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【湘教版八上数学阶段测试卷】 期末模拟押题卷(二)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.若分式的值存在，则a的取值范围是( )
A.a≠0 B.a≠3
C.a＜3 D.a≥3
2.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为10 km，则M，C两点间的距离为( )
A.6 km
B.5 km
C.12 km
D.7 km
3.下列各多项式因式分解的结果中不含因式a－1的是( )
A.a2－1
B.a2－2a＋1
C.a2＋a
D.a(a－2)＋(2－a)
4.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，下列各组条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A＝∠D，∠ACB＝∠F
B.AB＝DE，∠A＝∠D
C.∠A＝∠D，BC＝EF
D.AB＝DE，BC＝EF
5.如图，在等腰三角形ABC中，腰AC上的高线为BD，∠ABC的平分线为BE.若∠CBD＝25°，则∠DBE的度数为( )
A.12.5°
B.7.5°
C.6.5°
D.6.25°
6.计算(＋3)2 026(－3)2 025的结果是( )
A.－3 B.＋3
C.－3 D.3
7.定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋＝，则方程x※(x＋1)＝的解为( )
A.x＝－ B.x＝
C.x＝1 D.x＝－1
8.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至C处时(即水平距离CD＝4 m)，踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
9.如图，等边三角形ABC的顶点A，B分别在网格图的格点上，则∠α的度数为( )
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中一定正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
11.电子元件是现代科技的核心组成部分，它们构成了整个电子工业的基础.某种电子元件的面积大约为0.000 057 mm2，将0.000 057这个数用科学记数法表示为______________.
12.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________________
________.
13.若y＝＋－2，则x＋y的值为_____.
14.若b＋a＝3，则9－6a＋a2－b2的值为_____.
15.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E.若CE＝ ，则AB的长是_____.
16.如图，在△ABC中，BD＝CD，且∠1＝∠2.若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠3的度数为________.
17.若正整数a使得关于x的分式方程2＋＝有正整数解，那么符合条件的所有正整数a的个数有______个.
18.如图，CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P.若AP＝2，AC＝5，则CE2＋CF2的值是______ .
三、解答题(本题共8小题，共66分)
19.(6分)计算：(＋－3)×.
：＝＋－×＝－×＝－.
20.(6分)先化简，再求值：(－)÷，其中a＝－1.
：＝－÷
＝－÷
＝·
＝.
a＝－，＝＝－.
21.(8分)如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.
(1)求CD长的取值范围；
解：因为在△BCD中，BC＝，BD＝，
所以－＜CD＜＋，所以＜CD＜.
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数.
解：因为AE∥BD，
所以∠AEF＝∠BDE＝°.
因为∠AEF是△ACE的一个外角，
所以∠C＝∠AEF－∠A＝°－°＝°.
22.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF.
(1)求证：AF＝AD；
证明：因为∠D＝°，
所以AD⊥DE，
因为EA平分∠DEF，AF⊥EF，
所以AF＝AD.
(2)若BF＝7，DE＝3，求CE的长.
解：在△ABF和△ACD中，
所以△ABF≌△ACD斜边、直角边，
所以CD＝BF＝.
因为DE＝，所以CE＝CD－DE＝－＝.
23.(9分)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点.
(1)猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；
解：EF⊥AC.证明如下：
连接AE，CE.
因为∠BAD＝°，E为BD的中点，
AE＝DB.
∠DCB＝°，CE＝BD，所以AE＝CE.
因为F是AC的中点，所以EF⊥AC.
(2)当AC＝16，BD＝20时，求EF的长.
：AE＝CE＝BD＝.
FAC，CF＝AC＝.
EF⊥AC，EF＝＝＝.
24.(9分)在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共15 km，有甲、乙两个工程队可供选择，已知甲队每天比乙队每天多修路0.5 km，乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间的1.5倍.
(1)求甲、乙两队每天各修路多少千米；
解：设乙队每天修路a，则甲队每天修路a＋.
，＝×.，a＝.
经检验，a＝是原分式方程的解，且符合题意，所以a＋＝.
答：甲队每天修路，乙队每天修路.
(2)已知甲队每天的工作费用为7 500元，乙队每天的工作费用为6 000元，若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78 000元，则甲队至少要工作多少天？
解：设甲队工作x天，则甲队修路x，乙队修路－x.
由知乙队每天修路，
所以乙队工作天数为－x÷＝－x天.
因为工程总工作费用不超过元，
所以x＋－x≤，解得x≥.
答：甲队至少要工作天.
25.(10分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，垂足为N，连接AC，交DE于点M.
(1)求证：BE＝AD；
证明：因为∠ABC＝°，
所以∠ABD＋∠CBD＝°.
因为EC⊥BD，所以∠CNB＝°，
所以∠BCE＋∠CBD＝°，所以∠BCE＝∠ABD.
因为∠ABC＝∠DAB，BC＝AB，
所以△CBE≌△BAD角边角，所以BE＝AD.
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
证明：因为E是AB的中点，所以BE＝AE.
由知BE＝AD，所以AE＝AD.
因为AB＝BC，∠ABC＝°，所以∠ACB＝∠BAC＝°.
因为∠DAB＝°，所以∠DAC＝∠DAB－∠BAC＝°，
所以∠DAC＝∠BAC，所以EM＝MD，AM⊥DE，
所以AC是线段ED的垂直平分线.
(3)△DBC是等腰三角形吗？请说明理由.
解：△DBC是等腰三角形.理由如下：
由知AC是线段ED的垂直平分线，所以CD＝CE.
由知△CBE≌△BAD，所以CE＝BD，
所以CD＝BD，所以△DBC是等腰三角形.
26.(10分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，
CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB相交于点O.
①求证：BE＝AD；
证明：因为CA＝CB，CD＝CE，
所以∠CBA＝∠CAB＝α＝∠CED＝∠CDE，
所以∠ACB＝°－α，∠DCE＝°－α，
所以∠ACB＝∠DCE，
所以∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.
△ACD△BCE，
所以△ACD≌△BCE边角边，所以BE＝AD.
②用含α的式子表示∠O的度数；
解：由①知△ACD≌△BCE，
所以∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
因为∠ABE＝∠O＋∠BAO，
所以∠CBE＋α＝∠O＋∠BAO，
所以∠BAO＋α＋α＝∠O＋∠BAO，
所以∠O＝α.
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点
M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，过点D
作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝°.
因为α＝°，所以∠BCA＝°－°－°＝°，
因为∠CAM＋∠ACM＝°，所以∠BCP＝∠CAM.
△CBP△ACM，
所以△CBP≌△ACM角角边，所以MC＝BP.
同理CM＝DQ，所以DQ＝BP.
△BPN△DQN，
所以△BPN≌△DQN角角边，
所以BN＝ND，所以N是BD的中点.
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湘教版八上数学期末复习 讲解课件
湘教版八上数学期末模拟押题卷02
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
A.a≠0 B.a≠3
C.a＜3 D.a≥3
B
2.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为10 km，则M，C两点间的距离为( )
A.6 km
B.5 km
C.12 km
D.7 km
第2题图
B
3.下列各多项式因式分解的结果中不含因式a－1的是( )
A.a2－1
B.a2－2a＋1
C.a2＋a
D.a(a－2)＋(2－a)
C
4.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，下列各组条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A＝∠D，∠ACB＝∠F
B.AB＝DE，∠A＝∠D
C.∠A＝∠D，BC＝EF
D.AB＝DE，BC＝EF
第4题图
A
5.如图，在等腰三角形ABC中，腰AC上的高线为BD，∠ABC的平分线为BE.若∠CBD＝25°，则∠DBE的度数为( )
A.12.5°
B.7.5°
C.6.5°
D.6.25°
第5题图
B
B
B
8.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至C处时(即水平距离CD＝4 m)，踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
第8题图
B
9.如图，等边三角形ABC的顶点A，B分别在网格图的格点上，则∠α的度数为( )
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
第9题图
A
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中一定正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第10题图
C
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
11.电子元件是现代科技的核心组成部分，它们构成了整个电子工业的基础.某种电子元件的面积大约为0.000 057 mm2，将0.000 057这个数用科学记数法表示为______________.
12.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________________
________.
14.若b＋a＝3，则9－6a＋a2－b2的值为_____.
5.7×10－5
有两个角相等的三角形是等腰
三角形
2
0
15.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E.若CE＝ ，则AB的长是_____.
2
第15题图
16.如图，在△ABC中，BD＝CD，且∠1＝∠2.若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠3的度数为________.
第16题图
35°
17.若正整数a使得关于x的分式方程2＋ 有正整数解，那么符合条件的所有正整数a的个数有______个.
18.如图，CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P.若AP＝2，AC＝5，则CE2＋CF2的值是______ .
4
36
第18题图
三、解答题(本题共8小题，共66分)
21.(8分)如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.
(1)求CD长的取值范围；
解：因为在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
所以5－4＜CD＜5＋4，所以1＜CD＜9.
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数.
解：因为AE∥BD，
所以∠AEF＝∠BDE＝125°.
因为∠AEF是△ACE的一个外角，
所以∠C＝∠AEF－∠A＝125°－55°＝70°.
22.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF.
(1)求证：AF＝AD；
证明：因为∠D＝90°，
所以AD⊥DE，
因为EA平分∠DEF，AF⊥EF，
所以AF＝AD.
(2)若BF＝7，DE＝3，求CE的长.
解：在Rt△ABF和Rt△ACD中，
所以Rt△ABF≌Rt△ACD(斜边、直角边)，
所以CD＝BF＝7.
因为DE＝3，所以CE＝CD－DE＝7－3＝4.
23.(9分)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点.
(1)猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；
解：EF⊥AC.证明如下：
连接AE，CE.
因为∠BAD＝90°，E为BD的中点，
所以AE＝CE.
因为F是AC的中点，所以EF⊥AC.
(2)当AC＝16，BD＝20时，求EF的长.
24.(9分)在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共15 km，有甲、乙两个工程队可供选择，已知甲队每天比乙队每天多修路0.5 km，乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间的1.5倍.
(1)求甲、乙两队每天各修路多少千米；
解：设乙队每天修路a km，则甲队每天修路(a＋0.5)km.
经检验，a＝1是原分式方程的解，且符合题意，所以a＋0.5＝1.5.
答：甲队每天修路1.5 km，乙队每天修路1 km.
(2)已知甲队每天的工作费用为7 500元，乙队每天的工作费用为6 000元，若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78 000元，则甲队至少要工作多少天？
解：设甲队工作x天，则甲队修路1.5x km，乙队修路(15－1.5x)km.
由(1)知乙队每天修路1 km，
所以乙队工作天数为(15－1.5x)÷1＝15－1.5x(天).
因为工程总工作费用不超过78 000元，
所以7 500x＋6 000(15－1.5x)≤78 000，解得x≥8.
答：甲队至少要工作8天.
25.(10分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，垂足为N，连接AC，交DE于点M.
(1)求证：BE＝AD；
证明：因为∠ABC＝90°，
所以∠ABD＋∠CBD＝90°.
因为EC⊥BD，所以∠CNB＝90°，
所以∠BCE＋∠CBD＝90°，所以∠BCE＝∠ABD.
因为∠ABC＝∠DAB，BC＝AB，
所以△CBE≌△BAD(角边角)，所以BE＝AD.
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
证明：因为E是AB的中点，所以BE＝AE.
由(1)知BE＝AD，所以AE＝AD.
因为AB＝BC，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝∠BAC＝45°.
因为∠DAB＝90°，所以∠DAC＝∠DAB－∠BAC＝45°，
所以∠DAC＝∠BAC，所以EM＝MD，AM⊥DE，
所以AC是线段ED的垂直平分线.
(3)△DBC是等腰三角形吗？请说明理由.
解：△DBC是等腰三角形.理由如下：
由(2)知AC是线段ED的垂直平分线，所以CD＝CE.
由(1)知△CBE≌△BAD，所以CE＝BD，
所以CD＝BD，所以△DBC是等腰三角形.
26.(10分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，
CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB相交于点O.
①求证：BE＝AD；
证明：因为CA＝CB，CD＝CE，
所以∠CBA＝∠CAB＝α＝∠CED＝∠CDE，
所以∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，
所以∠ACB＝∠DCE，
所以∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.
图1 图2
所以△ACD≌△BCE(边角边)，所以BE＝AD.
②用含α的式子表示∠O的度数；
解：由①知△ACD≌△BCE，
所以∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
因为∠ABE＝∠O＋∠BAO，
所以∠CBE＋α＝∠O＋∠BAO，
所以∠BAO＋α＋α＝∠O＋∠BAO，
所以∠O＝2α.
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点
M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，过点D
作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝90°.
因为α＝45°，所以∠BCA＝180°－45°－45°＝90°，
因为∠CAM＋∠ACM＝90°，所以∠BCP＝∠CAM.
图2
所以△CBP≌ △ACM(角角边)，所以MC＝BP.
同理CM＝DQ，所以DQ＝BP.
所以△BPN≌△DQN(角角边)，
所以BN＝ND，所以N是BD的中点.
Thanks!
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【湘教版八上数学阶段测试卷】 期末模拟押题卷(二)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.若分式的值存在，则a的取值范围是( )
B
A.a≠0 B.a≠3
C.a＜3 D.a≥3
2.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为10 km，则M，C两点间的距离为( )
A.6 km
B.5 km
C.12 km
D.7 km
B
3.下列各多项式因式分解的结果中不含因式a－1的是( )
A.a2－1
B.a2－2a＋1
C.a2＋a
D.a(a－2)＋(2－a)
C
4.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，下列各组条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A＝∠D，∠ACB＝∠F
B.AB＝DE，∠A＝∠D
C.∠A＝∠D，BC＝EF
D.AB＝DE，BC＝EF
A
5.如图，在等腰三角形ABC中，腰AC上的高线为BD，∠ABC的平分线为BE.若∠CBD＝25°，则∠DBE的度数为( )
A.12.5°
B.7.5°
C.6.5°
D.6.25°
B
6.计算(＋3)2 026(－3)2 025的结果是( )
A.－3 B.＋3
C.－3 D.3
B
7.定义运算m※n＝1＋，如：1※2＝1＋＝，则方程x※(x＋1)＝的解为( )
A.x＝－ B.x＝
C.x＝1 D.x＝－1
B
8.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至C处时(即水平距离CD＝4 m)，踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
B
9.如图，等边三角形ABC的顶点A，B分别在网格图的格点上，则∠α的度数为( )
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
A
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中一定正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
11.电子元件是现代科技的核心组成部分，它们构成了整个电子工业的基础.某种电子元件的面积大约为0.000 057 mm2，将0.000 057这个数用科学记数法表示为______________.
5.7×10－5
12.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________________
________.
有两个角相等的三角形是等腰三角形
13.若y＝＋－2，则x＋y的值为_____.
2
14.若b＋a＝3，则9－6a＋a2－b2的值为_____.
0
15.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E.若CE＝ ，则AB的长是_____.
2
16.如图，在△ABC中，BD＝CD，且∠1＝∠2.若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠3的度数为________.
35°
17.若正整数a使得关于x的分式方程2＋＝有正整数解，那么符合条件的所有正整数a的个数有______个.
4
18.如图，CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P.若AP＝2，AC＝5，则CE2＋CF2的值是______ .
36
三、解答题(本题共8小题，共66分)
19.(6分)计算：(＋－3)×.
解：原式＝(＋2－3)×＝－×＝－4.
20.(6分)先化简，再求值：(－)÷，其中a＝－1.
解：原式＝[－]÷
＝[－]÷
＝·
＝.
当a＝－1时，原式＝＝－1.
21.(8分)如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.
(1)求CD长的取值范围；
解：因为在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
所以5－4＜CD＜5＋4，所以1＜CD＜9.
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数.
解：因为AE∥BD，
所以∠AEF＝∠BDE＝125°.
因为∠AEF是△ACE的一个外角，
所以∠C＝∠AEF－∠A＝125°－55°＝70°.
22.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF.
(1)求证：AF＝AD；
证明：因为∠D＝90°，
所以AD⊥DE，
因为EA平分∠DEF，AF⊥EF，
所以AF＝AD.
(2)若BF＝7，DE＝3，求CE的长.
解：在Rt△ABF和Rt△ACD中，
所以Rt△ABF≌Rt△ACD(斜边、直角边)，
所以CD＝BF＝7.
因为DE＝3，所以CE＝CD－DE＝7－3＝4.
23.(9分)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点.
(1)猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；
解：EF⊥AC.证明如下：
连接AE，CE.
因为∠BAD＝90°，E为BD的中点，
所以AE＝DB.
因为∠DCB＝90°，所以CE＝BD，
所以AE＝CE.
因为F是AC的中点，所以EF⊥AC.
(2)当AC＝16，BD＝20时，求EF的长.
解：由(1)知AE＝CE＝BD＝10.
因为F是AC的中点，所以CF＝AC＝8.
由(1)知EF⊥AC，所以EF＝＝＝6.
24.(9分)在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共15 km，有甲、乙两个工程队可供选择，已知甲队每天比乙队每天多修路0.5 km，乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间的1.5倍.
(1)求甲、乙两队每天各修路多少千米；
解：设乙队每天修路a km，则甲队每天修路(a＋0.5)km.
由题意，得＝×1.5，解得a＝1.
经检验，a＝1是原分式方程的解，且符合题意，所以a＋0.5＝1.5.
答：甲队每天修路1.5 km，乙队每天修路1 km.
(2)已知甲队每天的工作费用为7 500元，乙队每天的工作费用为6 000元，若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78 000元，则甲队至少要工作多少天？
解：设甲队工作x天，则甲队修路1.5x km，乙队修路(15－1.5x)km.
由(1)知乙队每天修路1 km，
所以乙队工作天数为(15－1.5x)÷1＝15－1.5x(天).
因为工程总工作费用不超过78 000元，
所以7 500x＋6 000(15－1.5x)≤78 000，解得x≥8.
答：甲队至少要工作8天.
25.(10分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，垂足为N，连接AC，交DE于点M.
(1)求证：BE＝AD；
证明：因为∠ABC＝90°，
所以∠ABD＋∠CBD＝90°.
因为EC⊥BD，所以∠CNB＝90°，
所以∠BCE＋∠CBD＝90°，所以∠BCE＝∠ABD.
因为∠ABC＝∠DAB，BC＝AB，
所以△CBE≌△BAD(角边角)，所以BE＝AD.
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
证明：因为E是AB的中点，所以BE＝AE.
由(1)知BE＝AD，所以AE＝AD.
因为AB＝BC，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝∠BAC＝45°.
因为∠DAB＝90°，所以∠DAC＝∠DAB－∠BAC＝45°，
所以∠DAC＝∠BAC，所以EM＝MD，AM⊥DE，
所以AC是线段ED的垂直平分线.
(3)△DBC是等腰三角形吗？请说明理由.
解：△DBC是等腰三角形.理由如下：
由(2)知AC是线段ED的垂直平分线，所以CD＝CE.
由(1)知△CBE≌△BAD，所以CE＝BD，
所以CD＝BD，所以△DBC是等腰三角形.
26.(10分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，
CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB相交于点O.
①求证：BE＝AD；
证明：因为CA＝CB，CD＝CE，
所以∠CBA＝∠CAB＝α＝∠CED＝∠CDE，
所以∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，
所以∠ACB＝∠DCE，
所以∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD 和△BCE中，
所以△ACD≌△BCE(边角边)，所以BE＝AD.
②用含α的式子表示∠O的度数；
解：由①知△ACD≌△BCE，
所以∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
因为∠ABE＝∠O＋∠BAO，
所以∠CBE＋α＝∠O＋∠BAO，
所以∠BAO＋α＋α＝∠O＋∠BAO，
所以∠O＝2α.
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点
M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，过点D
作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝90°.
因为α＝45°，所以∠BCA＝180°－45°－45°＝90°，
因为∠CAM＋∠ACM＝90°，所以∠BCP＝∠CAM.
在△CBP和△ACM 中，
所以△CBP≌ △ACM(角角边)，所以MC＝BP.
同理CM＝DQ，所以DQ＝BP.
在△BPN和△DQN中，
所以△BPN≌△DQN(角角边)，
所以BN＝ND，所以N是BD的中点.
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