2010中考第二轮专题复习—第一讲 方程型综合题

兴化市板桥初级中学 第一讲 方程型综合题 初三第二轮复习教案
☆◇☆中考数学中的方程型问题☆◇☆
解方程或方程组是同学们最熟悉的，但利用方程（组）解应用题，就感到有点困难，特别是近年来中考题中应用题的取材大都来自现实生活，数据真实，同学们就更感困难。
传统的方程应用题语句简短，数字简单，类型明显，数量关系比较明确，列方程（组）比较容易。但中考中的方程应用题往往涉及到日常生活、生产实践、经济活动、社会发展中的有关常识，因此解这类题时，首先要耐心地阅读题目，弄清楚题目中叙述的背景知识，一遍读不懂就再读一遍，将题目浓缩、读“短”。同时要边阅读、边思考，找到关键词语、关键数量，再借用做传统应用题的方法（如列表法、图示法等）分析这些数量之间的关系，找到等量关系，建立方程（组）。由于数据是来自实际情况，不是人为编造的，所以有时数据较复杂，这时可以利用科学计算器进行计算；当数据很大或很小时，可以利用科学记数法来表示数据，再进行计算，结果也可用科学记数法表示。
对于求出的求知数的值，应根据问题的实际意义，检查它们是否符合题意，才能确定问题的解．
由于实际问题的复杂性，近年来的方程应用题开始与不等式联系起来，在一道题中既要列方程（组），又要列不等式（组），这就增加了试题的难度，需要细心分析数量间的关系，确定选用的数学模型。
例1、某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯以每盏比进价多4元的价格全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价。
分析一：（1）简述题目所叙述的事件：先买灯，再卖灯，然后用卖灯的钱全部买灯．
（2）用列表法将数据之间的关系表示出来（设每盏灯的进价为x元）：
进价(元) 进货款(元) 进货盏数 售价(元) 售出盏数 售货款
第一次 x 400 x+4 －5 （x+4）(－5)
第二次 x ？ ＋9
（3）找等量关系，列方程．第一次的售货款＝第二次的进货款．
即
分析二：（1）简述事件：先买灯，再卖灯，结果用卖灯盈利的钱多买了9盏灯．
（2）设每盏灯的进价为x元．第一次卖了盏，每盏盈利4元，共盈利元，但要注意损耗了5盏，还要除去5x元，实际只盈利了（元）．可用图示法分析数量之间关系，
（3）分析等量关系：卖灯实际盈利的钱＝多卖9盏灯的钱．
即 ．
解：设每盏灯的进价为x元．根据题意，得
．解之，得x1＝10，x2＝．
经检验，这两个根都是原方程的根，但进价不能为负数，所以x＝10．
答：每盏灯的进价为10元．
说明：从上述两种分析方法中可以看出，读懂题意、简述事件是很重要的．以不同的角度观察同一事件，就产生不同的分析方法，列出的方程在形式上也就不同，但结果是一样的，这里显然第二种方法较简单． 因此同学们在解应用题时不要满足于自己做出来了，要反思，探讨有无其它解决问题的思路，并要注意与同伴多交流，培养自己多角度解决问题的能力。
例2、随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人民的居住环境已成为城市建设的
一项重要内容．某城市计划到2003年要将该城市的绿地面积在2001年的基础上增加44％，同时要求该城市到2003年人均绿地的占有量在2001年的基础上增加21％，为保证实现这个目标，这两年该城市人口的增长率应控制在多少以内（精确到1％）？
解：设2001年该城市总人口为m，绿地总面积为n．这两年该城市人口的年平均增
长率至多为x．由题意，得
，即．解之，得．
答：这两年该城市人口的年平均增长率应控制在9％以内．
说明：设辅助求知数可以使复杂问题简单化，便于分析量与量之间的关系，较快的找到等量关系，列出方程．该题在解答过程中，虽然在一个方程中出现了3个用字母表示的求知数，但其中两个求知数是可以通过约分而化为1，实际上仍是解一个一元二次方程。
例3、某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ ）．
（A）既不获利也不亏本 （B）可获利1％
（C）要亏本2％ （D）要亏本1％
解：设一台的进价为m元，另一台的进价为n元．由题意，得
m(1+10%)=n(1－10％) …… ①，解之，得．
……②，
将代入②式，得．
1－0．99＝0．01＝1％．
所以两台空调调价售出后比进价要亏本1％，故选（D）．
说明：本题与例7一样，也要设辅助求知数，从等式①中得到用n表示m的代数式，
再代入②，就可以约去辅助求知数．
有关利润问题的关系式：
利润＝售价－进价；利润率＝；售价＝进价×（1＋利润率）；
若＞1，则盈利；若＜1，则亏本；若＝1，则不盈也不亏。
例4、某商人现在的进货价比原来的进货价便宜8％，而售价保持不变，那么他的利
润（按进货价而定）可由原来的x%增加到现在的（x＋10）％，则x％是（ ）
（A）12％ （B）15％ （C）30％ （D）50％
解：设商品原来的进价为a元，则现在的进价为（1－8％）a元，再设售价为b元．则
．
由（1）得，b＝（1＋x%）a,代入（2），得
（1＋x%）a－（1－8％）a＝（x＋10）％×（1－8％）a．解之，得x＝15． 所以选（B）．
x元
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