河北省衡水市冀州中学2025-2026学年高一上学期12月月考
数学试题
考试时间：120分钟 试题分数：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则的化简结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数且的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 定义在上的奇函数满足：当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，.若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 若，，则，
C. 函数的图象恒过定点
D. 已知函数的定义域为，则的定义域为
11. 若函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且（其中e为常数，）.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是增函数 C. D.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知函数，，则此函数的值域为__________
13. 若幂函数是偶函数，________.
14. 若“，”为假命题，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的定义域为，集合.
（1）当时，求；
（2）是的充分条件，求a的取值范围.
16. 求下列各式的值：
（1）已知，求的值；
（2）；
（3）若，，用，表示.
17. 已知函数（，且，）.
（1）若的图象过点和，求在上的值域；
（2）若在区间上的最大值比最小值大，求的值.
18. 设函数
（1）若为奇函数，求不等式的解集；
（2）若为偶函数，证明：在单调递增；
19. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.
（1）试求函数的解析式；
（2）有同学发现，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数的图象关于点成中心对称图形.
20. 已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，.
（1）求证：是奇函数；
（2）若，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.河北省衡水市冀州中学2025-2026学年高一上学期12月月考
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. B 8. C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ABC 10. ABD 11. BC
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12.
13. .
14.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）
（2）
16. （1）
（2）2
（3）
17. （1）
（2）或.
18. （1）
（2）证明 因为为偶函数，
所以，
要想该等式对于恒成立，只需，
即，
设是上任意两个实数，且，则有，
于是有
，
因为，
所以，，
由，
，即
于是，
所以在单调递增.
19. （1）
（2）证明 由题意只需证明为奇函数即可，
在中，
当时，，则；
当时，，则，
令，
所以对任意，，
即函数的图象关于点成中心对称图形.
20. （1）证明：令得，
得，故是奇函数；
（2）设任意且，，
，且当时，，故，
故函数在单调递增，由函数为奇函数，故函数在单调递增.
对任意的，恒成立，即，
由函数单调性得，故对任意恒成立.
设，，要使恒成立，则，
故或，所以实数的取值范围为.
