北京一零一中学2025-2026学年高三上学期统练二数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京一零一中高三（上）统练二
数 学
一、选择题共 10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若集合 A = 1,2,3,4,5,9 ， B = x x +1 A ，则 A B =（ ）
A. 1, 2,3 B. 3, 4,9 C. 1,2,3,4 D. 2,3,4,5
2 i
2. 复数 z = 的虚部为
1+ 2i
A. 1 B. 1 C. i D. i
x2
3. 已知双曲线 y2 =1(a 0)的实轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
a2
1 3 2 3
A. y = x B. y = x C. y = x D. y = 2x
2 2 3
4. 设 a,b R， ab 0，且 a b，则下列不等式一定正确的是（ ）
b a b a
A. B. + 2
a b a b
C. 2a 3b D. sin (b a) b a
5. 在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，则“ A B ”是“sin A sin B ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知指数函数 f (x) = a x，将函数 f ( x)的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的 3 倍，
得到函数 g (x)的图象，再将 g (x)的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象恰好与函数 f ( x)的图象重合，
则 a的值是（ ）
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
7. 设函数 f ( x)为定义在 R上的偶函数，若曲线 y = f (x)在点 (2, 4)处的切线的斜率为 8，则
f ( 2)+ f ( 2) =（ ）
A. 12 B. 4 C. 4 D. 12
8. “人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部
分的不同形象、随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状．古代中国的天象监测人员发现
并记录了月相变化的一个数列，记为 an ．其中1 n 15 且 n *N ，将满月等分成 240 份． ai
（1 i 15且 i *N ）表示第 i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．已知，第 1 天月球被太阳照亮部
5
分占满月的 ，即 a1 = 5 ；第 15 天为满月，即 a15 = 240 ．若在月相数列 an 中，前 5 项构成公比为 q
240
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等比数列，第 5 项到第 15 项构成公差为 d 的等差数列，且 q,d 均为正整数，则第 4 天可见部分占满月的
（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
24 12 6 3
9. 如图，棱长为 1 的正方体 ABCD A1BC D 中，P为线段 B1D1 1 1 1上动点（包括端点）．则下列结论错误的
是（ ）
A. 三棱锥P A1BD的体积为定值
B. 过点 P且平行于平面 A1BD的平面被正方体 ABCD A1B1C1D
3
1截得的多边形的面积为
2
3 6
C. 直线PA1与平面 A1BD所成角的正弦值的范围为 ,
3 3
D. 当点 P为 B1D1的中点时，二面角 B A1P D的余弦值最大
10. 2021 年 3 月 30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的 LOGO（如图所示），设计师的灵感来
n n
x y
源于曲线C : + =1(n 0,n R)．当 n = 4 ， a = 3，b = 2 时，给出下列四个结论：
a b
①曲线 C关于原点对称；
②曲线 C所围成的封闭图形的面积小于 24；
③曲线 C上的点到原点 O的距离的最大值为 3；
④设M ( 5,0)，直线 x y + 5 = 0交曲线 C于 P，Q两点，则 PQM 的周长大于 12．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题共 5小题．
n
11. 在 ( x +1) 的二项展开式中，若各项系数和为 64，则 x 2 项的系数为______．
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已知圆M : x2 212. + y + 2x 4y 2 = 0内有一点P ( 2, 4)、经过点 P的直线 l与圆M 交于 A,B两点，当
弦 AB恰被点 P平分时，直线 l的方程为______．
13. 在边长为 2 的等边三角形 ABC中、D为线段 BC上的动点、 DE ⊥ AB且交 AB于点 E．DF //AB且交

AC于点 F，则 (DE +DF ) DA的最小值为______．
ln (x + 2)
, 2 x a
14. 已知 a 0 ，函数 f (x) = x + 2 ，则 f ( 1) = ______；若存在实数 k，使得函数
2
x 2ax, x a
g (x) = f (x) k恰有四个零点，则 a的取值范围为______．
*
15. 已知 an 是各项均为正数的无穷数列，其前 n项和为 Sn，且 an + Sn = anSn (n N )．给出下列四个
结论：
① a = 2 ； 2
②存在一个正数m0 ，使得对任意的 n
*
N ，都有 Sn m0 ；
③数列 an 单调递减；
④对任意的 n *N ， n 2 ，都有 an 1 + an+1 2an．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共 6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 f (x) = 3sin2 x cos2 x(0 2) ，再从条件① 条件② 条件③中选择一个作为已
知，
（1）求 f ( x)的解析式；
π
（2）当 x x m 0, 时，关于 的不等式 f (x) m恒成立，求实数 的取值范围.
2
π
条件①：函数 f ( x)的图象经过点 , 2 ；
3
条件②：函数 f ( x)的图象可由函数 g (x) = 2sin2x的图象平移得到；
π
条件③：函数 f ( x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 .
2
注：如果选择条件① 条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
17. 如左图，平面五边形 ABCDE中， B = BAD = E = CDE = 90 ，CD = DE = AE ，将△
ADE 沿 AD折起，得到如右图的四棱锥 P ABCD．
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（1）证明： PC ⊥ AD；
（2）若平面 PAD ⊥平面 ABCD，求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值．
18. 某市为了解 2020 年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲 乙 丙三个景点
旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取 100 人作为样本，得到下表(单位：人)：
甲 乙 丙
满意度得分
报团
自驾游 报团游 自驾游 报团游 自驾游
游
10 分 12 1 12 10 7 14
5 分 4 1 4 4 4 9
0 分 1 0 7 2 1 7
合计 17 2 23 16 12 30
（1）从样本中任取 1 人，求这人没去丙景点的概率；
（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲 乙 丙三个景点，从全市十一双
节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取 2 人，记 X为去乙景点的人数，求 X的分布列和数学期
望；
（3）如果王某要去甲 乙 丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是
自驾游？说明理由.
x2 y2 6
19. 椭圆C : + =1(a b 0)的离心率为 ，左右顶点分别为 A A1， 2 ，上下顶点分别为 B1 ，
a2 b2 3
B A2 ，四边形 1B2A2B1是边长为 2 2 的菱形．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）已知 A是椭圆 C在第一象限上的点，B与 A关于原点对称， F2 为椭圆 C的右焦点，连接 AF2 与
k1
BF2 ，并延长交椭圆 C于 D，E两点，若直线 AB的斜率为 k1 ，直线 DE的斜率为 k2 ，试探究 是否为定
k2
值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由．
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ex a
20. 已知函数 f (x) = ，其中 e为自然对数的底数．
x
（1）当a =1时，求 f ( x)的单调区间；
（2）当a = 3时，关于 x的方程 f (x) = k有两个不同的实数根x1， x2 ( x1 x2 )，
①求 k的取值范围；
②当 x2 x1取最小值时，求 k的值．
21. 已知有限数列 A : a1,a2 , ,am为单调递增数列．若存在等差数列B :b1,b2 , ,bm+1 ，对于 A中任意一项
ai，都有bi ai bi+1 ，则称数列 A是长为 m的 数列．
（1）判断下列数列是否为 数列（直接写出结果）：
①数列 1，4，5，8；②数列 2，4，8，16．
（2）若a b c(a,b,c R)，证明：数列 a，b，c为 数列；
（3）设 M是集合{x N | 0 x 63}的子集，且至少有 28 个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为
4 的 数列．
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参考答案
一、选择题共 10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D C D C C D B
二、填空题共 5小题．
n
11. 【答案】依题意， (x +1) 的二项展开式的各项系数和为 2n = 64 ，解得 n = 6 ，
T = Crx6 r则其通项为 ,r = 0,1, ,6，使6 r = 2，解得 r = 4，则 x 2 C
4 =15
r+1 6 项的系数为 6 .
故答案为：15.
2 2 2 2
12. 【答案】圆M : x + y + 2x 4y 2 = 0整理得 (x +1) + ( y 2) = 7，
即圆M 的圆心为点M ( 1, 2)，半径为 7 ，
由题可知点 P 是弦 AB的中点，则MP ⊥ AB，
2 4
由题意得， kMP = = 2，
1+ 2
1
则 kAB = ，
2
1
所以经过点 P的直线 l的方程为 y 4 = (x + 2)，即 x 2y +10 = 0．
2
故答案为： x 2y +10 = 0 ．
13. 【答案】设 BE = x， x (0,1)，
因为 ABC为边长为 2 的等边三角形，DE ⊥ AB，
所以 BDE = 30 ， BD = 2x，DE = 3x，DC = 2 2x， EA = 2 x，
因为DF //AB，所以△DFC为等边三角形，DF = DC = 2 2x，DE⊥DF，
2
故 (DE +DF ) DA = (DE +DF ) (DE + EA) = DE +DE EA+DF DE +DF EA
2
2 3 11= 3x + 0+ 0+ (2 2x) (2 x) = 5x2 6x + 4 = 5 x + ，
5 5
3 11
故当 x = 时， (DE +DF ) DA取得最小值 .
5 5
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11
故答案为：
5
ln ( 1+ 2)
14. 【答案】因为 2 1 0 a，所以 f ( 1) = = 0 .
1+ 2
函数 g (x) = f (x) k恰有四个零点，等价于方程 f (x) = k恰有四个不同的实数解，
即函数 y = f (x)的图象与 y = k有四个不同的交点.
ln (x + 2)
当 2 x 1时， f (x) = ，
x + 2
ln (x + 2) 1 ln1 1 1
则 f (x) = = 02 2 2 ，
(x + 2) (x + 2) (x + 2)
所以函数 f ( x)在 ( 2, 1 上单调递减；
ln (x + 2)
当 1 x a时， f (x) = ，
x + 2
ln (x + 2) 1 ln (x + 2)
令 h (x) = , x 1，所以h (x) = 2 ，
x + 2 (x + 2)
当 1 x e 2时， h (x) 0；当 x e 2时， h (x) 0 ，
所以 h (x)在 ( 1,e 2)上单调递增，在 (e 2,+ )上单调递减.
2
因为 a 0 ，且当 x a时， f (x) = x2 2ax = (x a) a2 ，
所以 f ( x)在 a,+ )上单调递增，且 f (x) a2 ；
所以 k R，当 x a时，函数 y = f (x)的图象与 y = k最多有一个交点.
所以要想函数 y = f (x)的图象与 y = k有四个不同的交点，
须使当 x ( 2,a)时，函数 y = f (x)的图象与 y = k恰有三个交点.
所以 a e 2 .
所以 a的取值范围为 (e 2,+ ) .
故答案为：0； (e 2,+ ) .
*
15. 【答案】对于①， an + Sn = anSn (n N )中，
2
令 n =1得 a1 + a1 = a ，解得 a1 = 21 或 0（舍去），
令 n = 2 得 a2 + S2 = a2S2 ，即 2a2 + a1 = a2 (a1 + a2 )，
故 2a2 + 2 = a2 (2+ a2 )，解得 a2 = 2 ，负值舍去，①正确；
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对于②，因为 an 是各项均为正数的无穷数列，所以 Sn a1 = 2 ，
1 1
an + Sn = a
*
nSn (n N ) =1 1，故 an 1， an Sn
故随着 n的增大， Sn趋向于+ ，
故不存在一个正数m0 ，使得对任意的 n
*
N ，都有 Sn m0 ，②错误；
* S
对于③， an + Sn = anSn (n N ) a = nn ，
Sn 1
对任意的 n *N ， n 2 ，
S S Sn (Sn 1 1) Sn 1 (S 1
a n n 1
n ) Sn 1 Sn
n an 1 = = = ，
Sn 1 Sn 1 1 (Sn 1)(Sn 1 1) (Sn 1)(Sn 1 1)
因为 an 是各项均为正数的无穷数列，所以 Sn 1 Sn 0 ，
S S
所以 an a =
n 1 n
n 1 0， a a ，
(Sn 1)(S 1)
n n 1
n 1
所以 a nn 随着 的增大而减小，数列 an 单调递减，③正确；
④由以上分析可知，1 an a1 = 2 ， an 随着n的增大而减小且无限接近于 1，
Sn 1 Sn
因为对任意的 n *N ， n 2 ，有an an 1 = ， (Sn 1)(Sn 1 1)
S S
所以 an+1 a =
n n+1
n ，
(Sn+1 1)(Sn 1)
Sn Sn+1 Sn 1 S
所以 (an+1 a
n
n ) (an an 1 ) =
(Sn+1 1)(Sn 1) (Sn 1)(Sn 1 1)
(Sn Sn+1 )(Sn 1 1) (Sn+1 1)(Sn 1 Sn )
=
(Sn+1 1)(Sn 1)(Sn 1 1)
(Sn Sn+1 )(Sn 1 1) (Sn+1 1) (Sn an ) (Sn+1 an+1 )
=
(Sn+1 1)(Sn 1)(Sn 1 1)
(Sn Sn+1 )(Sn 1 1) (Sn+1 1) (Sn Sn+1 )+ (an+1 an )
=
(Sn+1 1)(Sn 1)(Sn 1 1)
(Sn Sn+1 )(Sn 1 1) (Sn+1 1)(Sn Sn+1 ) (Sn+1 1)(an+1 an )
=
(Sn+1 1)(Sn 1)(Sn 1 1)
(Sn Sn+1 ) (Sn 1 1) (Sn+1 1) (Sn+1 1)(an+1 an )
=
(Sn+1 1)(Sn 1)(Sn 1 1)
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(Sn Sn+1 )(Sn 1 Sn+1 ) (Sn+1 1)(an+1 an )
= ，
(Sn+1 1)(Sn 1)(Sn 1 1)
因为 Sn Sn+1 0 ， Sn 1 Sn+1 0，an+1 an 0， Sn+1 1 0，
(Sn Sn+1 )(Sn 1 Sn+1 ) (Sn+1 1)(an+1 an )
所以 0，
(Sn+1 1)(Sn 1)(Sn 1 1)
故 (an+1 an ) (an an 1 ) 0 ，即 an 1 + an+1 2an，
对任意的 n *N ， n 2 ，都有 an 1 + an+1 2an，④正确.
故答案为；①③④
三、解答题共 6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16.【答案】（1）
π
f (x) = 3sin2 x cos2 x = 2sin(2 x ) ;
6
π π π
选①：函数 f ( x)的图象经过点 , 2 ，则 2sin(2 ) = 2，
3 3 6
π π π
所以 2 = + 2kπ,k Z，则 =1+ 3k,k Z，
3 6 2
π
由0 2，可得 =1，则 f (x) = 2sin(2x )；
6
选②：函数 f ( x)的图象可由函数 g (x) = 2sin2x的图象平移得到，
π
即 f (x) = 2sin(2 x ) 的图象可由函数 g (x) = 2sin2x的图象平移得到，
6
π
则 =1，则 f (x) = 2sin(2x ) .
6
π
选③：函数 f ( x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，
2
2π
则函数的最小正周期为 π，故2 = = 2, =1，
π
π
故 f (x) = 2sin(2x ) .
6
（2）
π π π 5π π 1
当 x 0, 时， 2x [ , ],则sin(2x ) [ ,1]，
2 6 6 6 6 2
π
故 f (x) = 2sin(2x ) [ 1,2]，
6
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π
又当 x 0, x 时，关于 的不等式 f (x) m恒成立，故m≥ 2 ,
2
即实数m的取值范围为[2,+ ) .
17. 【答案】（1）取 AD的中点 F ，连接 PF 、CF ．
由已知，左图CDEA是正方形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以 PF ⊥ AD（即EF ⊥ AD）、
CF ⊥ AD ,
因为 PF CF = F，所以 AD ⊥平面PCF ,
PC 平面PCF ，所以 PC ⊥ AD ,
（2）由（1）和平面 PAD ⊥平面 ABCD知，PF ⊥平面 ABCD ,

从而 PF 、CF 、 AD两两互相垂直，以 F 为原点，以FA、FC、FP为单位正交基底建立空间直角坐
标系Oxyz ,
则 P (0，0，1)、B (1，1，0)、C (0，1，0)、D ( 1，0，0) ,

n DP=a+c=0
设 n = (a，b，c)是平面 PCD的一个法向量，则 ,
n DC=a+b=0

取 a=1，则b = c = 1，故 n = (1， 1， 1) ,

PB = (1，1， 1) ,

PB n 1
直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为 cos PB,n = = .
PB n 3
18. 【答案】（1）设事件“从样本中任取 1 人，这人没去丙景点”为事件 A，
由表格中所给数据可得，去甲、乙、丙旅游的人数分别为 19，39，42，
19 + 39 29
所以从样本中任取 1 个，这人没去丙景点的概率为 P(A) = = .
100 50
（2）由题意， X 的所有可能取值为 0，1，2，
从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取 1 人，
16 1
此人去乙景点的概率是 = ，
48 3
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1 4 1 1 4
P(X = 0) = C0 (1 )2 = P(X =1) = C1 (1 ) = P(X = 2) = C2
1 2 1
所以 2 ， 2 ， 2 ( ) = ，
3 9 3 3 9 3 9
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
4 4 1
P
9 9 9
4 4 1 2
故 E(X ) = 0 +1 + 2 = .
9 9 9 3
（3）由题干所给表格中的数据可知，报团游 自驾游的总人数分别为 52，48，得分为 10 分的报团游 自驾
游总人数分别为 31，25，得分为 5 分的报团游 自驾游的总人数分别为 12，14，得分为 0 分的报团游 自驾
游总人数分别为 9，9，
31 10 +12 5+ 9 0 185
所以从满意度来看，报团游满意度的均值为 = ，
52 26
25 10 +14 5 + 9 0 20
自驾游满意度的均值为 = ，
48 3
185 20
因为 ，所以建议王某选报团游.
26 3
19. 【答案】（1）
c b 6
由 e = = 1 ( )2 = 可得 a 3b
a a 3
2
又由题意， a2 +b2 = (2 2 ) = 8，
a2 = 6,
联立两式，解得 2
b = 2．
x2 y2
所以椭圆 C的方程为 + =1．
6 2
（2）
设 A(x0 , y0 )，则 B ( x0 , y0 )， F2 (2,0)，D (x1, y1 )，
y0 ( y0 ) y
则 x
2
0 + 3y
2
0 6 = 0， k1 = =
0
．
x0 ( x0 ) x0
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x0 2
2 2
则直线 AD : x = y + 2
x y
与椭圆方程 + =1联立，
y0 6 2
2 2 2
消去 x可得： (x0 2) +3y 0 y + 4(x0 2) y0y 2y
2
0
= 0，
即 (10 4x0 ) y
2 + 4(x0 2) y0 y 2y
2
0 = 0．
2y2
显然 0 , y0 y1 =
0
，
10 4x0
2y y x 2 y 5x 12
所以 y1 =
0 = 0 0， x1 =
0 + 2 = 0 ．
4x0 10 2x0 5 y0 2x0 5 2x0 5
5x0 12 y 5x +12 y
所以D ,
0 E 0 ，同理可得 ,
0
．
2x0 5 2x0 5 2x0 +5 2x0 +5
y0 y 0
2x0 5 2x0 +5 y0 (2x0 +5) y0 (2x0 5) 10y
所以 k2 = = =
0 = 5k ．
5x0 12 5x0 +12 (5x 12 0 )(2x0 +5) (5x0 +12)(
1
2x0 5) 2x0
2x0 5 2x0 +5
k1 1
所以 = ．
k2 5
20. 【答案】（1）
f ( x)定义域为 ( ,0) (0,+ )．
ex 1
当 a =1时， f (x) = ，
x
xex (ex 1) (x 1)ex +1
f (x) = = ，
x2 x2
令 g (x) = (x 1)ex +1 x，则 g (x) = xe ，
令 g (x) = 0 ，得 x = 0 ．
当 x变化时， g (x) , g (x)的变化情况如下：
x ( , 0) 0 (0,+ )
g ( x) － 0 ＋
g ( x) ↘ 极小值 ↗
所以 g (x) g (0) = 0 ，
所以当 x 0 时， g ( x) 0恒成立，
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所以 f (x) 0恒成立，
所以 f ( x)单调递增区间为 ( , 0)， (0,+ )，无单调递减区间．
（2）
ex 3
①：当 a = 3时， f (x) = ．
x
x
( ) e 3令 f x = k，则 = k，即 ex kx 3 = 0，
x
令 h (x) = ex kx 3，
关于 x的方程 f (x) = k有两个不同的实数根x ， x2 ， ( x x 1 1 2 )，
h (x)有两个不同的零点x1， x2 ， ( x1 x2 )，且x ， x1 2 均不为 0，
h (x) = ex k ，
当 k 0 时，h (x) 0， h (x)在 (0,+ )上单调递增， h (x)至多有一个零点，不合题意，
当 k 0 时，令 h (x) = 0，得 x = ln k．
当 x变化时， h (x) ,h (x)的变化情况如下：
x ( , ln k ) lnk (ln k,+ )
h (x) － 0 ＋
h (x) ↘ 极小值 ↗
所以 h (x) = h (ln k )，
min
所以 h (ln k ) h (0) = 2 0 ．
又w(x) = ln x x +1， x 0 ，
1 x
w (x) = ，当 x (0,1)，w (x) 0，当 x (1,+ )时，w (x) 0 ，
x
所以w(x) = ln x x +1在 (0,1)单调递增，在 (1,+ )单调递减，
所以w(x) = ln x x +1 w(1) = 0，
即 ln x x 1，
所以 ln k k 1 k + 3，
1 1 1 1 3
ln 1， ln k 1，所以 ln k +1 ．
k k k k k
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3
3
因为 h = e
k 0，
k
2
h (k +3) = ek+3 k (k + 3) 3 (k + 3) k (k + 3) 3 = 2k + 6 0 ，
又 h (ln k ) 0 ，且 h (x)在 ( , ln k )单调递减，在 (ln k,+ )单调递增，
3
所以 x , ln k ， x2 (ln k,k +3)，使 g (x1 ) = 0 g1 ， (x2 ) = 0．
k
所以 g ( x)有两个不同的非零零点，
综上，k的取值范围为 (0,+ )．
② h (x1 ) = h (x2 ) = 0
x x
即 e 1 kx1 3 = e
2 kx2 3 = 0．
x x
由①知 x 0 x 2 11 2 ．所以 e e = k (x2 x1 )，
x2 x1 x1
ex1 (ex2 x
e 1 k e 3
所以 1 1) = k (x2 x1 )即 = = ， x x
x2 x
1
1 e e
1x1
ex 1
由（1）知 f (x) = 在 (0,+ )上单调递增，
x
x2 xe 1 1
所以 x2 x1最小时 取最小值，
x2 x1
x
e 1 3
即 也取最小值．
x
e 1x1
ex 3
设 F (x) = x 0x ( )， e x
ex ex x (ex 3)(x +1)ex 3x +3 ex
则 F (x) = = ，
e2xx2 exx2
设G (x) = 3x +3 ex G (x) = 3 ex，则 0，
1
所以G (x)在 ( , 0)上单调递增，又G (0) = 2，G ( 1) = 0，
e
所以存在 x0 ( 1,0)使得G ( )
x
x0 = 3x0 +3 e
0 = 0，
且 x ( , x0 )时G (x) 0 ， F (x) 0 ，
x (x0 ,0)时G (x) 0，F (x) 0 ，
所以 F ( x)在 ( , x0 )上单调递减，在 ( x0 , 0)上单调递增，
x
e 0 3
所以 F (x) = F (x
min 0
) = x ，
e 0 x0
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x
e 0 3 3x
此时 k = = 0 = 3．
x0 x0
21. 【答案】（1）由数列的新定义，可得数列1， 4 ，5，8 是 数列；数列 2 ， 4 ，8 ，16是 数列．
（2）①当b a = c b时，令b1 = a，b2 = b，b3 = c，b4 = 2c b，
所以数列b1，b2，b3 ，b4为等差数列，且b1≤a b2≤b b3≤c b4 ，
所以数列 a，b， c为 数列．
②当b a c b时，令b1 = 2b c，b2 = b，b3 = c，b4 = 2c b，
所以数列b1，b2，b3 ，b4为等差数列，且b1≤a b2≤b b3≤c b4 ．
所以数列 a，b， c为 数列．
a + c 3c a
③当b a c b时，令b1 = a，b = ，b3 = c2 ，b4 = ，
2 2
所以数列b1，b2，b3 ，b4为等差数列，且b1≤a b2≤b b3≤c b4 ．
所以数列 a，b， c为 数列．
综上，若a b c，数列 a，b， c为 数列．
（3）假设M 中没有长为 4 的 数列，
考虑集合M k = {16k,16k +1, ,16k +15}， k = 0 ，1， 2 ，3．
因为数列 0 ，16，32， 48 ，64 是一个共有 5 项的等差数列，
所以存在一个 k，使得M k 中没有一个元素属于M ．
对于其余的 k，
再考虑集合M k , j ={16k + 4 j,16k + 4 j +1,16k + 4 j + 2,16k + 4 j + 3}， j = 0 ，1， 2 ，3．
因为16k + 4 j，16k + 4 j + 4 ，16k + 4 j + 8，16k + 4 j +12 ，16k + 4 j +16 是一个共有 5 项的等差数列，
所以存在一个 j，使得M k , j中没有一个元素属于M ．
因为M k , j中 4 个数成等差数列，所以每个M k , j中至少有一个元素不属于M ．
所以集合{x N|0≤x≤63}中至少有16 + 4 3+1 9 = 37 个元素不属于集合M ．
所以集合M 中至多有64 37 = 27 个元素，这与M 中至少有28 个元素矛盾．
所以假设不成立．
所以M 中的元素必能构成长为 4 的 数列．
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