2026年“极光杯”高考适应性测试（二）
数学参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．D 4．C
5．D 6．B 7．B 8．A
二、选择题
9．BCD 10．ABD 11．ACD
三、填空题
12． y (3 e)x 2 13 12． 14 7．
5 2
15．解：
（1） | r1 | | r2 |．MgO的 Harker图解中，样本点分布较零散；TiO2的 Harker图解
中，样本点分布在一条直线附近且较为集中，故 TiO2含量与 SiO2含量的相关性更强．
14 14 1 14
(xk x )(yk y) (yk y)2 (yk y)2
（2） r k 1 b k 1 b 14 k 1 b sx2 ．14 14 14 14 s
( 2x x )2 (y y)2 (x x ) 1k k k (x x )2 y
k 1 k 1 k 1 14
k
k 1
r 0.062 1.686代入数据得 2 0.89．0.117
16．解：
（1）由已知得 (a 1 )2 (a 1 2 2 1n 1 n ) ，所以 a a
2 1 4．
an 1 a
n 1 a2 n 2n n 1 an
{a2 1 } 1因此 n 2 是以 a
2
1 2 为首项，4为公差的等差数列．an a1
（2）由（1）及基本不等式知，当 n≥2时，
a2 1 1n 2 a
2
1 2 4(n 1)≥2 4(n 1) 4n 2．an a1
1
所以 (a 2n ) ≥4n， a
1
n ≥2 n，解得 an≥ n n 1．因此an an
1 1 n 1 1
n
≤ ( k k 1) n 1．a2 a3 an k 2 k k 1 k 2
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17．解：
1 p（ ）由已知得 1，所以 p 2，C的方程为 y2 4x．
2
（2 1 2）设MN : x ky 1，则QF : x y 1，令 x 1得 P( 1, )，Q( 1,2k)．
k k
x ky 1,
设M (x1, y1)， N (x2 , y2 )
．由 2 得， y
2 4ky 4 0．所以 y1 y2 4k，
y 4x
R(2k 2 1,2k)．
2
PO : y 2
y x,
又因为 x，由 k 得 S(k 2 ,2k)．k
y
2 4x
所以Q， R， S均在直线 y 2k上，题设得证．
18．解：
（1）因为 AB∥CD， AB 平面CDEF，CD 平面CDEF，
所以 AB∥平面CDEF．
又因为 AB 平面 ABFE，平面 ABFE 平面CDEF EF，所以 EF∥CD∥AB．
（2）（ⅰ）一方面，由（1）知，四边形CDEF是直角梯形．
所以C，D，E，F四点不共圆，从而该五面体的 6个顶点不可能在同一球面上，
即 k≤5．
另一方面，因为DA，DC，DE两两垂直且长度相等，故考虑以DA，DC，DE为
棱，棱长为 1的正方体，则 B是该正方体的一个顶点．取O为该正方体的体心，则 A，
B，C，D， E均在球O的球面上．
故 k的最大值为 5．
（ⅱ）同（ⅰ）可知， A，B，E，F四点不共圆．故可能位于同一球面的包含 5
个元素的所有顶点集合为{A,B,C,D,E}，{A,B,C,D,F}．
3
前一种情况（ⅰ）中已经讨论，对应球的半径为 ．
2
对于后一种情况，记O 为正方形 ABCD的中心，则OO 平面 ABCD．
2
记 n为O O同向的单位向量，则 E到直线OO 的距离 d O F (O F n)2 10 ．
2
设OO a，则 a2 1 (a 1)2 d 2 3 1 11，解得 a ，对应球的半径为 a2 ．
2 2 2 2
数学参考答案 第 2 页（共 3页）
19．解：
（1） f ( 1) a 1， f (1) 2e1 a a 1．
因为 g(a) 2e1 a a 1关于 a单调递减，故当 a≥1时， f ( 1)≥0，g(a)≤ g(1) 0，
f ( 1) f (1)≤0；当 a 1时， f ( 1) 0， g(a) g(1) 0， f ( 1) f (1) 0．
（2）由（1），当 a 1时， f (1) 0，不合题意；当 a 1时， f ( 1) 0，不合题意．
当 a 1时， f (x) (x 1)ex 1 x x2 (x 1)(ex 1 x)，当 x≥ 1时， x 1≥0．
设 h(x) ex 1 x， h (x) ex 1 1，所以 h(x)在 ( ,1)单调递减，在 (1, )单调递增，
故 h(x)≥h(1) 0，从而 f (x)≥0．
（3）（i）若 a 1，由（1）知， f (0) e a 0， f (1) 0，故不存在m满足题意．
（ii）若 a 1，由（2）知， f (x)≥0当且仅当 x 1≥0，即存在m 1满足题意．
（iii）若 a 1，则当 x≥ 1时， f (x)≥ (x 1)(x a 1) ax x2 (2x 1)(1 a)，所
x ( 1以当 , )时， f (x) 0恒成立．
2
当 x≤ 1时， p(a) (x 1)ex a ax x2关于 a单调递增，
所以 p(a)≤ p(1) (x 1)(ex 1 x)≤0，即当 x ( , 1]时， f (x)≤0恒成立．
当 1 1 x≤ 时， f (x) (x 2)ex a a 2x．记 q(x) f (x)，
2
则 q (x) (x 3)ex a 1 2在 ( 1, ]单调递增，故 q(x)在 ( 1 1, ]至多有一个零点．
2 2
1
所以 q(x)在 ( 1, ]或者单调递增，或者先增后减．
2
而 f ( 1) 0， f (0) 1 0，故 f (x)在区间 ( 1, ]存在唯一零点m，这也是 f (x)在R上
2
的唯一零点，从而m符合题意．
1
下面证明对任意m ( 1, ]，存在 a ( ,1)满足 (m 1)em a am m2 0．
2
设 (a) (x 1)ex a ax x2， x ( 1, 1 ]．
2
(a) x 1 1 (x 1)ex a x，令 (a) 0得，a0 x ln( )．由 x≤ 可得 a0 ≤ ．x 1 2 2
故 (a)在 ( ,a0 )单调递减，在 (a0 ,1)单调递增， (a)≥ (a0 ) x[2x ln(
x
) 1]．
x 1
因为 y 2x x x 1 ln( ) 1是增函数，故 2x ln( ) 1≤ 2 ( ) ln1 1 0，所
x 1 x 1 2
以 (a0 )≤0．又因为 (1) 0，故 (a)在区间[a0 ,1) ( ,1)存在零点．
1
综上所述，m的取值范围是[ 1, ]．
2
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附：部分小题解析．
8．不妨设 P在第一象限．
一方面，P在圆 x2 y2 a 4 c2上；另一方面， P在圆 x2 (y )2 a2上．联立两
3 3
3b2 x2 y2 c2 1 1 c2 3b2c2 7 3
圆方程得 y ，从而1 P P 2 2 4P 2a a2
2 2 ( 2 2 )yb a a b p
2 4 e e ．a 4a 4 4
e2 1 e2 4 2 3解得 （舍去）或 ， e ．
3 3
11．提示：由题意， A可以写成若干个 2元集合的并集，其中每个集合中的两数为相邻
的自然数，且 A中不存在 3个数相邻．
14．方法一：如图，设 BE AD，则 AD,BC CBE．
在△BCE中，由余弦定理， C
2
cos CBE BE BC
2 CE2 8 CE2
．
2 BE BC 8
由于CE DE≥CD，所以CE≥1，从而 BE
cos CBE 7≤ ．
8 D A
因此， AD BC 4cos CBE 7≤ ，当且仅当C， E，D三点共线，即 AB∥CD时
2
等号成立．
方法二：建立直角坐标系 xDy，设 A(2,0)，C(2cos ,2sin )， B(2 cos ,sin )．
因为 | BC | 2，所以
4 (2cos 2 cos )2 (2sin sin )2 9 8cos 4cos 4cos( )．
BC k 2sin sin 4直线 的斜率为 ，则 k 2 1．
2cos 2 cos (2cos 2 cos )2
2
从而 cos2 AD,BC 1 (2cos 2 cos ) 2 ．k 1 4
因为 4(2cos cos ) 5 4cos( )≥1，所以 2cos cos 1≥ ．
4
因此 cos2 AD,BC 49 ≤ ，AD BC 4cos CBE 7≤ ，当且仅当 cos cos 1 时
64 2 4
等号成立．
数学参考答案 第 4 页（共 3页）2026年“极光杯”高考适应性测试（二）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．函数 f (x) 3 x (x R)的单调递增区间是
A． B． ( , ) C． (0, ) D． ( ,0)
2．设 a R， (a i)(2 i)的实部与虚部相等，则 a
A． 3 B． 1 C．1 D．3
3．已知样本数据 a， a， a， a，b的中位数是 1，平均数是 2，则极差为
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若 log2 x， log4 x， log4 2x成等差数列，则 x
A． 2 B．1 C 1 1． D．
2 4
a5．若存在 R，使得点 (cos ,sin )在圆 (x 2)2 (y 1)2 r2 (r 0)外，则 r的取值
范围是
A． ( 5 1, ) B． ( 5 1, ) C． (0, 5 1) D． (0, 5 1)
6．若圆台的下底面半径为上底面半径的 2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆
台的母线与底面所成角的正弦值为
A 3 B 4 C 3 D 6． ． ． ．
5 5 3 3
7．设函数 f (x) 2sin( x ) 1 ( 0)， f (x1) f (x2 ) 0， x1 x2．若 | x1 x2 |的最
小值为T ，则 f (x)的最小正周期为
A． 2T B．3T C． 4T D． 6T
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2 2
a8 x y．设双曲线C : 2 2 1 (a 0,b 0)的焦点为 Fa b 1
， F2，顶点为 A1， A2．C 上一点
P满足 F1PF2 90 ， A1PA2 60 ，则C的离心率为
A 2 3． B． 3 C．2 D．3
3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．记数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a1 1， an 1 Sn 1，则
A． a3 3
B．{Sn 1}是等比数列
C．{an}是等比数列
D．{Sn}的前 n项和为 2
n 1 n 2
10．一个盒子中装有 98个红球，2个蓝球，不同小球除颜色外无差异．现从盒中依次不
放回地取出小球，并记录颜色．记事件 Ak “取出的第 k个球为蓝色”，则
A． P(A1A2A3 ) 0 B． P(A1) P(A100 )
C． P(A2 | A1) P(A2 | A1) D． P(A2 | A1) P(A100 | A99 )
11．已知非空有限集 A N ，且满足： n A，n 1 A当且仅当 n 1 A．记 | A |为 A
中的元素个数，max A为 A中的最大元素，则
A．“1 A”是“3 A”的充分条件
B．“1 A”是“3 A”的充分条件
C． | A |为偶数
D | A | 2． ≤ (1 max A)
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知 f (x)是奇函数，且当 x 0时， f (x) x3 ex ，则曲线 y f (x)在点 ( 1, f ( 1))
处的切线方程为三生三世．
x213 y
2
．设椭圆C : 2 2 1 (a b 0)的中心为O，右顶点为 A，过C的右焦点且垂直于a b
x轴的直线交C于点M ， N．若四边形OMAN 是菱形，则 tan OMA 三生三世．
14．在凸四边形 ABCD中，AB BC CD 2AD 2，则 AB DC的最大值为三生三世．
数学试题 第 2页（共 4页）
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在研究火成岩的化学成分时，可用 Harker 图解来描述主量元素的相关关系．在
Harker图解中，横轴通常为 SiO2（二氧化硅）的含量，纵轴为其它氧化物的含量．某科
研团队从甲地区的火成岩脉中采集了 14块岩石样本，记录并绘制了如下描述MgO（氧
化镁）和 TiO2（二氧化钛）含量的 Harker图解．
（1）设MgO含量与 SiO2含量的相关系数为 r1，TiO2含量与 SiO2含量的相关系数
为 r2．比较 | r1 |和 | r2 |的大小，并说明理由；
（2）记 14块岩石样本中 SiO2和 TiO2的含量分别为 xk ，yk，k 1，2，…，14．已
知 x1， x2，…， x14的标准差 sx 1.686， y1， y2，…， y14的标准差 sy 0.117，由这些
样本所得到的 TiO2含量 y关于 SiO2含量 x的经验回归方程为 y 0.062x 4.760，求
r2．（精确到 0.01）
14
(xk x )(yk y)
参考公式：相关系数 r k 1 ；
14 14
(xk x )2 (y 2k y)
k 1 k 1
经验回归方程 y b x a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
14
(xk x )(yk y)
b k 1 14 ， a y b x ．
(x 2k x )
k 1
16.（15分）
{a } 1 1已知数列 n 的各项均为正数， an 1 aa n
．证明：
n 1 an
1 {a2 1（ ） n 2 }是等差数列；an
1 1 1
（2）当 n≥2时， ≤ n 1．
a2 a3 an
数学试题 第 3页（共 4页）
17.（15分）
已知抛物线C : y2 2px (p 0)的焦点为 F，准线 l的方程为 x 1．
（1）求C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，P，Q为 l上两点，FP FQ．直线 PO与C交于点 S，PF
与C交于点M ， N 两点．设 R为MN 中点，证明：Q， R， S三点共线．
18.（17分）
如图，在五面体 ABCDEF中，平面 ABCD 平面CDEF，面 ABCD是边长为 1的
正方形，CD DE，DE 1， EF 2．
A B
（1）证明： AB∥EF ；
（2）若该五面体恰有 k个顶点在球O的球面上．
（ⅰ）求 k的最大值； D C
（ⅱ）当 k取（ⅰ）中最大值时，求球O半径所有
E F
的可能取值．
19.（17分）
设函数 f (x) (x 1)ex a ax x2．
（1）证明： f ( 1) f (1)≤0；
（2）当 x≥ 1时， f (x)≥0，求 a；
（3）若存在 a R，使得关于 x的不等式 f (x)≥0的解集为 [m, )，求m的取值
范围．
数学试题 第 4页（共 4页）
