中考数学专题复习讲义通用版——逆等线与加权逆等线
（解析版）
第一部分：基础知识储备
如下图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来.
一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题.观察图形，我们很容易发现，CD和BE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题，这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述.
【引例】
如图，在△ABC中，°，，，点D、E分别是AB、AC上的动点，且，求的最小值.
★分析思路一：
①AD在△ADC中，那么我们就以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作，且；(构造一边一角，得全等)
③构造出△(SAS)，证出；
④CD+B，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值；
⑤求BF.
★分析思路二：
①CE在△BCE中，那么我们就以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②在点C作，且；(构造一边一角，得全等)
③构造出△(SAS)，证出；
④CD+B，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求此时，C、D、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值；
⑤求CF.
★模型归纳：
它会有一个非常明显的特征条件，就是在动点的运动过程中，有两条线段始终保持相等，我们可以在等线段处作平行线，构造全等三角形，一般情况下都是利用一边一角造全等，且都是SAS，将两定两动转化为两定一动最值问题，从而将要的两条线段拼接到一起，根据两点之间线段最短，也可以利用三角形三边关系去求最值。
★模型总结：
找第一条等边的定点，在定点处找定角和定线段；
在第二条等边的定点处，构造定角和定线段；（常见方法是作平行，作垂直，作平移）
证全等；
和最小，异侧找三点共线.
第二部分：典型例题分析
类型一：三角形边上逆等线模型
例1如图，°，点D、E分别在BC、AC边上的动点，且，若，，求的最小值
【解析一】：
过点A作BC的平行线，并截取
，又，(SAS)，
，∴当点B、E、F共线时最小，最小为线段BF的长
过点B作AF的垂线交FA的延长线于点G
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
的最小值为.
【解析二】：
在点C处作，并截取
，(SAS)，
，∴当点A、D、F共线时最小，最小为线段AF的长
过点F作AC的垂线交AC的延长线于点G
在Rt△AFG中，由勾股定理得：
的最小值为
类型二：三角形边上加权逆等线模型
例2 如图，在中，，，，为，上的两个动点，，求的最小值
【解析一】：过点作的平行线，并截取
，
又，，
，，即
，
当点、、共线时最小，
过点作的垂线交的延长线于点
在中，由勾股定理得：
的最小值为
【解析二】：在点处作，并截取
，
,
，
当点、、共线时最小，最小为线段的长
过点作的垂线交的延长线于点
在中，由勾股定理得：
类型三：三角形同边上逆等线模型
例3如图，在中，，，点，是线段上动点，且满足，连接，，求最小值
【解析一】：过点作的平行线，并截取
,又,,
，
当点、、共线时最小，最小为线段的长
易证，的最小值为
【解析二】：在点处作，并截取
,,
，
当点、、共线时最小，最小为线段的长
易证，的最小值为
类型四：三角形非边上逆等线模型
例4如图，AD是等边的高，，E，F分别是线段AD，AC上动点，且，求的最小值.
【解析一】：过点C作AE的平行线，并截取
，又，(SAS)，
，
∴当点B、E、G共线时最小，最小为线段BG的长
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
的最小值为
【解析二】：在点A处作，并截取
，(SAS)，
，
∴当点C、E、G共线时最小，最小为线段CG的长
在Rt△ACG中，由勾股定理得：
的最小值为
类型五：矩形进等线模型
例5如图，矩形 中， ，，， 求 的最小值
【解析一】：
过点 作 的垂线，并截取
, 又 ，，
， 当点 、、 共线时 最小， 最小为线段 的长
过点 作 的垂线交 的延长线于点
在中，由勾股定理得：
的最小值为
【解析二】：
在点 处作 ， 并截取
，，
， 当点 、、 共线时 最小， 最小为线段 的长
过点 作 的垂线交 的延长线于点
在中，由勾股定理得：
的最小值为
类型六：矩形加权逆等线模型
例6如图，M为矩形ABCD中AD的中点，E，F分别为BC、CD上的动点，且，若，，求的最小值
【解析一】：延长AB，并截取
又∵BE=2DF，∴，，∽，
，∴当点M、E、G共线时最小，最小为线段GM的长
在Rt△GAM中，由勾股定理得：
的最小值为
【解析二】：连接BM，在点D处作，并截取
，∴，∽，
()，∴当点A、P、F共线时最小，最小为线段2AP的长
过点P作AD的垂线交AD的延长线于点Q
在Rt△APQ中，由勾股定理得：
的最小值为
类型七：菱形逆等线模型
例7如图，菱形 中， ， ， ， 分别是 ， 上两个动点，且 ， 连接 ，， 求 的最小值
【解析一】：在点 处作 ， 并截取
, ,
，
当点 、、 共线时 最小， 最小为线段 的长
在 中， 由勾股定理得：
的最小值为
【解析二】：在点 处作 ， 并截取
, ,
，
当点 、、 共线时 最小， 最小为线段 的长
在 中， 由勾股定理得：
的最小值为
类型八：菱形加权逆等线模型
例8如图，在菱形中，，，、分别是、上的动点，且，求的最小值.
【解析一】：
在点处作，并截取
，，
，
当点、、共线时最小，最小为线段的长
在中，由勾股定理得：
的最小值为
【解析二】：
在点处作，并截取
，，，
，
当点、、共线时最小，最小为线段的长
在中，由勾股定理得：
的最小值为
例9 在正方形 中，、、 分别为 、 上的动点，且 ，若 ，求 的最小值
【解析一】： 延长 ，并截取
又 ，，，，
， 当点 、、 共线时 最小，最小为线段 的长
在 中，由勾股定理得：
的最小值为
【解析二】： 连接 ，在点 处作 ，并截取
，，，
， 当点 、、 共线时 最小，最小为线段 的长
过点 作 的垂线交 的延长线于点
在 中，由勾股定理得：
的最小值为中考数学专题复习讲义通用版——逆等线与加权逆等线
（原卷版）
第一部分：基础知识储备
如下图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来.
一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题.观察图形，我们很容易发现，CD和BE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题，这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述.
【引例】
如图，在△ABC中，°，，，点D、E分别是AB、AC上的动点，且，求的最小值.
★分析思路一：
①AD在△ADC中，那么我们就以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作，且；(构造一边一角，得全等)
③构造出△(SAS)，证出；
④CD+B，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值；
⑤求BF.
★分析思路二：
①CE在△BCE中，那么我们就以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②在点C作，且；(构造一边一角，得全等)
③构造出△(SAS)，证出；
④CD+B，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求此时，C、D、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值；
⑤求CF.
★模型归纳：
它会有一个非常明显的特征条件，就是在动点的运动过程中，有两条线段始终保持相等，我们可以在等线段处作平行线，构造全等三角形，一般情况下都是利用一边一角造全等，且都是SAS，将两定两动转化为两定一动最值问题，从而将要的两条线段拼接到一起，根据两点之间线段最短，也可以利用三角形三边关系去求最值。
★模型总结：
找第一条等边的定点，在定点处找定角和定线段；
在第二条等边的定点处，构造定角和定线段；（常见方法是作平行，作垂直，作平移）
证全等；
和最小，异侧找三点共线.
第二部分：典型例题分析
类型一：三角形边上逆等线模型
例1如图，°，点D、E分别在BC、AC边上的动点，且，若，，求的最小值
类型二：三角形边上加权逆等线模型
例2 如图，在中，，，，为，上的两个动点，，求的最小值
类型三：三角形同边上逆等线模型
例3如图，在中，，，点，是线段上动点，且满足，连接，，求最小值
类型四：三角形非边上逆等线模型
例4如图，AD是等边的高，，E，F分别是线段AD，AC上动点，且，求的最小值.
类型五：矩形进等线模型
例5如图，矩形 中， ，，， 求 的最小值
类型六：矩形加权逆等线模型
例6如图，M为矩形ABCD中AD的中点，E，F分别为BC、CD上的动点，且，若，，求的最小值
类型七：菱形逆等线模型
例7如图，菱形 中， ， ， ， 分别是 ， 上两个动点，且 ， 连接 ，， 求 的最小值
类型八：菱形加权逆等线模型
例8如图，在菱形中，，，、分别是、上的动点，且，求的最小值.
例9 在正方形 中，、、 分别为 、 上的动点，且 ，若 ，求 的最小值
