冲刺2010第一轮复习（4）一元二次方程

本系列资料系2010中考第一轮复习精品资料，每一篇内容分为三个版块：内容解读、考点剖析、真题训练，精选近几年各地中考题，适合全层次初三学生系统复习初中数学知识。
冲刺2010第一轮复习
第四讲 一元二次方程
内容解读
中考中对于一元二次方程的要求主要包括一元二次方程的概念，会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，以及用一元二次方程的知识解决实际问题。中考中对于这部分的考查形式多样，注重学生对于方程思想、转化思想等思想方法的考查，对于学生分析问题和解决问题的能力要求也比较高。
考点剖析
1、一元二次方程的概念
例1：（2009山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．
答案：答案不唯一，如
例2：（2009威海）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
答案：1
2、解一元二次方程
例3：（2009武汉）解方程：．
答案：解：，
，
．
例4：（2009山西）解方程：
答案：解：移项，得配方，得
∴∴
（注：此题还可用公式法，分解因式法求解）
3、根的判别式
例5：（2007芜湖）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A． m＞－1 B． m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
答案：A
4、一元二次方程与二次函数
例6：（2007南昌）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
答案：，；
5、一元二次方程的应用
例7：（2008河北）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
例8：（2008南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
答案：解法一：设矩形温室的宽为，则长为．
根据题意，得
．
解这个方程，得
（不合题意，舍去），．
所以，．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是．
解法二：设矩形温室的长为，则宽为．根据题意，得
．
解这个方程，得
（不合题意，舍去），．
所以，．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是．
真题训练
1、（2009长沙）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2、（2009荆州）用配方法解一元二次方程时可配方得（ ）
A． B． C． D．
3、（2007成都）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4、（2008济南）关于x的一元二次方程的一个根为2，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5、（2008武汉）下列命题：
①若，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（　　）
A.只有①②③ B．只有①③④ C．只有①④ D． 只有②③④．
6、（2009青海）在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图5所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7、（2009十堰）方程(x＋2)(x－1)=0的解为 ．
8、（2009上海）如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．
9、（2009江苏）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为，则可列方程 ．
10、（2009包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
11、（2008温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4．
12、（2009绵阳）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
13、（2009江津）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
14、（2009常德）常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？
15、（2008庆阳）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
冲刺2010第一轮复习
第四讲 一元二次方程
参考答案
真题训练
1、A 2、B 3、D 4、D 5、B 6、B
7、x=－2，x=1或
8、
9、
10、或
11、①；②；③，；④．
12、（1）△= [ 2（k—1）] 2－4（k2－1）
= 4k2－8k + 4－4k2 + 4 =－8k + 8．
∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ －8k + 8＞0，解得 k＜1，即实数k的取值范围是 k＜1．
（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k－1）· 0 + k2－1 = 0，
解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．
即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．
此时，原方程变为 x2－4x = 0，解得 x1 = 0，x2 = 4，所以它的另一个根是4．
13、解：∵方程有两个相等的实数根
∴△=
∴
∵
∴
∴△ABC为等腰三角形
14、设2008年到2010年的年平均增长率为 x ，则
化简得 ： ， （舍去）
答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为 30%，若继续保持上面的增长率，
在2012年将达到1200亿元的目标．
15、设这种箱子底部宽为米，则长为米，
依题意，得．
解得（舍），．
∴ 这种箱子底部长为米、宽为米．
由长方体展开图知，要购买矩形铁皮面积为（米）．
∴ 做一个这样的箱子要花元钱．
1米
1米
前
侧
空
地
蔬菜种植区域
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