冀教版七（下）数学 第六章 二元一次方程组 单元测试提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．若 xm-2y (n-2)=2 022 是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是 ( )
A．m=1，n=0 B．m=0，n=1 C．m=2，n=2 D．m=1，n=3
2．（2025八上·深圳期中）下列不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七上·慈利期末）已知是方程的一组解，则m的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2025七下·义乌月考）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”.若关于x，y的方程组是“关联方程组”，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
5．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9 只羊，那么甲的羊数比乙的羊数多1倍；如果甲给乙9 只羊，那么两人的羊数相同，二人闲坐动脑筋，在地上算了很长时间.请问甲、乙各有多少只羊 设甲有x 只羊，乙有y只羊，则下列说法正确的是 ( )
A．列方程为x+9=2(x-18+9)
B．列方程组为
C．列方程组为
D．甲有27只羊，乙有18只羊
6．（2025八上·安州开学考）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2025八上·杭州开学考） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2025七下·绍兴期末） 下表出示两个关于x，y的二元一次方程的部分解，则的值为（ ）
ax-2y=m的解 bx+y=n的解
x -2 -1 0 ... ... x -2 -1 0 ... ...
y 1 3 5 ... ... y 4 3 2 ... ...
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
10．（2025七下·嵊州期末） 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
11．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的长方形ABCD 内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形 ABCD 的一组邻边上.如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ）
A． B．5 C．9 D．10
12．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．（2025七下·南湖期中）已知是二元一次方程的一个解，则 .
14．（2025七下·竞赛）七夕节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”。三种花束的每一束成本分别为a元、b元和C元。已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为 .
15．（2021七下·栾城期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是 cm．
16．（2024九上·重庆市开学考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025七下·龙港期中）解下列方程组：
（1）
（2）
18．（2025·滨州）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组.例如，算筹图1表示的方程组为图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项.请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解.
19．（2025七下·宁波期中）我们定义一个新的概念：“平衡数对”．对于给定的两个数和，当且仅当满足等式时，我们称数对为“平衡数对”．并且，若存在另一个数对，使得，我们称数对为的“衍生数对”．
（1）判断是否为“平衡数对”，并说明理由．
（2）已知数对是“平衡数对”，求出该数对的“衍生数对”．
（3）若数对是“平衡数对”，且其“衍生数对”满足条件：，求出和的值．
20．（2025七下·新昌期末）请同学们根据以下素材，完成探索任务：
素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼.拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共.
素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的10%，而新建教学楼则只完成了计划的80%，实际拆、建总面积与原计划一致.
素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积.
（1）任务1：填表.
原计划 实际
拆除旧教学楼面积() x ▲
新建教学楼面积() y ▲
（2）任务2：求学校实际新建教学楼面积.
（3）任务3：求扩大的绿化面积.
21．（2025七下·浙江期中）某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的KT板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为.
（1）若该广告公司用1块KT板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
（2）求1块KT板的所有无浪费裁切方案；
（3）现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切.
22．（2024七下·钱塘期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
23．（2025七下·温州期中）综合与实践.
【素材1】某工厂计划日生产290件零件.
【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下：
工种 初级工 高级工
日生产量（件/人） 10 16
日薪酬（元/人） 150 480
【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划。
【问题】
（1）若工厂指派10名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？
（2）该工厂每日计划支付薪酬7950元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？
（3）为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案。
24．（2025七下·杭州月考）根据以下素材，探索解决任务。
确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量
素材1 小明与小聪为了测量10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量，准备了足够多的10元纸币，1元硬币和5角硬币（设同种类每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同），实验器材有：一架天平和一个10克的砝码。
素材2 小明：天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡。 小聪：天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡。
素材3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡。 提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡。
问题解决
任务1 确定硬币的质量 每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是多少克？
任务2 确定纸币的质量 每张10元纸币的质量是多少克？
任务3 问题解决的策略 天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，求天平右边有几种放法使天平正好平衡？直接写出天平右边硬币总数最少时面值总和是多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：因为关于x，y的二元一次方程，所以m=1，n-2=1， 解得
m=1，n=3.
故选D.
【分析】根据二元一次方程的定义得到m=1，n-2=1，求出m，n的值解答.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，故A符合题意；
B、该方程组是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、该方程组是二元一次方程组，故C不符合题意；
D、该方程组是二元一次方程组，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程组的定义：含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，逐项进行判段，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】
把解代入方程得关于m的一元一次方程并求解即可．
4．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，x+y=0，
①+②得，2x+2y=4+2a，
即x+y=2+a，
由于x+y=0，
所以2+a=0，
解得a =-2，
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程组解的定义以及二元一次方程组的解法进行计算即可.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：已知甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意，
得
即x+9=2(x-18-9)，
故A，B选项错误，C选项正确；
解方程组得
即甲有63只羊，乙有45 只羊，
故D选项错误.
故选 C.
【分析】根据“甲+9=2（乙-9），乙+9=甲-9”列方程求解即可.
6．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得 ，
故选B．
【分析】根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b即可.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买笔记本x本， 碳素笔 y支，
依题意得：3x+2y=28，其中x，y均为正整数，
∵2y和28均能被2整除，故3x也能被2整除，
∴x为正偶数，即x=2，4，6，8，
故二元一次方程的整数解组合情况为：
，，，，
答：有4种购买方案，分别是①购买笔记本2本， 碳素笔11支；②购买笔记本4本， 碳素笔8支；③购买笔记本6本， 碳素笔5支；④购买笔记本8本， 碳素笔2支；
故答案为：B.
【分析】设购买笔记本x本， 碳素笔 y支，根据购买x本笔记本+购买y支碳素笔的费用=28，列出二元一次方程，再求出其正整数解即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：依题意有，
分别解这两个方程组可得，
∴
故答案为：C .
【分析】在左半边表格里选取两组x、y值代入第一个方程中，可以得到关于a、m的一个二元一次方程，解出a、m的值，同理可以求出b、n的值，再计算a+b+m+n即可。
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：
①×2，得2x＋4y＝2k③，
③ ②得，y＝1 k，
将y＝1 k代入①得，x＝3k 2，
A：当时，，故A错；
B：当时，，故B错；
C：不论k取什么实数，的值始终不变，故C对；
D：当时，方程组的解不满足方程的解，故D错.
故答案为：C .
【分析】解方程组可得y＝1 k，x＝3k 2，再依次对选项进行判断即可．
11．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设较小正方形的边长为x，较大正方形的边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，
∵两个正方形的周长和为45，
∴4x+4y=45，即
∵AD=x+y-a，AB=x+y-b，长方形ABCD 的周长为36，
∴x+y-a+x+y-b=18，即2（x+y）-（a+b）=18，
即
∴阴影部分的周长=2（a+b）=9.
故选C.
故答案为：C
【分析】 设较小正方形的边长为x，较大正方形的边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，根据长方形周长条件列出等式，即可得出答案.
12．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
13．【答案】-8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将已知的解 代入 可得：
把 代入 得：
故答案为：
【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解 代入 可得然后再整体代入代数式即可求解.
14．【答案】1：2：3
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组：
解得
∴a：b：c=a：2a：3a=1：2：3.
故答案为：1：2：3.
【分析】先根据两种不同销售比例下的总利润率列出关于成本a、b、c的方程，再通过解方程组求出a、b、c的比例关系.
15．【答案】20
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，
据此可列：，
解得：，
因此木桶中水的深度为30×=20cm．
故填20．
【分析】考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
16．【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
【分析】①根据“差中数”定义列出方程，解之即可；
②设满足条件的四位自然数是，再根据“差中数”的定义可得，从而得出或，再利用各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
17．【答案】（1）解：
解：将①代入②得，
解得，
将 代入①得，
解得
原方程组的解为
（2）解：
①-②得9у=-9
解得у=-1
将y=-1代入①得2x-3=2
解得
原方程组的解为
（其它解法正确即给分）
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据观察，方程①已经是用一个字母表示另一个字母的形式了，所以直接利用代入消元法，把①代入②，求出y的值，再把y的值代入①，求出x的值即可.
（2）根据观察可以看出，方程①和方程②的x的系数相同，所以直接利用加减消元法，①-②求出y的值，再把y的值代入①求出x的值即可.
18．【答案】解：由题意，得方程组
②×2，得
2x+4y=16.③
③-①，得
y=3
把y=3代入②，得：x+6=8.
x=2
∴这个方程组的解是
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据图1的规律写出图2的方程组，再利用加减消元法计算即可解答.
19．【答案】（1）解：当时，
，
，
，
不是“平衡数对”.
（2）解：数对是“平衡数对” ，
，
解得，
，
该数对的“衍生数对”为.
（3）解：由题意可得，
整理得，
，得，
把代入，得，
，.
【知识点】一元一次方程的其他应用；求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】(1)将a、b得值分别代入等式的两边，求得代数式的值即可判定是否为“平衡数对” .
(2)根据新定义可列出方程，解得，进而求得该数对的“衍生数对”．
(3)根据“平衡数对”和“衍生数对”得定义列出方程组，再通过加减消元法求得m、n得值.
20．【答案】（1）解：1.1x；0.8y
（2）解：由题意，得
解得
2400×0.8=1920(m2)
答：学校实际新建教学楼面积为；
（3）解：（元）
答：扩大的绿化面积为.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：(1)在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的10%，而新建教学楼则只完成了计划的80%，
∴实际拆除旧教学楼的面积为1.1xm2，新建教学楼的面积为0.8ym2，
故答案为：1.1x，0.8y.
【分析】(1)根据实际与原计划拆除旧教学楼及新建教学楼面积间的关系，可用含x，y的代数式表示出实际拆除旧教学楼及新建教学楼的面积；
(2)根据实际拆、建总面积与原计划一致，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入80%y中，即可求出结论；
(3)利用节余的资金=原计划拆除旧教学楼与建造新教学楼所需资金-实际拆除旧教学楼与建造新教学楼所需资金，可求出节余的资金，再利用扩大的绿化面积=节余的资金÷绿化1平方米所需费用，即可求出结论.
21．【答案】（1）解：设裁切甲广告牌块，乙广告牌y块，
依题意得：，
解得，
答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块.
（2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，
根据题意得：，
可得，，
因为m、n为非负整数，
答：有以下三种裁切方案：
方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；
方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；
方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块.
（3）解：购买33张，裁切方案如下：
①方案1用去29张，方案2用去4张
②方案1用去30张，方案2用去2张，方案3用去1张
③方案1用去31张，方案3用去2张
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设甲广告牌数量为x块，则乙广告牌数量为x块，根据题意，联立方程组，求解即可得到答案；
(2)设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，列出方程，再用枚举法写出所有可能性即可求解；
(3)结合第(2)题的裁切方案，通过线性组合满足总需求，同时使材料恰好用完.
22．【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
23．【答案】（1）解：（290－16×10）÷10＝13（名）
（2）解：设安排初级工x人，高级工y人.
，解得
答：需要安排初级工5人，高级工15人.
（3）解：设参与生产的初级工x人，参与生产的高级工z人.
则 10x＋16z＝290，化简得 x=
由x，z均为非负整数，可知为整数，即z为5的倍数
∴
注意z为参与生产的高级工人数，本题还需要有不生产但进行指导的高级工人，由此可列下表：
z 0 5 10 15
x 29 21 13 5
指导的高级工人数 8 11 14 17
费用 8190 8430 8670 8910
对费用进行比较可知，应安排初级工29名，高级工8名.
∴应安排初级工29名，高级工8名.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】 (1)需要计算在安排10名高级工的情况下，所需初级工人数，使总产量达到290件；
（2）需根据总薪酬7950元，利用二元一次方程组，求出初级工和高级工的人数；
（3）要在满足指导比例约束的条件下，找到总薪酬最低的工人安排方案.
24．【答案】解：(任务1)设每枚1元硬币的质量是x克，每枚5角硬币的质量是y克，
根据题意得：，
解得：，
答：每枚1元硬币的质量是6克，每枚5角硬币的质量是4克.
(任务2)设每张10元纸币的质量是m克，
根据题意得：80m-10=7×6+10×4，
解得：m=0.9.
答：每张10元纸币的质量是0.9克.
(任务3)设天平右边放入a枚1元硬币，b枚5角硬币，
根据题意得：60×0.9=6a+4b，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或或或，
∴天平右边有4种放法使天平正好平衡，
∵7+3=10(枚)，5+6=11(枚)，3+9=12(枚)，1+12=13(枚)，
10<11<12<13，
∴天平右边硬币总数最少时面值总和是1×7+0.5×3=8.5(元)，
答：天平右边有4种放法使天平正好平衡，天平右边硬币总数最少时面值总和是8.5元
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】(任务1)设每枚1元硬币的质量是x克，每枚5角硬币的质量是y克，根据“天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡，天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务2)设每张10元纸币的质量是m克，根据“天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡”，可列出关于m的一元次方程，解之即可得出结论；
(任务3)设天平右边放入a枚1元硬币，b枚5角硬币，根据“天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡”，可列出关于a，b的元一次方程，结合a，b均为正整数，可得出天平右边有4种放法使天平正好平衡，再求出(a-b)值最少时放入硬币的面值总和即可.
1 / 1冀教版七（下）数学 第六章 二元一次方程组 单元测试提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．若 xm-2y (n-2)=2 022 是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是 ( )
A．m=1，n=0 B．m=0，n=1 C．m=2，n=2 D．m=1，n=3
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：因为关于x，y的二元一次方程，所以m=1，n-2=1， 解得
m=1，n=3.
故选D.
【分析】根据二元一次方程的定义得到m=1，n-2=1，求出m，n的值解答.
2．（2025八上·深圳期中）下列不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，故A符合题意；
B、该方程组是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、该方程组是二元一次方程组，故C不符合题意；
D、该方程组是二元一次方程组，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程组的定义：含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，逐项进行判段，即可得出答案。
3．（2025七上·慈利期末）已知是方程的一组解，则m的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】
把解代入方程得关于m的一元一次方程并求解即可．
4．（2025七下·义乌月考）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”.若关于x，y的方程组是“关联方程组”，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，x+y=0，
①+②得，2x+2y=4+2a，
即x+y=2+a，
由于x+y=0，
所以2+a=0，
解得a =-2，
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程组解的定义以及二元一次方程组的解法进行计算即可.
5．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”其大意为甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9 只羊，那么甲的羊数比乙的羊数多1倍；如果甲给乙9 只羊，那么两人的羊数相同，二人闲坐动脑筋，在地上算了很长时间.请问甲、乙各有多少只羊 设甲有x 只羊，乙有y只羊，则下列说法正确的是 ( )
A．列方程为x+9=2(x-18+9)
B．列方程组为
C．列方程组为
D．甲有27只羊，乙有18只羊
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：已知甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意，
得
即x+9=2(x-18-9)，
故A，B选项错误，C选项正确；
解方程组得
即甲有63只羊，乙有45 只羊，
故D选项错误.
故选 C.
【分析】根据“甲+9=2（乙-9），乙+9=甲-9”列方程求解即可.
6．（2025八上·安州开学考）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得 ，
故选B．
【分析】根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b即可.
7．（2025八上·杭州开学考） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
8．（2024·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买笔记本x本， 碳素笔 y支，
依题意得：3x+2y=28，其中x，y均为正整数，
∵2y和28均能被2整除，故3x也能被2整除，
∴x为正偶数，即x=2，4，6，8，
故二元一次方程的整数解组合情况为：
，，，，
答：有4种购买方案，分别是①购买笔记本2本， 碳素笔11支；②购买笔记本4本， 碳素笔8支；③购买笔记本6本， 碳素笔5支；④购买笔记本8本， 碳素笔2支；
故答案为：B.
【分析】设购买笔记本x本， 碳素笔 y支，根据购买x本笔记本+购买y支碳素笔的费用=28，列出二元一次方程，再求出其正整数解即可得出答案.
9．（2025七下·绍兴期末） 下表出示两个关于x，y的二元一次方程的部分解，则的值为（ ）
ax-2y=m的解 bx+y=n的解
x -2 -1 0 ... ... x -2 -1 0 ... ...
y 1 3 5 ... ... y 4 3 2 ... ...
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：依题意有，
分别解这两个方程组可得，
∴
故答案为：C .
【分析】在左半边表格里选取两组x、y值代入第一个方程中，可以得到关于a、m的一个二元一次方程，解出a、m的值，同理可以求出b、n的值，再计算a+b+m+n即可。
10．（2025七下·嵊州期末） 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：
①×2，得2x＋4y＝2k③，
③ ②得，y＝1 k，
将y＝1 k代入①得，x＝3k 2，
A：当时，，故A错；
B：当时，，故B错；
C：不论k取什么实数，的值始终不变，故C对；
D：当时，方程组的解不满足方程的解，故D错.
故答案为：C .
【分析】解方程组可得y＝1 k，x＝3k 2，再依次对选项进行判断即可．
11．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的长方形ABCD 内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形 ABCD 的一组邻边上.如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ）
A． B．5 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设较小正方形的边长为x，较大正方形的边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，
∵两个正方形的周长和为45，
∴4x+4y=45，即
∵AD=x+y-a，AB=x+y-b，长方形ABCD 的周长为36，
∴x+y-a+x+y-b=18，即2（x+y）-（a+b）=18，
即
∴阴影部分的周长=2（a+b）=9.
故选C.
故答案为：C
【分析】 设较小正方形的边长为x，较大正方形的边长为y，阴影部分的长和宽分别为a，b，根据长方形周长条件列出等式，即可得出答案.
12．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．（2025七下·南湖期中）已知是二元一次方程的一个解，则 .
【答案】-8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将已知的解 代入 可得：
把 代入 得：
故答案为：
【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解 代入 可得然后再整体代入代数式即可求解.
14．（2025七下·竞赛）七夕节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”。三种花束的每一束成本分别为a元、b元和C元。已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%：当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为 .
【答案】1：2：3
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组：
解得
∴a：b：c=a：2a：3a=1：2：3.
故答案为：1：2：3.
【分析】先根据两种不同销售比例下的总利润率列出关于成本a、b、c的方程，再通过解方程组求出a、b、c的比例关系.
15．（2021七下·栾城期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是 cm．
【答案】20
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，
据此可列：，
解得：，
因此木桶中水的深度为30×=20cm．
故填20．
【分析】考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
16．（2024九上·重庆市开学考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
【分析】①根据“差中数”定义列出方程，解之即可；
②设满足条件的四位自然数是，再根据“差中数”的定义可得，从而得出或，再利用各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025七下·龙港期中）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
解：将①代入②得，
解得，
将 代入①得，
解得
原方程组的解为
（2）解：
①-②得9у=-9
解得у=-1
将y=-1代入①得2x-3=2
解得
原方程组的解为
（其它解法正确即给分）
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据观察，方程①已经是用一个字母表示另一个字母的形式了，所以直接利用代入消元法，把①代入②，求出y的值，再把y的值代入①，求出x的值即可.
（2）根据观察可以看出，方程①和方程②的x的系数相同，所以直接利用加减消元法，①-②求出y的值，再把y的值代入①求出x的值即可.
18．（2025·滨州）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组.例如，算筹图1表示的方程组为图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项.请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解.
【答案】解：由题意，得方程组
②×2，得
2x+4y=16.③
③-①，得
y=3
把y=3代入②，得：x+6=8.
x=2
∴这个方程组的解是
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据图1的规律写出图2的方程组，再利用加减消元法计算即可解答.
19．（2025七下·宁波期中）我们定义一个新的概念：“平衡数对”．对于给定的两个数和，当且仅当满足等式时，我们称数对为“平衡数对”．并且，若存在另一个数对，使得，我们称数对为的“衍生数对”．
（1）判断是否为“平衡数对”，并说明理由．
（2）已知数对是“平衡数对”，求出该数对的“衍生数对”．
（3）若数对是“平衡数对”，且其“衍生数对”满足条件：，求出和的值．
【答案】（1）解：当时，
，
，
，
不是“平衡数对”.
（2）解：数对是“平衡数对” ，
，
解得，
，
该数对的“衍生数对”为.
（3）解：由题意可得，
整理得，
，得，
把代入，得，
，.
【知识点】一元一次方程的其他应用；求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】(1)将a、b得值分别代入等式的两边，求得代数式的值即可判定是否为“平衡数对” .
(2)根据新定义可列出方程，解得，进而求得该数对的“衍生数对”．
(3)根据“平衡数对”和“衍生数对”得定义列出方程组，再通过加减消元法求得m、n得值.
20．（2025七下·新昌期末）请同学们根据以下素材，完成探索任务：
素材1：为满足市民对优质教育的需求，某校决定拆除部分旧教学楼，建造新教学楼.拆除旧教学楼每平方米需80元，建造新教学楼每平方米需700元，并计划拆除旧教学楼与建造新教学楼共.
素材2：在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的10%，而新建教学楼则只完成了计划的80%，实际拆、建总面积与原计划一致.
素材3：为美化校园环境，若绿化1平方米需400元，学校决定将实际完成的拆、建工程中节余的资金用来扩大绿化面积.
（1）任务1：填表.
原计划 实际
拆除旧教学楼面积() x ▲
新建教学楼面积() y ▲
（2）任务2：求学校实际新建教学楼面积.
（3）任务3：求扩大的绿化面积.
【答案】（1）解：1.1x；0.8y
（2）解：由题意，得
解得
2400×0.8=1920(m2)
答：学校实际新建教学楼面积为；
（3）解：（元）
答：扩大的绿化面积为.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：(1)在实施中为扩大绿化面积，拆除旧教学楼超过了计划的10%，而新建教学楼则只完成了计划的80%，
∴实际拆除旧教学楼的面积为1.1xm2，新建教学楼的面积为0.8ym2，
故答案为：1.1x，0.8y.
【分析】(1)根据实际与原计划拆除旧教学楼及新建教学楼面积间的关系，可用含x，y的代数式表示出实际拆除旧教学楼及新建教学楼的面积；
(2)根据实际拆、建总面积与原计划一致，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入80%y中，即可求出结论；
(3)利用节余的资金=原计划拆除旧教学楼与建造新教学楼所需资金-实际拆除旧教学楼与建造新教学楼所需资金，可求出节余的资金，再利用扩大的绿化面积=节余的资金÷绿化1平方米所需费用，即可求出结论.
21．（2025七下·浙江期中）某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的KT板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为.
（1）若该广告公司用1块KT板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
（2）求1块KT板的所有无浪费裁切方案；
（3）现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切.
【答案】（1）解：设裁切甲广告牌块，乙广告牌y块，
依题意得：，
解得，
答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块.
（2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，
根据题意得：，
可得，，
因为m、n为非负整数，
答：有以下三种裁切方案：
方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；
方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；
方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块.
（3）解：购买33张，裁切方案如下：
①方案1用去29张，方案2用去4张
②方案1用去30张，方案2用去2张，方案3用去1张
③方案1用去31张，方案3用去2张
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设甲广告牌数量为x块，则乙广告牌数量为x块，根据题意，联立方程组，求解即可得到答案；
(2)设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，列出方程，再用枚举法写出所有可能性即可求解；
(3)结合第(2)题的裁切方案，通过线性组合满足总需求，同时使材料恰好用完.
22．（2024七下·钱塘期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
23．（2025七下·温州期中）综合与实践.
【素材1】某工厂计划日生产290件零件.
【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下：
工种 初级工 高级工
日生产量（件/人） 10 16
日薪酬（元/人） 150 480
【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划。
【问题】
（1）若工厂指派10名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？
（2）该工厂每日计划支付薪酬7950元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？
（3）为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案。
【答案】（1）解：（290－16×10）÷10＝13（名）
（2）解：设安排初级工x人，高级工y人.
，解得
答：需要安排初级工5人，高级工15人.
（3）解：设参与生产的初级工x人，参与生产的高级工z人.
则 10x＋16z＝290，化简得 x=
由x，z均为非负整数，可知为整数，即z为5的倍数
∴
注意z为参与生产的高级工人数，本题还需要有不生产但进行指导的高级工人，由此可列下表：
z 0 5 10 15
x 29 21 13 5
指导的高级工人数 8 11 14 17
费用 8190 8430 8670 8910
对费用进行比较可知，应安排初级工29名，高级工8名.
∴应安排初级工29名，高级工8名.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】 (1)需要计算在安排10名高级工的情况下，所需初级工人数，使总产量达到290件；
（2）需根据总薪酬7950元，利用二元一次方程组，求出初级工和高级工的人数；
（3）要在满足指导比例约束的条件下，找到总薪酬最低的工人安排方案.
24．（2025七下·杭州月考）根据以下素材，探索解决任务。
确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量
素材1 小明与小聪为了测量10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量，准备了足够多的10元纸币，1元硬币和5角硬币（设同种类每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同），实验器材有：一架天平和一个10克的砝码。
素材2 小明：天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡。 小聪：天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡。
素材3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡。 提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡。
问题解决
任务1 确定硬币的质量 每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是多少克？
任务2 确定纸币的质量 每张10元纸币的质量是多少克？
任务3 问题解决的策略 天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，求天平右边有几种放法使天平正好平衡？直接写出天平右边硬币总数最少时面值总和是多少元？
【答案】解：(任务1)设每枚1元硬币的质量是x克，每枚5角硬币的质量是y克，
根据题意得：，
解得：，
答：每枚1元硬币的质量是6克，每枚5角硬币的质量是4克.
(任务2)设每张10元纸币的质量是m克，
根据题意得：80m-10=7×6+10×4，
解得：m=0.9.
答：每张10元纸币的质量是0.9克.
(任务3)设天平右边放入a枚1元硬币，b枚5角硬币，
根据题意得：60×0.9=6a+4b，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或或或，
∴天平右边有4种放法使天平正好平衡，
∵7+3=10(枚)，5+6=11(枚)，3+9=12(枚)，1+12=13(枚)，
10<11<12<13，
∴天平右边硬币总数最少时面值总和是1×7+0.5×3=8.5(元)，
答：天平右边有4种放法使天平正好平衡，天平右边硬币总数最少时面值总和是8.5元
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】(任务1)设每枚1元硬币的质量是x克，每枚5角硬币的质量是y克，根据“天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡，天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务2)设每张10元纸币的质量是m克，根据“天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡”，可列出关于m的一元次方程，解之即可得出结论；
(任务3)设天平右边放入a枚1元硬币，b枚5角硬币，根据“天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡”，可列出关于a，b的元一次方程，结合a，b均为正整数，可得出天平右边有4种放法使天平正好平衡，再求出(a-b)值最少时放入硬币的面值总和即可.
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