第二单元 相交线与平行线 培优卷-北师大版数学七年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024七下·唐山期末）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·南充期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·余姚期中）如图，推动水桶，以点0为支点，使其向右倾斜。若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB，这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．（2025七下·义乌月考）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的简易图，座位AD和座椅靠背AE的夹角∠DAE=105°，小桌板BC与座位AD平行，小桌板支撑杆AB与桌面BC的夹角∠ABC=125°，则座椅靠背AE与小桌板支撑杆AB形成的夹角∠EAB的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．（2025七下·义乌月考）如图，点E，F分别是长方形ABCD的边AD，BC上两点，连结EF，此时∠EFB＞60°．将四边形AEFB沿EF翻折得到四边形A1EFB1，A1B1交AD于点G．继续将四边形A1EFB1沿EG翻折，点A1翻折到点A2．设∠EFB＝α，∠A2EF＝β，则α与β满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．3α﹣β＝180°
6．（2024七下·诸暨期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤：将一块含的直角三角尺如图放置，使得点，落于直线上，直角顶点位于两平行线之间；
步骤：将另一块含的直角三角尺进行放置，使得点落于直线上点在点的右边，边经过点，满足；
根据以上步骤，的度数可以是选项中的哪三项( )
；；；；；．
A． B． C． D．
7．（2025七下·嘉陵月考）已知直线，点P在直线之间，连接．
下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则
②如图2，点Q在之间，，则；
③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2024七下·杭州期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025七下·鄞州竞赛）如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为 .
10．（2025七下·绍兴期末） 如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，当，时， 度；如图3为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时 度.
11．（2025七下·宁波期中）如图已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点，在上，连结，，，平分，平分，若，求的度数为
12．（2024七下·青山湖月考）已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，．
13．（2025七下·上海市月考）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023七下·房山期末）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
（1）如图1，若点在线段上，且为钝角．
①按要求补全图形；
②判断与的数量关系，并证明．
（2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系
15．（2024七下·滨海期中）如图，直线与交于点O，平分交直线l于点A，平分交直线l于点B，且．
（1）求的度数：
（2）求证：；
（3）若，求的度数．
16．（2025七下·罗湖期末）如图，科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图.
如图②，已知：，OE平分，CF平分.试说明：.阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）.
解：∵（已知），
∴ = ▲ （ ▲ ）.
∵OE平分∠AOC（已知），
∴ ▲ （ ▲ ）.
同理 ▲ （ ▲ ）.
∴（ ▲ ），
∴ ▲ （ ▲ ）.
∴（ ▲ ）.
17．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数.
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求.
（1） 按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案)
（2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
（3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系.
18．（2024七下·通辽月考）如图①，已知，点E在直线，之间．
（1）试说明．
（2）若平分，将线段沿平移至．
①如图②，若，平分，求的度数；
②如图③，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
19．（2025七下·杭州月考）如图，已知AD//BC，∠A=∠C=m°.
（1）如图①，求证：AB//CD；
（2）如图②，连结BD，若点E，F在线段AB上，且满足∠FDB=∠BDC，并且DE平分∠ADF，求∠EDB的度数；（用含m的代数式表示）
20．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用平角的定义可求出∠4的度数，再根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，可内错角相等，即可动点∠3的度数.
2．【答案】A
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：四边形是长方形纸带，，
，
如图所示，
∵，
，
如图所示，
．
故选：A．
【分析】在图1中首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得；在图2中根据邻补角的定义可以求出，从而可求，在图3中再根据角之间的关系即可求出的度数．
3．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵OB⊥AB，
∴OA>OB，即F1的力臂OA大于F2的力臂OB，
∴其体现的数学依据是垂线段最短，
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短即可求解.
4．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BC//AD
∴∠DAB=∠ABC
∵∠ABC=125°，
∴∠DAB=125°
∵∠DAE=105°，
∴∠EAB=∠DAB-∠DAE=125°-105°=20°
故答案为：C.
【分析】根据BC//AD得∠DAB=∠ABC=125°，再根据∠EAB=∠DAB-∠DAE即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵根据折叠
∴∠A1EG=∠A2EG，∠A1EG+∠A2EG+β=∠AEF，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF+α=180°，α=∠A2EG+∠β，
∴∠AEF=180°－α，α-β=∠A2EG，
∴2∠A2EG+β=∠AEF=180°-∠α，
∴2∠A2EG+β+α=180°，
∴2(α-β)+β+α=180°
∴ 3α﹣β＝180°
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质，所有折叠的角和边都不变，根据两直线平行，同旁内角互补，以及角的关系推到出α与β的关系.
6．【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图1，过点P作，
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴①正确；
②如图2，过点P作，过点Q作，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴②正确；
③如图3，过点P作，过点N作，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③错误．
综上所述，结论正确的有①和②共2个，
故答案为：C．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．①过点P作，则可得到，再根据平行线的性质中“两直线平行，同旁内角互补”即可求解；②过点P作，过点Q作，则可得到，，再根据平行线的性质中“两直线平行，同旁内角互补”和结合题目信息，即可推出结论；③过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论．
8．【答案】B
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
9．【答案】82°
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过F作FH//AB，
∵AB//CD.
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E-∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E-33°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E-33°)=180°
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作EH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABE=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E-∠F=33°，即可得到∠E的度数.
10．【答案】125；168
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K。
∵，
∴
∵
∴
∴
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q。
∵，
∴
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直
∴
∴
故答案为：125；168 .
【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可知，再利用可得的度数，从而可求的度数；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角定理求得的度数。
11．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∴∠ABF=∠GBF ，
设∠DBE=m， ∠ABF=n，
则∠ABE=m，∠ABD=2m=∠CBG，∠GBF=n=∠AFB，∠BFC=4∠DBE=4m。
∴∠AFC=4m+n，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=4m+n.
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，
∴（2m+n）+4m+（4m+n）=180°，①
∵AB⊥BC，
∴n+n+2m=90°，②
由①、②联立方程组，得：
解得：m=°， n=°。
∴∠ABE=°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=°+90°=°.
故答案为：.
【分析】过点B作BH∥AM(点G在点B的右侧)， 设∠EBD=α， ∠ABF =β， 根据角平分线性质得∠EBA=∠EBD=α，∠ABD=2α，∠FBC=∠FBD=2α+β， 再根据三角形内角和定理及平行线性质求出∠CBH =2α，∠AFB =∠FBH =β， 根据AB⊥BC可得β=45°-α， 进而得到∠AFC=4α+β，证明∠FCB=∠AFC=4α+β， 由三角形内角和定理可得β+5α=90°， 由此得出 的度数，然后根据∠EBC =∠EBA+∠ABC即可得出答案.
12．【答案】或或
【知识点】平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
②当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
③当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，．
故答案为：或或．
【分析】
由于PB的旋转速度大于QC的旋转速度，且PB到达PA后又开始返回到直线AP上，因此应分三种情况：①当时，②当时，③当时，再根据平行线的性质分别计算即可．
13．【答案】；
【知识点】角的运算；平行线的性质；探索数与式的规律；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
过点作，则
而
∴满足的数量关系是
故答案为：；
（2）如图所示：
过点作直线，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以；
因为平分平分，
所以
．
只同理可证．
以此类推：．
.
故答案为：.
【分析】（1）过点作，则，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得 ；
（2） 过点作直线， 则，再利用角平分线的定义可得 再求出 从而可得规律 .
14．【答案】（1）解：①补全图形如图：
②判断：．
证明：过点C作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
（2）
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，
∴∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCG=90°，
∴∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，
∴∠B+∠CGD=90°，
故答案为：∠B+∠CGD=90°，
【分析】（1）①依据题意补图即可；
②，理由： 过点C作， 则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得 ， ，由垂直的定义可得，从而求解；
（2）根据题意先画出图形，过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，由垂直的定义可得∠BCG=90°，从而得出∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，继而得解.
15．【答案】（1）解：分别平分和，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
，
．
（3）解：，
，
，
，
，
平分，
，
的度数为130°．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据角的和差即可求解；
（2）由（1）可得，再结合可得，然后根据平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，即可证明结论；
（3）由可知，再按比例分配可求得，进而可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答．
16．【答案】解：（已知），
（或填 ）（两直线平行，内错角相等）.
平分 （已知），
，
同理，（或填 ）（角平分线的定义）.
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 首先借，将与关联（内错角相等 ），然后用角平分线定义，拆分、为、的一半，实现角相等，最后由内错角相等证，再用同旁内角互补得最终结论.
17．【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110.
（3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β，
即；
如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α，
即，
综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可；
（3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可.
18．【答案】（1）证明：如图1，过点E作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
①∵平分，设，
又，
∴，
又，，
∴，
如图2，过点H作，
∴；
②，理由如下：
设，，
∵平分，
∴，
由（1）知，
如图3，过点H作，
同理，
即，，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）过点E作直线，根据两直线平行内错角相等推出，，再通过角度的和差运算即可解答；
（2）①设，表示出，根据平行线的性质可以得到的度数，解答即可；
②设，，根据角平分线的概念以及平行线的性质和角度的和差运算即可得到与的数量关系，由此即可解答．
19．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
（3）如图③，在（2）的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED=∠CBD时，求∠ABD的度数.（用含m的代数式表示）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】
（1）根据等量代换，证明同旁内角互补，从而证明两直线平行；
（2）根据两个角平分线，可以得到∠EDB为∠ADC的一半；
（3）根据两直线平行，内错角相等，分别表示∠AED和∠CBD，根据相等条件，可以得到，从而得∠ABD为四等分角.
20．【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
1 / 1第二单元 相交线与平行线 培优卷-北师大版数学七年级下册
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024七下·唐山期末）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用平角的定义可求出∠4的度数，再根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，可内错角相等，即可动点∠3的度数.
2．（2025七下·南充期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：四边形是长方形纸带，，
，
如图所示，
∵，
，
如图所示，
．
故选：A．
【分析】在图1中首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得；在图2中根据邻补角的定义可以求出，从而可求，在图3中再根据角之间的关系即可求出的度数．
3．（2025七下·余姚期中）如图，推动水桶，以点0为支点，使其向右倾斜。若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB，这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵OB⊥AB，
∴OA>OB，即F1的力臂OA大于F2的力臂OB，
∴其体现的数学依据是垂线段最短，
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短即可求解.
4．（2025七下·义乌月考）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的简易图，座位AD和座椅靠背AE的夹角∠DAE=105°，小桌板BC与座位AD平行，小桌板支撑杆AB与桌面BC的夹角∠ABC=125°，则座椅靠背AE与小桌板支撑杆AB形成的夹角∠EAB的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BC//AD
∴∠DAB=∠ABC
∵∠ABC=125°，
∴∠DAB=125°
∵∠DAE=105°，
∴∠EAB=∠DAB-∠DAE=125°-105°=20°
故答案为：C.
【分析】根据BC//AD得∠DAB=∠ABC=125°，再根据∠EAB=∠DAB-∠DAE即可得出答案.
5．（2025七下·义乌月考）如图，点E，F分别是长方形ABCD的边AD，BC上两点，连结EF，此时∠EFB＞60°．将四边形AEFB沿EF翻折得到四边形A1EFB1，A1B1交AD于点G．继续将四边形A1EFB1沿EG翻折，点A1翻折到点A2．设∠EFB＝α，∠A2EF＝β，则α与β满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．3α﹣β＝180°
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵根据折叠
∴∠A1EG=∠A2EG，∠A1EG+∠A2EG+β=∠AEF，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF+α=180°，α=∠A2EG+∠β，
∴∠AEF=180°－α，α-β=∠A2EG，
∴2∠A2EG+β=∠AEF=180°-∠α，
∴2∠A2EG+β+α=180°，
∴2(α-β)+β+α=180°
∴ 3α﹣β＝180°
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质，所有折叠的角和边都不变，根据两直线平行，同旁内角互补，以及角的关系推到出α与β的关系.
6．（2024七下·诸暨期末）如图，直线，现将一副直角三角尺按如下步骤及要求摆放于同一平面内：
步骤：将一块含的直角三角尺如图放置，使得点，落于直线上，直角顶点位于两平行线之间；
步骤：将另一块含的直角三角尺进行放置，使得点落于直线上点在点的右边，边经过点，满足；
根据以上步骤，的度数可以是选项中的哪三项( )
；；；；；．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
过点G作GH∥AB，过点M作MK∥AB，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
过点G作GK∥AB交PN于点K，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A
【分析】分三种情况讨论，结合平行线的性质，三角形内角和定理，即可求解．
7．（2025七下·嘉陵月考）已知直线，点P在直线之间，连接．
下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则
②如图2，点Q在之间，，则；
③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图1，过点P作，
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴①正确；
②如图2，过点P作，过点Q作，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴②正确；
③如图3，过点P作，过点N作，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③错误．
综上所述，结论正确的有①和②共2个，
故答案为：C．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．①过点P作，则可得到，再根据平行线的性质中“两直线平行，同旁内角互补”即可求解；②过点P作，过点Q作，则可得到，，再根据平行线的性质中“两直线平行，同旁内角互补”和结合题目信息，即可推出结论；③过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论．
8．（2024七下·杭州期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
【答案】B
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025七下·鄞州竞赛）如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E-∠F=33°，∠E的度数为 .
【答案】82°
【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过F作FH//AB，
∵AB//CD.
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=∠BFH-∠CFH=α-β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E-∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E-33°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E-33°)=180°
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作EH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABE=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E-∠F=33°，即可得到∠E的度数.
10．（2025七下·绍兴期末） 如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，当，时， 度；如图3为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时 度.
【答案】125；168
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K。
∵，
∴
∵
∴
∴
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q。
∵，
∴
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直
∴
∴
故答案为：125；168 .
【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可知，再利用可得的度数，从而可求的度数；在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角定理求得的度数。
11．（2025七下·宁波期中）如图已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点，在上，连结，，，平分，平分，若，求的度数为
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∴∠ABF=∠GBF ，
设∠DBE=m， ∠ABF=n，
则∠ABE=m，∠ABD=2m=∠CBG，∠GBF=n=∠AFB，∠BFC=4∠DBE=4m。
∴∠AFC=4m+n，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=4m+n.
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，
∴（2m+n）+4m+（4m+n）=180°，①
∵AB⊥BC，
∴n+n+2m=90°，②
由①、②联立方程组，得：
解得：m=°， n=°。
∴∠ABE=°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=°+90°=°.
故答案为：.
【分析】过点B作BH∥AM(点G在点B的右侧)， 设∠EBD=α， ∠ABF =β， 根据角平分线性质得∠EBA=∠EBD=α，∠ABD=2α，∠FBC=∠FBD=2α+β， 再根据三角形内角和定理及平行线性质求出∠CBH =2α，∠AFB =∠FBH =β， 根据AB⊥BC可得β=45°-α， 进而得到∠AFC=4α+β，证明∠FCB=∠AFC=4α+β， 由三角形内角和定理可得β+5α=90°， 由此得出 的度数，然后根据∠EBC =∠EBA+∠ABC即可得出答案.
12．（2024七下·青山湖月考）已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，．
【答案】或或
【知识点】平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
②当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
③当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，．
故答案为：或或．
【分析】
由于PB的旋转速度大于QC的旋转速度，且PB到达PA后又开始返回到直线AP上，因此应分三种情况：①当时，②当时，③当时，再根据平行线的性质分别计算即可．
13．（2025七下·上海市月考）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度．
【答案】；
【知识点】角的运算；平行线的性质；探索数与式的规律；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
过点作，则
而
∴满足的数量关系是
故答案为：；
（2）如图所示：
过点作直线，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以；
因为平分平分，
所以
．
只同理可证．
以此类推：．
.
故答案为：.
【分析】（1）过点作，则，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得 ；
（2） 过点作直线， 则，再利用角平分线的定义可得 再求出 从而可得规律 .
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023七下·房山期末）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
（1）如图1，若点在线段上，且为钝角．
①按要求补全图形；
②判断与的数量关系，并证明．
（2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系
【答案】（1）解：①补全图形如图：
②判断：．
证明：过点C作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
（2）
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，
∴∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCG=90°，
∴∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，
∴∠B+∠CGD=90°，
故答案为：∠B+∠CGD=90°，
【分析】（1）①依据题意补图即可；
②，理由： 过点C作， 则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得 ， ，由垂直的定义可得，从而求解；
（2）根据题意先画出图形，过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，由垂直的定义可得∠BCG=90°，从而得出∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，继而得解.
15．（2024七下·滨海期中）如图，直线与交于点O，平分交直线l于点A，平分交直线l于点B，且．
（1）求的度数：
（2）求证：；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：分别平分和，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
，
．
（3）解：，
，
，
，
，
平分，
，
的度数为130°．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据角的和差即可求解；
（2）由（1）可得，再结合可得，然后根据平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，即可证明结论；
（3）由可知，再按比例分配可求得，进而可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答．
16．（2025七下·罗湖期末）如图，科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图.
如图②，已知：，OE平分，CF平分.试说明：.阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）.
解：∵（已知），
∴ = ▲ （ ▲ ）.
∵OE平分∠AOC（已知），
∴ ▲ （ ▲ ）.
同理 ▲ （ ▲ ）.
∴（ ▲ ），
∴ ▲ （ ▲ ）.
∴（ ▲ ）.
【答案】解：（已知），
（或填 ）（两直线平行，内错角相等）.
平分 （已知），
，
同理，（或填 ）（角平分线的定义）.
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】 首先借，将与关联（内错角相等 ），然后用角平分线定义，拆分、为、的一半，实现角相等，最后由内错角相等证，再用同旁内角互补得最终结论.
17．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数.
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求.
（1） 按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案)
（2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
（3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系.
【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110.
（3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β，
即；
如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α，
即，
综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可；
（3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可.
18．（2024七下·通辽月考）如图①，已知，点E在直线，之间．
（1）试说明．
（2）若平分，将线段沿平移至．
①如图②，若，平分，求的度数；
②如图③，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，过点E作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
①∵平分，设，
又，
∴，
又，，
∴，
如图2，过点H作，
∴；
②，理由如下：
设，，
∵平分，
∴，
由（1）知，
如图3，过点H作，
同理，
即，，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）过点E作直线，根据两直线平行内错角相等推出，，再通过角度的和差运算即可解答；
（2）①设，表示出，根据平行线的性质可以得到的度数，解答即可；
②设，，根据角平分线的概念以及平行线的性质和角度的和差运算即可得到与的数量关系，由此即可解答．
19．（2025七下·杭州月考）如图，已知AD//BC，∠A=∠C=m°.
（1）如图①，求证：AB//CD；
（2）如图②，连结BD，若点E，F在线段AB上，且满足∠FDB=∠BDC，并且DE平分∠ADF，求∠EDB的度数；（用含m的代数式表示）
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
（3）如图③，在（2）的条件下，将线段BC沿着射线AB的方向向右平移，当∠AED=∠CBD时，求∠ABD的度数.（用含m的代数式表示）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】
（1）根据等量代换，证明同旁内角互补，从而证明两直线平行；
（2）根据两个角平分线，可以得到∠EDB为∠ADC的一半；
（3）根据两直线平行，内错角相等，分别表示∠AED和∠CBD，根据相等条件，可以得到，从而得∠ABD为四等分角.
20．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
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