼的水平距离；最后在直角三角形中，利用正切函数计算CF的高度，进而求出CD的总高度.
11．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等）
（1）求的长度：
（2）小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴厘米，厘米，
∴，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
解得或9，
经检验，或9符合题意，
∴的长度为4或9；
（2）解：设，，
∵矩形矩形
∴
∴
整理得，
根据题意得，
∴
∴（负值舍去）
原矩形的长与宽的比值k的取值范围为．
【解析】【分析】（1）根据矩形矩形可得比例式，将已知条件代入比例式可得关于AE的方程，解方程即可求解；
（2）设，，，根据矩形矩形得比例式，将已知条件代入比例式可得方程：，然后根据一元二次方程的判别式求解即可．
（1）解：∵四边形是矩形
∴厘米，厘米，
∴，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
解得或9，
经检验，或9符合题意，
∴的长度为4或9；
（2）解：设，，
∵矩形矩形
∴
∴
整理得，
根据题意得，
∴
∴（负值舍去）
原矩形的长与宽的比值k的取值范围为．
12． 4月18日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝A，小江抓着风筝线的一端站在D处，他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°，同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC＝30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°，已知小江与居民楼的距离CD＝40米，牵引端距地面高度DE＝1.5米，根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.414).
【答案】解：如图，作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H.
∵∠ABF=45°，∠AFB=90°，
∴AF=BF，设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5，
在Rt△AHE中，tan67°= ，
∴ ，
解得x≈19.9m.
∴AM=19.9+30=49.9m.
∴风筝距地面的高度49.9m
【解析】【分析】作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H.设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5，在Rt△AHE中，利用∠AEH的正切列方程求解即可.
13．如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD的顶部其仰角为27°．如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）
【答案】解：如图，在△ABE中，有BE=tan27°×AE=0.51×78=39.78（米），
故BD=ED+BE=34+39.78≈73.8（米）．
答：乙楼的高度约为73.8米．
【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ABE，解其可得BE的长，进而借助BD=ED+BE可解即可求出答案．
14．一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数。
【答案】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（9-x）,根据题意得
x2+（9-x）2=45
解之：x1=3，x2=6.
当x=3时9-x=6；
当x=6时9-x=3.
∴这个两位数为63或36.
【解析】【分析】此题的等量关系为：个位数字+十位数字=9，个位数字2+十位数字2=45，设未知数。列方程求解即可。
15．如图：两座建筑物AB、CD相距60米，从点A测得D点的俯角为30°，从A点下降10米到E点，在E点测得C点的俯角为43°求两座建筑物的高度．（精确到0.1）（参考数据： ≈1.73，cos43°≈0.73，sin43°≈0.68，tan43°≈0.93）
【答案】解：过点D作DM⊥AB于M则DM=BC=6；则四边形BCDM是矩形，
∴DM=BC=6，CD=BM，在Rt△BEC中 tan 43°= ，
∴BE=BE tan 43°≈60×0.93=55.8米，
∴AB=AE+BE=10+55.8=65.8米，在Rt△AMD中 tan30°= ，
∴AM=DM tan 30°=60× =20 ≈34.6米
∴CD=AB﹣AM=65.8﹣34.64=31.2米.
答：AB高为65.8米，CD高为31.2米．
【解析】【分析】在Rt△BEC中，可利用正切的定义，列出关系式，可解出AB的长度，在Rt△AMD中，利用30°的正切值，计算出CD的长度。
16．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为 米，tanA= ．现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）
【答案】解：如图，
点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，∵tanA= ，∴tan∠BCB′= = ，∴设B′B=x，则B′C=3x，在Rt△B′CB中， ，即： ，x= （负值舍去），∴BD=B′C= .
【解析】【分析】
点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，利用tanA=
得到tan∠BCB′==
，然后设B′B=x，则B′C=3x，在Rt△B′CB中，利用勾股定理求得答案即可．
17．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0有一个根为﹣1，求k的值及方程的另一个根．
【答案】解：将x＝﹣1代入（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0，
∴k＝1，
∴该方程为2x2﹣3x﹣5＝0，设另外一根为x，
由根与系数的关系可知：﹣x＝ ，
∴x＝ ．
【解析】【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出k值的值，然后根据根与系数的关系即可求出另外一根．
18．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得，观测者目高，则树高约是多少
【答案】解：由题意知，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得：，
答：树高约是．
【解析】【分析】根据题意先证明，利用三角形相似的性质得到， 将已知数据代入进行计算即可求解.
19．如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】解：如图，
即
解得
即
解得
从点走到点，身影的长度是变短了
【解析】【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出BN的长，再证出，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出AM的长，最后利用线段的和差求解即可.
20． 银行在某储蓄所抽样调查了50名顾客，他们的等待时间(从进入银行到接受受理的时间间隔，单位：min)如下：
15 20 18 3 25 34 6 0 17 24
23 30 35 42 37 24 21 1 14 12
34 22 13 34 8 22 31 24 17 33
4 14 23 32 33 28 42 25 14 22
31 42 34 26 14 25 40 14 24 11
将数据适当分组，并绘制相应的频数直方图。
【答案】解：最大值与最小值的差： ，
当组距是7时， 分为6组；
如图所示：
等待时间： min 频数
0≤x<7 4
7≤x<14 4
14≤x<21 10
21≤x< 28 12
28≤x<35 11
35≤x < 42 9
合计 50
频数直方图如图所示
【解析】【分析】根据频数直方图的画法：计算极差，确定组距，然后统计数据得到频数分布表，再绘制频数直方图解题.
21．为了了解某校七年级学生100m跑成绩(精确到0.1s)，对该年级全部学生进行100m跑测试，把测得的数据分成五组，绘制成如下所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).
某校七年级全部学生100 m跑成绩频数表
成绩段(s) 频数
12.5~13.5 32
13.5～14.5 a＋16
14.5～15.5 112
15.5～16.5 a
16.5～17.5 32
（1）求该年级学生的总人数.
（2）把频数直方图补充完整.
（3）求该年级100m跑成绩不超过15.5s的学生人数占该年级全部学生人数的百分比.
【答案】（1）解：由 频数表和频数直方图可知：a+16=80，
解得：a=64.
∴32+80+112+64+32=320（人）.
故总人数为为320人.
（2）解：补全频数直方图如图所示：
（3）解：，
故该年级100m跑成绩不超过15.5s的学生人数占该年级全部学生人数的70%.
【解析】【分析】（1）结合频数表和频数直方图可得a+16=80，求出a值，即可计算该年级学生总人数.
（2）计算出a的值，即可补全频数直方图.
（3）用该年级100m跑成绩不超过15.5s的学生人数÷总人数×100%即可.
22．写出下列问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是变量 哪些是常量
（1）用总长为60 m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系；
（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔的数量x(支)之间的关系；
（3）运动员在400 m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系.
【答案】（1）S=x(30-x)；变量为S，x，常量为30.
（2）y=0.4x；变量为x，y，常量为0.4.
（3）t=；变量为t，v，常量为400.
【解析】【分析】(1)根据面积问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果；
（2）根据销售问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果；
（3）根据行程问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果。
23．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
【答案】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG= ∴FG=
在Rt△ACG中， tan∠ACG= ∴CG= 又CG-FG=40
即 AG- =40 ∴AG=20 ∴AB=20 +1.5
答：这幢教学楼的高度AB为（20 +1.5）米。
【解析】【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.5即为这幢教学楼的高度AB。
24．数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)
【答案】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE=CF，CE=BF，
∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，
∴CF=AF=AC=50，
∵∠CBF=63.5°，
∴（米），
∵CD∥AB，
∴∠D=53°，
∵∠BED=90°，
∴（米），
∴CD=CE+DE=62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
【解析】【分析】根据题意先求出 CF=AF=AC=50， 再求出 ∠D=53°， 最后求解即可。
25．某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力F（单位：N）一定时，木板面积S（单位：m2）与人和木板对地面的压强p（单位：Pa）成反比例。当木板面积为0.2m2时，人和木板对地面的压强为3000PA。
（1）求P关于S的函数表达式：
（2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少
（3）如果要求压强不超过1200Pa，木板面积至少要多大？请说明理由。
【答案】（1）解：把，代入得，
（2）解：当时
（3）解：当 时，
在第一象限内 p 随 S 的增大而减小，当 时，.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把s=0.3m2代入，求出p的值即可；
（3）先求出当p=1200时的自变量s的值，然后根据函数的增减性解答即可.
26． 如图，在平行四边形中，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，且．
（1）求证：∽；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∽；
（2）解：∽，
，
，
．
【解析】【分析】（1）从问题入手，两三角形有一组共同的内角，根据已知的等角和平行四边形的性质可得到另一组内角也相等，故根据三角形相似的判定定理，两三角形有两个内角分别相等则两三角形相似可证；（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例，已知其中两条边的长，可求公共边BD的长。
27．学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？
【答案】解：设道路的宽为xm，
（32-x）（20-x）=540，
整理，得x2-52x+100=0，
∴（x-50）（x-2）=0，
∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），
小道的宽应是2m．
故答案为2.
【解析】【分析】先求出 （32-x）（20-x）=540， 再解方程求解即可。
28．如图，直线经过两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：点在直线上，
解得直线解析式为．
点在直线上，
，即点C为．
双曲线过点．
双曲线解析式为．
（2）解：点P坐标为或或或．
【解析】【解答】解（2）∵CD⊥x轴，C（-2，2），
∴D（-2，0），CD=2，
∵B（-1，0），
∴BD=1，
∵A（0，-2），
∴OA=2，
若以O，A，P为顶点的三角形与相似，
当△CDB∽△AOP，
则，∴OP=1.
当△CDB∽△POA，
则，∴OP=4.
∴OP=1或4，
∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为（-4，0）或（-1，0）或（1，0）或（4，0）.
【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）由题意根据点A、B、C的坐标可确定CD和BD的长，然后根据相似三角形的性质可得OP=1或4，再由x轴上的点的纵坐标为0可求解.
29．如图，在矩形中，，在边 上是否存在一点 E，使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】解：假设在边 上存在一点 E，使 ，设 ，
∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴在 上不存在点 E，使．
【解析】【分析】设 ，先证明可得，将数据代入可得，再求解即可。
30．某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从的增加到年的．
（1）求这种无籽西瓜平均每年增产的百分率；
（2）若平均每年增产率不变，年该西瓜地的无籽西瓜产量能突破吗？
【答案】（1）解：设这种无籽西瓜平均每年增产的百分率是，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这种无籽西瓜平均每年增产的百分率是；
（2）解：根据题意得：，
，
年该西瓜地的无籽西瓜能突破．
【解析】【分析】（1）设这种无籽西瓜平均每年增产的百分率是，根据题意，列出方程，解方程即可求出答案.
（2）根据题意求出2025年的西瓜地的无籽西瓜产量，再与40t作比较即可求出答案.
31．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα= ，求t的值．
【答案】解：过A作AB⊥x轴于B．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵A（t，4），
∴AB=4，
∴OA=6，
∴ ．
【解析】【分析】过A作AB⊥x轴于B，根据正弦的定义和点A的坐标求出AB、OA的长，根据勾股定理计算即可．
32．如图，为了测量旗杆的高度，在离旗杆底部米的处，用高米的测角仪测得旗杆顶端处的仰角为求旗杆的高．精确到米
参考数据：，，
【答案】解：过点作交于，
则米，
在中，有米，
米
故BC米，
答：旗杆的高度约为米．
【解析】【分析】如图，过点D作DE⊥BC于E，在Rt△DEC中，DE=12，tan47°≈1.07，则可求出CE=12.8，再根据BE=1.5，BC=CE+BE即可求解。
33．如图是一种机器零件的左视大致图形，已测得，，，，，，求点E到直线CD之间距离EF的长．（结果精确到0.1，参考数据：，，，）
【答案】解：如图，分别过点A作交CD的延长线于点M，作于点N，则四边形AMFN是矩形，
∴，，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
则．
在中，．
∵，
∴．
∴．
故点E到直线CD之间的距离EF的长约为37.7cm．
【解析】【分析】 分别过点A作交CD的延长线于点M，作于点N，则四边形AMFN是矩形，，，，根据直角三角形的性质和正弦的定义求出AC、NF、EN，根据EF=EN+NF计算即可。
34．已知m 为一元二次方程. 的根，求 的值.
【答案】解：∵m为一元二次方程 的根，
2023
∴原式 =m3+3m2-m2-3m-2023m+2023
=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 023m+2023
=2023m-2023-2023m+2023
=0.
【解析】【分析】将x=m代入方程可得2023，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
35．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：
（ 1 ）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0.
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0.
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意.舍去）
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0.
解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意.舍去）
∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2.
（ 2 ）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0.
【答案】解：当x﹣1≥0，即x≥1时，
原方程可化为x2﹣x（x﹣1）﹣1＝0
即x﹣1＝0，
解得x＝1
当x﹣1＜0，即x＜1时，
原方程可化为x2﹣x（1﹣x）﹣1＝0
即2x2﹣x﹣1＝0，
解得x1＝﹣0.5，x2＝1（不合题意.舍去）
∴原方程的解为x1＝﹣0.5，x2＝1
【解析】【分析】根据绝对值的意义，分 x﹣1≥0 与 当x﹣1＜0 两种情况去绝对值符号后得出两个方程，分别解方程再检验即可得出原方程的解.
36．直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件．
（1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为 件；
（2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？
【答案】（1）40
（2）解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，
日销售量为：（件），
依题意得：，
解得：， ，
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴ ，
答：每件售价应定为54元．
【解析】【解答】解：（1） 当每件小商品的售价为50元时，日销售量为（件），
【分析】（1）由每天可卖出20件+增加的销售量即可求解；
（2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元， 由每件的销售利润销售量=448，列出方程，解方程即可得出结论.
37．如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C．已知DC⊥BC，AB⊥BC．∠A=60°，AB=11m，CD=4m．求管道A-D-C的总长.
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由题意，得BE=CD=4，
∵AB=11．
∴AE=7．
∵∠A=60°．
∴AD=AE÷cos60°=14．
∴AD+CD=18(m)．即管道A-D-C的总长为18m．
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可得到BE，CD的长，据此可求出AE的长，再利用解直角三角形求出AD的长，然后求出AD+CD的和即可.
38．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图．小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在地上的影子高度，，（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高是1.7m．请你帮小明求出楼高．
【答案】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
∵ABCD，DG⊥AB，AB⊥AC，
∴四边形ACDG是矩形，
∴EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，
∵EFAB，
∴，
∴，
由题意，知FH＝EF EH＝1.7 1.2＝0.5，
∴，
解得，BG＝18.75（m），
∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95（m）．
∴楼高AB为19.95（m）．
【解析】【分析】过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则四边形ACDG是矩形，EH=AG=CD=1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，易证△DHF∽△DGB，根据相似三角形的性质可得BG，然后根据AB＝BG＋AG进行计算.
39．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．若AB=6，AD=12，BE=8，求：DF的长，以及四边形DCEF的面积。
【答案】解：在矩形 中，∠B=90°，AB=6，BE=8，∴AE=10∵ ，AD∥BC∴∠B=∠DFA=90°， ∠DAF=∠AEB∴△AFD∽△EBA∴ ，∴DF=7.2∴AF=9.6 =6×12- ×6×8- ×9.6×7.2=13.44
【解析】【分析】利用矩形的性质及垂直的定义，可证得∠B=∠DFA，∠DAF=∠AEB，就可证得△AFD∽△EBA，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立方程求出DF、AF的长，然后利用四边形DCEF的面积=矩形ABCD的面积-△ABE的面积-ADF的面积，即可解答。
40．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式 ，
，
，
∵ ，
∴原式 ；
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，利用特殊角三角函数值求出x值，最后将x值代入计算即可.
41．如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB于点F.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形.
（2）若AE平分∠BAC，BE=5，cosB=，求BF和AD的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴ ∠FAE=∠CAE，
∵，，AE=AE
∴ △AFE≌△ ACE，
∴，
∴EF=CE=AD，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】(1)根据∠ACB=∠CAD得到AD∥CE，再根据平行四边形的判定证出即可.
(2)先根据平行四边形的性质得到CE=AD，再根据三角形全等的判定证出 △AFE≌△ ACE，得到EF=CE，利用余弦求出BF，再根据勾股定理求得EF即可.
42．为了解学生对五一劳动节上映的《长空之王》与《灌篮高手》两部电影的评价，某调查小组从该校八年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
《长空之王》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
《灌篮高手》的得分统计图：
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：
平均数 众数 中位数
《长空之王》 8.2 8.5
《灌篮高手》 7.8 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的 ， ．
（2）根据上述数据，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）9；8
（2）解：八年级学生对《长空之王》的评价更高，理由如下：
《长空之王》的打分平均数，中位数和众数都比《灌篮高手》的高，
八年级学生对《长空之王》的评价更高．
【解析】【解答】（1）把《长空之王》得分情况 按照从小到大的顺序重新排列为：6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10。其中9出现的次数最多，所以众数a=9；
根据扇形统计图知：6分和7分的占总数的40%，共8人，8分的占35%，有7人，所以 《灌篮高手》 的中位数为8；
故第1空答案为：9；第2空答案为：8；
【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义求出答案即可；
（2）根据（1）的计算结果，比较几个特征数的大小，通过比较可得出 《长空之王》的打分平均数，中位数和众数都比《灌篮高手》的高， 故而得出答案即可。
43．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a+0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值.
【答案】（1）解： ∵x2-x-6=0，
∴（x-3）（x+2）=0，
∴x1=3，x2=-2，
∵3≠-2+1，
∴x2-x-6=0不是“邻根方程”
（2）解： x2-（m-1）x-m=0，
（x-m）（x+1）=0，
∴x1=m，x2=-1，
∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m=-1+1或m=-1-1，
∴m=0或-2．
（3）解： 若关于x的方程ax2+bx+1=0 是邻根方程，则方程必有2个不同实根，则
设该方程的两根为x1，x2，且x1>x2
由韦达定理得
∴x1-x2==
∵a>0
∴
当a=2时取等号
∴t最大值=4
【解析】【分析】 （1）首先解方程求根，比较两根差是否为1；
（2）通过因式分解或求根公式找到根的表达式，利用邻根方程的条件建立方程求解m；
（3）利用邻根方程的条件，结合判别式和韦达定理，将t表示为a的函数后求最大值.
44．某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为．请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少．（参考数据：，，，，，．）
【答案】解：根据题意，得，，，．
∴，，，，
∵在中，，
∴，
∴．
设AG为，则，，
在中，，
∴，
则，
解得，
∴，
答：塔高的长约为22.5m．
【解析】【分析】由题意可得，，，，设AG为，则，，在中，根据锐角三角函数定义可得，则，即可求出答案.
45．今年贵州榕江村超爆火出圈，全国各地足球爱好者闻讯而至．在某一场足球比赛中，进攻方甲队三名球员A、C、D，与乙队的防守球员B的位置如图所示．此时足球在球员A脚下，他想将球绕过对手B传至队友D处，再由D经线路DC回传给队友C．已知对手B在A的北偏东60°方向，AB＝12米．球员C在对手B的正东方向，BC＝3米．球员D在队友C的正北方向，且在队友A的北偏东30°方向．（参考数据：≈1.73）
（1）求传球线路CD的长（结果精确到1米）；
（2）根据对手B的跑动和拦截范围估计，对手B可以破坏掉在B点5米范围内的球．球员D经线路DC传球给队友C的同时，队友C沿CD方向去接球，已知球速为10m/s，球员C的平均速度为5m/s．计算说明球员C是否能避开防守顺利接到球？
【答案】（1）解：如图，过点B、点C分别作AM的垂线，垂足分别为E、F，
由题意可知，AB＝12米，∠NAB＝60°，∠NAD＝30°，BC＝EF＝3米，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣60°＝30°，AB＝12米，
∴BE＝CF＝AB＝6（米），AE＝AB＝（米），
∴AF＝AE+EF＝（+3）米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣37°＝53°，AF＝（+3）米，
∴DF＝tan60° AF＝（+3）≈23.2（米），
∴CD＝23.2﹣6≈17.2（米），
答：传球线路CD的长约为17.2米；
（2）解：设以B为圆心，5米为半径的圆与DF相交于点G，连接BG，则BG＝5米，
在Rt△BCG中，BG＝5米，BC＝3米，
∴＝4（米），
球与队员C相遇的时间为：（s），
而s，队员C移动的路程为：5×＝（4+）米，
∵4+＝5，
∴球员C可以避开防守顺利接到球．
【解析】【分析】（1）过点B、点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，在Rt△ABE中 求出BE和AE的长度，在Rt△ADF中 求出DF的长度，再求解即可；
（2）设以B为圆心，5米为半径圆与相交于点G，连接。根据勾股定理求出，利用行程问题求出球与队员C相遇的时间，计算队员C移动的路程，比较后即可得到答案．
46．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，连接．
（1）求反比例函数的解析式，并直接写出的面积： ；
（2）动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于，若以为顶点的四边形是平行四边形，求值．
【答案】（1），
（2）解：由（1）可得：，
∵动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于，
∴，，
当直线在点的左侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为，则，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
当直线在点的右侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为，则，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
综上所述，值为或．
【解析】【解答】（1）解：在中，当时，，故，
∴，
当时，，故，
∴
将代入反比例函数解析式得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为：，
故答案为：，2.
【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数k的几何意义求出△ABO的面积即可；
（2）先设，，再分类讨论：①当直线在点的左侧时，即，②当直线在点的右侧时，即，再分别列出方程求解即可.
47．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
48． 问题 1： 如图 ①， 在四边形 中， 是 上一点， ， ， 求证： ．
问题 2： 如图 ②， 在四边形 中， 是 上一点， ， ． 求 的值．
【答案】问题 1： 证明： ，
．
∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠BAP=∠CPD，
在 和 中，
问题 2： 解： 如图， 过点 作 于点 ， 过点 作 于点 ．
由问题 1 可知 ，
在 Rt 和 Rt 中， 45°，
∴AE=BE，DF=CF，
∴ ．
， ．
．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得∠BAP=∠CPD，再利用“AAS”证出，可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）过点 作 于点 ， 过点 作 于点 ，先求出 ，再利用线段的和差求出， ，最后求出即可．
49．如图的方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上；
（1）在图中画出以AB为腰，面积为7.5的等腰△ABC，且点C在格点上；
（2）在图中画出平行四边形ABDE，且点D、E均在格点上，使tan∠EAC＝ ，连接CD，请直接写出线段CD的长．
【答案】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形ABDE即为所求，
其中CD＝ ，
故答案为：
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合三角形的面积作图可得；（2）根据平行四边形的定义和正切函数的定义作图即可，再利用勾股定理求解可得CD的长．
50．已知点A（1，a），点B的横坐标为m（m＞1）均在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y=的图象经过点A，过点B作BD⊥x轴于D，交反比例函数y=的图象于点C，连接AC．
（1）当m＝2时，求直线AC的解析式；
（2）当AB＝2OA时，求BC的长；
（3）是否存在一个m，使得S△BOD＝3S△OCD，若存在，求出m的值，不存在，说明理由。
【答案】（1）解：∵点A（1，a），在正比例函数y=2x的图象上，
∴a＝2×1＝2，
∴点A的坐标为（1，2），（m，2m），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
点B的横坐标为m（m＞1）正比例函数y＝2x的图象上，当m＝2时，
则点B的坐标为（2，4），
∴点C的横坐标为2，
代入y＝，求得纵坐标为1，
∴点C的坐标为（2，1），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
把A（1，2），（2，1）代入得，
解得：a＝-1，b＝3，
∴直线AC的解析式为y＝-x+3；
（2）解：∵A（1，2），AB=2OA
∴点B的横坐标为3，
∴点B的坐标为（3，6） ，点C的坐标为 (3，），
∴BC＝6-＝
（3）解：∵S△OCD＝k＝=1，
∴S△BOD＝OD BD＝，
解得m＝（负值已舍去）．
即存在m，使得S△BOD＝3S△COD．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B的横坐标为3，再计算求解即可；
（3）利用三角形的面积公式求出S△BOD＝OD BD＝， 再求解即可。
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