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【湘教版八上数学阶段测试卷】 期末模拟押题卷(一)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成一个深为0.000 028 cm的小洞，则数据0.000 028用科学记数法表示为( )
A.2.8×10－6
B.28×10－5
C.0.28×10－6
D.2.8×10－5
D
2.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
B
A.x≥－1 B.x＞－1
C.x＜－1 D.x≤－1
3.下列命题是假命题的是( )
A.全等三角形的面积相等
B.两直线平行，同旁内角互补
C.如果两个角相等，那么它们是对顶角
D.三角形的内角和等于180°
C
4.如图，在△ABC中，∠C＝56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC于点F.若∠FDB＝20°，则∠CAB的度数为( )
A.76°
B.65°
C.56°
D.54°
D
5.体育测试中，小进和小俊进行800 m跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40 s.设小俊的速度是x m/s，则所列方程正确的是( )
C
A.40×1.25x－40x＝800 B.－＝40
C.－＝40 D.－＝40
6.实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简＋｜a＋b｜－的结果为( )
B
A.－2a－b－2c B.－2a－b
C.b D.－2a＋b
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE的长为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
B
8.如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F.若BF＝5，则CF的长为( )
A.4 B.9
C.2 D.10
B
9.若关于x的分式方程＝－无解，则k的值为( )
B
A.－3 B.－3或－5
C.1 D.1或－5
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE.有下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN；⑤AD∥NE，其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
11.计算：(－2 026)0＋2－1＝_______.
1.5
12.如图，已知∠ACB＝∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是____________________________.
∠ABC＝∠DCB(答案不唯一)
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，BC＝6，CD＝5，则AC的长为_____.
8
14.因式分解：4x2＋12xy＋9y2－9＝__________________________.
(2x＋3y－3)(2x＋3y＋3)
15.如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心
将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为____________.
16.已知＋｜x－3｜＝×，则yx＋a2的值为_______.
－4
17.如图，一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽BC＝25 cm.当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE＝20 cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF＝15 cm，则E处与F处之间的距离EF长为_____cm.
5
18.如图，△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，点F在线段BD上移动，CF的延长线与AB相交于点E，连接AF.当AE＝AF时，∠BCE的度数为________.
20°
三、解答题(本题共8小题，共66分)
19.(6分)解下列分式方程：
(1)＋＝3；
解：由于最简公分母为x－1，于是将方程两边同乘x－1，
得2x－1＝3(x－1)，解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的解.
(2)＝1－.
解：由于最简公分母为(x＋3)(x－3)，于是将方程两边同乘(x＋3)(x－3)，
得x(x－3)＝(x＋3)(x－3)－(x－1)，解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解.
20.(6分)先化简，再求值：(－1)÷，其中a＝，b＝－1.
解：原式＝(－)·
＝·
＝2a＋b.
当a＝，b＝－1时，
原式＝2＋－1＝3－1.
21.(8分)如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8.
(1)求证：△ACD是直角三角形；
证明：在Rt△ABC中，因为∠ACB＝30°，AB＝3，
所以AC＝2AB＝6.
在△ACD中，因为AC2＋CD2＝100，AD2＝100，
所以AC2＋CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形.
(2)求四边形ABCD的面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝3，
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×3＋×6×8＝＋24.
22.(8分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长.
(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；
解：ac－bc＝c(a－b)，
－a2＋2ab－b2＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2.
(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由如下：
因为ac－bc＝－a2＋2ab－b2，所以c(a－b)＝－(a－b)2，
所以c(a－b)＋(a－b)2＝0，所以(a－b)(c＋a－b)＝0.
因为a，b，c分别是△ABC的三边长，
所以c＋a－b＞0，所以a－b＝0，即a＝b，
所以△ABC是等腰三角形.
23.(9分)某市为治理污水，需铺设一段全长为4 800 m的污水排放管道，为了减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20％，结果提前20天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米；
解：设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道(1＋20％)x m.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
所以1.2x＝48.
答：原计划每天铺设管道40 m，实际每天铺设管道48 m.
由题意，得＋20＝，解得x＝40.
(2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
解：设该公司原计划应安排y名工人施工.
因为原计划需要的天数为4 800÷40＝120(天)，
所以300×120y≤360 000，解得y≤10.
答：该公司原计划最多应安排10名工人施工.
24.(9分)如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E.
(1)求证：AF＝BE；
证明：连接AD，BD.
因为DP垂直平分AB，所以AD＝BD.
因为DE⊥BC，DF⊥AC，CD是∠ACE的平分线，
所以∠AFD＝∠BED＝90°，DE＝DF.
在Rt△ADF和Rt△BDE中，
所以Rt△ADF≌Rt△BDE(斜边、直角边)，所以AF＝BE.
(2)若BC＝6，AC＝10，求CE的长.
解：在Rt△CDF和Rt△CDE中，
所以Rt△CDF≌Rt△CDE(斜边、直角边)，
所以CF＝CE.
设CE＝CF＝x，则BE＝BC＋CE＝6＋x，AF＝AC－CF＝10－x.
由(1)知AF＝BE，
所以10－x＝6＋x，解得x＝2，所以CE＝2.
25.(10分)阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，满足m2＋n2＝x且mn＝，则把x±2 变成m2＋n2±2mn＝(m±n)2开方，从而使得化简.
如：化简.
解：因为3＋2＝1＋2＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2，
所以＝＝1＋.
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
解：因为5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2××＝(＋)2，
所以＝＝＋.
(2).
解：因为7－4＝4＋3－4＝22＋()2－2×2×＝(2－)2，
所以＝＝2－.
26.(10分)如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接 CF.
【发现问题】
(1)当点D与点B重合时，如图1，发现△ABE≌△CBF，可知CE，CF与CD之间的数量关系是____________________；
CE＋CF＝CD
【问题解决】
(2)如图2，若点D在边BC上(不与端点B，C重合)，则CE，CF与CD存在怎样的数量关系？请说明理由；
解：CE＋CF＝CD.
理由如下：在CD上截取CH＝CE，连接EH.
因为△ABC是等边三角形，所以∠ECH＝60°，
所以△CEH是等边三角形，
所以EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.
因为△DEF是等边三角形，所以DE＝FE，∠DEF＝60°，
所以∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°，
所以∠DEH＝∠FEC.
在△DEH和△FEC中，
所以△DEH≌△FEC(边角边)，所以DH＝CF，
所以CD＝CH＋DH＝CE＋CF，即CE＋CF＝CD.
【类比探究】
(3)如图3，若点D在边BC的延长线上，写出CE，CF与CD之间存在的数量关系，并说明理由.
解：CF＝CD＋CE.理由如下：
过点D作DG∥AB，交AC的延长线于点G.
因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
因为GD∥AB，所以∠GDC＝∠B＝60°，∠G＝∠A＝60°.
因为∠GCD＝∠ACB＝60°，
所以△GCD是等边三角形，所以DG＝CD＝CG.
因为△EDF是等边三角形，所以ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠GDC，
所以∠GDC＋∠EDC＝∠EDF＋∠EDC，即∠EDG＝∠FDC.
在△EGD和△FCD 中，
所以△EGD≌△FCD(边角边)，
所以EG＝FC，所以CF＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE.
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【湘教版八上数学阶段测试卷】 期末模拟押题卷(一)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成一个深为0.000 028 cm的小洞，则数据0.000 028用科学记数法表示为( )
A.2.8×10－6
B.28×10－5
C.0.28×10－6
D.2.8×10－5
D
2.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
B
A.x≥－1 B.x＞－1
C.x＜－1 D.x≤－1
3.下列命题是假命题的是( )
A.全等三角形的面积相等
B.两直线平行，同旁内角互补
C.如果两个角相等，那么它们是对顶角
D.三角形的内角和等于180°
C
4.如图，在△ABC中，∠C＝56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC于点F.若∠FDB＝20°，则∠CAB的度数为( )
A.76°
B.65°
C.56°
D.54°
D
5.体育测试中，小进和小俊进行800 m跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40 s.设小俊的速度是x m/s，则所列方程正确的是( )
C
A.40×1.25x－40x＝800 B.－＝40
C.－＝40 D.－＝40
6.实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简＋｜a＋b｜－的结果为( )
B
A.－2a－b－2c B.－2a－b
C.b D.－2a＋b
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE的长为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
B
8.如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F.若BF＝5，则CF的长为( )
A.4 B.9
C.2 D.10
B
9.若关于x的分式方程＝－无解，则k的值为( )
B
A.－3 B.－3或－5
C.1 D.1或－5
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE.有下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN；⑤AD∥NE，其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
11.计算：(－2 026)0＋2－1＝_______.
1.5
12.如图，已知∠ACB＝∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是____________________________.
∠ABC＝∠DCB(答案不唯一)
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，BC＝6，CD＝5，则AC的长为_____.
8
14.因式分解：4x2＋12xy＋9y2－9＝__________________________.
(2x＋3y－3)(2x＋3y＋3)
15.如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心
将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为____________.
16.已知＋｜x－3｜＝×，则yx＋a2的值为_______.
－4
17.如图，一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽BC＝25 cm.当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE＝20 cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF＝15 cm，则E处与F处之间的距离EF长为_____cm.
5
18.如图，△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，点F在线段BD上移动，CF的延长线与AB相交于点E，连接AF.当AE＝AF时，∠BCE的度数为________.
20°
三、解答题(本题共8小题，共66分)
19.(6分)解下列分式方程：
(1)＋＝3；
解：由于最简公分母为x－1，于是将方程两边同乘x－1，
得2x－1＝3(x－1)，解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的解.
(2)＝1－.
解：由于最简公分母为(x＋3)(x－3)，于是将方程两边同乘(x＋3)(x－3)，
得x(x－3)＝(x＋3)(x－3)－(x－1)，解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解.
20.(6分)先化简，再求值：(－1)÷，其中a＝，b＝－1.
解：原式＝(－)·
＝·
＝2a＋b.
当a＝，b＝－1时，
原式＝2＋－1＝3－1.
21.(8分)如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8.
(1)求证：△ACD是直角三角形；
证明：在Rt△ABC中，因为∠ACB＝30°，AB＝3，
所以AC＝2AB＝6.
在△ACD中，因为AC2＋CD2＝100，AD2＝100，
所以AC2＋CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形.
(2)求四边形ABCD的面积.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝3，
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×3＋×6×8＝＋24.
22.(8分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长.
(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；
解：ac－bc＝c(a－b)，
－a2＋2ab－b2＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2.
(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由如下：
因为ac－bc＝－a2＋2ab－b2，所以c(a－b)＝－(a－b)2，
所以c(a－b)＋(a－b)2＝0，所以(a－b)(c＋a－b)＝0.
因为a，b，c分别是△ABC的三边长，
所以c＋a－b＞0，所以a－b＝0，即a＝b，
所以△ABC是等腰三角形.
23.(9分)某市为治理污水，需铺设一段全长为4 800 m的污水排放管道，为了减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20％，结果提前20天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米；
解：设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道(1＋20％)x m.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
所以1.2x＝48.
答：原计划每天铺设管道40 m，实际每天铺设管道48 m.
由题意，得＋20＝，解得x＝40.
(2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
解：设该公司原计划应安排y名工人施工.
因为原计划需要的天数为4 800÷40＝120(天)，
所以300×120y≤360 000，解得y≤10.
答：该公司原计划最多应安排10名工人施工.
24.(9分)如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E.
(1)求证：AF＝BE；
证明：连接AD，BD.
因为DP垂直平分AB，所以AD＝BD.
因为DE⊥BC，DF⊥AC，CD是∠ACE的平分线，
所以∠AFD＝∠BED＝90°，DE＝DF.
在Rt△ADF和Rt△BDE中，
所以Rt△ADF≌Rt△BDE(斜边、直角边)，所以AF＝BE.
(2)若BC＝6，AC＝10，求CE的长.
解：在Rt△CDF和Rt△CDE中，
所以Rt△CDF≌Rt△CDE(斜边、直角边)，
所以CF＝CE.
设CE＝CF＝x，则BE＝BC＋CE＝6＋x，AF＝AC－CF＝10－x.
由(1)知AF＝BE，
所以10－x＝6＋x，解得x＝2，所以CE＝2.
25.(10分)阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，满足m2＋n2＝x且mn＝，则把x±2 变成m2＋n2±2mn＝(m±n)2开方，从而使得化简.
如：化简.
解：因为3＋2＝1＋2＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2，
所以＝＝1＋.
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
解：因为5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2××＝(＋)2，
所以＝＝＋.
(2).
解：因为7－4＝4＋3－4＝22＋()2－2×2×＝(2－)2，
所以＝＝2－.
26.(10分)如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接 CF.
【发现问题】
(1)当点D与点B重合时，如图1，发现△ABE≌△CBF，可知CE，CF与CD之间的数量关系是____________________；
CE＋CF＝CD
【问题解决】
(2)如图2，若点D在边BC上(不与端点B，C重合)，则CE，CF与CD存在怎样的数量关系？请说明理由；
解：CE＋CF＝CD.
理由如下：在CD上截取CH＝CE，连接EH.
因为△ABC是等边三角形，所以∠ECH＝60°，
所以△CEH是等边三角形，
所以EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.
因为△DEF是等边三角形，所以DE＝FE，∠DEF＝60°，
所以∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°，
所以∠DEH＝∠FEC.
在△DEH和△FEC中，
所以△DEH≌△FEC(边角边)，所以DH＝CF，
所以CD＝CH＋DH＝CE＋CF，即CE＋CF＝CD.
【类比探究】
(3)如图3，若点D在边BC的延长线上，写出CE，CF与CD之间存在的数量关系，并说明理由.
解：CF＝CD＋CE.理由如下：
过点D作DG∥AB，交AC的延长线于点G.
因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
因为GD∥AB，所以∠GDC＝∠B＝60°，∠G＝∠A＝60°.
因为∠GCD＝∠ACB＝60°，
所以△GCD是等边三角形，所以DG＝CD＝CG.
因为△EDF是等边三角形，所以ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠GDC，
所以∠GDC＋∠EDC＝∠EDF＋∠EDC，即∠EDG＝∠FDC.
在△EGD和△FCD 中，
所以△EGD≌△FCD(边角边)，
所以EG＝FC，所以CF＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共36张PPT)
湘教版八上数学期末复习 讲解课件
湘教版八上数学期末模拟押题卷01
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成一个深为0.000 028 cm的小洞，则数据0.000 028用科学记数法表示为( )
A.2.8×10－6
B.28×10－5
C.0.28×10－6
D.2.8×10－5
D
A.x≥－1 B.x＞－1
C.x＜－1 D.x≤－1
B
3.下列命题是假命题的是( )
A.全等三角形的面积相等
B.两直线平行，同旁内角互补
C.如果两个角相等，那么它们是对顶角
D.三角形的内角和等于180°
C
4.如图，在△ABC中，∠C＝56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC于点F.若∠FDB＝20°，则∠CAB的度数为( )
A.76°
B.65°
C.56°
D.54°
第4题图
D
5.体育测试中，小进和小俊进行800 m跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40 s.设小俊的速度是x m/s，则所列方程正确的是( )
C
A.－2a－b－2c B.－2a－b
C.b D.－2a＋b
B
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE的长为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
第7题图
B
8.如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于 BD长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F.若BF＝5，则CF的长为( )
A.
B.9
C.
D.10
第8题图
B
A.－3 B.－3或－5
C.1 D.1或－5
B
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于E，F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE.有下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN；⑤AD∥NE，其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第10题图
D
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
11.计算：(－2 026)0＋2－1＝_______.
12.如图，已知∠ACB＝∠DBC，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是____________________________.
第12题图
1.5
∠ABC＝∠DCB(答案不唯一)
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，BC＝6，CD＝5，则AC的长为_____.
第13题图
8
14.因式分解：4x2＋12xy＋9y2－9＝__________________________.
15.如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心
将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为____________.
(2x＋3y－3)(2x＋3y＋3)
17.如图，一台笔记本电脑平放在桌上，屏幕宽BC＝25 cm.当电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE＝20 cm，调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF＝15 cm，则E处与F处之间的距离EF长为_____cm.
第17题图
－4
5
18.如图，△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，点F在线段BD上移动，CF的延长线与AB相交于点E，连接AF.当AE＝AF时，∠BCE的度数为________.
第18题图
20°
三、解答题(本题共8小题，共66分)
19.(6分)解下列分式方程：
解：由于最简公分母为x－1，于是将方程两边同乘x－1，
得2x－1＝3(x－1)，解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的解.
解：由于最简公分母为(x＋3)(x－3)，于是将方程两边同乘(x＋3)(x－3)，
得x(x－3)＝(x＋3)(x－3)－(x－1)，解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解.
21.(8分)如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8.
(1)求证：△ACD是直角三角形；
证明：在Rt△ABC中，因为∠ACB＝30°，AB＝3，
所以AC＝2AB＝6.
在△ACD中，因为AC2＋CD2＝100，AD2＝100，
所以AC2＋CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形.
(2)求四边形ABCD的面积.
22.(8分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长.
(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；
解：ac－bc＝c(a－b)，
－a2＋2ab－b2＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2.
(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由如下：
因为ac－bc＝－a2＋2ab－b2，所以c(a－b)＝－(a－b)2，
所以c(a－b)＋(a－b)2＝0，所以(a－b)(c＋a－b)＝0.
因为a，b，c分别是△ABC的三边长，
所以c＋a－b＞0，所以a－b＝0，即a＝b，
所以△ABC是等腰三角形.
23.(9分)某市为治理污水，需铺设一段全长为4 800 m的污水排放管道，为了减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20％，结果提前20天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米；
解：设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道(1＋20％)x m.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
所以1.2x＝48.
答：原计划每天铺设管道40 m，实际每天铺设管道48 m.
(2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
解：设该公司原计划应安排y名工人施工.
因为原计划需要的天数为4 800÷40＝120(天)，
所以300×120y≤360 000，解得y≤10.
答：该公司原计划最多应安排10名工人施工.
24.(9分)如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E.
(1)求证：AF＝BE；
证明：连接AD，BD.
因为DP垂直平分AB，所以AD＝BD.
因为DE⊥BC，DF⊥AC，CD是∠ACE的平分线，
所以∠AFD＝∠BED＝90°，DE＝DF.
所以Rt△ADF≌Rt△BDE(斜边、直角边)，所以AF＝BE.
所以Rt△CDF≌Rt△CDE(斜边、直角边)，
所以CF＝CE.
设CE＝CF＝x，则BE＝BC＋CE＝6＋x，AF＝AC－CF＝10－x.
由(1)知AF＝BE，
所以10－x＝6＋x，解得x＝2，所以CE＝2.
(2)若BC＝6，AC＝10，求CE的长.
26.(10分)如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接 CF.
【发现问题】
(1)当点D与点B重合时，如图1，发现△ABE≌△CBF，可知CE，CF与CD之间的数量关系是____________________；
CE＋CF＝CD
图1 图2 图3
【问题解决】
(2)如图2，若点D在边BC上(不与端点B，C重合)，则CE，CF与CD存在怎样的数量关系？请说明理由；
解：CE＋CF＝CD.
理由如下：在CD上截取CH＝CE，连接EH.
因为△ABC是等边三角形，所以∠ECH＝60°，
所以△CEH是等边三角形，
所以EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.
图2
因为△DEF是等边三角形，所以DE＝FE，∠DEF＝60°，
所以∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°，
所以∠DEH＝∠FEC.
所以△DEH≌△FEC(边角边)，所以DH＝CF，
所以CD＝CH＋DH＝CE＋CF，即CE＋CF＝CD.
【类比探究】
(3)如图3，若点D在边BC的延长线上，写出CE，CF
与CD之间存在的数量关系，并说明理由.
图3
解：CF＝CD＋CE.理由如下：
过点D作DG∥AB，交AC的延长线于点G.
因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.
因为GD∥AB，所以∠GDC＝∠B＝60°，∠G＝∠A＝60°.
因为∠GCD＝∠ACB＝60°，
所以△GCD是等边三角形，所以DG＝CD＝CG.
因为△EDF是等边三角形，所以ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠GDC，
所以∠GDC＋∠EDC＝∠EDF＋∠EDC，即∠EDG＝∠FDC.
所以△EGD≌△FCD(边角边)，
所以EG＝FC，所以CF＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE.
Thanks!
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