甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》单元测试题(含答案)

甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》单元测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（ ）
A．， B．，0 C．，0 D．3，0
3．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度（单位：）与水流运动时间（单位：）之间的函数解析式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（　　）
A． B． C． D．
4．若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数的图象的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为
C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向下，顶点坐标为
6．已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，是抛物线上的两点，其中，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知拋物线的顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，二次函数有最小值为3
C．当时，随的增大而减小
D．当时，
10．如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
12．抛物线可由抛物线向 （填上或下）平移 个单位长度得到．
13．若抛物线的开口向下，顶点是，y随x的增大而减小，则x的取值范围是 ．
14．已知函数，当 时，随的增大而减小；当 时，函数取得最 值，为 ．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）抛物线的对称轴是直线 ．
（2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是 ．
16．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ．
17．如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ．
18．抛物线（是常数）的顶点在第四象限，且． 下列四个结论：
①；
②；
③若，则当时，随的增大而增大；
④若抛物线的顶点为，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是 ．（填写序号）．
三、解答题
19．若函数是关于x的二次函数，求m的值．
20．已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式．
21．已知二次函数．
(1)求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)当满足什么条件时，随增大而减小？
22．已知：二次函数．
(1)若图象经过原点，求二次函数的表达式；
(2)求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点．
23．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标．
24．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元．
(1)降价后超市平均每天可售出______个玩具；
(2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
25．如图，矩形的两边长，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、的面积为．
(1)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)求的面积的最大值．
26．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为．
(1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
(2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求、的值和点的坐标；
(2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标；
(3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式．
试卷第1页，共3页
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《甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》单元测试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A A D D C B D C
11． 向上 直线
12． 上
13．
14． 大 0
15．
16．
17．
18．①②④
19．解：函数是关于x的二次函数，
∴，
解得．
20．解：设这个二次函数的表达式为．
把代入，得解得
∴这个二次函数的表达式为．
21．（1）解：，
，，
∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是；
（2）解：，
∴抛物线开口向下；
∴当时，随增大而减小．
22．（1）解：抛物线经过原点 ．
把代入，
得：，
解得，
二次函数的表达式为．
（2）证明：令，则．
．
．
．
方程有两个不相等的实数根．
无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点．
23．（1）解：将代入，得，即，
将代入，得，解得，即，
对称轴为直线，点关于对称轴对称，
，
设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得，
，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，，
当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长，
将代入直线的函数解析式，得，
此时．
24．（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，
降价后超市平均每天可售出个玩具，
故答案为：；
（2）解：由题意，可得，
函数关系为，
即，
其中的取值范围是；
（3）解：，
，
∵，，
当时，有最大值为，
此时玩具的售价为：（元），
答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元．
25．（1）解：由题意，得：，
∴，
∴，
当N到达C点时，则，
∴；
故：；
（2）∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而增大，
∵，
∴当时，最大为；
即：的面积的最大值为．
26．（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为（为常数，且），
将点的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为，
当时，，
解得或，
可设计赛道的宽度为，
，
最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
27．（1）由题意得:
，解得： ，
当时，，则，
（2）由（）得：
∴抛物线解析式为，

由点、的坐标知，轴，
由点、的坐标知，，
则直线的表达式为： ，
联立得：，解得：（舍去）或，
∴时，，
则点；
（3）由点、的坐标得直线的表达式为：，
故设点，
由点、、、的坐标得，，，，
当与 相似时，
∵，，
则 ，
∴，
则 ，
即，
即，
解得：，
则点，
则抛物线的表达式为：．
答案第1页，共2页
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