冀教版七（下）数学 第六章 二元一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．（2025七下·金华期末） 下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·德清期末） 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·雨花期末）若是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2025七下·宁波期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如：明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是( ).
A．-1，1 B．1，3 C．3，1 D．1，1
6．（2024七下·新泰月考）若是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·南湖期中）已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当与相等时，解得：②当与互为相反数时，解得；③若，则；④无论为何值，与的值一定满足关系式.其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025·雨花期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025七上·平南期末）为了“践行垃圾分类助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 时，下列解法未实现这一转化的是( )
A．由①-②，②-③，得
B．由①-②，①×2-③，得
C．由①-③，①×2-②，得
D．由②-③，②×2-①，得
12．（2025七下·惠州期末）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．已知二元一次方程组 则2m-n的值为 .
14．（2025·浙江竞赛）已知关于x与y的方程组，那么当a= 方程无解，当a= 方程有无穷多的解。
15．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
16．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25 朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了 2900 朵红花、3750 朵紫花，则黄花一共用了 朵.
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025七上·澧县期末）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·嘉兴月考）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程．
19．（2025七上·冷水江期末）《算法统宗》中有这样一首诗：
巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧．
请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题．
20．（2025八上·禅城期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数．
（1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲： 乙：
根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义：
甲：表示______________；乙：表示_______________．
（2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题．
21．（2025七上·桂林期末）某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满．
（1）求七年级师生的总人数；
（2）已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？
22．（2025·广东模拟）【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张矩形纸板．
操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．
计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
23．（2024七下·拱墅期中）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：
（1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度；
（2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？
24．（2025八上·义乌开学考）根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 2分
合格 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 1分
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
A、方程中只含有一个未知数，不符合二元一次方程的概念，A错误；
B、方程中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1次，符合二元一次方程的概念，B正确；
C、方程中含有两个未知数，但含有未知数的项的次数为2次，不符合二元一次方程的概念，C错误；
D、方程含有两个未知数，但含有未知数y的项的次数为-1次，不符合二元一次方程的概念，D错误.
故答案为：B.
【分析】方程既需要符合含有两个未知数，又需要符合含有未知数的项次数都是一次，根据二元一次方程的定义即可作出判断。
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得
故答案为： A.
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
3．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程 得
解得a=-1
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的解的定义可知，能使方程左右两边相等，因此代入方程得到关于a的一元一次方程，求解即得。
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得：10x-4y=8，
得：-10x-15y=-45，
∴得-19y=-37即可消去x，
故答案为：C.
【分析】根据加减消元法的原理将x项的系数变形成相反时即可消去x.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
故答案为：C
【分析】根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：是关于，的二元一次方程，
，，
解得：．
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义可得：未知数的次数为1，且系数不能为0，即可得出关系式：，
解方程，求出mn的值，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；相反数的意义与性质；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
由②得：x=2y+k+6③，
把③代入①中，得：④
把④代入③中，得：，
∴原方程组的解为
①当x与y相等时，x=y，
即
解得：k=-4，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴x+y=0，
即，
解得：k=3，
∴②正确；
③4x·8y=32，
∴(22)x·(23)y=25，
∴22x·23y=25
∴22x+3y=25，
∴2x+3y=5，
将方程组的解代入得：
解得：k=11，
∴③正确；
④
①-②×2得x+5y=-12，
即x+5y+12=0.
∴④正确.
综上所述，①②③④都正确
故答案为：D.
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x=y列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k即可得到x，y的关系.
9．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：①+②得：
3x+6y=3k+1，
∴x+2y=k+.
∵x+2y>-1，
∴k+>-1，
∴k>.
故答案为：A.
【分析】先把方程组的两个方程相加，即可得到：x+2y=k+.再由x+2y>-1，得到：k+>-1，解不等式即可得到答案.
10．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，
根据题意可得，
故答案为：A.
【分析】设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，利用“ 我比你多收集了5节废电池 ”和“ 如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍 ”列出方程组即可.
11．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A.由(1)-(2)，(2)-(3)得 未实现转化，故A符合题意；
B.由(1)-(2)，(1)×2-(3)得 实现了转化，故B不符合题意；
C.由(1)-(3)，(1)×2-(2)得 实现了转化，故C不符合题意；
D.由(2)-(3)，(2)×2-(1)得 实现了转化，故D不符合题意。
故选：A
【分析】根据消元法是三元一次方程组转化为二元一次方程组解答即可.
12．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，
∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
【分析】
本题考查了新定义运算（铺地锦乘法）、有理数的乘法和一元一次方程组．理解“铺地锦‘是两位数乘法（各位数字相乘，斜行相加），结合格子中数字建立等式，分析选项.
13．【答案】7
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 已知二元一次方程组 ，
将方程①和方程②相加，即等号左侧相加等于右侧相加，
(m-2n)+(m+n)=8+(-1)，
化简得：2m-n=7，
故答案为：7.
【分析】通过观察方程组中两个方程的系数特点，发现将两个方程相加，能句够直接得到2m-n的表达式，从而求出其值。
14．【答案】-1；2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由ax+2y=1+a得2y=(1+a)-ax，
将2y=(1+a)-ax代入2x+2(a-1)y=3，
化简整理得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2).
当(a-2)(a+1)=0，(a-2)(a+2)≠0，即a=-1时，方程组无解；
当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0，即a=2时，方程组有无穷多组解.
故答案为：-1；2.
【分析】代用代入消元法求出用含a的式子表示x的值，然后根据一元一次方程根的情况解答即可.
15．【答案】99
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴a+b=99
故答案为：99
【分析】根据题意建立方程组，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
16．【答案】4380
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲盆景x盆，乙盆景 y 盆，丙盆景z 盆，
根据题意得： 得
所以共用了黄花24x+12y+18z=18(x+z)+6(x+2y)=18×150+6×280=4380(朵).
故答案为：4380.
【分析】本题首先根据条件“ 盆景一共用了 2900 朵红花 ”，结合“ 甲种盆景由15朵红花、 乙种盆景由10朵红花 、 丙种盆景由10朵红花 ”，因此列式为15x+10y+10z=2900；再根据条件“ 3750 朵紫花 ”和“ 甲种盆景有25朵紫花、丙种盆景有25 朵紫花 ”，因此列式为25x+25z=3750，此时即可求出x+2y=280、x+z=150，最后再结合条件“ 甲种盆景24朵黄花、 乙种盆景12朵黄花、 丙种盆景18朵黄花 ”，列式24x+12y+18z，并进行因式分解变形，最后代入计算即可。
17．【答案】（1）解：，
由①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以该方程组的解是
（2）解：，
方程组可化为，
由，得③，
③①，得，解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将两个方程相加先消去ｙ解出ｘ，再将ｘ的值代入方程即可解出方程组的解；
（2）先将原方程组化简，再根据加减消元法解方程组即可．
（1）解：，
由①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以该方程组的解是；
（2）解：，
方程组可化为，
由，得③，
③①，得，解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是．
18．【答案】33
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分，
根据题意得：，
得：，
∴小红得分为33分．
故答案为：33.
【分析】设投中小圈得x分，投中大圈得y分，利用图形，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分．
19．【答案】解：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得：
，解得，
所以
答：寺内有624个和尚．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，列出方程组：，进行求解即可．
20．【答案】（1）工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度.
（2）解：选第一种：，解得：，
∴工程队用时10天，工程队用时20天.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【解答】（1）解：观察甲、乙两位同学分别列出方程组，结合题意得：
甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度.
故答案为：工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度.
【分析】（1）观察甲、乙两位同学分别列出方程组，结合题意得：甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度.
（2）选第一种：，解出即可.
（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数，
乙：表示工程队整治道路的总长度；
（2）解：选第一种：，
解得，
答：工程队用时10天，工程队用时20天；
选第二种：，
解得：，
工程队用时：，
工程队用时：，
答：工程队用时10天，工程队用时20天．
21．【答案】（1）解：设七年级师生的总人数为x人，
根据题意得：，
解得：，
答：七年级师生的总人数为480人．
（2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，
根据题意得：，
∵x、y为非负整数，
∴或或，
满足条件的所有租车方案有：
方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；
方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；
方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；
方案一费用：（元），
方案二费用：（元），
方案三费用：（元），
∵，
∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设七年级师生的总人数为x人，利用“车辆座位的数量不变”列出方程，再求解即可；
（2）设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，利用“七年级师生的总人数为480人”列出方程，再求解即可.
（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得：
，
解得：，
答：七年级师生的总人数为480人．
（2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得：
，
∵x、y为非负整数，
∴或或，
满足条件的所有租车方案有：
方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；
方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；
方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；
方案一费用：（元），
方案二费用：（元），
方案三费用：（元），
∵，
∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱．
22．【答案】解：∵矩形纸板的周长为，
∴．
又∵与的长度比为，设，，
∴，即，
解得．
∴，．
设折成的长方体底面正方形的边长为．
观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高．
即（为长方体的高）
∴，即，
解得．
把代入，可得，
解得．
∴长方体的长、宽均为、高为．
∴．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形周长可得，设，，根据题意建立方程，解方程可得，则，，设折成的长方体底面正方形的边长为，观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高，建立方程组，解方程可得y，h，再根据矩形体积即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，
根据题意得：，
解得：．
答：一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是；
（2）解：根据题意得：
答：总高度是99.2厘米．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，由题意得等量关系：①一张凳子腿的高度+3张凳面的高度=，②一张凳子腿的高度+5张凳面的高度=，根据等量关系列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）根据一张凳子腿的高度+20张凳面的高度即可求出20张塑料凳整齐地叠放在一起时的总高度．
24．【答案】（1）解：(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，则，
解得
∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做了面小旗子.
（2）解：①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，
则5x+3(x+y)=60，
∴8x+3y=60，
∴
∵x，y为正整数，
∴或
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元
当时，则费用为3×4+12×3=12+36=48(元)，
当时，则费用为6×4+4×3=24+12=36(元)
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为36元.
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸.
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸16张，则赠送B卡纸16张，
此时费用为16×4=64<65.
设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子，(16-n)张做小灯笼.
∴
解得：，
∴A卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，B卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子(面) 小灯笼(个) 小旗子(面) 小灯笼(个)
30 30 30 12
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和了张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可：
(2)①设购买A卡纸x张，B卡纸v张，则赠送了B卡纸x张，可得5x+3(x+y)=60，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；
②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸，可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸16张，则赠送E卡纸16张，此时费用为16×4=64<65，设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子(16-n)张做小灯笼，再建立方程组可得答案.
1 / 1冀教版七（下）数学 第六章 二元一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．（2025七下·金华期末） 下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
A、方程中只含有一个未知数，不符合二元一次方程的概念，A错误；
B、方程中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1次，符合二元一次方程的概念，B正确；
C、方程中含有两个未知数，但含有未知数的项的次数为2次，不符合二元一次方程的概念，C错误；
D、方程含有两个未知数，但含有未知数y的项的次数为-1次，不符合二元一次方程的概念，D错误.
故答案为：B.
【分析】方程既需要符合含有两个未知数，又需要符合含有未知数的项次数都是一次，根据二元一次方程的定义即可作出判断。
2．（2025七下·德清期末） 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得
故答案为： A.
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
3．（2025七下·雨花期末）若是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程 得
解得a=-1
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的解的定义可知，能使方程左右两边相等，因此代入方程得到关于a的一元一次方程，求解即得。
4．（2025七下·宁波期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得：10x-4y=8，
得：-10x-15y=-45，
∴得-19y=-37即可消去x，
故答案为：C.
【分析】根据加减消元法的原理将x项的系数变形成相反时即可消去x.
5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如：明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是( ).
A．-1，1 B．1，3 C．3，1 D．1，1
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
故答案为：C
【分析】根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
6．（2024七下·新泰月考）若是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：是关于，的二元一次方程，
，，
解得：．
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义可得：未知数的次数为1，且系数不能为0，即可得出关系式：，
解方程，求出mn的值，即可得出答案。
7．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
8．（2025七下·南湖期中）已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当与相等时，解得：②当与互为相反数时，解得；③若，则；④无论为何值，与的值一定满足关系式.其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；相反数的意义与性质；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
由②得：x=2y+k+6③，
把③代入①中，得：④
把④代入③中，得：，
∴原方程组的解为
①当x与y相等时，x=y，
即
解得：k=-4，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴x+y=0，
即，
解得：k=3，
∴②正确；
③4x·8y=32，
∴(22)x·(23)y=25，
∴22x·23y=25
∴22x+3y=25，
∴2x+3y=5，
将方程组的解代入得：
解得：k=11，
∴③正确；
④
①-②×2得x+5y=-12，
即x+5y+12=0.
∴④正确.
综上所述，①②③④都正确
故答案为：D.
【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据x=y列出方程，求出k即可判断；②根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出k即可判断；③把底数统一化成k，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出k；④在原方程中，我们消去k即可得到x，y的关系.
9．（2025·雨花期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：①+②得：
3x+6y=3k+1，
∴x+2y=k+.
∵x+2y>-1，
∴k+>-1，
∴k>.
故答案为：A.
【分析】先把方程组的两个方程相加，即可得到：x+2y=k+.再由x+2y>-1，得到：k+>-1，解不等式即可得到答案.
10．（2025七上·平南期末）为了“践行垃圾分类助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，
根据题意可得，
故答案为：A.
【分析】设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，利用“ 我比你多收集了5节废电池 ”和“ 如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍 ”列出方程组即可.
11．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 时，下列解法未实现这一转化的是( )
A．由①-②，②-③，得
B．由①-②，①×2-③，得
C．由①-③，①×2-②，得
D．由②-③，②×2-①，得
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A.由(1)-(2)，(2)-(3)得 未实现转化，故A符合题意；
B.由(1)-(2)，(1)×2-(3)得 实现了转化，故B不符合题意；
C.由(1)-(3)，(1)×2-(2)得 实现了转化，故C不符合题意；
D.由(2)-(3)，(2)×2-(1)得 实现了转化，故D不符合题意。
故选：A
【分析】根据消元法是三元一次方程组转化为二元一次方程组解答即可.
12．（2025七下·惠州期末）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．b的值为6
B．a为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．a的值小于3
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，
∴，
∴，
∴D正确；
∴，
∴B正确，D不正确；
∴乘积结果可以表示为．
∴C正确．
故选：D．
【分析】
本题考查了新定义运算（铺地锦乘法）、有理数的乘法和一元一次方程组．理解“铺地锦‘是两位数乘法（各位数字相乘，斜行相加），结合格子中数字建立等式，分析选项.
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．已知二元一次方程组 则2m-n的值为 .
【答案】7
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 已知二元一次方程组 ，
将方程①和方程②相加，即等号左侧相加等于右侧相加，
(m-2n)+(m+n)=8+(-1)，
化简得：2m-n=7，
故答案为：7.
【分析】通过观察方程组中两个方程的系数特点，发现将两个方程相加，能句够直接得到2m-n的表达式，从而求出其值。
14．（2025·浙江竞赛）已知关于x与y的方程组，那么当a= 方程无解，当a= 方程有无穷多的解。
【答案】-1；2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由ax+2y=1+a得2y=(1+a)-ax，
将2y=(1+a)-ax代入2x+2(a-1)y=3，
化简整理得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2).
当(a-2)(a+1)=0，(a-2)(a+2)≠0，即a=-1时，方程组无解；
当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0，即a=2时，方程组有无穷多组解.
故答案为：-1；2.
【分析】代用代入消元法求出用含a的式子表示x的值，然后根据一元一次方程根的情况解答即可.
15．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
【答案】99
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴a+b=99
故答案为：99
【分析】根据题意建立方程组，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
16．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25 朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了 2900 朵红花、3750 朵紫花，则黄花一共用了 朵.
【答案】4380
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲盆景x盆，乙盆景 y 盆，丙盆景z 盆，
根据题意得： 得
所以共用了黄花24x+12y+18z=18(x+z)+6(x+2y)=18×150+6×280=4380(朵).
故答案为：4380.
【分析】本题首先根据条件“ 盆景一共用了 2900 朵红花 ”，结合“ 甲种盆景由15朵红花、 乙种盆景由10朵红花 、 丙种盆景由10朵红花 ”，因此列式为15x+10y+10z=2900；再根据条件“ 3750 朵紫花 ”和“ 甲种盆景有25朵紫花、丙种盆景有25 朵紫花 ”，因此列式为25x+25z=3750，此时即可求出x+2y=280、x+z=150，最后再结合条件“ 甲种盆景24朵黄花、 乙种盆景12朵黄花、 丙种盆景18朵黄花 ”，列式24x+12y+18z，并进行因式分解变形，最后代入计算即可。
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025七上·澧县期末）解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
由①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以该方程组的解是
（2）解：，
方程组可化为，
由，得③，
③①，得，解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将两个方程相加先消去ｙ解出ｘ，再将ｘ的值代入方程即可解出方程组的解；
（2）先将原方程组化简，再根据加减消元法解方程组即可．
（1）解：，
由①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以该方程组的解是；
（2）解：，
方程组可化为，
由，得③，
③①，得，解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是．
18．（2025七下·嘉兴月考）小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程．
【答案】33
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分，
根据题意得：，
得：，
∴小红得分为33分．
故答案为：33.
【分析】设投中小圈得x分，投中大圈得y分，利用图形，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分．
19．（2025七上·冷水江期末）《算法统宗》中有这样一首诗：
巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争．
三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧．
请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题．
【答案】解：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得：
，解得，
所以
答：寺内有624个和尚．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，列出方程组：，进行求解即可．
20．（2025八上·禅城期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数．
（1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲： 乙：
根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义：
甲：表示______________；乙：表示_______________．
（2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题．
【答案】（1）工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度.
（2）解：选第一种：，解得：，
∴工程队用时10天，工程队用时20天.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【解答】（1）解：观察甲、乙两位同学分别列出方程组，结合题意得：
甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度.
故答案为：工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度.
【分析】（1）观察甲、乙两位同学分别列出方程组，结合题意得：甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度.
（2）选第一种：，解出即可.
（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数，
乙：表示工程队整治道路的总长度；
（2）解：选第一种：，
解得，
答：工程队用时10天，工程队用时20天；
选第二种：，
解得：，
工程队用时：，
工程队用时：，
答：工程队用时10天，工程队用时20天．
21．（2025七上·桂林期末）某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满．
（1）求七年级师生的总人数；
（2）已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？
【答案】（1）解：设七年级师生的总人数为x人，
根据题意得：，
解得：，
答：七年级师生的总人数为480人．
（2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，
根据题意得：，
∵x、y为非负整数，
∴或或，
满足条件的所有租车方案有：
方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；
方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；
方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；
方案一费用：（元），
方案二费用：（元），
方案三费用：（元），
∵，
∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设七年级师生的总人数为x人，利用“车辆座位的数量不变”列出方程，再求解即可；
（2）设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，利用“七年级师生的总人数为480人”列出方程，再求解即可.
（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得：
，
解得：，
答：七年级师生的总人数为480人．
（2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得：
，
∵x、y为非负整数，
∴或或，
满足条件的所有租车方案有：
方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；
方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；
方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；
方案一费用：（元），
方案二费用：（元），
方案三费用：（元），
∵，
∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱．
22．（2025·广东模拟）【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张矩形纸板．
操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒．
计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
【答案】解：∵矩形纸板的周长为，
∴．
又∵与的长度比为，设，，
∴，即，
解得．
∴，．
设折成的长方体底面正方形的边长为．
观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高．
即（为长方体的高）
∴，即，
解得．
把代入，可得，
解得．
∴长方体的长、宽均为、高为．
∴．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形周长可得，设，，根据题意建立方程，解方程可得，则，，设折成的长方体底面正方形的边长为，观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高，建立方程组，解方程可得y，h，再根据矩形体积即可求出答案.
23．（2024七下·拱墅期中）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题：
（1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度；
（2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？
【答案】（1）解：设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，
根据题意得：，
解得：．
答：一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是；
（2）解：根据题意得：
答：总高度是99.2厘米．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，由题意得等量关系：①一张凳子腿的高度+3张凳面的高度=，②一张凳子腿的高度+5张凳面的高度=，根据等量关系列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）根据一张凳子腿的高度+20张凳面的高度即可求出20张塑料凳整齐地叠放在一起时的总高度．
24．（2025八上·义乌开学考）根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 2分
合格 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 1分
【答案】（1）解：(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，则，
解得
∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做了面小旗子.
（2）解：①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，
则5x+3(x+y)=60，
∴8x+3y=60，
∴
∵x，y为正整数，
∴或
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元
当时，则费用为3×4+12×3=12+36=48(元)，
当时，则费用为6×4+4×3=24+12=36(元)
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为36元.
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸.
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸16张，则赠送B卡纸16张，
此时费用为16×4=64<65.
设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子，(16-n)张做小灯笼.
∴
解得：，
∴A卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，B卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子(面) 小灯笼(个) 小旗子(面) 小灯笼(个)
30 30 30 12
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和了张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可：
(2)①设购买A卡纸x张，B卡纸v张，则赠送了B卡纸x张，可得5x+3(x+y)=60，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；
②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸，可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸16张，则赠送E卡纸16张，此时费用为16×4=64<65，设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子(16-n)张做小灯笼，再建立方程组可得答案.
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