数学参考答案
一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确
的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. D. 2. A． 3. C. 4. B 5. D. 6. C. 7. A 8. B.
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. AC 10. ACD. 11. ACD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12. 3．
13. 7
1 1 1
14. 1,0 ， , ,02 4 4 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2
15. （1）原式 sin2 60 1 3 3 1 1 1 cos2 30 sin 30 2 ； 2 2 2
（2）因为点 P 4,3 在角 终边上，所以 sin 3 , cos 4 ，
5 5
化简：
cos
sin
2 sin sin sin sin sin 3 .
cos 11
sin 9 cos 6 sin 4 sin cos cos 4
2 2 2 2
16. （1）函数 f (x) (2x )2 4 2x 1，令2x t，则 f (x) g(t) t 2 4t 1，
当 x [ 1,3] 1 1时，则 t [ ,8]，函数 g(t)在[ , 2)上单调递减，在 (2,8]上单调递增，
2 2
g 1 3而 , g 8 33，所以函数 f (x)在[ 1,3]上的最大值为 33.
2 4
（2）由（1）知，函数 f (x) (2x 2)2 3，函数 t 2x 在R 上单调递增，
函数 y (t 2)2 3在[2, )上单调递增，因此函数 f (x)在[1, )上单调递增，
由 a 0, x [1,13]，得 x 3 1, (x 2a)2 1，则由 f (x 3) f [(x 2a)2 ]，得 x 3 (x 2a)2，
依题意， x 3 (x 2a)2对 x [1,13]恒成立，则 x x 3 2a在[1,13]上恒成立，
x x 3 ( x 3)2 x 3 3 ( x 3 1)2 13 ，
2 4
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当 x [1,13]时， x 3 [2,4]，则当 x 3 2，即 x 1时， x x 3取得最大值 1，
1 1
因此 2a 1，解得 a ，所以实数 a的取值范围为[ , ) .
2 2
17. （1）由题意，选择模型①，
将 (2, 40)， (3,58)分别代入①式可得：
b
c 40 2
，解得b 108， c 94，
b c 58
3
y 108所以 94(x N*)， (4,67)也满足该式.
x
当 x 8时， y 80.5，
即按该模型预测，该视频号 2028年的观看人次达到 80.5（单位：十万人），
所以 2028年该视频号观看人次能超过 80（单位：十万人）.
（2）（i）由题意，选择模型②，
m 3 n 28
(1,28) (2,40) 2将 ， 分别代入②式可得： ，解得m 16，n 4，
m 3 ( )2 n 40
2
y 3所以 16 ( )x 4(x N*)， (3,58)， (4,85)均满足该式.
2
（ii）该视频号观看人次超过 200（单位：十万人），
3 x 3 x 49
即不等式16 ( ) 4 200，所以 ( ) ，
2 2 4
3 49
不等式两边同时取常用对数得， x lg( ) lg ，
2 4
lg 49
x 4 2lg7 2lg 2 2 0.85 2 0.3 55所以 3 6.1，lg lg3 lg 2 0.48 0.3 9
2
即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到 2027年，
该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”.
18. 1 3m 2 n 3n 2 n m 1 n 1（ ） 3 m 3 2 2n
x
设 h x 3x 1 x ，设 y1 3x , y
1 1
2 x
2 2
，
2
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易得 y1, y2在R 上为增函数，
则 h x 为增函数，
而 h m h n ，即m n .
m n
（2）由题意知： a 0,1 , 1 loga n 2 1 loga m 2
f (x) log x 4 a log
8
a 1 ， x 4 x 4 0，解得 x 4或 x< 4x 4 x 4
8
设 y3 1 ， x , 4 4, ，x 4
8
因为反比例函数 y4 在 , 0 和 0, 上单调递增，x
通过向左平移 4个单位，再向上平移 1个单位即可得到 y3 ，
则函数 y3 1
8
在 , 4 和 4, 上单调递增，
x 4
根据复合函数单调性知 f x 在 , 4 和 4, 的范围内各自单调递减，
m 2 0
而 ，且m n，故 2 m n，
n 2 0
因为定义域为 m,n ，故 4 m n，
根据 f x 在 4, 上单调递减，
log m 4 a log a m 2
m 4
a
，
log n 4a logaa n 2 n 4
m,n t 4是方程 a t 2 上两个大于 4的根，
t 4
at2 2a 1 t 4 8a 0上有两个大于 4的根，
Δ (2a 1)2 16a 1 2a 0
2
则有 a 4 2a 1 4 4 8a 0 ，
1 2a 4
2a
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a 1 a 1 或
2 18
a 0 a
0, 1 18
.
0 a 1
10
19. (1)令 x1 x2 0 ,代入 f x1 x2 f x1 f x2 可得： f (0) f (0) f (0)即： f (0) 0 ,
又由条件①得： f (0) 0 ,故： f (0) 0；
x2(2)对于函数 f (x) x , x [0,1] ,易得其值域 f (x) [0,1] ,满足①要求；其中 f (1) 1 .满足②要求,若
2
x1 0 , x2 0 , x1 x2 1 ,
2 2 2
f x1 x2 f x f x
x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x 2
1 2 x x2 1 2
0
2 2
2
故满足③,综上所述：函数 f (x) x x , x [0,1]是理想函数；
2
(3)取0 x1 x2 1 ,则：0 x2 x1 1 ,因此：f x2 f x1 f x2 x1 f x1 假设：f x0 x0 ,
若 f x0 x0 ,则 f f x0 f x0 x0；若 f x0 x0 ,则 f f x0 f x0 x0 ,都与题设矛盾,
所以假设不成立,则 f x0 x0 .
第 4 页 共 4 页襄阳四中 2025级高一上学期质量检测四
数学试题
一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
x2 , x 0,f x
1. 已知函数 lnx, x 0, f f则 e （ ）
A. e2 B. e C. 2 D. 2
2. 已知命题 p： x 1， x2 2x 3 0，则 p为（ ）
A. x 1， x2 2x 3 0 B. x 1， x2 2x 3 0
C. x 1， x2 2x 3 0 D. x 1， x2 2x 3 0
1
2 2
3. 1已知幂函数 f x m 1 x2m 7m （2 m R）在 0, 上单调递减，设 a 34 ,b log5 ,c log3 54
，
则 f a , f b , f c 大小关系为（ ）
A. f a f b f c B. f c f a f b
C. f a f c f b D. f b f c f a
4. 下列结论正确的是（ ）
πA. 若角 ，则角 是第一象限角
4
π
B. 若角 ，则角
17π
与角 的终边相同
9 9
C. 若角 为锐角，则角 2 为钝角
P 3，4 cos 4D. 若角 的终边上有一点 ，则
5
5. 已知函数 y 2ax 2b（ a 0,b 0 4 1）的图象过函数 f x mx 1 1(m 0,m 1)图象的定点，则
a b
的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
6. 已知函数 f x m 2x 2 x 2mx, g x x2 2mx 1，曲线 f x 和 g x 恰有一个交点，则m
（ ）
A. 1 B. -1 C.
1
2 D. 0
x m x 2
7. 已知函数 f x 2 ，若仅存在一个整数b，使得方程 f x b有 4个不同的实
x 2mx 4m x 2
根，则实数m的取值范围是（ ）
A. 2,3 B. 2,3 C. 2,2 D. 1,3
x
8. 已知实数 x1, x2是函数 f (x)
1 log2 (x 1) 的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
2
A. x1 1 x2 1
1 1
0,
B. x1 1 x2 1
,1
2 2
C. x1 1 x2 1 1,2 D. x1 1 x2 1 ,1
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ x R， sinx 1”的否定是“ x R，sinx 1”
B. 若
π
是第二象限角，则 sin , tan π 2 在第二象限
C. 已知扇形的面积为 4，周长为 10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 12
D. 若角 的终边过点 (a, 2a)(a 0)，则 sin 2 5
5
10. 设函数 y f x 的定义域为R，且满足 f x 1 为奇函数， f x 1 为偶函数，当 x 1,1 时，
f x 1 x ，则（ ）
A. f 2026 1 B. f x 在 2,3 上单调递减
C. y f x 5 为奇函数 D. 方程 f x lg x 仅有 10个不同实数解
1 x
11. 已知 f x ，下列说法正确的是（ ）
1 3x
A. f x 1的解集为{x | 0 x 1 }
3
B. 存在实数m，使函数 y f x m有三个零点
C. 对任意 k 0，存在实数b，使方程 f x kx b恒有两解 x1, x2且 x1 x2为定值
D. 若 f1 x f f x , f2 x f f1 x , , fn 1 x f fn x ，则 f1 1 f2 1 f2025 1 0
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
1
log 1
12. 计算： (81) 4 log23 log34 7
7 3 _____．
16
13. 设方程3x x 4 0的根为 ，方程 log x x 4 0的根为 ，则3 3 log3 3的值为_________．
3x x2 , x 0
14. 已知函数 f x x ，若关于 x的方程 f x a有 2个不同的实根，则实数 a的取值范围
2 1, x 0
为________；若关于 x的方程 2 f 2 x 1 4a f x 2a 0有 4个不同的实根，则实数 a的取值范围
为________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值： sin2120 cos180 tan 45 cos2 330 sin 210 ；
cos sin 2
（2）已知角 终边上的一点 P 4,3 ，求 的值.
cos 11 sin
9
2 2
16. 已知函数 f (x) 22x 2x 2 1．
（1）求函数 f (x)在区间[ 1,3]上的最大值；
（2）当a 0, x [1,13]时，不等式 f (x 3) f [(x 2a)2 ]恒成立，求实数 a的取值范围．
17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于 2021年年初开通了“优秀传统文化”
视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，
以 2021年作为第 1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表：
第 x年 1 2 3 4
观看人次（十
35 40 58 67
万）
为了描述年数 x与第 x年该视频号观看人次 y（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：
b
① y c(b 0)；② y m (3)x n(m 0)；③ y px q(p 0) .
x 2
（1）由于视频号初创，监测系统对 2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选
出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测 2028年的观看人次能否超过 80（单位：
十万）；
（2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系
统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为 28（单位：十万），2024年的观看人次修正为 85（单位：十
万）
（i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式；
（ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过 200（单位：十万），其运营团队可被评为“优
秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为
“优秀文化传播集体”？（参考数据： lg 2 0.30， lg3 0.48， lg 7 0.85 .）
18. 已知m 0,n 0,3m 2 n 3n 2 m .
（1）证明：m n；
（2）若函数 f x log x 4 a (a 0,a 1) ，当定义域为 m,n 时，值域为x 4
1 loga n 2 ,1 loga m 2 ，求实数 a的取值范围.
19. 对于定义域为 [0,1]的函数 f x ，如果同时满足以下三个条件：①任意的 x [0,1]，总有 f (x) 0；
② f (1) 1；③若 x1 0，x2 0，x1 x2 1，总有 f x1 x2 f x1 f x2 成立,则称函数 f (x)为
理想函数.
（1）证明：若函数 f (x)为理想函数，则 f (0) 0；
x2 x
（2）证明：函数 f (x) ， x [0,1]是理想函数；
2
（3）证明：若函数 f (x)为理想函数，假定存在 x0 [0,1]，使得 f x0 [0,1]且 f f x0 x0，则
f x0 x0 .
