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湘教版2025—2026学年九年级上册期末名校模拟汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程：的根是（ ）
A． B． C．， D．，
3．已知，，是反比例函数的图象上三点，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有一斜坡，坡顶B离地面的高度为30m，若坡度，则此斜坡的水平距离为（ ）
A．75m B．50m C．45m D．30m
6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
7．已知4个正数 ， ， ， 的平均数是 ，且 ，则数据 ， ， ， ， 的平均数和中位数分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
8． 体育委员小聪要帮体育老师分析本班的跳远成绩，将各统计量计算好后却发现由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了，则实际成绩与记录成绩相比（ ）
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
9．如图，在正方体中，的正切值为（ ）
A． B． C．1 D．
10．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知∠A 是锐角，且 则∠A= °.
12．一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是 ．
13．黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点C处，且 若 NP=2cm，则 BC 的长为 cm（结果保留根号）.
14．某校教务处将七年级学生的期末数学成绩绘制成频数直方图进行考后分析.已知最高分为 100分，最低分为58分，组距定为7，则应分成 组.
15．是关于的一元二次方程的根，则的值是 ．
16．如图，点在的图象上，点在的图象上（在左边），直线经过原点，直线交轴于点，直线交轴于点.则 ；若，，则 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．用因式分解法解下列方程．
（1）；
（2）．
18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E.
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长.
19．近几年新能源汽车销量增长，2024年某店面某品牌新能源汽车1月份销售250台，3月份销售360台．
（1）求1月份到3月份销售量的月平均增长率；
（2）预计4月份销售量还会继续增长，若增长率要超过1月份到3月份的月平均增长率．已知4月1日至4月10日已销售132台，则4月份后20天日均至少销售多少台？
20．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
21．已知等腰三角形，，．
（1）若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值．
（2）若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长．
（3）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标．
22．据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．
小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数：
学校：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50．
学校：如图所示：
（1）根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考：
（2）若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？
（3）若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？
23．如图①，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置.当点 B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE 相切时(如图②)，在切点 P 处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视角.
（1） 请仅就图②的情形证明：∠APB>∠ADB.
（2）经测量，最大视角∠APB 为30°，在点 P 处看塑像顶部点A 的仰角. 为 点 P到塑像的水平距离 PH 为6m，求塑像AB 的高(结果精确到0.1m，参考数据： 1.73).
24．如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标．
25．如图，正方形ABCD边长为，点E为对角线AC上一点，，点P在AB边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求t的值．
（3）连接AQ，当时，求的面积．
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湘教版2025—2026学年九年级上册期末名校模拟汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴ ，
∴ .
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据，即可求解.
2．一元二次方程：的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【解析】【解答】∵，
∴x（x-4）=0，
解得：，，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解方法将方程变形为x（x-4）=0，再求解即可.
3．已知，，是反比例函数的图象上三点，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可知，反比例函数的图象分布在第二、四象限，∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＞0＞y3＞y2。
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质，判断图象上点的位置，根据横坐标的大小关系判断纵坐标的大小关系。
4．如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，若，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵，
∴，
∵AB=5，BC=3，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质分析求解即可.
5．如图，有一斜坡，坡顶B离地面的高度为30m，若坡度，则此斜坡的水平距离为（ ）
A．75m B．50m C．45m D．30m
【答案】A
【解析】【解答】解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据斜坡AB的坡度为1：2.5可得BC：AC=1：2.5，结合BC的值可求出AC的值.
6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．且
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，
可得且，
解得且．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
7．已知4个正数 ， ， ， 的平均数是 ，且 ，则数据 ， ， ， ， 的平均数和中位数分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】【解答】解：由平均数定义可知： ；
将这组数据按从小到大排列为 ， ， ， ， ；
由于有奇数个数，取最中间的数，
其中位数为 ．
故答案为：B.
【分析】根据平均数的计算方法结合题意可得a1+a2+a3+a4=4a，则(a1+a2+0+a3+a4)=a，将数据按照由小到大的顺序进行排列可得0、a4、a3、a2、a1，找出最中间的数据可得中位数.
8． 体育委员小聪要帮体育老师分析本班的跳远成绩，将各统计量计算好后却发现由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了，则实际成绩与记录成绩相比（ ）
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
【答案】C
【解析】【解答】解：∵每位同学的成绩都少记录了，
∴实际成绩与记录成绩相比，众数增加，方差不变，平均数增加，中位数增加，
故答案为：C．
【分析】根据众数，方差，中位数和平均数所表示的意义进行判断即可．
9．如图，在正方体中，的正切值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
设，则，
∴，
故答案为：A．
【分析】 设，则，再利用正切的定义及计算方法列出算式求解即可.
10．如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故答案为：A
【分析】先根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质即可判断①；先根据正方形的性质得到，，，进而根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断②；结合题意运用角平分线的性质得到，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）得到，从而即可判断③；根据三角形全等的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意代入化简即可判定④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知∠A 是锐角，且 则∠A= °.
【答案】40
【解析】【解答】解：
故答案为：40.
【分析】根据 解答即可.
12．一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是 ．
【答案】32
【解析】【解答】解：设个位数为x，则十位数为x+1，其中x为非负整数，依题意列方程得：
，
解得：
，
（不合题意，舍去），
∴，
∴这个两位数为32，
故答案为：32．
【分析】设个位数为x，则十位数为x+1，其中x为非负整数，根据题意列出方程
，再求出x的值即可。
13．黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点C处，且 若 NP=2cm，则 BC 的长为 cm（结果保留根号）.
【答案】(-1)
【解析】【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠N=∠P=90°，
又∵AB//NP，
∴∠BAN+∠N=180°，
∴∠BAN=90°，
∴四边形 ABPN 是矩形，
∴AB=NP=2cm.
又∵
∴.
故答案为：(-1).
【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段 AB 的黄金分割点.
14．某校教务处将七年级学生的期末数学成绩绘制成频数直方图进行考后分析.已知最高分为 100分，最低分为58分，组距定为7，则应分成 组.
【答案】6
【解析】【解答】解：极差为100-58=42；
组数为
故答案为：6.
【分析】先计算极差，在根据极差除以组距等于组数可得.
15．是关于的一元二次方程的根，则的值是 ．
【答案】9
【解析】【解答】将x=a代入，可得，
∴，
∴，
故答案为：9.
【分析】先求出，再将其代入计算即可.
16．如图，点在的图象上，点在的图象上（在左边），直线经过原点，直线交轴于点，直线交轴于点.则 ；若，，则 .
【答案】；
【解析】【解答】解：如图所示，作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，
设点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
则，，，，，
BE⊥x轴交x轴于E，
轴，
，
，
，
AD⊥y轴交y轴于D，
，
，
，
AD⊥y轴交y轴于D， CG⊥y轴交y轴于G，
，
，
BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，
，
，
，
直线AB经过原点O，
，即，
，，
由图象可知，，，
，，
，，
故答案为：；.
【分析】作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，则，，，，，然后根据相似三角形的判定方法判断出△BEO∽△ODA，△CGM∽△ADM，△NCF∽△NBE，根据相似三角形对应边成比例可得，，，再由直线AB经过原点O，可表示出及的值，最后代入即可得到答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．用因式分解法解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，∴，
∴，
∴或，
∴．
（2）解：
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法.（1）先利用平方差公式进行因式分解可得：，据此可将方程转化为两个一元一次方程或，再解一元一次方程可求出方程的解.
（2）先进行移项，再提取公因式可得：，据此可将方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程可求出方程的解.
（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴．
（2）解：
∴，
∴，
∴．
18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E.
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长.
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，
∴∠B=90°，∠BAD=90°，∠DEA=90°.
∴∠BAM+∠EAD=90°，
∠EDA+∠EAD=90°.
∴∠BAM=∠EDA.
在△ADE和△MAB中，
∵∠AED=∠B，∠EDA=∠BAM，
∴△ADE∽△MAB.
（2）解：∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，M是 BC的中点，
∴BM=.
∴AM==.
由(1)知，△ADE∽△MAB，
∴ =.
∴ =，
解得DE=.
【解析】【分析】（1）由矩形的性质以及垂直的定义得 ∠B=90°，∠BAD=90°，∠DEA=90° ，进而证得 ∠BAM=∠EDA ，再利用两角相等的两个三角形相似即可判定 △ADE∽△MAB；
（2）先根据M是 BC的中点 ，得到 BM=，在直角三角形ABM中，利用勾股定理解得，再由（1）中 △ADE∽△MAB可得，代入数值即可计算DE的长.
19．近几年新能源汽车销量增长，2024年某店面某品牌新能源汽车1月份销售250台，3月份销售360台．
（1）求1月份到3月份销售量的月平均增长率；
（2）预计4月份销售量还会继续增长，若增长率要超过1月份到3月份的月平均增长率．已知4月1日至4月10日已销售132台，则4月份后20天日均至少销售多少台？
【答案】（1）解：设1月份到3月份销售量的月平均增长率为x，
由题意可得，
解得，（不合题意舍去），
答：1月份到3月份销售量的月平均增长率为20%
（2）解：设4月份后20天日均销售a台，
由题意可得，
解得．
答：4月份后20天日均至少销售16台
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：新能源汽车1月份的销售量×（1+月平均增长率）2=3月份的销售量，再设未知数，列方程求解即可.
（2）设4月份后20天日均销售a台，根据题意可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可.
20．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
【答案】（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
21．已知等腰三角形，，．
（1）若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值．
（2）若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长．
（3）若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）解：，是关于的一元二次方程的两根，
，
，
；
（2）解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根，
另两边的长之和，
周长；
（3）解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等，
，
，
，
顶点坐标为；
②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6，
当时，可得，
，
，
顶点坐标为；
综上所述：顶点坐标为或．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，a=5，进而即可得出b=3；
（2）由条件可知 等腰三角形的底边长为3， 且由根与系数的关系可知另两边之和为8，进而即可得出周长；
（3）①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等，可根据根的判别式为0，得出，进而得出，即可得出顶点坐标为；②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6，可得，解得，进而得出，即可得出顶点坐标为；综上所述，可得出顶点坐标为为或．
（1）解：，是关于的一元二次方程的两根，
，
，
；
（2）解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根，
另两边的长之和，
周长；
（3）解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等，
，
，
，
顶点坐标为；
②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6，
当时，可得，
，
，
顶点坐标为；
综上所述：顶点坐标为或．
22．据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．
小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数：
学校：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50．
学校：如图所示：
（1）根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考：
（2）若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？
（3）若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？
【答案】（1）解：整理数据如下：
学校 平均数 众数 中位数 方差
43.3 48 48 83.299
48.4 25 47.5 354.04
（2）解：由于小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，时间紧促，
所以应该选择预约人数较少的学校，
根据上面的数据，学校的预约人数的众数以及中位数相对学校低，
因此预约人数较少，
故小粤爸爸应该预约学校；
（3）解：根据上面的数据，学校的预约人数的方差相对学校低，
因此学校的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，
故小粤爸爸应该预约学校．
【解析】【分析】（1）根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法求出个数，制成统计表；
（2）根据众数和中位数分析即可；
（3）根据方差的知识解答即可．
（1）解：整理数据如下：
学校 平均数 众数 中位数 方差
43.3 48 48 83.299
48.4 25 47.5 354.04
（2）解：由于小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，时间紧促，所以应该选择预约人数较少的学校，根据上面的数据，学校的预约人数的众数以及中位数相对学校低，因此预约人数较少，故小粤爸爸应该预约学校；
（3）解：根据上面的数据，学校的预约人数的方差相对学校低，因此学校的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，故小粤爸爸应该预约学校．
23．如图①，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置.当点 B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE 相切时(如图②)，在切点 P 处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视角.
（1） 请仅就图②的情形证明：∠APB>∠ADB.
（2）经测量，最大视角∠APB 为30°，在点 P 处看塑像顶部点A 的仰角. 为 点 P到塑像的水平距离 PH 为6m，求塑像AB 的高(结果精确到0.1m，参考数据： 1.73).
【答案】（1）解：设AD 与圆交于点 M，连结BM，则∠AMB=∠APB.
∵ 易知∠AMB>∠ADB，
∴∠APB>∠ADB.
（2）解：∵ ∠APH = 60°，PH = 6 m，
∵∠APB=30°，
∴ ∠BPH =∠APH - ∠APB =
6.9(m).
∴ 塑像AB 的高约为6.9m.
【解析】【分析】（1）通过构造圆周角，利用三角形外角的性质证明角的大小关系；
（2）先在两个直角三角形中，分别利用正切函数的定义求出相关线段的长度；再求出塑像AB的高度即可．
24．如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵ 反比例函数图象过点，
∴，
∴A（-2，-2），
∵直线x=4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，
B（4，1），D（4，0），
∴S△ABD= 12×1×（4+2）=3 .
（2）解：由（1）可知，A（-2，-2），D（4，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线PD的解析式为y=px+q，
∵ ，
∴kp=-1，
∴p=-3，
∴直线PD的解析式为y=-3x+q，
把D（4，0）代入y=-3x+q，解得q=12，
∴直线PD的解析式为y=-3x+12，
∵点P（m，n）在直线PDy=-3x+12和反比例函数上，
∴-3x+12=
解得：，，
经检验：，都是原方程的解，
当时，y=，
当时，y=，
∴或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值，再利用解析式求出点B、D坐标，代入三角形的面积公式即可；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b和直线PD的解析式为y=px+q，先求出直线AD的解析式，得出k的值，再根据两直线垂直，求出p的值，利用待定系数法求出直线PD的解析式，在与反比例函数解析式联立方程组，即可求出点P的坐标.
（1）解：∵反比例函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
连接，
∴；
（2）解：∵直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故令时，则，
∴，
如图，，过点作的延长线，
设，
则：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，．
经检验：，都是原方程的解，
则或．
25．如图，正方形ABCD边长为，点E为对角线AC上一点，，点P在AB边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求t的值．
（3）连接AQ，当时，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，
．
，
．
（2）解：过点E作于点M，过点E作于点N．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=6，
∴AC=.
∵CE=2AE，
∴．
∴
∵AP=t.
∴．
，即，
，即，
，即．
①当时，有．
即，整理得．
解得（不合题意，舍去）．
②当时，有．
即，整理得，解得．
③当时，有．
即，整理得，该方程无实数解．
综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒．
（3）解：过点A作，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G．
，
．
又．
．
．
．
．
，即，
是等腰直角三角形．
．
【解析】【分析】（1）由正方形的性质和P、Q的运动速度和方式可得：∠PAE=∠QCE，，根据"两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可求解；
（2）过点E作EM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BC于点N．根据P、Q的运动速度和方式可将AP、CQ、BQ、MP、BP、QN用含t的代数式表示出来，在Rt△PEM、Rt△BPQ、Rt△EQN中，用勾股定理可将EP2、PQ2、EQ2分别用含t的代数式表示出来，由题意分三种情况讨论：
①当∠EPQ=90°时，由勾股定理得：EQ2=EP2+PQ2，于是可得关于t的方程，解方程可求解；
②当∠PEQ=90°时，由勾股定理得：PQ2=EP2+EQ2，于是可得关于t的方程，解方程可求解；
③当∠PQE=90°时，由勾股定理得：EP2=EQ2+PQ2，于是可得关于t的方程，解方程可求解；
综合上述三种情况即可求解；
（3）过点A作，交CB的延长线于点F，连接FE交AQ于点G．由题意根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AGF∽△EGQ，于是可得比例式，而∠AGE=∠FGQ，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得△AGE∽△FGQ，则∠AEG=∠FQG，根据角的构成易得∠FQE=90°，于是可得△EQC是等腰直角三角形，然后再根据三角形面积的构成S△AQE=S△AQC-S△EQC可求解.
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