湖北省襄阳四中2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题(图片版,含答案)

湖北省襄阳四中 2025-2026学年高二上学期 12月月考
数 学 试 题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设a (1, 2,4)，b (2,k ,8)，若 a / /b，则 k=（ ）
A. 4 B. 4 C. 17 D. 17
2. x
2
双曲线 y2 1的渐近线方程为（ ）
2
A. y 2x B. y 2x
1
C. y 2 x D. y x
2 2
3. 经过点P 0, 1 作直线 l，若直线 l与连接 A 1, 2 ，B 2,1 两点的线段总有公共点，设 l的倾斜角为
，l的斜率为 k，则（ ）
0, π 3π π 3π A.
4
,π B. , 4 4 4
C. k 1,1 D. k , 1 1,
4. 2 2已知圆C1： x y 2x my 1 0 m R 关于直线 x 2y 1 0对称，圆C2 ：
x 2 2 y 3 2 16，则圆C1与圆C2 的位置关系是（ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
5. P、Q分别为6x 8y 20 0与6x 8y 5 0上任意一点，则 PQ 的最小值为（ ）
9 5
A. B. C. 3 D. 6
5 2
6. 已知动点 P(x, y)满足 2 (x 1)2 y2 x 4 ，则点 P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
7. 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 F1,F2 ，若曲线 上存在点 P满足 PF1 : F1F2 : PF2 4 : 3 : 2，则曲线
的离心率等于
1 3 2 2 3A. 12 或 B. 或 2 C. 2 或 2 D. 或2 3 3 2
8. 2如图，过抛物线 y 2px p 0 的焦点 F 的直线 l（斜率为正）交抛物线于点M ,N 两点（其中点M
PN
在第一象限），交其准线于点 P，若 3, MF 6，则 F 到抛物线的准线的距离为（ ）NF
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A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题错．误．的是（ ）
A. 若事件 A与事件 B互斥，则 P A P B 1
B. 若事件 A与事件 B相互独立，则事件 A与事件 B相互独立．
C. 事件 A与事件 B同时发生的概率一定比 A与 B中恰有一个发生的概率小．
D. 抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大．
10. 四棱锥 P ABCD的底面为正方形，PA 平面 ABCD，PA 2， AB 1，动点M 在线段PC上，
则（ ）
A. 四棱锥 P ABCD的外接球表面积为6
B. BM DM 30的最小值为
3
C. 不存在点M ，使得DM AC
D. 2 5点M 到直线 AB的距离的最小值为
5
x2 y211. 已知椭圆C : 1， F1,F2 是其左右焦点， P x, y 是椭圆 C 上任意一点，则下列说法正4 3
确的是（ ）
A. PF1 PF2 的最大值是 4

B. PF1 PF2 的最大值是 4
C. x y 4 7 3 7取最小值时，点 P的坐标为 ( , )
7 7
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D. 若 P x, y 也在抛物线 y2 2px p 0 p 39上，则P x, y 到点 ，0 的最小距离为
2 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
x2 212. y椭圆 1的焦距为__________．
9 25
u 13. 教材 44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量 a,b,c abc 0 ，点 P0 x0 , y0 , z0 ，点
P x, y, z . 1 若直线 l 经过点 P 0 ，且以 u 为方向向量， P 是直线 l 上的任意一点，求证：
x x0 y y 0 z z 0 ； 2 若平面 经过点 P0，且以u为法向量， P是平面 内的任意一点，求证：a b c
a x x0 b y y0 c z z0 0.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面 的方程为
x y 2z 7 0，直线 l是平面 x 2y 3 0与 x z 1 0的交线，则直线 l与平面 所成角的正弦
值为__________．
14. 已知 x, y 0, xy 6，则 x y (x 3)2 ( y 2)2 的最大值是___________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）若一条光线从点 P 3, 2 射出，与 x轴相交于点Q 1,0 ，经 x轴反射，求入射光线和反射光
线所在直线的方程；
（2）若直线 l经过点 2,4 ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线 l的方程．
16. 如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面
上的数字，得到样本空间为 .记事件 A “得到的点数为偶数”，记事件 B “得到的点数不大于 4 ”，记事
件C “得到的点数为质数”．
（1）请写出具体的样本空间；
（2）请证明：P ABC P A P B P C ；
（3）连续抛掷3次这个正八面体，记事件Ei i 1,2,3 为第 i次抛掷这个正八面体事件 AB发生，求连续
抛掷3次这个正八面体事件 AB只发生1次的概率．
17. y
2
已知双曲线C : x2 2 1 b 0 的左顶点为M ，离心率为3， A，B是C上的两点．b
（1）求C的标准方程；

（2）若MA MB 0（M 不在直线 AB上)，证明：直线 AB过定点．
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18. 如图，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且 C1CB C1CD BCD 且为
锐角．
（1）求证：CC1 BD；
CD
（2）当 AC CC 的值为多少时，能使 1 平面
C1BD？请给出证明；
1
（3 ）若C1在底面 ABCD的正投影为菱形 ABCD的对角线交点，且 C1CB C1CD BCD 60 ，
求平面C1BC 与平面 ABCD的夹角的余弦值．
19. 公元前 180年，古希腊数学家狄俄克利斯（Diocles 3 2）独立发明了蔓叶线，其方程为Γ : x x 2 y 0 ,
如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如右图所示，平面内给定圆
C : x 1 2 y2 1和直线 l1 : x 2 ,从坐标轴原点 O引射线分别交圆 C和直线 l1于点 A、B,在射线OA上

取一点 M满足OM AB .
（1）求蔓叶线 的横坐标的取值范围；
（2）求证：点 M在蔓叶线 上；
3 2 2（ ）已知：直线mx ny 1 m n 0 与蔓叶线 交于三点 Pi i 1,2,3 ,记直线OPi 的斜率为 ki ,直
线OPi 与圆 C交于点Qi xi , yi
1 1 1
xi yi 0 ,若 k1 k2 k3 2 ,求 y 的值.1 y2 y3
参 考 公 式 ： 若 x1, x2 , x3 是 一 元 三 次 方 程 ax3 bx2 cx d 0 的 三 个 根 ， 则
c
x1 x2 x
b d
3 , xa 1x2 x2x3 x3x1 ,
x
a 1
x2x3 .a
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参考答案
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B 2. C. 3. A 4. B 5. B 6. B 7. A
8. B
二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. ACD 10. ABD 11. ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 8 .
13. 6
18
14. 5 4 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.
15. (1)设入射光线为 l1，反射光线为 l2，
光线从点 P 3, 2 射出，与 x轴相交于点Q 1,0 ，
y 2 x 3入射光线 l1的方程为 ，整理得 x 2y 1 0，0 2 1 3
1 1入射光线 l1的斜率 k1 ， 反射光线 l2的斜率 k2 ，2 2
又 反射光线要经过点Q 1,0 ，
1反射光线 l2的方程为 y x 1 ，即 x 2y 1 0 .2
（2）当直线 l的截距为0时，设直线 l的方程为 y kx .
因为直线 l经过点 2,4 ，所以 k 2，所以直线方程为 y 2x，即 2x y 0，
x y
当直线 l的截距不为0时，设直线 l的方程为 1，
a b
2 4
1 a 2 a 6
则 a b 解得 或 ．
a b b 2

b 6

a 2 x y
若 ，则直线 l的方程为 1，即 x y 2 0;
b 2 2 2
a 6 x y
若 则直线 l的方程为 1，即 x y 6 0 .
b 6 6 6
综上所述，直线 l的方程为： 2x y 0或 x y 2 0或 x y 6 0．
16. （1）因为正八面体八个面分别标以数字1到8，
任意抛掷一次，与地面接触的面上的数字可能是1， 2，3， 4，5，6，7，8，
所以样本空间Ω 1,2,3,4,5,6,7,8 ．
（2）事件 A所含的样本点为： 2,4,6,8 ，事件 B所含的样本点为： 1,2,3,4 ，
事件C所含的样本点为： 2,3,5,7 ，
故事件 ABC 1所含的样本点为： 2 ，所以P ABC ，
8
又 P A P B P C 1 ，所以P ABC P A P B P C ，
2
（3）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
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记 Ei i 1 2
1
，，3 为第 i次抛掷这个正八面体发生事件 AB，则 P Ei P AB ，4
所以事件 AB只发生1次的概率为：
P E1 P E2 P E3 P E1 P E2 P E3 P E1 P E2 P E3
1 3 3 3 1 3 3 3 1 27
．
4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
c b217.（1）因为 a 1， e 1 2 1 b
2 3，
a a
2
所以b2
y
8，故C的标准方程为 x2 1 .
8
（2）证明：设直线 AB的方程为 x ty n， A x1, y1 ， B x2 , y2 .
2
x2
y
1
由 8 ，得 8t 2 1 y2 16nty 8n2 8 0，
x ty n
2
则 y1 y
16nt
8n 82 2 ， ， 0，8t 1 y1y2
8t
2 1
又M 1,0 ，则MA x1 1，y1 ty1 n 1，y1 ，MB x2 1，y2 ty2 n 1，y2 ，

因为MA MB 0，所以 ty1 n 1 ty2 n 1 y1y2 0，
即 t 2 1 y1y2 t n 1 y 21 y2 (n 1) 0，
t 2 1 8n
2 8 t n 1 16tn即 2 (n 1)2 0 ，8t 1 8t 2 1
t 2即 1 8n2 8 16t 2n n 1 8t 2 1 (n 1)2 0，
9
整理得 7n2 2n 9 0，解得 n 或 1，
7
当 n 1时，直线 AB : x ty 1，直线 AB过点M 1,0 ，不符合题意，舍去；
9 9
当 n 时，直线 AB : x ty 9 ，则直线 AB过定点 , 0 .7 7 7
9
综上，直线 AB过定点 , 0 ．
7
uuur r
18. （1）设 C1CB C1CD BCD ，CB a，CD b，CC1 c，则 a b ，
由题意可得 BD BC CD CD CB b a，
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CC BD c b a b c cos c 则 1 a cos c cos b a 0，

故CC1 BD，即CC1 BD；
CD
（2）当 1 AC C BDCC 时， 1 平面 1 ，证明如下：1
设CC1 ta时， A1C 平面C1BD，由 BD,C1D 平面C1BD，
则 A1C BD， AC C D， 1 1
又CA CB CD CC a b c，
1
BD b a，DC1 CC1 CD c b ，
有CA1 BD a

b c · b a
2
a b cos b b c cos a 2 a b cos a c cos
2
b a 2

b a c cos ，

由 a b ，则CA1 BD 0恒成立，即恒有 A1C BD，

有CA

1 DC1 a b c · c b
2 2
a c cos b c cos 2 c a c cos b b c cos c 2 b 0，
CD
则 c

b ，故当且仅当 1时， A1C 平面C1BDCC ；1
（3）取 BD中点O，连接C 1O，由 BCD 60 ，且底面 ABCD是菱形，
故点O即为菱形 ABCD的对角线交点，且△BCD为等边三角形，
则C1O 底面 ABCD，又CA 平面 ABCD，则C1O CA，

C1O C C
1
1 CD CB 1 a 1 b c ，2 2 2 CA CD CB a b，
1 1 则C1O CA a b c · a b2 2
1 2 1 1 1 2 a a b cos a c cos a b cos b b c cos
2 2 2 2
1 2 2a b 1 1 a b c 2 2 2 a b 0，
a 2
2
b a

b 3 a 2 3 a

3a 2
2
c
3a 6a
即有 ，则CO a b 2 a 2 1
，
2 2 2
过点O作OE BC于点 E，则 C EO 即为平面C1BC1 与平面 ABCD所成角的平面角，
1
由 OE BC 2 S 3 BC 2 3 BCD ，则OE BC
3
a，
2 4 4 4
6a
tan C EO C 1O 2则 2 2 ，则 cos C
1 1
1 1
EO
2 3，OE 3 2 2 1a
4
1
即平面C1BC 与平面 ABCD的夹角的余弦值为 .3
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x319. （1）点 (2,0)不在方程 : x3 (x 2)y2 0上，故该式可化为 y2 ，
2 x
x3
则 0且 2 x 0，则 x3(2 x) 0且 x 2，可得0 x 2 .
2 x
故蔓叶线 的横坐标的取值范围为[0, 2) .
y
（2）设 B(2, y )(y 0)，已知直线OB的方程为 y kx(k 00 0 )，将其代入圆C的方程 (x 1)2 y2 1，2
进行整理得 (1 k 2 )x2 2x 0,
2 2
解得 x 0或 x 2 ，因为 A点不是原点，所以 A点横坐标为 x 1 k A 1 k 2
.

已知OM AB,B(2, y0)，设M (xM , yM )，

根据向量坐标运算，OM (xM , yM ),AB (2
2
2 , y0 yA)，因为 yM kxM ，所以1 k
2 2k 2 2k 3xM 2 ， y kx .1 k 2 1 k 2 M M 1 k 2
2k 2 6( )3
8k
2 3 2 2 3 6
将 x 2kM 代入蔓叶线方程 y
2 x (1 k ) 4k的右边，得： 1 k ，
1 k 2 2 x 22 2k 2 2k
2 2k 2 (1 k 2)2
1 k 2 1 k 2
2k 3 4k 6y2 ( 2而 M 1 k 2
) ，
(1 k 2)2
x3y2 M即 M ，2 xM
点M 的坐标满足蔓叶线方程，因此点M 在蔓叶线 上.
（3）将直线OP 2i 方程 y kix与圆方程 (x 1) y2 1联立，
1 k 2 x2 2得 i 2x 0，解得 x 1 k 2 或 x 0（舍去）. i
2 2k 2i 1 1 ki 1 1
故Qi (1 k 2
,
1 k 2
)，因此 (k )，
i i yi 2k 2
i
i ki
1 1 1 1
(k k k ) 1 k ( 1k2 k2k3 k1k3因此 y 1 2 3
)
1 y2 y3 2 2 k
.
1k2k3
mx ny 1
2 2
齐次化联立直线 l0 :mx ny 1(m n 0)与蔓叶线方程 x32 ，

y
2 x
x3y2得到 ,整理得 2ny3 (2m 1)xy2 x3 0 ，
2(mx ny) x
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即 2n( y )3 (2m 1)( y )2 1 0，
x x
y
根据方程联立的意义可知，所得的关于 的一元三次方程的三个根即为 k1,k ,k ，x 2 3
0
结合韦达定理可知， k1k2 k1k3 k2k3 0 .2n
又 k1 k2 k3 2，
1 1 1 1 1 k k k k k k
(k k k ) ( 1 2 2 3 1 3 )
y1 y2 y3 2
1 2 3 2 k1k2k
=1.
3
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