甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版第二十一章 一元二次方程 单元测试题（含答案）

甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版第二十一章《一元二次方程》单元测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（ ）
A． B． C． D．2，10
2．已知是实数，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或6 D．6
3．已知，则的值为（ ）
A．或2 B．或8 C．2 D．8
4．如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若满足的方程为（ ）

A． B．
C． D．
5．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．9步
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
10．定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（ ）
①若，，则的值为；
②若为常数，关于的方程与的解相同，则；
③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．关于的方程的解是 ．
12．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ．
13．已知，则的值是 ．
14．关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ．
15．若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ．
16．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元．
17．若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ．
18．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于．
三、解答题
19．用因式分解法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
20．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为1，求的值．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
22．已知、是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长．
23．某校开展劳动实践活动，九（1）班分到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的矩形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形．设长为米，长为y米．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)九（1）班的小明同学说：“矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0.”请你判断他的说法是否正确，并说明理由．
24．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于、的方程，求的值．
解：设，则方程变形为：
，，即或
(1)【引申】已知，则 ．
(2)【拓展】已知，求的值．
25．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：二次项系数化为，得，第一步
配方，得，……第二步
变形，得，……………… 第三步
开方，得，………………… 第四步
解得，．…………… 第五步
(1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________；
(2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程．
26．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(2)若是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，请说明：．
27．阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
《甘肃省武威第二十中学2025-2026学年九年级数学上册人教版期末模拟试卷2》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B B C C A B C
11．
12．
13．1或2
14．
15．或/或
16．
17．
18．秒或秒
19．（1），
或，
解得，；
（2），
或，
解得，；
（3）整理，得：，
，
则或，
解得，；
（4），
，
则，
或，
解得，．
20．（1）解：方程中，，，，
∵
，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程有一个根为1，
∴，即，
∴．
21．（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，且
解得：且，
即的取值范围是且；
（2），，
∵，
∴
化简得到：
∴
解得：或
∵且
∴
22．（1）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵是方程的两个实数根，
∴，
解得．
∵，
∴，
∴，
整理，得，
解得或（舍去），
故的值为6．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵等腰三角形的一边长为7，
当时，
∴，，
∴，
整理，得，
解得，
当时，，
此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在，
故三角形的周长为；
当时，，
此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在；
同理可证，当时，三角形的周长为17；
∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵等腰三角形的一边长为7，
当时，
∴，
解得，
∴，
此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在；
综上所述，三角形周长为17．
23．（1）解：根据长方形的周长公式，得，即，
关于的函数表达式为．
（2）解：他的说法正确．理由如下：
，
，
，
，，
，
，
，
．
即矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0．
24．（1）解：设，
则原方程变形为，
即，
解得：或，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：设，
则原方程可化为：，
即，
解得，，
∵时，，，无解．
∴．
25．（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；
故答案为：完全平方公式；
（2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下：
正确过程如下：
，
解：移项，得：，
二次项系数化为，得：，
配方，得：，
变形，得：，
开方，得∶，
解得∶，．
26．（1）解：设一元二次方程的一个根为，
∴另一个根为．
则，，
∴，
即，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴该方程的两根为，．
∵是倍根方程，
∴或．
当，即时，
，
当，即时，
＝，
∴代数式．
（3）解：依题意，设倍根方程的两根分别为，．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
，
整理得：，
27．（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴是一元二次方程的两个实数根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页