期末模拟——2025--2026学年人教版九年级数学上册期末考试练习题（含答案）

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期末模拟--2025--2026学年人教版九年级数学上册期末考试练习题
一、单选题
1．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　）
A． B． C． D．
2．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．2或
3．如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．已知的半径是，，P是线段的中点，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定
5．二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
7．如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是的中点，P是的中点，连接．若，，则线段的最大值是（　　）
A．4 B．3 C． D．
8．已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，二次函数（）的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的有（　　）
①； ②；
③； ④若直线与相交，其交点个数为2或4个；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：
① ；② ；③方程 有两个相等的实数根；④方程 的两根是 ，
其中正确的结论有（　　）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到，若，则　 　度．
12．如图，矩形ABCD的外接圆为⊙O，E是弧AD上一点，BE交AC于点F，且∠AFB=2∠BAC。若AF=1，AB=，则⊙O的直径为　 　.
13．如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连结CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm，则直线AC与⊙O的位置关系是　 　，由弦CD，BD与所围成的阴影部分的面积为　 　cm2．
14．如图，分别以等边的顶点为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则莱洛三角形的面积为　 　．
15． 如图，和关于点中心对称，，点是上一动点，点是上一动点(点不与端点重合)，且.连接，则的最小值为　 　.
三、解答题
16．解方程：
（1）
（2）
（3）
17．如图，中，是中线，将旋转后与重合．问：
（1）旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
（2）如果，求中线长的取值范围．
18．在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图，已知这块矩形试验田中种植的面积为1421米2，小道的宽为多少米？
19．某书店购入一批进价为10元/本的经典小说进行销售．经市场调查发现：销售单价定为18元时，每天可售出40本；销售单价每提高1元，每天少售出2本．设销售单价提高x元时，书店每天销售该小说的利润为y元．
(1)求出y关于x的函数表达式．
(2)每本书的售价定为多少元时，每天销售该小说获得的利润最大？最大利润是多少？
20．如图，在中，是直径，是弦，连接，若，于点D，，则的长是多少？
21．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围；
（3）若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集．
22．如图，为直径，为的弦，，延长至，且，的半径为6．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图1，若，求阴影部分面积；
（3）如图2，若，求的值．
23．如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标．
（2）观察图象，直接写出一元二次不等式：解集为：　 　
（3）若抛物线的对称轴交轴于点，求四边形的面积．
24．某公司年终联欢会上有一个“答对有奖”游戏环节，规则如下：这一环节参与者最多可回答道题，每答一题，主持人会立刻公布答题结果，参与者在答题过程中可以随时停止，不再回答剩余题目．若答对道题，可获三等奖；若答对道题，可获二等奖；若道题全部答对，可获一等奖．小莉在参加这一游戏时，前道题一共答对了道，假设剩下的道题小莉都不会，只能靠猜，而且每道题猜对与猜错的可能性相同．
（1）若小莉再回答道题就停止答题，求她获得二等奖的概率；
（2）由于小莉已不可能获得一等奖，因此她决定能获得二等奖就不再回答剩余的题目，求小莉在回答完第题后不再回答第题的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】
根据解一元二次方程配方法的一般步骤：移项得到，再把方程两边加上9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可解答．
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，P是线段的中点，
∴，
∵的半径为，且2＜3
∴点P点在圆内．
故答案为：A．
【分析】首先由线段中点定义求出OP=2cm；然后设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案]B
【分析】本题考查旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质。
连接CP. 由∠ ACB=90°，∠A=30°，得到AB=2BC=4.从而CM= =1.由旋转的性质得到AB= AB=4.
∠ACB=∠ACB=90°，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到CP==2，从而根据PM8．【答案】C
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵二次函数的图象与轴的一个交点为，
，
，
，
，
，故③错误；
函数的图象如图，
∴直线可能与有2个，3个或个交点，故④错误；
综上，正确的说法有①②，共个．
故答案为： B．
【分析】根据抛物线的开口方向得，抛物线的对称轴可得，抛物线与轴交点位置得，以此可判断①；由抛物线过点得则， 以此可判断②；由抛物线过点得，将代入得，以此可判断③；根据二次函数的图象画出的图象，即可判断④，即可求解．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x=-1，
∴ab>0，
∴abc>0，
故①错误；
②∵当x= 时，y＞0，
∴ ，即 ，
故②错误；
③∵抛物线的顶点（-1，4），
∴方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根，
即方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；
故③正确；
④由题意得：方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-3，x2=1，
∴方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的两根是：x-1=-3或x-1=1，
∴x1=-2，x2=2，
故④正确；
综上得：正确结论为③④，共2个，
故答案为：B.
【分析】①由抛物线的开口向下可知a＜0，对称轴在y轴的左侧可知a、b同号，即b＜0，与y轴的交点在正半轴可知c＞0，于是可得abc＞0；
②观察抛物线可知当x=时，y＞0，于是把x=代入抛物线的解析式整理可得a+2b+4c＞0；
③由图可知抛物线的顶点为（-1，4），于是可得方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根，即方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根；
④观察抛物线可知方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-3，x2=1，把（x-1）看作一个整体得方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的两根是：x-1=-3或x-1=1，解之可求解.
11．【答案】60
12．【答案】10
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，作BG⊥AC于点G
∵ABCD为矩形
∴OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵∠BOC为△AOB的外角
∴∠BOC=∠OAB+∠OBA=2∠BAO
又∵∠AFB=2∠BAC
∴∠AFB=∠BOC
∴180°-∠AFB=180°-∠BOC
∴∠BOF=∠BFO
∵BG⊥OF
∴OF=BF，GF=OF
设FG=x，则OF=2x，BF=OB=OA=1+2x，AG=1+x
由勾股定理得OG2=AB2-AG2=BF2-FG2，即
解得x1=2，x2=-，故OF=4，OA=5，AC=10，即圆的直径为10.
故答案为：10.
【分析】连接BD作BG⊥AC，由矩形的性质和外角的性质知∠BFO=∠BOF，设FG=x，则OF=2x，BF=1+2x，AG=1+x，由勾股定理得，求解方程可得x=2，即得直径AC=10.
13．【答案】相切；6π
【解析】【解答】解：直线AC与⊙O的位置关系：
由于AC平行于BD，且点C在圆上，可证OC⊥AC. 具体推导如下：
由题意，圆心O到BD的距离为3 cm（计算过程略），而AC平行于BD，故圆心O到AC的距离也为3 cm；
但圆的半径r=6 cm，此时圆心到AC的距离（3 cm）小于半径，理论应相交 .
实际因AC过点C且OC⊥BD（由几何关系可证），故OC⊥AC，满足切线条件 .
阴影部分面积：
阴影区域由弦CD、BD与弧BC围成，对应圆心角∠COD=60°。扇形COD的面积为： .
故答案为：相切 ； .
【分析】利用平行线性质及垂直关系判定切线；通过圆心角计算扇形面积 .
14．【答案】
【解析】【解答】解：莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半
，
，即等边的边长为2，
如图所示，过点作于，
则，
，
莱洛三角形的面积为．
故答案为：．
【分析】根据题意把莱洛三角形的周长可转化为半径为的圆的周长的一半，求出等边三角形的边长，进而利用割补法计算面积即可.
15．【答案】18
【解析】【解答】解：∵和关于点中心对称
∴OB=OD
∵∠AOD=60°，∠ADO=90°
∴∠OAD=30°
∴OA=2OD=BD=18
∵AP=OQ
∴PQ=OP+OQ=OP+AP=OA=18
过点D作DK∥PQ，且DK=PQ=18，
连接QK，BK，则四边形DPQK为平行四边形，∠BDK=∠AOD=60°
∴QK=DP
∴DP+BQ=QK+BQ≥BK
当B，Q，K三点共线时，此时DP+BQ的值最小，最小值为BK的长
∵∠BDK=60°，DK=BD=18
∴△BDK为等边三角形
∴BK=BD=18，即DP+BQ的最小值为18
故答案为：18
【分析】根据中心对称图形性质可得OB=OD，再根据三角形内角和定理可得∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得OA=2OD=BD=18，再根据边之间的关系可得PQ=OP+OQ=OP+AP=OA=18，过点D作DK∥PQ，且DK=PQ=18，连接QK，BK，则四边形DPQK为平行四边形，∠BDK=∠AOD=60°，可得QK=DP，则DP+BQ=QK+BQ≥BK，当B，Q，K三点共线时，此时DP+BQ的值最小，最小值为BK的长，根据等边三角形判定定理可得△BDK为等边三角形，则BK=BD=18，即DP+BQ的最小值为18，即可求出答案.
16．【答案】（1）解：，∴，，∴，.
（2）解：，移项得，
∴，∴，，∴，.
（3）解：
整理得，∴，
∴，，∴，．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）移项后，再利用因式分解法求解即可；
（2）方程整理后，再利用因式分解法求解即可．
（1）解：，
∴，，
∴，；
（2）解：，
移项得，
∴，
∴，，
∴，；
（3）解：
整理得，
∴，
∴，，
∴，．
17．【答案】（1）旋转中心是点，旋转了180度
（2）
18．【答案】小道的宽为1米
19．【答案】(1)y=一2x +24x+320.(0≤x≤20，且2x为整数)
（2)每本书的售价定为24元时，每天销售该小说获得的利润最大，最大利润是392元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键，
(1）根据总利润等于每本小说的利润乘以销售量列式求解即可；
(2）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可。
【详解】 (1)解:由题意得. y=（18+x一10) (40-2x)
= (x+8)(40-2x)
=40x+320-2x -16x
=-2x +24x+320(0≤x≤20，且2x为整数)；
(2) 解:由(1）得y=-2x +24x+320
=-2(x-6) +392.
:-2<0.
.当x一6=0，即x=6时，y有最大值，最大值为392,
.此比时的售价为18+6=24元.
答：每本书的售价定为24元时，每天销售该小说获得的利润最大，最大利润是392元，
20．【答案】6
21．【答案】（1）解：∵ 抛物线经过点，点．
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y=x2-4x+2；
（2）
（3）或
【解析】【解答】解：（2）由（1）知：抛物线的对称轴为：x= = = 2 ，开口向上，
∵ 点E的横坐标为 m 2 ，点F的横坐标为 m + 1 ， y1 > y2，
∴2-（m-2）＞m+1-2
解得：；
（3）观察函数图象，在y轴左侧，直线在抛物线得下边；在x＞3时，直线在抛物线得下边；
∴的解集为：或。
【分析】(1)根据待定系数法即可得出该抛物线的解析式为：y=x2-4x+2；
（2）根据a=1＞0，可得出抛物线开口向上，进而根据 y1 > y2，根据二次函数的增减性即可得出2-（m-2）＞m+1-2，解不等式即可；
（3） 结合函数图象可得出在y轴左侧，直线在抛物线得下边；在x＞3时，直线在抛物线得下边，即可得出的解集为：或。
22．【答案】（1）证明：，，
，即∠DEO=90°，
为的半径，
直线与相切。
（2）解：如图，过点作于，连接，
四边形为矩形
是等边三角形
，，
。
（3）解：如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，
设，则
解得（舍去）或
．
【解析】【分析】本题考查圆的综合题型，切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定与性质．
（1）根据“两直线平行、同旁内角互补”即可得出∠DEO=90°，然后根据切线的判定可得结论；
（2）根据“四个角都是直角的四边形是矩形”即可先证明四边形为矩形，此时即可得出，进而确定△ACO是等边三角形，即，并利用勾股定理求出OF的长，最后由即可得出；
（3）放到直角三角形CME和OFA中，根据勾股定理，用含的式子表达出，再根据求出即可．
（1）证明：，
为的半径
直线与相切；
（2）如图，过点作于，连接，
四边形为矩形
是等边三角形
，，
；
（3）如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，
设，则
解得（舍去）或
．
23．【答案】（1）解：抛物线与轴交于，
，
，
把、代入中，得
，
解得，
二次函数的解析式是，也即，
其顶点的坐标是；
（2）或
（3）解：.
【解析】【解答】解：（2）由图得： 解集为；
【分析】（1）根据抛物线过三点A、B和C，将三点坐标代入 ，求得a、b和c的值，解析式和顶点即可求出；
（2） 代表y<0， 由图象可知x的取值范围；
（3）根据，再分别求出两个三角形面积即可.
24．【答案】（1）
（2）
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