1.1 三角形内角和定理 教案(表格式,4个课时)2025-2026学年数学北师大版八年级下册
文档属性
| 名称 | 1.1 三角形内角和定理 教案(表格式,4个课时)2025-2026学年数学北师大版八年级下册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-04 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
1.1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理和全等三角形
课题 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P2-4
教学目标 1.通过三角形撕拼方法的演示，借助基本事实和定理，能用自己的语言说出三角形内角和定理的证明思路。 2.通过小组合作交流，能从不同角度证明三角形内角和定理。 3.会用基本事实证明三角形的判定定理，掌握全等三角形的性质。
教学重难点 重点：“三角形的内角和等于180°”结论的探究与应用。 全等三角形判定的证明及性质和判定的应用。 难点：三角形的内角和定理的证明方法（添加辅助线）的讨论。
教学准备 多媒体课件、教具、三角形纸片
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 活动1： 教师提问：我们知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？ 师生活动：让学生通过撕纸试着做一下，体会数学研究的乐趣，然后老师通过多媒体动画演示，验证这个结论是不是正确的。 教师：如图，当时我们是把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置。 活动2： 教师：思考一下，你能通过折纸的方式证明“三角形内角和等于180°”吗？ 师生活动：教师让学生拿出事先准备好的三角形纸板，先让学生独立操作，然后小组讨论，请一位同学说一下他的方法，其他小组作补充。 答案预测： 先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2、图3），最后得图4所示的结果。 图1 图2 图3 图4 教师：试用自己的语言说明这一结论的证明思路。 教师：除此以外，你还有什么办法可以验证“三角形的内角和为180°”吗 教师板书课题。 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 证明：三角形的三个内角和是180°。 学生活动：先独立思考，自己画图，并写出已知、求证和证明，完成后与同伴交流。 同学们的方法可能会有多种，教师在巡查过程中，可以请不同方法的同学去黑板上展示自己的做法。 答案预设： 已知：如图，△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 方法1： 证明：如图，延长BC到D，过点C作射线CE∥BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）。 ∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）。 方法2： 证明：如图，过点A作DE∥BC。 ∵DE∥BC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）。 其他方法： 【探究2】证明全等三角形的判别条件“AAS” 师生活动：教师引导学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 教师提问：已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明全等三角形的判别条件“AAS”.教师注意适时引导. 学生总结： 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC 和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C =∠F（等量代换）. ∵BC=EF，∠B=∠E, ∴△ABC≌△DEF（ASA）.（学生板书） 【归纳结论】 三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。 【教材例题】 例1 如图，在△ABC中，∠B=38，∠C= 62，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 解：在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）。 ∵∠B= 38°，∠C=-62°， ∴∠BAC=180°－38°－62°= 80°。 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°= 40°。 在△ADB中， ∠B+∠BAD+∠ADB =180°（三角形内角和定理）。 ∵∠B=38°，∠BAD=40°， ∴∠ADB=180°－38°－40°=102°。 【归纳结论】 解几何题，第一步就是在图形中准确地标注信息，教学中应引导学生将题目中的信息清晰地标注到图形中，并进一步思考：根据这些信息还可以得到哪些结论？另外，标注的顺序，可能正反映解题的顺序。教学中，注意引导学生体会这一点。 用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。 此处证明需要添加辅助线，教师需要让学生明白添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。 得到三角形内角和定理后，自然应通过简单应用加以巩固，为此设计了例1。教学中，应鼓励学生先自主解决，然后进行对比、交流。 经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备. 证明这个推论（AAS），可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。
3.学以致用，应用新知 考点1 三角形内角和的应用 例 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由。 解：△ABC是直角三角形． 理由：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， ∴可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，3x°。 在△ABC中， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形三个内角的和等于180°）， ∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30。 ∴∠A＋∠B＝x°＋2x°＝3x°＝90°。 ∴∠C＝180°－90°＝90°。 ∴△ABC是直角三角形。 变式训练 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD=∠BAC=20°， 在△ABD中， ∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－75°－20°=85°。 考点2 全等三角形的性质定理与判定定理 例 如图，是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ） A. 70° B. 70°或60° C. 65° D. 60° 答案：B 变式训练 如图，点B，F，C，E在一条直线上， AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( ) A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC 答案：C 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 通过例题讲解，巩固理解全等三角形的性质定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用全等三角形的判定定理解决问题。
4.随堂训练，巩固新知 1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于( ) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案：D 2.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为( ) A．17° B．34° C．56° D．124° 答案：D 3.（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C= ； （2）在△ABC中，∠C=90°，∠B=50，则∠A= ； （3）在△ABC中，∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C= 。 答案： （1）102°；（2）40°；（3）120°。 4.如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数。 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°。 ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACB＝30°。 ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°。 5.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数。 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x＋15)°，从而有 3x＋x＋(x＋15)＝180。 解得x＝33 所以3x＝99，x＋15＝48。 答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°。 5．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AE＝DE，∠A＝∠D． （1）BE与CE相等吗？请说明理由； （2）若∠BEC＝130°，求∠EBC的度数． 解：（1）BE＝CE，理由如下： 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴BE＝CE； （2）由（1）知，BE＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB. ∵∠EBC+∠ECB+∠BEC＝180°，∠BEC＝130°， ∴∠EBC+∠ECB＝50°， ∴∠EBC＝25°． 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高。
5.课堂小结，自我完善 1.证明三角形内角和定理有哪几种方法？ 2.辅助线的作法技巧. 3.三角形内角和定理的简单应用. 4.全等三角形的性质与判定. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P10 T1，T2。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1节 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形 三角形内角和定理 全等三角形 提纲掣领，重点突出。
教后反思 三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其他图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，同时三角形的全等的判定与性质也属于进一步学习，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点。 1.通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求。 2.充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。 3.添加辅助线是教学中的一个难点，如何添加辅助线则应允许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在教师的引导下达成共识。 反思，更进一步提升。
1.1 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
课题 第2课时 三角形的外角 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P4-6
教学目标 1.掌握三角形外角的两条性质。 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。 4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。 5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣。
教学重难点 重点：了解并掌握三角形的外角的定义。 难点：掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师提出问题，引发学生思考。 活动1：回顾三角形内角和定理及推理证明思路 问题①：三角形内角和定理？ 问题②：在推理三角形内角和定理时我们用的证明方法有什么共同的地方？ 活动2：引入外角 教师播放课件动画。 为了测量△ABC中的一个内角，在受条件限制的情况下，一种方法就是是用到了把边BC延长得到∠ACD，通过测量这个角而得到要测的角，这个角叫做什么呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。 教师板书课题。 引入外角定义：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角。如图，∠1是△ABC的∠ABC的外角。 【归纳结论】 外角：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角。 复习旧知，为引入外角作铺垫。 借用动画播放，帮助学生回顾上节课知识的同时，直观的展现外角与内角的关系。方便学生总结。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师提出问题，有学生自主探究外角，加深外角的理解。 教师：观察课本图1-6，结合外角的定义，回答下列问题： 1.外角有什么特点？ 2.在图1-6中画出△ABC的其他外角，思考： （1）三角形的每个顶点处可画几个外角？它们有何关系？ （2）一个三角形共有几个外角？ （3）三角形的一个外角与它的内角有何数量关系？ 师生活动：先独立思考，动手操作，再小组合作，最后汇总结论，教师可以请每个小组回答一个问题，其他小组补充。 答案预测： 1.①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是内角的一边；③另一条边是内角另一条边的反向延长线。 2.（1）三角形的每个顶点处可画2个外角，它们互为对顶角，相等； （2）一个三角形共有6个外角。 （3）三角形的一个外角与它相邻的内角之和为180°。 教师：三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，和为180°，那这个外角与它不相邻的两个内角有什么数量关系？探究并证明。 学生活动：先独立思考，并与同伴讨论交流。 答案预设： 由学生归纳得出：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角。 求证：∠ACD=∠A+∠B。 证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形的内角和等于180°）。 ∴∠A+∠B=180°－∠ACB。 ∵∠ACD+∠ACB=180°（邻补角的性质）， ∴∠ACD=180°－∠ACB。 ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）。 教师：很好，通过证明，我能得到了“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，这是一个定理。此外，我们也能很容易得到：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【归纳结论】 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【教材例题】 例2 已知：如图，在△ABC中∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD∥BC。 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）。 ∠B=∠C， ∴∠C=∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAC=∠EAC。 ∴∠DAC=∠C。 ∴AD∥BC。 想一想：对于例2，你还有其他证明方法吗？ 学生讨论，并举手回答。 答案预设： 还可以利用“同位角相等”或“同旁内角互补”证明两条直线平行。 例3 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC。 求证：∠BPC>∠A。 教师活动：这是本套教材中首次证明几何中的不等关系，学生难免有些不习惯。因此，如果学生有困难，适当地引导是必要的。如本题可以有下面的引导方式：要证明两个角的不等关系，我们有哪些关于角的不等关系的结论？能直接运用这个结论吗？困难在哪里？能否适当添加辅助线，构造出可以直接运用这个结论的角？ 证明：如图，延长BP，交AC于点D。 ∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ∴∠BPC>∠PDC（三角形的-一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。 ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴∠PDC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。 ∴∠BPC>∠A。 要求学生在图中标注其他外角，通过其他外角深化学生对外角概念的理解；同时，在图中标注其他外角的过程也为发现有关外角的结论做了铺垫。 外角这个概念并不是本源的，探究的意义不大，学生理解概念，并能在图中找到外角即可。 推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，小组合作会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。 相对于前几课时的题目而言，本题的图形更为复杂一些，因此教材以例题的形式呈现题目，并给出了分析过程.教学中仍应鼓励学生先自行解决，同时对有困难的学生给予必要的指导。 想一想关注解决问题方法的多样化.通过多种解法，开拓学生的思维。 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明中，要引导学生找到一个过渡角∠PDC，由∠BPC>∠PDC，∠PDC>∠A，再由不等关系的传递性得出∠BPC>∠A。让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习。
3.学以致用，应用新知 考点1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 例 旗帜在我国有着悠久的历史文化传承，如图是一面代表清朝时期官船的“三角黄龙旗”。小文想仿照它做个同样的旗帜模型。经了解得知此旗∠C=90°，测量后得知∠ABD=147°，则∠A的大小为（ ） A.43° B.57° C.61° D.73° 答案：C 变式训练 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F。若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ） A. 65° B. 70° C. 75° D. 85° 答案：B 考点2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 例 点P是△ABC内任意一点，则∠APC与∠B的大小关系是（ ） A.∠APC>∠B B.∠APC=∠B C.∠APC<∠B D.不能确定 答案：A 变式训练 如图，点D是△ABC的AC边的延长线上的一点，点E在BC上，连接DE。求证：∠BED>∠A. 证明：∵∠ECD是△ABC的外角， ∴∠ECD>∠A。 ∵∠BED是△CDE的外角，∴∠BED>∠ECD。 ∴∠BED>∠A。 加深学生对定理“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的理解和应用。 加深学生对定理“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”的理解和应用，变式培养学生认真读题的习惯及学习规范证明过程的书写。
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于( ) A．110° B．160° C．137° D．115° 答案：D 2．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 答案：C 3.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( ) A.∠3=2∠1+∠2 B.∠3=2∠1-∠2 C.∠3=∠1+∠2 D.∠3=180°-∠1-∠2 答案：C 4.如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE=（ ） A.45° B.40° C.30° D.20° 答案：D 5.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，点E为边AC上一点，延长BC到点D，连接DE。 求证：∠1>∠2。 证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）， ∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， ∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）， ∴∠ACB >∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， ∴∠1>∠2（不等式的性质）。 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高。
5.课堂小结，自我完善 1.由学生自行归纳本节课所学知识。 推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P10T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1节 三角形内角和定理 第2课时 三角形的外角 提纲掣领，重点突出。
教后反思 教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。 本节课的教学设计力图具有以下几个特色： 充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题； 从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程； 在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。 反思，更进一步提升。
1.1 三角形内角和定理
第3课时 多边形的内角和
课题 第3课时 多边形的内角和 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P17-18
教学目标 知识技能 1．了解多边形、正多边形的定义，能够结合图形识别它们的相关概念； 2．掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想. 数学思考 经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。 问题解决 通过观察、分析，把多边形问题转化为三角形问题，体会转化思想在几何知识中的应用。 情感态度 学会通过类比、转化、推理等探究活动，体验成功的快乐，感受数学的乐趣。
教学重难点 重点：多边形内角和公式的探索和应用。 难点：推导多边形内角和公式时，如何把多边形转化成三角形。
教学准备 多媒体课件、三角板
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 情景1：杭州2022年亚运会将于2023年在中国浙江杭州举行，为迎接亚运会的到来，小明决定设计一枚内角和为的多边形徽章，可行吗？ 情景2：（出示五角大楼的俯视图） 教师提问： 1.大楼的俯视图是个什么形状的图形？ 2.你们想知道大楼的五个角的度数之和吗？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 这就是我们今天所研究的内容——多边形的内角和（板书课题：第3课时 多边形的内角和） 从生活情境中引出多边形，激发学生学习兴趣，设置悬念猜想多边形的内角和，引出本节课的学习内容.
2.实践探究，学习新知 【探究1】四边形、五边形的内角和 教师提问： 1.三角形的内角和是多少度？ 2.四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？ 学生总结： 由上图可知： 图1：2×180°=360°，图2：4×180°- 360°=360°. 图3：3×180°- 180°=360°，图4：3×180°- 180°=360°. 教师总结:四边形从一个顶点出发，将四边形分成若干个三角形. 教师追问：某小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它的五个内角的和吗？ 学生总结：五边形从一个顶点出发，将五边形分成若干个三角形.五边形的内角和是540°. 教师总结： 纵观以上各种证明思路，其共同点是通过图形分割，把五边形问题转化为熟悉的三角形、四边形问题来解决。 【探究2】探究多边形的内角和 教师提问：对于n边形，其内角和又是多少呢？猜想一下内角和计算公式是什么？完成下表. 教师引导：我们知道，从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形.请结合上面的探究，通过列表的方式，尝试归纳总结多边形的内角和. 学生总结： 由于从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形，从而我们可以得到：n 边形的内角和等于(n－2)·180°.(n是大于或等于3的自然数) 【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下： 多边形的内角和定理：从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形，n 边形的内角和等于(n－2)·180°.(n是大于或等于3的自然数) 教师点拨：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关。 【教材例题】 例4 如图，在四边形中，.有什么样的关系？ 学生活动：学生先独立思考，再自主解答，最后小组合作讨论交流。 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D =（4－2）×180°=360°， ∴∠B+∠D =360°－（∠A+∠C） =360°－180°=180°. 教师提问：例题说明了什么，试着自主总结. 学生总结：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补. 想一想：观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 引出概念：正多边形定义：在平面内，每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形。 教师提问：你能求出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的内角度数吗？ 学生回答： 正三角形的内角为， 正四边形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， 正八边形的内角为. 总结：正n边形的每个内角度数为. 【探究3】多边形剪去一个角后边数和内角和的探究 议一议：剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？ 学生活动：学生先独立思考，再动手操作，最后小组合作讨论交流。 学生总结：学生展示三种裁剪方法，并归纳总结规律： 经过一个顶点剪，得到四边形。其内角和：（4-2）×180°＝360° 经过两个顶点剪，得到三角形。其内角和：180°. 不经过顶点剪，得到五边形。其内角和：（5-2）×180°＝540° 教师总结：n边形剪去一个角后，边数的可能为n-1,n+1,n，然后利用内角和定理可求对应内角和. 先观察用形，引导学 生思考回答，让学生 充分地展开讨论，理解解题思路，探索求四边形、五边形的内角和的不同方法，对于学生举出的不同方法，教师要在肯定的基础上予以点评. 鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性，通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高学生的语言表达能力. 本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题，目的是巩固学生对多边形内角和定理的掌握，教师应注意及时纠正学生解题过程中出现的问题. 通过探究多边形剪去一个角后可能的边数和内角和，进一步巩固多边形的内角和公式，学生经历动手操作的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散思维，在分组交流的过程中，感受合作的重要性.
3.学以致用，应用新知 考点1 多边形的内角和 例 下列多边形中，内角和为的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 变式训练 如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 考点2 正多边形的相关计算 例 永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（ ） A．80° B．100° C．120° D．135° 答案：D 变式训练 如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则∠EAF度数为（ ） A．30° B．48° C．45° D．60° 答案：B 通过例题讲解，巩固理解多边形的内角和定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用多边形的内角和定理解决问题。
4.随堂训练，巩固新知 1.正多边形的每一个内角都是135°，那么这个正多边形是（ ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 答案：D 2.将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为3600°，则原来多边形的边数为___________．（用阿拉伯数字表示） 答案：21或22或23 3.在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为2021°，这个角的大小是_____________． 答案：139° 4.将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG＝ ． 答案：24° 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.多边形的内角和定理：从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形，n 边形的内角和等于(n－2)·180°.(n是大于或等于3的自然数) 2.正多边形定义：在平面内，每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形。 3.正n边形的每个内角度数为. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P11 T5、T6。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第3课时 多边形的内角和一、多边形内角和定理二、正多边形每个内角的度数投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 1.本节课主要有三个内容：一是多边形内角和公式的推导和正多边形内角的表示；二是思想方法的体会；三是多边形内角和公式的运用. 2.本节课向学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. 使学生学会分享与合作，让学生积极参与对问题的讨论，使学生敢于、乐于发表自己的观点，并尊重、理解和正确评价他人见解，成为数学课上真正的主人. 反思，更进一步提升。
1.1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
课题 第4课时 多边形的外角和 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P8-9
教学目标 【知识与技能】 经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题； 【过程与方法】 培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力． 【情感态度与价值观】 让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．
教学重难点 重点：多边形外角和定理的探索和应用。 难点：灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
教学准备 多媒体课件、三角板
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题：（多媒体演示） 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，如图所示. 教师提问： （1）小明每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 引出课题：带着这些问题，今天我们就来研究——多边形的外角和. （板书课题：第4课时 多边形的外角和） 通过创设生活情境，激发学生学习兴趣，通过问题的探究，可以为本节课的顺利进行做好铺垫，自然地引出本节课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】多边形的外角和 教师提问：把上面的问题抽象为数学问题，如图.解决上面情境中的问题. 学生活动：学生先独立思考，再自主解答，最后小组合作讨论交流。 学生总结：上面的问题中，小明跑步方向改变的角共有5个，分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5. ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的求解如下： ∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°， ∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°. ∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， 即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°. ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°. 教师引导：大家可以把各外角剪下来拼在一起，总结得到的结论. 教师点拨：其实，对于任意的多边形，在平面内任取一点，将一支铅笔的一端放在这一点上，绕该点转动铅笔，使铅笔所在的直线依次平行于多边形的各条边，也可以验证结论. 教师追问：你的思路与小明一样吗？与同伴交流. 上述问题中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是五边形的外角，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和是五边形的外角和.你能用文字语言描述其概念吗？ 引出概念： 1.多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角． 2.多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和． 【探究2】多边形的外角和定理 教师提问： 1.如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？请用小明的方法计算六边形、八边形的外角和. 2.类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究； 3.你能猜测一下，多边形的外角和是多少度吗？尝试证明一下. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明n边形的外角和为360°.教师注意适时引导. 证明：n边形的外角和为360°. 证明：如图所示，作n边形A1A2A3…An. ∠1+∠2+∠3+…∠n =（∠1+∠AnA1A2）+（∠2+∠A1A2A3）+（∠3+∠A2A3A4）+…+（∠n+∠An-1AnA1）－180°·（n－2） =180°·n－180°·（n－2）=360°. 所以，n边形的外角和为360°. 【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下： 多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360°. 【例题讲解】 例5 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形， 则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°. 根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°. 解得n＝8. 所以，这个多边形是八边形. 鼓励学生找到多种方法，发散学生的思维，有利于深入领会转化的本质，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性，通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高学生的语言表达能力. 本例是运用多边形外角和公式解决简单的问题，同时结合内角和公式，目的是巩固学生对多边形外角和定理的掌握，教师应注意及时纠正学生解题过程中出现的问题.
3.学以致用，应用新知 考点1 多边形的外角和 例 如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则的值为（ ） A．180° B．360° C．540° D．720° 答案：B 变式训练 若一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 答案：D 考点2 多边形外角和的实际应用 例 “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5＝ °． 答案：80 变式训练 如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为 ． 答案：30° 考点3 多边形内角和与外角和的综合应用 例 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是（ ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 答案：A 变式训练 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 答案：B 通过例题讲解，巩固理解多边形的外角和定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用多边形的外角和定理解决问题。
4.随堂训练，巩固新知 1.将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是（ ） A．30° B．32° C．35° D．40° 答案：A 2.如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ） A．180° B．210° C．240° D．270° 答案：A 3.如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ． 答案：40° 4.一个多边形如果内角都相等，并且满足其一个内角的度数是其相对应外角度数的整数倍，就称这个多边形为“整数多边形”，已知一个“整数多边形”一个内角的度数是其相对应外角度数的5倍，求这个“整数多边形”的边数． 解：设这个“整数多边形”的一个外角度数为x，则它的一个内角的度数为5x，由题意，得 ． 解得． ∴这个“整数多边形”的边数为． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角． 2.多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和． 3.多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360°. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P11 T7—T9。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第4课时 多边形的外角和一、多边形的外角和二、多边形的外角和定理投影区内容应用学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课的设计突出对多边形的外角和公式的探究与推导过程，探究过程既有类比前一节课的方法，又有承接多边形内角和的新方法；既是新知识的学习过程，又是旧知识的拓展过程。相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求。 另外，可以考虑增加一些课堂中的习题量，以帮助学生巩固新知识。 反思，更进一步提升。
第1课时 三角形内角和定理和全等三角形
课题 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P2-4
教学目标 1.通过三角形撕拼方法的演示，借助基本事实和定理，能用自己的语言说出三角形内角和定理的证明思路。 2.通过小组合作交流，能从不同角度证明三角形内角和定理。 3.会用基本事实证明三角形的判定定理，掌握全等三角形的性质。
教学重难点 重点：“三角形的内角和等于180°”结论的探究与应用。 全等三角形判定的证明及性质和判定的应用。 难点：三角形的内角和定理的证明方法（添加辅助线）的讨论。
教学准备 多媒体课件、教具、三角形纸片
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 活动1： 教师提问：我们知道三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的探索过程吗？ 师生活动：让学生通过撕纸试着做一下，体会数学研究的乐趣，然后老师通过多媒体动画演示，验证这个结论是不是正确的。 教师：如图，当时我们是把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置。 活动2： 教师：思考一下，你能通过折纸的方式证明“三角形内角和等于180°”吗？ 师生活动：教师让学生拿出事先准备好的三角形纸板，先让学生独立操作，然后小组讨论，请一位同学说一下他的方法，其他小组作补充。 答案预测： 先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2、图3），最后得图4所示的结果。 图1 图2 图3 图4 教师：试用自己的语言说明这一结论的证明思路。 教师：除此以外，你还有什么办法可以验证“三角形的内角和为180°”吗 教师板书课题。 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 证明：三角形的三个内角和是180°。 学生活动：先独立思考，自己画图，并写出已知、求证和证明，完成后与同伴交流。 同学们的方法可能会有多种，教师在巡查过程中，可以请不同方法的同学去黑板上展示自己的做法。 答案预设： 已知：如图，△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 方法1： 证明：如图，延长BC到D，过点C作射线CE∥BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）。 ∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）。 方法2： 证明：如图，过点A作DE∥BC。 ∵DE∥BC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）。 其他方法： 【探究2】证明全等三角形的判别条件“AAS” 师生活动：教师引导学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 教师提问：已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明全等三角形的判别条件“AAS”.教师注意适时引导. 学生总结： 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC 和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C =∠F（等量代换）. ∵BC=EF，∠B=∠E, ∴△ABC≌△DEF（ASA）.（学生板书） 【归纳结论】 三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。 【教材例题】 例1 如图，在△ABC中，∠B=38，∠C= 62，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 解：在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）。 ∵∠B= 38°，∠C=-62°， ∴∠BAC=180°－38°－62°= 80°。 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°= 40°。 在△ADB中， ∠B+∠BAD+∠ADB =180°（三角形内角和定理）。 ∵∠B=38°，∠BAD=40°， ∴∠ADB=180°－38°－40°=102°。 【归纳结论】 解几何题，第一步就是在图形中准确地标注信息，教学中应引导学生将题目中的信息清晰地标注到图形中，并进一步思考：根据这些信息还可以得到哪些结论？另外，标注的顺序，可能正反映解题的顺序。教学中，注意引导学生体会这一点。 用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。 此处证明需要添加辅助线，教师需要让学生明白添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。 得到三角形内角和定理后，自然应通过简单应用加以巩固，为此设计了例1。教学中，应鼓励学生先自主解决，然后进行对比、交流。 经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备. 证明这个推论（AAS），可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。
3.学以致用，应用新知 考点1 三角形内角和的应用 例 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由。 解：△ABC是直角三角形． 理由：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， ∴可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，3x°。 在△ABC中， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形三个内角的和等于180°）， ∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30。 ∴∠A＋∠B＝x°＋2x°＝3x°＝90°。 ∴∠C＝180°－90°＝90°。 ∴△ABC是直角三角形。 变式训练 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD=∠BAC=20°， 在△ABD中， ∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－75°－20°=85°。 考点2 全等三角形的性质定理与判定定理 例 如图，是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ） A. 70° B. 70°或60° C. 65° D. 60° 答案：B 变式训练 如图，点B，F，C，E在一条直线上， AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( ) A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC 答案：C 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 通过例题讲解，巩固理解全等三角形的性质定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用全等三角形的判定定理解决问题。
4.随堂训练，巩固新知 1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于( ) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案：D 2.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为( ) A．17° B．34° C．56° D．124° 答案：D 3.（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C= ； （2）在△ABC中，∠C=90°，∠B=50，则∠A= ； （3）在△ABC中，∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C= 。 答案： （1）102°；（2）40°；（3）120°。 4.如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数。 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°。 ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝∠ACB＝30°。 ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°。 5.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数。 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x＋15)°，从而有 3x＋x＋(x＋15)＝180。 解得x＝33 所以3x＝99，x＋15＝48。 答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°。 5．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AE＝DE，∠A＝∠D． （1）BE与CE相等吗？请说明理由； （2）若∠BEC＝130°，求∠EBC的度数． 解：（1）BE＝CE，理由如下： 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴BE＝CE； （2）由（1）知，BE＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB. ∵∠EBC+∠ECB+∠BEC＝180°，∠BEC＝130°， ∴∠EBC+∠ECB＝50°， ∴∠EBC＝25°． 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高。
5.课堂小结，自我完善 1.证明三角形内角和定理有哪几种方法？ 2.辅助线的作法技巧. 3.三角形内角和定理的简单应用. 4.全等三角形的性质与判定. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P10 T1，T2。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1节 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理和全等三角形 三角形内角和定理 全等三角形 提纲掣领，重点突出。
教后反思 三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其他图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，同时三角形的全等的判定与性质也属于进一步学习，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点。 1.通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求。 2.充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。 3.添加辅助线是教学中的一个难点，如何添加辅助线则应允许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在教师的引导下达成共识。 反思，更进一步提升。
1.1 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
课题 第2课时 三角形的外角 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P4-6
教学目标 1.掌握三角形外角的两条性质。 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。 4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。 5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣。
教学重难点 重点：了解并掌握三角形的外角的定义。 难点：掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算。
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师提出问题，引发学生思考。 活动1：回顾三角形内角和定理及推理证明思路 问题①：三角形内角和定理？ 问题②：在推理三角形内角和定理时我们用的证明方法有什么共同的地方？ 活动2：引入外角 教师播放课件动画。 为了测量△ABC中的一个内角，在受条件限制的情况下，一种方法就是是用到了把边BC延长得到∠ACD，通过测量这个角而得到要测的角，这个角叫做什么呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。 教师板书课题。 引入外角定义：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角。如图，∠1是△ABC的∠ABC的外角。 【归纳结论】 外角：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角。 复习旧知，为引入外角作铺垫。 借用动画播放，帮助学生回顾上节课知识的同时，直观的展现外角与内角的关系。方便学生总结。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师提出问题，有学生自主探究外角，加深外角的理解。 教师：观察课本图1-6，结合外角的定义，回答下列问题： 1.外角有什么特点？ 2.在图1-6中画出△ABC的其他外角，思考： （1）三角形的每个顶点处可画几个外角？它们有何关系？ （2）一个三角形共有几个外角？ （3）三角形的一个外角与它的内角有何数量关系？ 师生活动：先独立思考，动手操作，再小组合作，最后汇总结论，教师可以请每个小组回答一个问题，其他小组补充。 答案预测： 1.①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是内角的一边；③另一条边是内角另一条边的反向延长线。 2.（1）三角形的每个顶点处可画2个外角，它们互为对顶角，相等； （2）一个三角形共有6个外角。 （3）三角形的一个外角与它相邻的内角之和为180°。 教师：三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，和为180°，那这个外角与它不相邻的两个内角有什么数量关系？探究并证明。 学生活动：先独立思考，并与同伴讨论交流。 答案预设： 由学生归纳得出：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角。 求证：∠ACD=∠A+∠B。 证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形的内角和等于180°）。 ∴∠A+∠B=180°－∠ACB。 ∵∠ACD+∠ACB=180°（邻补角的性质）， ∴∠ACD=180°－∠ACB。 ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）。 教师：很好，通过证明，我能得到了“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，这是一个定理。此外，我们也能很容易得到：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【归纳结论】 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【教材例题】 例2 已知：如图，在△ABC中∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD∥BC。 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）。 ∠B=∠C， ∴∠C=∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAC=∠EAC。 ∴∠DAC=∠C。 ∴AD∥BC。 想一想：对于例2，你还有其他证明方法吗？ 学生讨论，并举手回答。 答案预设： 还可以利用“同位角相等”或“同旁内角互补”证明两条直线平行。 例3 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC。 求证：∠BPC>∠A。 教师活动：这是本套教材中首次证明几何中的不等关系，学生难免有些不习惯。因此，如果学生有困难，适当地引导是必要的。如本题可以有下面的引导方式：要证明两个角的不等关系，我们有哪些关于角的不等关系的结论？能直接运用这个结论吗？困难在哪里？能否适当添加辅助线，构造出可以直接运用这个结论的角？ 证明：如图，延长BP，交AC于点D。 ∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ∴∠BPC>∠PDC（三角形的-一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。 ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴∠PDC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。 ∴∠BPC>∠A。 要求学生在图中标注其他外角，通过其他外角深化学生对外角概念的理解；同时，在图中标注其他外角的过程也为发现有关外角的结论做了铺垫。 外角这个概念并不是本源的，探究的意义不大，学生理解概念，并能在图中找到外角即可。 推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，小组合作会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。 相对于前几课时的题目而言，本题的图形更为复杂一些，因此教材以例题的形式呈现题目，并给出了分析过程.教学中仍应鼓励学生先自行解决，同时对有困难的学生给予必要的指导。 想一想关注解决问题方法的多样化.通过多种解法，开拓学生的思维。 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明中，要引导学生找到一个过渡角∠PDC，由∠BPC>∠PDC，∠PDC>∠A，再由不等关系的传递性得出∠BPC>∠A。让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习。
3.学以致用，应用新知 考点1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 例 旗帜在我国有着悠久的历史文化传承，如图是一面代表清朝时期官船的“三角黄龙旗”。小文想仿照它做个同样的旗帜模型。经了解得知此旗∠C=90°，测量后得知∠ABD=147°，则∠A的大小为（ ） A.43° B.57° C.61° D.73° 答案：C 变式训练 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F。若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（ ） A. 65° B. 70° C. 75° D. 85° 答案：B 考点2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 例 点P是△ABC内任意一点，则∠APC与∠B的大小关系是（ ） A.∠APC>∠B B.∠APC=∠B C.∠APC<∠B D.不能确定 答案：A 变式训练 如图，点D是△ABC的AC边的延长线上的一点，点E在BC上，连接DE。求证：∠BED>∠A. 证明：∵∠ECD是△ABC的外角， ∴∠ECD>∠A。 ∵∠BED是△CDE的外角，∴∠BED>∠ECD。 ∴∠BED>∠A。 加深学生对定理“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的理解和应用。 加深学生对定理“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”的理解和应用，变式培养学生认真读题的习惯及学习规范证明过程的书写。
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于( ) A．110° B．160° C．137° D．115° 答案：D 2．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 答案：C 3.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( ) A.∠3=2∠1+∠2 B.∠3=2∠1-∠2 C.∠3=∠1+∠2 D.∠3=180°-∠1-∠2 答案：C 4.如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE=（ ） A.45° B.40° C.30° D.20° 答案：D 5.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，点E为边AC上一点，延长BC到点D，连接DE。 求证：∠1>∠2。 证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）， ∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， ∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）， ∴∠ACB >∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， ∴∠1>∠2（不等式的性质）。 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高。
5.课堂小结，自我完善 1.由学生自行归纳本节课所学知识。 推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P10T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1节 三角形内角和定理 第2课时 三角形的外角 提纲掣领，重点突出。
教后反思 教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。 本节课的教学设计力图具有以下几个特色： 充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题； 从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程； 在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。 反思，更进一步提升。
1.1 三角形内角和定理
第3课时 多边形的内角和
课题 第3课时 多边形的内角和 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P17-18
教学目标 知识技能 1．了解多边形、正多边形的定义，能够结合图形识别它们的相关概念； 2．掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想. 数学思考 经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。 问题解决 通过观察、分析，把多边形问题转化为三角形问题，体会转化思想在几何知识中的应用。 情感态度 学会通过类比、转化、推理等探究活动，体验成功的快乐，感受数学的乐趣。
教学重难点 重点：多边形内角和公式的探索和应用。 难点：推导多边形内角和公式时，如何把多边形转化成三角形。
教学准备 多媒体课件、三角板
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 情景1：杭州2022年亚运会将于2023年在中国浙江杭州举行，为迎接亚运会的到来，小明决定设计一枚内角和为的多边形徽章，可行吗？ 情景2：（出示五角大楼的俯视图） 教师提问： 1.大楼的俯视图是个什么形状的图形？ 2.你们想知道大楼的五个角的度数之和吗？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 这就是我们今天所研究的内容——多边形的内角和（板书课题：第3课时 多边形的内角和） 从生活情境中引出多边形，激发学生学习兴趣，设置悬念猜想多边形的内角和，引出本节课的学习内容.
2.实践探究，学习新知 【探究1】四边形、五边形的内角和 教师提问： 1.三角形的内角和是多少度？ 2.四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？ 学生总结： 由上图可知： 图1：2×180°=360°，图2：4×180°- 360°=360°. 图3：3×180°- 180°=360°，图4：3×180°- 180°=360°. 教师总结:四边形从一个顶点出发，将四边形分成若干个三角形. 教师追问：某小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它的五个内角的和吗？ 学生总结：五边形从一个顶点出发，将五边形分成若干个三角形.五边形的内角和是540°. 教师总结： 纵观以上各种证明思路，其共同点是通过图形分割，把五边形问题转化为熟悉的三角形、四边形问题来解决。 【探究2】探究多边形的内角和 教师提问：对于n边形，其内角和又是多少呢？猜想一下内角和计算公式是什么？完成下表. 教师引导：我们知道，从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形.请结合上面的探究，通过列表的方式，尝试归纳总结多边形的内角和. 学生总结： 由于从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形，从而我们可以得到：n 边形的内角和等于(n－2)·180°.(n是大于或等于3的自然数) 【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下： 多边形的内角和定理：从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形，n 边形的内角和等于(n－2)·180°.(n是大于或等于3的自然数) 教师点拨：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关。 【教材例题】 例4 如图，在四边形中，.有什么样的关系？ 学生活动：学生先独立思考，再自主解答，最后小组合作讨论交流。 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D =（4－2）×180°=360°， ∴∠B+∠D =360°－（∠A+∠C） =360°－180°=180°. 教师提问：例题说明了什么，试着自主总结. 学生总结：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补. 想一想：观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 引出概念：正多边形定义：在平面内，每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形。 教师提问：你能求出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的内角度数吗？ 学生回答： 正三角形的内角为， 正四边形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， 正八边形的内角为. 总结：正n边形的每个内角度数为. 【探究3】多边形剪去一个角后边数和内角和的探究 议一议：剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？ 学生活动：学生先独立思考，再动手操作，最后小组合作讨论交流。 学生总结：学生展示三种裁剪方法，并归纳总结规律： 经过一个顶点剪，得到四边形。其内角和：（4-2）×180°＝360° 经过两个顶点剪，得到三角形。其内角和：180°. 不经过顶点剪，得到五边形。其内角和：（5-2）×180°＝540° 教师总结：n边形剪去一个角后，边数的可能为n-1,n+1,n，然后利用内角和定理可求对应内角和. 先观察用形，引导学 生思考回答，让学生 充分地展开讨论，理解解题思路，探索求四边形、五边形的内角和的不同方法，对于学生举出的不同方法，教师要在肯定的基础上予以点评. 鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性，通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高学生的语言表达能力. 本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题，目的是巩固学生对多边形内角和定理的掌握，教师应注意及时纠正学生解题过程中出现的问题. 通过探究多边形剪去一个角后可能的边数和内角和，进一步巩固多边形的内角和公式，学生经历动手操作的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散思维，在分组交流的过程中，感受合作的重要性.
3.学以致用，应用新知 考点1 多边形的内角和 例 下列多边形中，内角和为的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 变式训练 如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 考点2 正多边形的相关计算 例 永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（ ） A．80° B．100° C．120° D．135° 答案：D 变式训练 如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则∠EAF度数为（ ） A．30° B．48° C．45° D．60° 答案：B 通过例题讲解，巩固理解多边形的内角和定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用多边形的内角和定理解决问题。
4.随堂训练，巩固新知 1.正多边形的每一个内角都是135°，那么这个正多边形是（ ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 答案：D 2.将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为3600°，则原来多边形的边数为___________．（用阿拉伯数字表示） 答案：21或22或23 3.在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为2021°，这个角的大小是_____________． 答案：139° 4.将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG＝ ． 答案：24° 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.多边形的内角和定理：从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形，n 边形的内角和等于(n－2)·180°.(n是大于或等于3的自然数) 2.正多边形定义：在平面内，每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形。 3.正n边形的每个内角度数为. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P11 T5、T6。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第3课时 多边形的内角和一、多边形内角和定理二、正多边形每个内角的度数投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 1.本节课主要有三个内容：一是多边形内角和公式的推导和正多边形内角的表示；二是思想方法的体会；三是多边形内角和公式的运用. 2.本节课向学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. 使学生学会分享与合作，让学生积极参与对问题的讨论，使学生敢于、乐于发表自己的观点，并尊重、理解和正确评价他人见解，成为数学课上真正的主人. 反思，更进一步提升。
1.1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
课题 第4课时 多边形的外角和 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P8-9
教学目标 【知识与技能】 经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题； 【过程与方法】 培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力． 【情感态度与价值观】 让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．
教学重难点 重点：多边形外角和定理的探索和应用。 难点：灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
教学准备 多媒体课件、三角板
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题：（多媒体演示） 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，如图所示. 教师提问： （1）小明每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 引出课题：带着这些问题，今天我们就来研究——多边形的外角和. （板书课题：第4课时 多边形的外角和） 通过创设生活情境，激发学生学习兴趣，通过问题的探究，可以为本节课的顺利进行做好铺垫，自然地引出本节课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】多边形的外角和 教师提问：把上面的问题抽象为数学问题，如图.解决上面情境中的问题. 学生活动：学生先独立思考，再自主解答，最后小组合作讨论交流。 学生总结：上面的问题中，小明跑步方向改变的角共有5个，分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5. ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的求解如下： ∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°， ∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900°. ∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， 即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°. ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°. 教师引导：大家可以把各外角剪下来拼在一起，总结得到的结论. 教师点拨：其实，对于任意的多边形，在平面内任取一点，将一支铅笔的一端放在这一点上，绕该点转动铅笔，使铅笔所在的直线依次平行于多边形的各条边，也可以验证结论. 教师追问：你的思路与小明一样吗？与同伴交流. 上述问题中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是五边形的外角，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和是五边形的外角和.你能用文字语言描述其概念吗？ 引出概念： 1.多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角． 2.多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和． 【探究2】多边形的外角和定理 教师提问： 1.如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？请用小明的方法计算六边形、八边形的外角和. 2.类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究； 3.你能猜测一下，多边形的外角和是多少度吗？尝试证明一下. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明n边形的外角和为360°.教师注意适时引导. 证明：n边形的外角和为360°. 证明：如图所示，作n边形A1A2A3…An. ∠1+∠2+∠3+…∠n =（∠1+∠AnA1A2）+（∠2+∠A1A2A3）+（∠3+∠A2A3A4）+…+（∠n+∠An-1AnA1）－180°·（n－2） =180°·n－180°·（n－2）=360°. 所以，n边形的外角和为360°. 【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下： 多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360°. 【例题讲解】 例5 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形， 则它的内角和是(n－2)·180°，外角和等于360°. 根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°. 解得n＝8. 所以，这个多边形是八边形. 鼓励学生找到多种方法，发散学生的思维，有利于深入领会转化的本质，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性，通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高学生的语言表达能力. 本例是运用多边形外角和公式解决简单的问题，同时结合内角和公式，目的是巩固学生对多边形外角和定理的掌握，教师应注意及时纠正学生解题过程中出现的问题.
3.学以致用，应用新知 考点1 多边形的外角和 例 如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则的值为（ ） A．180° B．360° C．540° D．720° 答案：B 变式训练 若一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 答案：D 考点2 多边形外角和的实际应用 例 “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5＝ °． 答案：80 变式训练 如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为 ． 答案：30° 考点3 多边形内角和与外角和的综合应用 例 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是（ ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 答案：A 变式训练 图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 答案：B 通过例题讲解，巩固理解多边形的外角和定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用多边形的外角和定理解决问题。
4.随堂训练，巩固新知 1.将正六边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是（ ） A．30° B．32° C．35° D．40° 答案：A 2.如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ） A．180° B．210° C．240° D．270° 答案：A 3.如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ． 答案：40° 4.一个多边形如果内角都相等，并且满足其一个内角的度数是其相对应外角度数的整数倍，就称这个多边形为“整数多边形”，已知一个“整数多边形”一个内角的度数是其相对应外角度数的5倍，求这个“整数多边形”的边数． 解：设这个“整数多边形”的一个外角度数为x，则它的一个内角的度数为5x，由题意，得 ． 解得． ∴这个“整数多边形”的边数为． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角． 2.多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和． 3.多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360°. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P11 T7—T9。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第4课时 多边形的外角和一、多边形的外角和二、多边形的外角和定理投影区内容应用学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课的设计突出对多边形的外角和公式的探究与推导过程，探究过程既有类比前一节课的方法，又有承接多边形内角和的新方法；既是新知识的学习过程，又是旧知识的拓展过程。相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求。 另外，可以考虑增加一些课堂中的习题量，以帮助学生巩固新知识。 反思，更进一步提升。
同课章节目录