2010中考第二轮专题复习—第六讲 阅读型问题

兴化市板桥初级中学 第六讲 阅读理解型问题 初三第二轮复习教案
☆◇☆中考数学中的阅读理解型问题☆◇☆
阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．
在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，
例1、（09河北)如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
（1）如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周．
（2）如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周．
实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自转 周；若AB = l，则⊙O自转 周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O在点B处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O在点B处自转 周．
（2）如图3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转 周．
拓展联想：
（1）如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．
（2）如图5，点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．
例2、（09咸宁市)问题背景：
在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将的面积直接填写在横线上．__________________
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若三边的长分别为、、（，且），试运用构图法求出这三角形的面积．
例3、（07巴中）先阅读下列材料，然后解答问题：
从三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作．
一般地，从个元素中选取个元素组合，记作：
例：从7个元素中选5个元素，共有种不同的选法．
问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种．【120】
例4、（07梅州）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则__________．
答：
例5、（07双柏）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般地，n个相同的因数相乘：．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为．
一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为，则4叫做以3为底81的对数，记为．
问题：（1）计算以下各对数的值：
．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？ 之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则： HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 以及对数的含义证明上述结论．
解：（1） ， ，
（2）4×16＝64 ， ＋ ＝
（3） ＋ ＝ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3
（4）证明：设＝b1 ， ＝b2
则，
∴
∴b1＋b2＝ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 即 ＋ ＝
例6、（07连云港）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．
【详细的评分标准】
解：（1）直线是的黄金分割线．理由如下：
　　　设的边上的高为．
　　　，，，
　　　所以，，． 2分
　　　又因为点为边的黄金分割点，所以有．因此．
　　　所以，直线是的黄金分割线． 4分
　　　（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即
，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． 6分
（3）因为，所以和的公共边上的高也相等，
所以有． 7分
　设直线与交于点．所以．
　所以，．
　又因为，所以． 9分
　因此，直线也是的黄金分割线． 10分
　（4）画法不惟一，现提供两种画法； 12分
　画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，于，点，则直线就是的黄金分割线．
　画法二：如答图2，在上取一点，连接，再过点作交于点，连接，则直线就是的黄金分割线．
例7、（07无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．
　　　　　　　图1　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3　　　　　　　　图4
如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
解：（1）67．
（2）图4中所有圆圈中共有个数，
其中23个负数，1个0，54个正数，∴图4中所有圆圈中各数的绝对值之和
．
例8、（06南京）如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．
（1） 如图4—4，⊙O内外各一点A和B，它们的反演点分别为A＇和B＇．
求证：∠A＇＝∠B；
（2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．
①选择：如果不经过点O的直线l与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是（　　）．
(A)一个圆　　　(B)一条直线　　　　　(C)一条线段　　　(D)两条射线
②填空：如果直线l与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是 ，该图形与圆O的位置关系是 ．
分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．
（1）证明：∵A、B的反演点分别是A’、B’，
∴OA·OA’＝r，OB·OB’＝r．
∴OA·OA’＝OB·OB’，即．
∵∠O＝∠O ，∴△ABO∽△B’A’O．
∴∠A’＝∠B．．
（2）解：①A．②圆；内切．
说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：
如果直线⊙O’与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是什么？该图形与圆O的位置关系是是什么？
例9、（08黄岗）先阅读下列第（1）题的解答过程：
（1） 已知是方程的两个实数根，求的值.
解法1：∵α、β是方程的两个实数根，
∴，，且
∴，
∴
解法2：由求根公式得当，
∴
当，时
同理可得.
解法3：由已知得,.
∴,
令，
∴A+B……（1）
∴……（2）
由（1）+（2）得2A=64 ，∴A=32.
请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻求一种方法解答下面的问题：
已知,是方程两个实数根，求代数式的值.
分析：仔细阅读（1）中三种解法，并将（1）、（2）中的条件与问题进行比较，找到其相同与不同的地方，从（1）中选取简便、合适的解法，类似解决（2）中的问题.
解：∵、是方程的两个实数根，
∴，,且.
∴，，.
∴.
说明：本例中的三种解法，第一种解法，主要应用根的定义及根与系数之间的关系；
第二种解法是解出二根再代入求值；第三种解法是利用配方法构造对称式解题.
例10、（05十堰）小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.一天，他在解方程时，突然发生了这样的想法：这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数,那么方程可以变为,则,从而是方程的两个根.小明还发现具有如下性质：
,,,,,
,,,……
请你观察上述等式，根据发现的规律填空：
,,.（n为自然数）
例11、（07陕西）阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①.
观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为
在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③。
回答下列问题：
(1)在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组的解；
(2)用阴影表示，所围成的区域。
例12、某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．
（1）写出判定扇形相似的一种方法：
若 ，则两个扇形相似；
（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为_ ；
（3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．
B
B
O2
O
O1
A
图1
图2
A
C
n°
D
O1
O2
B
图3
O2
O3
O
A
O1
C
O4
O
A
B
C
图4
D
D
图5
O
（图①）
（图②）
A
C
B
F
C
B
D
E
A
N
M
G
（第4题答图1）
F
C
B
D
E
A
N
M
（第4题答图2）
图4—4
图4—3
P(1,3)
O
x
y
3
7-2题图①
l
x=1
y=2x+1
O
x
y
7－2题图②
l
x=1
O
x
y
7－2题图③
l
y=2x+1
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