高一数学第一学期（人教A版）期末必会的31个题型
【题型1】集合的运算与性质
1．若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题可知，，则，
2．设集合，，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意知，要满足，则有，所以．
3．设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】，，又，
则，解得，故的取值范围是．
【题型2】充分必要条件的判断与应用
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.
2．已知为实数，那么方程没有实数解是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】若没有实数解，则，可得，
显然方程没有实数解是的充分不必要条件.
3．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】设集合，集合，若是的充分不必要条件，
所以是的真子集，可得，
4．已知，，则“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：因为，，
若α＝β，则2α＝2β且0＜2α＜π，0＜2β＜π，则sin2α＝sin2β，故“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的充分条件，
不妨取，此时sin2α＝sin2β，但是α≠β，故“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的不必要条件．
故“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的充分不必要条件．
【题型3】命题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题意得命题“”为全称量词命题，
则该命题的否定为：.
2．已知命题“，则为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为命题为“，
所以命题为“”
3．命题p：，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】命题p：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以是：，.
【题型4】不等式及其性质
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】对于A选项，当时，，故A错误；
对于B选项，因为，所以，故B错误；
对于C选项，当，时，，故C错误；
对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确.
2．下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
【详解】当，时，，故A错误；
当，，，时，，故B错误；
当时，可得，故C错误；
若，，则，故D正确.
3．若，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，所以，故A正确；
对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，所以，故B错误；
对于C，取，则此时，故C错误；
对于D，若，此时，故D错误．
故选：A．
【题型5】基本不等式
1．设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，由，因，故得，即A错误；
对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误；
对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确；
对于D，由，因，故得，故D错误.
2．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
【详解】易知，
当且仅当时，等号成立.
故选：D
3．设，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由，则，故，
综上，有，B对，A、C、D错.
故选：ACD
4．已知，下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。
对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确.
对于选项C：当时，，故C错误.
对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确.
5．若正实数满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为4 D．的最小值为9
【详解】对于A，，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，
当且仅当时取等号，故D正确；
6．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，因为，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，因为，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，因为，
所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.
【题型6】解不等式
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【详解】有题意可得，解得，即解集为，
2．当时，关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】当时，，
不等式可化为，
因为，且，
所以，，
所以的解集为，
所以原不等式的解集为，即
3．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】关于的不等式的解集为，
且，即
代入不等式中，得，化简得，
解得，
4．解下列关于x的不等式：
(1)； (2)．
【详解】（1）由，得，
解得，或，所以原不等式的解集为或．
（2），
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【题型7】不等式恒成立问题
1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【详解】当时，不等式化为恒成立，
当时，不等式不能恒成立，
当时，要使不等式恒成立，需，
解得，
综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是，
【题型8】求具体函数的定义域
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题可知且，所以函数的定义域为．
故选：D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由已知可得，解得且，
所以函数的定义域是.
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为函数的定义域为，
则函数中，有，
解得，.即函数的定义域为
【题型9】抽象函数的定义域
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法，
在函数中，，解得且.
则定义域为.
2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
即，解得，
即的定义域是.
3．函数的定义域为，则的定义域为 ．
【详解】由题意得，解得且．故定义域为，
【题型10】求函数解析式
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
且，或，
当且仅当即时取等.
所以.
2．已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，则，则，
因此，，
所以函数的值域为.
3．已知，则 ．
【详解】令，则，故，故
4．已知，则 ．
【详解】因为，，所以.
【题型11】分段函数的求值问题
1．已知函数则=（ ）
A． B． C．1 D．2
【详解】.
2．已知函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【详解】由题意知，，，
所以.
【题型12】利用函数的单调性比较大小
1．已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，，，则，
且，可得，即，
可知是上的减函数，且，所以．
【题型13】求函数的单调区间
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
【详解】因为，
作出的图象，如图所示，
由图象可知：函数的单调递增区间是和.
2．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】函数，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
.3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于函数，由可得或
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，
外层函数在上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.
4．函数的单调递减区间是 .
【详解】二次函数开口向上，对称轴为，
所以函数的单调递减区间为.
【题型14】已知函数的单调性求参数的范围
1．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，则，.
已知在上单调递增，则在上单调递增，且.
若，则，此时在单调递增，
且，符合题意.
若，则须满足：
即.
综上，.
2．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题意，，
在中，函数在上是增函数，
，
解得.
3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【详解】已知函数，
当时，单调递增，所以最大值为；
当且时，在上单调递增；
所以要使函数在上单调递增，
则，解得或(舍去).
【题型15】利用函数的单调性求最值
1．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由已知，
即函数的定义域为，
且，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取得最大值为，
2．函数的最小值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【详解】根据题意，函数的定义域为，
且由于在区间上单调递增，
在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
所以．
【题型16】函数奇偶性的判断
1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】选项A：因为在定义域内为增函数，故A错误；
选项B：因为在定义域内不单调，故B错误；
选项C：因为的定义域为，且，故为奇函数，
又，所以是减函数，故C正确；
选项D：因为，可知在定义域内不是奇函数，故D错误；
2．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以；
是定义在上的偶函数，所以，
对于A，，所以为奇函数，故A错误；
对于B，，所以为偶函数，故B错误；
对于C，，与和均不相等，
所以为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，，故为偶函数，故D正确.
3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误；
对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确；
对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误；
对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误.
4．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．（） B．
C． D．
【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误；
对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误；
对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确；
对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误.
【题型17】抽象函数的奇偶性
1．已知定义域为的函数满足：，且，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
【详解】对A，令，则，
由，则，即，所以，故A错误；
对B，令，则，
因为，所以，解得，故B错误；
对于C，令，则，
又，所以，则，
当时，，不满足奇函数的定义，
所以不是奇函数，故C错误；
对D，由C选项知，，即，
所以，，故D正确.
2．已知定义域为R的函数满足：，，且，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．，
【详解】对A，令，则，
由于，则，即，所以，故A错误；
对B，令，则，
因为，所以，解得，故B错误；
对于C，令，则，
又，所以，
当时，，不满足奇函数的定义，
所以不是奇函数，故C错误；
对D，由C选项知，，即，
所以，，故D正确.
【题型18】已知一半求另一半
1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，
当时，，则.
2．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．当时，
【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数，
根据奇函数性质可知，，A正确；
的定义域为R，由于，
则，
即为偶函数，B错误；
C选项，当时，，则，
故，C错误；
D选项，当时，，则，
所以，D正确．
【题型19】基本初等函数恒过定点问题
1．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．3 B． C． D．
【详解】设所求幂函数为：，
∵幂函数的图象经过点，
,解得
所以，
2．已知幂函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的图象过点
C．是单调函数 D．无最值
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
当时，，定义域为，为奇函数，
且在上均为减函数，在定义域上不单调，无最值；
当时，，定义域为，为奇函数，
且在定义域上为增函数，无最值.
综上所述，结合选项可知，ABC错误，D正确.
3．函数（，且）的图象恒过点（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据题意，函数中，
令，得，
将代入函数可得，
即函数的图象恒过点.
4．已知幂函数的图象经过点，则 .
【详解】设幂函数 ，其中 为常数，
函数图象经过点 ，
因此，有：，
解得：.
所以，幂函数为 .
故.
5．函数的图象恒过定点 .
【详解】对于函数，令可得，此时，
故函数的图象恒过定点.
6．已知函数（且），则该函数的图象恒过定点 .
【详解】因为（且）的图象恒过点，
令得，则，
则的图象恒过点.
【题型20】已知函数的奇偶性求参数
1．已知是奇函数，则（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，
即，则.
故选：B
2．若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】函数定义域为R，由为奇函数，得，解得，
函数，，是奇函数，
所以.
3．若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得，
即，整理得，所以.
4．已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【详解】令，解得，
定义域为，
，即恒成立，
，化简得，
解得.
【题型21】求复合函数的单调区间
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，得或，
设，或，，
则函数，或，在上单调递减，在上单调递增，
又为减函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
2．函数，且恒过点，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【详解】由函数的图象恒过点，得，解得，
所以.
3．函数的单调递增区间为 .
【详解】由，解得或，
所以的定义域为，
函数在上单调递减，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，在上单调递增.
【题型22】幂指对比大小
1．设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，，
，，
，，
.
2．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【详解】，，
，.
3.若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：∵a＝e0.5＞1，b＝ln2∈（0，1），c＝log20.2＜0，
∴a＞b＞c．
【题型23】指数对数的运算
1．计算： ．
【详解】原式
故答案为：3．
2．计算(1)求的值；(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值.
【详解】（1）
（2）因为，
所以，即，
所以，即，
故．
（3）已知，
依题意得，
所以.
【题型24】函数的图像问题
1．函数y＝x（x2﹣1）e|x|的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：由已知，f（x）＝x（x2﹣1）e|x|的定义域为R，
且f（﹣x）＝﹣x[（﹣x）2﹣1]e|﹣x|＝﹣x（x2﹣1）e|x|＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，故C错误；
当x∈（0，1），则x2﹣1＜0，e|x|＞0，可得f（x）＝x（x2﹣1）e|x|＜0，故AD错误；
综上，f（x）大致图象如B选项所示．
2．函数f（x）＝（x3﹣2x）|x|的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：由已知，f（x）定义域为R，f（﹣x）＝[（﹣x）3﹣2（﹣x）]|﹣x|＝[﹣（x）3+2x]|x|＝﹣（x3﹣2x）|x|＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，排除BC；
因为f（）＝0，所以A错误，D正确．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由已知，f（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
，函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D，
又，排除BC，A选项符合题意．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由，当x＝2时，y＝0，只有D选项符合．
5．概率曲线是平面曲线的一种．若概率曲线y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
解：概率曲线y＝f（x）的部分图象可知，f（0）＞0，对于A选项，f（0）＝0，不符合题意，所以A选项错误．
对于B选项，f（0）＝﹣1，不符合题意，所以B选项错误．
对于C选项，由图可知，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
在（0，+∞）上单调递增，不符合题意，C选项错误．
对于D选项，在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，f（0）＝1，
符合题意，所以D选项正确．
【题型25】诱导公式的应用
1．已知点是角终边上的一点，则（ ）.
A． B． C． D．
【详解】由诱导公式可知，又因为是角终边上的一点，
所以，所以.
故选：D
2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以.
又根据诱导公式，.
3.已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据α∈（0，），可得sinα＞0、cosα＞0且sinα＜cosα，
因为（cosα+sinα）2＝1+2sinαcosα，所以cosα+sinα，可知A项正确；
根据（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα，可得sinα﹣cosα，所以B不正确；
由A、B的结论，解得sinα，cosα，
所以tanα，可知C、D两项均正确．
【题型26】三角恒等变换
1．角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意得角的终边经过点，
由任意角三角函数的定义得，
，，则，
由二倍角公式得
，故C正确.
2.已知，则cos2α+sin2α+2＝（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：由tan（），解得tanα＝3，
所以cos2α+sin2α+2＝2cos2α+2sinαcosα+1
．
3．已知，则tanα的值为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【解答】解：，解得tanα＝2
【题型27】三角函数的图形与性质
1．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A． B．2 C．5 D．
【详解】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这三个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
2．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于直线对称
D．函数图象的对称中心为
【详解】由图象可知，，，因为，所以，
所以，而，则，
由图可知，所以，所以，
A，图象向左平移个单位得到图象，不正确；
B，由，可得，
则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确；
C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确；
D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确．
2．将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是图象的一条对称轴
C．当且仅当（）
D．若方程在区间上有两个不等实根，则
【详解】先求的解析式： 将横坐标缩短为原来的，得；
向左平移个单位，得.
选项A：的最小正周期，正确.
选项B：对称轴满足（），不满足，错误.
选项C：，
解得（），正确.
选项D：当时，，
令（），
在递增、递减，，.
所以，当时，有两个不等实根，正确.
3．已知角终边上一点，则 ．
【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得：
点到原点的距离：，
因此，，所以，
因为，，
，，
所以
分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得：
原式，
故答案为：.
3．函数的值域为 .
【详解】，，
，
设，，，
则转化为，
对称轴为，又在范围内，
在处，取最大值，且最大值为，
时，，
时，，
，的值域为.
【题型28】三解函数的图像平移变换
1．已知将函数的图象向左平移个单位，所得的图象经过点，则φ＝（ ）
A． B． C． D．
解：将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数y＝sin[3（x）+φ]＝sin（3xφ）的图象，
由所得的图象经过点，可得sin（φ）＝1，
则φ＝2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ，k∈Z，
又φ＜0，
所以φ．
2．先将曲线y＝sin2x上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意可知，变换之后得到函数
．
3．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则f（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
解：由图象知A＝3，
可得3﹣（﹣1）＝4，
即函数的周期T＝8，即ω，
因为f（3）＝0，由五点对应法得3ω+φ＝3φ＝π，
即φ，
则f（x）＝3sin（x）．
4．将正弦曲线上所有的点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数y＝f（x），x∈[﹣2π，2π]的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意可得，
令l，
解得，
k＝0，可得，
所以f（x）在x∈[﹣2π，2π]的单调增区间是．
5．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（ ）
A．g（x）＝cos2x B．
C． D．g（x）＝﹣sin2x
解：将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，
得．
【题型29】三角函数的大题综合
1．已知函数的图象关于点对称．
(1)求；
(2)若，求函数的最值及取最值时的的值；
(3)若，且，求．
【详解】（1），
因为函数的图象关于点成中心对称，
所以，即，因为，所以.
（2），因为，所以，
所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1，
当，即时，函数取最小值，且最小值为；
（3）因为，即，
因为，所以，
若，则，
但，所以，
所以．
所以
．
2．已知函数，其中.
(1)求函数的最小正周期及单调减区间.
(2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值.
【详解】（1）函数的最小正周期，
由，得，
所以函数单调减区间为.
（2）依题意，
所以，
由，得，则当，即时，函数取得最大值2，
所以最大值为2，此时.
3．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求函数的最值及其相应的值.
【详解】（1）函数的最小正周期为：；
由，得，
∴函数的单调递增区间为.
（2），
，
∴当，即时，函数有最大值1，
当时，即时，函数有最小值.
4．已知函数的最小正周期为．
(1)求及；
(2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．
【详解】（1）易知，
又最小正周期为，所以，
即，则
（2）的图象向右平移个单位长度得到，
因为时，，
根据正弦函数的单调性可知即时，，
时即，，即，则.
5．已知是函数的一个零点，
(1)求实数的值：
(2)求的单调递增区间；
(3)若，求的值域.
【详解】（1）由题意，，化简可得，.
（2），
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（3）由，可得，，，
所以，即的值域为.
6．已知．
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
【详解】（1）
令，则，
故的单调递减区间为；
（2）由题意得，
因，有，则，
可得，
故在上的值域为.
【题型30】函数的大题综合
1．函数满足对一切x，有，且；当时，有．
(1)求，，的值;
(2)证明在R上的单调性；
(3)求不等式的解集．
【详解】（1）由函数满足对一切，且，
令，可得，令，可得，
再令，
所以，可得.
再令，
所以，可得.
（2）为上的单调递减函数.
证明如下：
设且，
令，则，
因为当时，有，所以，
所以，
由
，
即，
所以为上的单调递减函数.
（3）由，原不等式化为，
令，可得，解得，即，
又由，所以，
因为为上的单调递减函数，所以，
即，解得，所以不等式的解集为.
2．已知函数．
(1)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明；
(2)求不等式的解集；
(3)设，若，求实数的取值范围．
【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，而，
所以，即，
故函数在区间上单调递增；
（2）由解析式知，函数的定义域为，
当时，同（1）证明，知函数在区间上单调递增，
又，所以，即，
所以，即不等式的解集为．
当时，，所以，即，
而函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为
综上，不等式的解集为；
（3），
令，由及（2）知，
设的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
原问题转化为在区间上恒成立．
由时，有，或，
当时，函数在上单调递增，
所以，即；
当时，函数在上单调递减，
所以，即；
当时，，函数，符合题意；
综上，实数的取值范围为.
3．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
(3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）由，
故此令，则，
则；
（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，
则，所以，
由得，所以，故，即，
故此函数为R上增函数；
（3）由已知条件得：，
故，，，
，由（2）可知在R上为增函数，
，即，
时，可得恒成立，
令，
由对勾函数性质可得在上单调递增，
所以，
所以
综上，.
4．定义在上的函数满足，，且时，．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)求关于t的不等式的解集．
【详解】（1）令，可得，所以．
令，可得，所以．
又的定义域为，图象关于原点对称，故为奇函数．
（2）任取，，且，则，
于是，
因为，所以，由题意，
又为奇函数，所以，
所以，即，在上单调递减．
因为为奇函数，所以在单调递减，所以在上单调递减．
由，可知．
所以不等式，
等价于，
所以，解得．所以，原不等式的解集为．
5．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
(1)求的解析式；
(2)证明：函数在上单调递增．
【详解】（1）当时，，
因当时，，得．
因为是偶函数，所以当时，．
故．
（2）证明：由（1）可知，当时，．
任取，，令，
则，
因为，所以，，，则，
则，即，
从而可证在上单调递增．
6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
【详解】（1）当时，则，
又因为为奇函数，则，
所以当时，；
（2）函数在单调递增，
证明如下：当时，，
对任意的且，
，
因为且，则，
所以，即，
所以函数在单调递增.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页高一数学第一学期（人教A版）期末必会的30个题型
【题型1】集合的运算与性质
1．若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设集合，，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2】充分必要条件的判断与应用
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知为实数，那么方程没有实数解是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则“α＝β”是“sin2α＝sin2β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型3】命题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知命题“，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．命题p：，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型4】不等式及其性质
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
3．若，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型5】基本不等式
1．设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
3．设，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
5．若正实数满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为4 D．的最小值为9
6．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6】解不等式
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
2．当时，关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．解下列关于x的不等式：
(1)； (2)．
【题型7】不等式恒成立问题
1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【题型8】求具体函数的定义域
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【题型9】抽象函数的定义域
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域为，则的定义域为 ．
【题型10】求函数解析式
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则 ．
4．已知，则 ．
【题型11】分段函数的求值问题
1．已知函数则=（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【题型12】利用函数的单调性比较大小
1．已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型13】求函数的单调区间
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
2．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
.3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间是 .
【题型14】已知函数的单调性求参数的范围
1．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【题型15】利用函数的单调性求最值
1．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最小值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【题型16】函数奇偶性的判断
1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．（） B．
C． D．
【题型17】抽象函数的奇偶性
1．已知定义域为的函数满足：，且，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
2．已知定义域为R的函数满足：，，且，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．，
【题型18】已知一半求另一半
1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．当时，
【题型19】基本初等函数恒过定点问题
1．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知幂函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的图象过点
C．是单调函数 D．无最值
3．函数（，且）的图象恒过点（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图象经过点，则 .
5．函数的图象恒过定点 .
6．已知函数（且），则该函数的图象恒过定点 .
【题型20】已知函数的奇偶性求参数
1．已知是奇函数，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【题型21】求复合函数的单调区间
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．函数，且恒过点，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．函数的单调递增区间为 .
【题型22】幂指对比大小
1．设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3.若a＝e0.5，b＝ln2，c＝log20.2，则有（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【题型23】指数对数的运算
1．计算： ．
2．计算(1)求的值；(2)已知，求的值；
已知，求的值.
.
【题型24】函数的图像问题
1．函数y＝x（x2﹣1）e|x|的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数f（x）＝（x3﹣2x）|x|的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．概率曲线是平面曲线的一种．若概率曲线y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【题型25】诱导公式的应用
1．已知点是角终边上的一点，则（ ）.
A． B． C． D．
2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（ ）
A． B． C． D．
3.已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型26】三角恒等变换
1．角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则cos2α+sin2α+2＝（ ）
A． B． C． D．2
3．已知，则tanα的值为（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【题型27】三角函数的图形与性质
1．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A． B．2 C．5 D．
2．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于直线对称
D．函数图象的对称中心为
2．将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是图象的一条对称轴
C．当且仅当（）
D．若方程在区间上有两个不等实根，则
3．已知角终边上一点，则 ．
3．函数的值域为 .
【题型28】三解函数的图像平移变换
1．已知将函数的图象向左平移个单位，所得的图象经过点，则φ＝（ ）
A． B． C． D．
2．先将曲线y＝sin2x上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数f（x）的图象，则f（x）＝（ ）
A． B． C． D．
3．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则f（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
4．将正弦曲线上所有的点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数y＝f（x），x∈[﹣2π，2π]的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（ ）
A．g（x）＝cos2x B．
C． D．g（x）＝﹣sin2x
【题型29】三角函数的大题综合
1．已知函数的图象关于点对称．
(1)求；
(2)若，求函数的最值及取最值时的的值；
(3)若，且，求．
2．已知函数，其中.
(1)求函数的最小正周期及单调减区间.
(2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值.
3．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求函数的最值及其相应的值.
4．已知函数的最小正周期为．
(1)求及；
(2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．
5．已知是函数的一个零点，
(1)求实数的值：
(2)求的单调递增区间；
(3)若，求的值域.
6．已知．
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
【题型30】函数的大题综合
1．函数满足对一切x，有，且；当时，有．
(1)求，，的值;
(2)证明在R上的单调性；
(3)求不等式的解集．
2．已知函数．
(1)判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明；
(2)求不等式的解集；
(3)设，若，求实数的取值范围．
3．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
(3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
4．定义在上的函数满足，，且时，．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)求关于t的不等式的解集．
5．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
(1)求的解析式；
(2)证明：函数在上单调递增．
6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
