渐开线与摆线
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渐开线与摆线
预习梳理
1．以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r为基圆的半径)．
2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为：
______________________________________________________．
预习思考
半径为8的圆的渐开线参数方程为(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,
预习梳理
1.(φ为参数)
2.(φ为参数)
预习思考
(φ为参数)
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
1．C
2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.
2.C
3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
3.C
4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．
(φ为参数)
5．如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
5．C
6．已知摆线的生成圆的直径为80
mm，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．
6.(φ为参数) 80π
mm
80
mm
7．已知参数方程为(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，
摆线参数方程为____________________________．
7.(φ为参数)
(φ为参数)
8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．
8．(6，0)和(－6，0)
9．当φ＝，π时，求出渐开线(φ为参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
9．解析：将φ＝代入
得x＝cos＋sin＝1，
y＝sin－cos＝1.∴A.
将φ＝π代入
得x＝cos
π＋πsin
π＝－1，
y＝sin
π－πcos
π＝π.
∴B(－1，π)．
故A，B间的距离为
|AB|＝＝.
10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别为和，求点A、B的直角坐标．
10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
将φ＝代入得
x＝cos＋sin＝＋π，
y＝sin－cos＝－.
∴A点的坐标为.
当φ＝时，同理可求得B点的坐标为.
11．求摆线(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．
11．解析：当y＝2时，有2(1－cos
φ)＝2，
∴cos
φ＝0.又0≤φ≤2π，
∴φ＝或φ＝.
当φ＝时，x＝π－2；
当φ＝时，x＝3π＋2.
∴摆线与直线y＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．
12．设圆的半径为4，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值．
12．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为(φ为参数)．
且0≤φ≤2π.
其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：
易知，当x＝4π时，y有最大值8.
13．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．
解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．
14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
14．分析：根据圆的摆线的参数方程(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
解析：令y＝0，可得r(1－cos
φ)＝0，由于r＞0，即得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sin
φ)，得x＝r(2kπ－sin
2kπ)．又因为x＝2，所以r(2kπ－sin
2kπ)＝2，即得r＝.
又由实际可知r＞0，所以r＝(k∈N
)．易知，当k＝1时，r取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为
(φ为参数)；
圆的渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
2．渐开线上任一点M的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ唯一确定．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义．
4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．
【习题2.4】
1．解析：因为基圆的直径是225
mm，所以基圆的半径是112.5
mm，齿廓线AB所在的渐开线的参数方程为(φ是参数)．
2．解析：将φ＝，分别代入，得到A，B两点的坐标分别为，，由两点间的距离公式得|AB|＝＝2.
3．解析：设轮子的圆心为B，以BM的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点，直线轨道为x轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M绕圆心B转过φ角后点M的坐标为(x，y)，则x＝OD＝OA－DA＝OA－MC＝aφ－bsin
φ，y＝DM＝AC＝AB－CB＝a－bcos
φ，所以点M的轨迹方程为
(φ是参数)．
4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M的坐标为(x，y)，此时∠BOA＝φ.因为OB＝4CB，所以∠BCM＝4φ，∠MCD＝－3φ.由于x＝OF＝OE＋EF＝3rcos
φ＋rsin
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预习梳理
1．以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r为基圆的半径)．
2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为：
______________________________________________________．
预习思考
半径为8的圆的渐开线参数方程为(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,
预习梳理
1.(φ为参数)
2.(φ为参数)
预习思考
(φ为参数)
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
1．C
2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.
2.C
3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
3.C
4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．
(φ为参数)
5．如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
5．C
6．已知摆线的生成圆的直径为80
mm，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．
6.(φ为参数) 80π
mm
80
mm
7．已知参数方程为(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，
摆线参数方程为____________________________．
7.(φ为参数)
(φ为参数)
8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．
8．(6，0)和(－6，0)
9．当φ＝，π时，求出渐开线(φ为参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
9．解析：将φ＝代入
得x＝cos＋sin＝1，
y＝sin－cos＝1.∴A.
将φ＝π代入
得x＝cos
π＋πsin
π＝－1，
y＝sin
π－πcos
π＝π.
∴B(－1，π)．
故A，B间的距离为
|AB|＝＝.
10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别为和，求点A、B的直角坐标．
10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为(φ为参数)．
将φ＝代入得
x＝cos＋sin＝＋π，
y＝sin－cos＝－.
∴A点的坐标为.
当φ＝时，同理可求得B点的坐标为.
11．求摆线(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．
11．解析：当y＝2时，有2(1－cos
φ)＝2，
∴cos
φ＝0.又0≤φ≤2π，
∴φ＝或φ＝.
当φ＝时，x＝π－2；
当φ＝时，x＝3π＋2.
∴摆线与直线y＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．
12．设圆的半径为4，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值．
12．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为(φ为参数)．
且0≤φ≤2π.
其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：
易知，当x＝4π时，y有最大值8.
13．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．
解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．
14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
14．分析：根据圆的摆线的参数方程(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
解析：令y＝0，可得r(1－cos
φ)＝0，由于r＞0，即得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sin
φ)，得x＝r(2kπ－sin
2kπ)．又因为x＝2，所以r(2kπ－sin
2kπ)＝2，即得r＝.
又由实际可知r＞0，所以r＝(k∈N
)．易知，当k＝1时，r取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为
(φ为参数)；
圆的渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
2．渐开线上任一点M的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ唯一确定．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义．
4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．
【习题2.4】
1．解析：因为基圆的直径是225
mm，所以基圆的半径是112.5
mm，齿廓线AB所在的渐开线的参数方程为(φ是参数)．
2．解析：将φ＝，分别代入，得到A，B两点的坐标分别为，，由两点间的距离公式得|AB|＝＝2.
3．解析：设轮子的圆心为B，以BM的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点，直线轨道为x轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M绕圆心B转过φ角后点M的坐标为(x，y)，则x＝OD＝OA－DA＝OA－MC＝aφ－bsin
φ，y＝DM＝AC＝AB－CB＝a－bcos
φ，所以点M的轨迹方程为
(φ是参数)．
4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M的坐标为(x，y)，此时∠BOA＝φ.因为OB＝4CB，所以∠BCM＝4φ，∠MCD＝－3φ.由于x＝OF＝OE＋EF＝3rcos
φ＋rsin
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