1.1.1 三角形内角和定理 课件（共34张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

(共34张PPT)
北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
1.1.1 三角形内角和定理
第一章 三角形的证明及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
知识点1
三角形的内角和定理
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
A
B
C
你学过哪些与180°有关的结论？
平角为180°
两直线平行，同旁内角互补
曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？
分析：
改变角的位置构造平角
延长BC至D，过点C作射线CE ，使CE // BA
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线。
E
D
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
A
B
C
E
D
1
2
证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE // BA，则
∠1=∠A，∠2=∠B。
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠1+∠2+∠ACB=180°。
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
证法一
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。
1．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝60°，则∠C的度数为(　　)
A．65° B．75°
C．85° D．95°
C
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2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为(　　)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
C
返回
思考·交流
A
B
C
（1）如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ // BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？
P
Q
1
2
证明：如图，过点A作直线PQ，使PQ // BC，则
∠1=∠B，∠2=∠C。
∵点P，A，Q在同一条直线上，
∴∠BAC+∠1+∠2=180°。
∴∠BAC+∠B+∠C=180°。
证法二
思考·交流
A
B
C
（2）对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流。
1
2
3
D
E
F
证法三
证明：如图，过点D作DE // AC交AB于点E，DF // AB交AC于点F，则
∠1=∠C，∠3=∠B，
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°。
∴∠A=∠2。
∵点B，D，C在同一条直线上，
∴∠1+∠2+∠3=180°。
∴∠A+∠B+∠C=180°。
除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部或外部构造平角。
思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？
两直线平行，同旁内角互补
3．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是________。
40°
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4．下面是小彬的数学课堂笔记，请阅读操作方法，补全证明过程。
如图①，△ABC的三个内角分别为∠1，∠2，∠3。将∠2和∠3撕下，按图②的方式摆拼，使∠2和∠3的顶点均与∠1的顶点重合，∠2的一边
与AB重合，∠3的一边与AC
重合。
讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？
A
B
C
A
B
C
根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法。
l
D
E
F
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
思考：多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
证明：由操作可知∠B＝∠2，
∴AD∥BC(________________________)。
同理，∠C＝∠3，∴________∥________。
∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点D，A，E在同一条直线上，
∴∠DAE＝________°，
即∠1＋________＋________＝________。
内错角相等，两直线平行
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AE
BC
180
∠2
∠3
180°
5．(8分)[教材P44“复习题”第1题变式]如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝50°。
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
A
C
B
D
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理)。
∵∠B= 38°，∠C=62°，
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD =∠CAD= ∠BAC= ×80°= 40°。
在△ADB中，
∠B +∠BAD+∠ADB = 180°(三角形内角和定理)。
∵∠B=38°，∠BAD =40°，
∴∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°。
尝试·思考
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
A
B
C
D
E
F
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF。
求证：△ABC≌△DEF。
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180°(三角形内角和定理)，
∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，
∠F = 180°－（∠D +∠E）。
∵∠A =∠D，∠B =∠E，
∴∠C =∠F。
∵∠B =∠E，BC = EF，∠C =∠F。
∴△ABC ≌ △DEF（ASA）。
A
B
C
D
E
F
知识点2
全等三角形的性质与判定
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等。（AAS）
A
B
C
D
E
F
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(1)求∠C的度数；
(2)若∠BDE＝30°，DE∥BC交AB于点E，求∠BDC的度数。
解：∵∠A＝70°，∠ABC＝50°，
∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－70°－50°＝60°。
∵DE∥BC，∠BDE＝30°，∴∠CBD＝∠BDE＝30°。
又∵∠C＝60°，
∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝180°－30°－60°＝90°。
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6．如图，AB与CD相交于点O，且OA＝OB，添加下列选项中的一个条件，不能判定△AOC≌△BOD的是(　　)
A．OC＝OD
B．∠A＝∠B
C．AC＝BD
D．AC∥BD
C
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7．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，∠A＝∠ECF，若AB＝4，CF＝3，则BD的长为(　　)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
B
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8．如图，∠POQ＝70°，直线l与OP，OQ都相交(不经过点O)，随着直线l位置的改变，α，β的度数之和(　　)
A．始终等于70°
B．始终等于100°
C．始终等于110°
D．随着直线l位置的改变而改变
C
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9．如图，△ABC的顶点A在△CDE的边DE上，若AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于(　　)
A．BC
B．AB
C．DC
D．AE＋AC
B
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10．[西安交大附中期末]如图，点D为△ABC的边AB上一点，∠A＝50°，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，那么当∠ACD＝________°时，A′D∥CA。
65
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11．(8分)[教材P8“习题1.1”第8题变式]如图，AD是△ABC的高，△ABC的两条角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°。
(1)求∠EAD的度数；
(2)求∠BOA的度数。
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12．(12分)[西安铁一中期末]如图①，要度量作业纸上两条相交直线a，b所夹锐角α的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接度量。
(1)小明的方案：画直线c与直线a，b相交，
如图①，测得∠1＝m°，∠2＝n°，则α＝
____________(用含m，n的代数式表示)；
(180－m－n)°
(2)小刚的方案：画直线c与直线a，b相交，交点为B，C，作出∠ABC，∠DCB的平分线相交于点O，如图②。若测得∠BOC＝p°，则α等于多少？(用含p的代数式表示)
解：∵∠ABC，∠DCB的平分线相交于点O，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠DCB＝2∠OCB。
∵∠OBC＋∠OCB＝(180－p)°，
∴∠ABC＋∠DCB＝(360－2p)°，
∴α＝180°－(∠ABC＋∠DCB)＝180°－(360°－2p°)＝(2p－
180)°。
(3)你还有什么方法？请在图③中补全(作图工具不限)，并写出必要的文字说明。
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解：如图，
在直线a上取一点A，过点A作AC⊥直线b于点C，测量出∠1＝β°，则α＝(90－β)°。(方法不唯一)
课堂小结
1.三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°。
A
B
C
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
2.全等三角形的性质与判定
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
全等三角形的对应边相等、对应角相等。