冀教版七（下）数学 第七章 相交线与平行线 单元测试提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分))
1．（2025八上·温州月考）对于命题“如果a＜0，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，且，能说明它是假命题的反例，符合题意；
B、，不满足，不是反例，不符合题意；
C、，，不是反例，不符合题意；
D、，，不是反例，不符合题意；
故选：A．
【分析】需找到满足但的值作为反例，注意举反例需同时满足条件且结论不成立．
2．（2025七下·嵊州期末） 宇树机器人“G1”如图所示，将它通过平移可得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质得到图案是 B：
故答案为：B .
【分析】利用平移变换性质判断即可.
3．（2025七上·东西湖期末）如图，在观测站发现客轮、货轮分别在它北偏西、西南方向，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】邻补角；方位角
【解析】【解答】解：如图所示，
由方向角的定义可知，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据方向角的定义以及邻补角进行计算即可．
4．（2025七下·龙港期中）如图，在所标注的角中，可以看成是一对内错角的是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2 和∠4
【答案】B
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：选项A中∠1和∠2是对顶角；选项B中∠2和∠3是内错角；选项C中∠1和∠3是同位角；选项D中，∠2和∠4是同位角.
故答案为：B.
【分析】根据三线八角中，内错角的定义即可判断.
5．（2025八上·海淀期中）如图，已知a//b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=52°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠3=48° B．∠4=132° C．∠5=48° D．∠2=52°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
根据图形结合题意得：，，
∵，，
∴，故Ａ错误，Ｄ正确.
∴，，故Ｃ、Ｂ错误.
故答案为：Ｄ.
【分析】根据对顶角性质，平行线性质，邻补角性质得，，即可得答案.
6．（2025八上·大兴月考）如图，B点在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在北偏东方向，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，是正南正北方向，
∴，
，
，
，
，
又，
，
．
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质求出，再利用角的运算求出∠BAC的度数，再结合，求出∠ABC的度数，最后利用三角形的内角和求出∠ACB的度数即可.
7．如图，直线l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．46° C．72° D．82°
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线l∥AB ，
∴∠3+∠A=180°，∠2=∠B，
又∵∠3=∠1=108°，
∴∠A=180°-∠3=72°，
∵ ∠A＝2∠B ，
∴∠B=36°，
∴∠2=36°，
故答案为：A.
【分析】根据平行线性质知∠3+∠A=180°，∠2=∠B，结合题意计算∠2的度数即可.
8．如图，下列说法正确的是( )
A．若∠1＝∠2，则BC∥DE B．若∠2＝∠4，则BC∥DE
C．若∠1＋∠2＝180°，则BC∥DE D．若∠1＋∠3＝180°，则BC∥DE
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由，不能判定BC∥DE，故A不符合题意；
由不能判定BC∥DE，故B不符合题意；
如图，
∴BC∥DE，
故C符合题意；
由，不能判定BC∥DE，故D不符合题意；
故选：C.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断解答即可.
9．（2025八上·义乌开学考）如图，，分别交于点，链接，点G是线段CD上的点，连接FG，若，，则结论①，②，③，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：①∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1不一定等于∠2，
∴∠C≠∠D，
∴此结论不符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∴∠FGD=∠4+∠C=∠4+∠1=90°，
∴FG⊥CD，
∴此结论符合题意；
③∵∠1=∠3，∠2=∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠1+∠4=90°，
∴∠EFD=∠1+∠2=90°，
∴EC⊥FD，
∴此结论符合题意.
故答案为：B．
【分析】①由平行线的性质可判断求解；
②由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和”可判断求解；
③由角的和差和垂线的定义可判断求解．
10．如图，探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为( )
A．180°-α-β B．α+β
C．(α+β) D．90°+(β-α)
【答案】B
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过O点向左作射线OE，使 ，则OE∥CD，
即
故选： B.
【分析】过O点向左作射线OE，使 ，利用平行线的性质，得内错角相等，从而得到结论
11．古城正定承载着丰富的古建筑文化．在如图的六边形窗户ABCDEF中，已知AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，则∠BCD＝（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝∠D＝140°，
∴∠BCF＝40°，∠DCF＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝40°+40°＝80°，
即∠BCD的度数为80°．
故选：C．
【分析】根据平行线的性质得∠B+∠BCF=180°，∠D+∠DCF=180°，进而得∠BCF=40°，∠DCF=40°，即可得出答案.
12．（2024七下·德阳期中）如图，则与的数量关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质，设，得到，由，求得，，得到，即可求解.
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝ .
【答案】100°
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠C=∠B=80°，
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-80°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”得∠C=∠B，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠C+∠D=180°，从而知 ∠D 的度数.
14．平行线的判定方法
基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，这一公理可简单说成： .
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，这一定理可简单说成： .
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，这一定理可简单说成： .
【答案】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： 平行线的判定方法
基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，这一公理可简单说成：同位角相等，两直线平行.
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，这一定理可简单说成：内错角相等，两直线平行.
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，这一定理可简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
故答案为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
【分析】根据平行线的判定方法即可求解.
15．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
16．（2024七下·青山湖月考）已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，．
【答案】或或
【知识点】平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
②当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
③当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，．
故答案为：或或．
【分析】
由于PB的旋转速度大于QC的旋转速度，且PB到达PA后又开始返回到直线AP上，因此应分三种情况：①当时，②当时，③当时，再根据平行线的性质分别计算即可．
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作的垂线段；
（2）过点作的平行线．
【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求
（2）解：如图，直线ET即为所求
【知识点】作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据平行线定义作图即可.
18．（2025七上·苍南期末）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
（1）如图2，当时，求的度数．
（2）叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
【答案】（1）解：∵，
，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：设旋转的最小角度是，
则，，
∵与互补，
∴，
∴，
解得：，
∴旋转的最小角度是
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【分析】（1）先求得，再根据垂直的定义，结合图形，求得的度数；
（2）设旋转的最小角度是，由与互为补角，得到关于x的方程，解方程求出的值，得到结果．
（1）解：因为，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设旋转的最小角度是，则，，
因为与互补，
所以，即，
解得，
所以旋转的最小角度是．
19．（2025七下·龙港期中）如图，已知GF⊥AB，CD⊥AB，∠CDE和∠CGF互补.
（1）判断 DE与 BC是否平行，并说明理由；
（2）若∠CDE=36°，求∠B的度数.
【答案】（1）解：DE∥BC
理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB
∴ FG∥CD
∴∠FGC+∠DCG=180°
∵∠FGC+∠EDC=180°
∴∠DCG=∠CDE
∴DE∥BC
（2）解：∵CD⊥AB
∴∠CDA=90°
∵∠CDE=36°
∴∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°
∵DE∥BC
∴∠B=∠ADE=54°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可得：FG∥CD，再由平行线的性质得到∠FGC+∠DCG=180°，结合已知 ∠CDE和∠CGF互补 ，进而可以得到∠DCG=∠CDE，再由平行线的判断方法可以得到：DE∥BC.
（2）由CD⊥AB可得∠CDA=90°，结合已知∠CDE=36°可以得到：∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°因为DE∥BC 所以可得∠B=∠ADE=54°.
20．如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°.
（1）求证：EF∥AB；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）证明：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，
∴∠DCB＝∠ABC＝70°.
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝50°.
∵∠EFB＝130°，
∴∠ABF＋∠EFB＝50°＋130°＝180°.
∴EF∥AB
（2）解：∵EF∥AB，CD∥AB，
∴EF∥CD.
∴∠CEF＋∠ECD＝180°.
∵∠CEF＝70°，
∴∠ECD＝110°.
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACB＝∠ECD－∠DCB＝40°
【知识点】平行公理的推论；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】⑴根据平行线性质得∠DCB＝∠ABC，根据题意易得∠ABF＋∠EFB＝180°，从而证明EF∥AB；
⑵根据平行线的传递性知EF∥CD，从而知∠ECD的度数，再根据题意计算出 ∠ACB的度数即可.
21．如图，直线AB∥CD，∠1＝70°，∠D＝110°，求∠B的度数.
阅读下面的解答过程，并填空(填理由或数学式).
解：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1＝(① )(② ).
又∵∠1＝70°，∠D＝110°(已知)，
∴∠1＋∠D＝180°(等式的性质)，
∴∠C＋∠D＝180°(③ )，
∴(④ )∥(⑤ )(⑥ )，
∴∠B＝(⑦ )(⑧ )，
∴∠B＝70°.
【答案】∠C；两直线平行，内错角相等；等量代换；AC；BD；同旁内角互补，两直线平行；∠1；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠C(两直线平行，内错角相等)。
又∵∠1=70°，∠D=110°(已知)，
∴∠1+∠D=180°(等式的性质)。
∴∠C+∠D=180°(等量代换)，
∴AC∥BD(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠B=∠1(两直线平行，同位角相等)，
∴∠B=70°，
故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；等量代换；AC；BD；同旁内角互补，两直线平行；∠1；两直线平行，同位角相等.
【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠C，求出∠1+∠D=180°，求出∠C+∠D=180°，根据平行线的判定得出AC∥BD，根据平行线的性质得出∠B=∠1即可.
22．（2024八上·潮阳开学考）综合与实践．
主题：探究平行线的性质与判定．素材：一副三角尺（一块含，一块含）、两根相同的长木棒．
步骤1：如图，摆放两根木棒使（可上下平移调节距离）．
步骤2：将一副三角尺按如图方式进行摆放，恰好满足，．
（1）的度数为 ，的度数为 ；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）答：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解析】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据三角板的特征及角的和差关系得出，再利用平行线的性质即可求出求解；
（2）利用平角的定义求出，同旁内角互补两直线平行证明出AB与DE平行.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（2019七下·余姚月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？请说明理由．
（2）如果∠1=∠2，且∠3=60°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB=∠EFB=90°，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD∥EF，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠3=∠ACB=60°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出 ∠CDB=∠EFB=90°， 根据同位角相等，二直线平行得出 ∴CD∥EF；
（2）根据二直线平行同位角相等得出 ∠2=∠BCD， 又 ∠1=∠2， 故 ∠1=∠BCD， 根据内错角相等，二直线平行得出 DG∥BC， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠3=∠ACB=60°.
24．（2024七下·增城月考）已知和同一平面内的点D．
（1）如图①，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F．判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点D在的延长线上，，．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）如图③、图④，点D是外部的一个点，过点D作交直线于点E，作交直线于点F，直接写出图③、图④中与的数量关系（不需证明）．
【答案】（1）解：，理由如下：∵，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：如图，延长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图③，延长，
∵，，
∴，
∴；
如图④，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）分别根据两直线平行，内错角和同位角相等，得出，即可得到；
（2）延长，由，得到，再由，结合内错角相等，两直线平行，进行判定，即可得到答案；
（3）如图③，延长，由，，得出，进而证明即可；如图④，由，，得到，进而证明即可．
1 / 1冀教版七（下）数学 第七章 相交线与平行线 单元测试提升卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分))
1．（2025八上·温州月考）对于命题“如果a＜0，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0
2．（2025七下·嵊州期末） 宇树机器人“G1”如图所示，将它通过平移可得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七上·东西湖期末）如图，在观测站发现客轮、货轮分别在它北偏西、西南方向，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·龙港期中）如图，在所标注的角中，可以看成是一对内错角的是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2 和∠4
5．（2025八上·海淀期中）如图，已知a//b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=52°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠3=48° B．∠4=132° C．∠5=48° D．∠2=52°
6．（2025八上·大兴月考）如图，B点在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在北偏东方向，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．46° C．72° D．82°
8．如图，下列说法正确的是( )
A．若∠1＝∠2，则BC∥DE B．若∠2＝∠4，则BC∥DE
C．若∠1＋∠2＝180°，则BC∥DE D．若∠1＋∠3＝180°，则BC∥DE
9．（2025八上·义乌开学考）如图，，分别交于点，链接，点G是线段CD上的点，连接FG，若，，则结论①，②，③，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
10．如图，探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出.如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为( )
A．180°-α-β B．α+β
C．(α+β) D．90°+(β-α)
11．古城正定承载着丰富的古建筑文化．在如图的六边形窗户ABCDEF中，已知AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，则∠BCD＝（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
12．（2024七下·德阳期中）如图，则与的数量关系是( )
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13．如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝ .
14．平行线的判定方法
基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，这一公理可简单说成： .
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，这一定理可简单说成： .
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，这一定理可简单说成： .
15．（2024七下·临平月考）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面MN上，AB，BC，CD为支架连杆，DE为台灯灯面，它们可绕连接点B，C，D旋转，已知，台灯长，在旋转接点B，C，D的过程中，点B，E之间的最大距离是 cm.若，则 度.
16．（2024七下·青山湖月考）已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，．
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
17．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作的垂线段；
（2）过点作的平行线．
18．（2025七上·苍南期末）“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
（1）如图2，当时，求的度数．
（2）叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
19．（2025七下·龙港期中）如图，已知GF⊥AB，CD⊥AB，∠CDE和∠CGF互补.
（1）判断 DE与 BC是否平行，并说明理由；
（2）若∠CDE=36°，求∠B的度数.
20．如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°.
（1）求证：EF∥AB；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数.
21．如图，直线AB∥CD，∠1＝70°，∠D＝110°，求∠B的度数.
阅读下面的解答过程，并填空(填理由或数学式).
解：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1＝(① )(② ).
又∵∠1＝70°，∠D＝110°(已知)，
∴∠1＋∠D＝180°(等式的性质)，
∴∠C＋∠D＝180°(③ )，
∴(④ )∥(⑤ )(⑥ )，
∴∠B＝(⑦ )(⑧ )，
∴∠B＝70°.
22．（2024八上·潮阳开学考）综合与实践．
主题：探究平行线的性质与判定．素材：一副三角尺（一块含，一块含）、两根相同的长木棒．
步骤1：如图，摆放两根木棒使（可上下平移调节距离）．
步骤2：将一副三角尺按如图方式进行摆放，恰好满足，．
（1）的度数为 ，的度数为 ；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
23．（2019七下·余姚月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？请说明理由．
（2）如果∠1=∠2，且∠3=60°，求∠ACB的度数．
24．（2024七下·增城月考）已知和同一平面内的点D．
（1）如图①，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F．判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点D在的延长线上，，．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）如图③、图④，点D是外部的一个点，过点D作交直线于点E，作交直线于点F，直接写出图③、图④中与的数量关系（不需证明）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，且，能说明它是假命题的反例，符合题意；
B、，不满足，不是反例，不符合题意；
C、，，不是反例，不符合题意；
D、，，不是反例，不符合题意；
故选：A．
【分析】需找到满足但的值作为反例，注意举反例需同时满足条件且结论不成立．
2．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质得到图案是 B：
故答案为：B .
【分析】利用平移变换性质判断即可.
3．【答案】A
【知识点】邻补角；方位角
【解析】【解答】解：如图所示，
由方向角的定义可知，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据方向角的定义以及邻补角进行计算即可．
4．【答案】B
【知识点】内错角的概念
【解析】【解答】解：选项A中∠1和∠2是对顶角；选项B中∠2和∠3是内错角；选项C中∠1和∠3是同位角；选项D中，∠2和∠4是同位角.
故答案为：B.
【分析】根据三线八角中，内错角的定义即可判断.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
根据图形结合题意得：，，
∵，，
∴，故Ａ错误，Ｄ正确.
∴，，故Ｃ、Ｂ错误.
故答案为：Ｄ.
【分析】根据对顶角性质，平行线性质，邻补角性质得，，即可得答案.
6．【答案】C
【知识点】角的运算；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，是正南正北方向，
∴，
，
，
，
，
又，
，
．
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质求出，再利用角的运算求出∠BAC的度数，再结合，求出∠ABC的度数，最后利用三角形的内角和求出∠ACB的度数即可.
7．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线l∥AB ，
∴∠3+∠A=180°，∠2=∠B，
又∵∠3=∠1=108°，
∴∠A=180°-∠3=72°，
∵ ∠A＝2∠B ，
∴∠B=36°，
∴∠2=36°，
故答案为：A.
【分析】根据平行线性质知∠3+∠A=180°，∠2=∠B，结合题意计算∠2的度数即可.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由，不能判定BC∥DE，故A不符合题意；
由不能判定BC∥DE，故B不符合题意；
如图，
∴BC∥DE，
故C符合题意；
由，不能判定BC∥DE，故D不符合题意；
故选：C.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断解答即可.
9．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：①∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1不一定等于∠2，
∴∠C≠∠D，
∴此结论不符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∴∠FGD=∠4+∠C=∠4+∠1=90°，
∴FG⊥CD，
∴此结论符合题意；
③∵∠1=∠3，∠2=∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠1+∠4=90°，
∴∠EFD=∠1+∠2=90°，
∴EC⊥FD，
∴此结论符合题意.
故答案为：B．
【分析】①由平行线的性质可判断求解；
②由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和”可判断求解；
③由角的和差和垂线的定义可判断求解．
10．【答案】B
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过O点向左作射线OE，使 ，则OE∥CD，
即
故选： B.
【分析】过O点向左作射线OE，使 ，利用平行线的性质，得内错角相等，从而得到结论
11．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+∠DCF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝∠D＝140°，
∴∠BCF＝40°，∠DCF＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝40°+40°＝80°，
即∠BCD的度数为80°．
故选：C．
【分析】根据平行线的性质得∠B+∠BCF=180°，∠D+∠DCF=180°，进而得∠BCF=40°，∠DCF=40°，即可得出答案.
12．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质，设，得到，由，求得，，得到，即可求解.
13．【答案】100°
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴∠C=∠B=80°，
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-80°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”得∠C=∠B，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠C+∠D=180°，从而知 ∠D 的度数.
14．【答案】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： 平行线的判定方法
基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，这一公理可简单说成：同位角相等，两直线平行.
定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，这一定理可简单说成：内错角相等，两直线平行.
定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，这一定理可简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
故答案为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
【分析】根据平行线的判定方法即可求解.
15．【答案】50；83
【知识点】两点之间线段最短；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=CD=15cm，DE=AB=20cm.
∵由题意，可知各线段可围绕点D、C、B、A自由转动
又∵两点之间线段最短
∴当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值
∴最大距离=DE+DC+BC=20+15+15=50cm
故答案为50.
（2）如图所示，过点B作直线FG∥MN.
∵MN∥FG，MN∥DE
∴FG∥ED.
∴∠FBA=∠BAN=35°
∴∠CBF=∠CBA-∠FBA=7°
∴∠D=∠C-∠CBF=83°
故答案为：83.
【分析】（1）当点E、D、C、B四点共线时，B、E之间的距离能取到最大值，进而利用DE+DC+BC代入数据计算即可求解；
（2）过点B作直线FG∥MN.利用平行线的性质即可求解.
16．【答案】或或
【知识点】平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
②当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
③当时，如图，则，
∵，
∴，
即，
解得，（）；
综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，．
故答案为：或或．
【分析】
由于PB的旋转速度大于QC的旋转速度，且PB到达PA后又开始返回到直线AP上，因此应分三种情况：①当时，②当时，③当时，再根据平行线的性质分别计算即可．
17．【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求
（2）解：如图，直线ET即为所求
【知识点】作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据平行线定义作图即可.
18．【答案】（1）解：∵，
，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：设旋转的最小角度是，
则，，
∵与互补，
∴，
∴，
解得：，
∴旋转的最小角度是
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【分析】（1）先求得，再根据垂直的定义，结合图形，求得的度数；
（2）设旋转的最小角度是，由与互为补角，得到关于x的方程，解方程求出的值，得到结果．
（1）解：因为，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设旋转的最小角度是，则，，
因为与互补，
所以，即，
解得，
所以旋转的最小角度是．
19．【答案】（1）解：DE∥BC
理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB
∴ FG∥CD
∴∠FGC+∠DCG=180°
∵∠FGC+∠EDC=180°
∴∠DCG=∠CDE
∴DE∥BC
（2）解：∵CD⊥AB
∴∠CDA=90°
∵∠CDE=36°
∴∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°
∵DE∥BC
∴∠B=∠ADE=54°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可得：FG∥CD，再由平行线的性质得到∠FGC+∠DCG=180°，结合已知 ∠CDE和∠CGF互补 ，进而可以得到∠DCG=∠CDE，再由平行线的判断方法可以得到：DE∥BC.
（2）由CD⊥AB可得∠CDA=90°，结合已知∠CDE=36°可以得到：∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°因为DE∥BC 所以可得∠B=∠ADE=54°.
20．【答案】（1）证明：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，
∴∠DCB＝∠ABC＝70°.
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝50°.
∵∠EFB＝130°，
∴∠ABF＋∠EFB＝50°＋130°＝180°.
∴EF∥AB
（2）解：∵EF∥AB，CD∥AB，
∴EF∥CD.
∴∠CEF＋∠ECD＝180°.
∵∠CEF＝70°，
∴∠ECD＝110°.
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACB＝∠ECD－∠DCB＝40°
【知识点】平行公理的推论；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】⑴根据平行线性质得∠DCB＝∠ABC，根据题意易得∠ABF＋∠EFB＝180°，从而证明EF∥AB；
⑵根据平行线的传递性知EF∥CD，从而知∠ECD的度数，再根据题意计算出 ∠ACB的度数即可.
21．【答案】∠C；两直线平行，内错角相等；等量代换；AC；BD；同旁内角互补，两直线平行；∠1；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠C(两直线平行，内错角相等)。
又∵∠1=70°，∠D=110°(已知)，
∴∠1+∠D=180°(等式的性质)。
∴∠C+∠D=180°(等量代换)，
∴AC∥BD(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠B=∠1(两直线平行，同位角相等)，
∴∠B=70°，
故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；等量代换；AC；BD；同旁内角互补，两直线平行；∠1；两直线平行，同位角相等.
【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠C，求出∠1+∠D=180°，求出∠C+∠D=180°，根据平行线的判定得出AC∥BD，根据平行线的性质得出∠B=∠1即可.
22．【答案】（1）；
（2）答：，
理由如下：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解析】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）根据三角板的特征及角的和差关系得出，再利用平行线的性质即可求出求解；
（2）利用平角的定义求出，同旁内角互补两直线平行证明出AB与DE平行.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB=∠EFB=90°，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD∥EF，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠3=∠ACB=60°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出 ∠CDB=∠EFB=90°， 根据同位角相等，二直线平行得出 ∴CD∥EF；
（2）根据二直线平行同位角相等得出 ∠2=∠BCD， 又 ∠1=∠2， 故 ∠1=∠BCD， 根据内错角相等，二直线平行得出 DG∥BC， 根据二直线平行，同位角相等得出 ∠3=∠ACB=60°.
24．【答案】（1）解：，理由如下：∵，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：如图，延长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图③，延长，
∵，，
∴，
∴；
如图④，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）分别根据两直线平行，内错角和同位角相等，得出，即可得到；
（2）延长，由，得到，再由，结合内错角相等，两直线平行，进行判定，即可得到答案；
（3）如图③，延长，由，，得出，进而证明即可；如图④，由，，得到，进而证明即可．
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