1.1.2 三角形的外角 课件（共34张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

(共34张PPT)
北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
1.1.2 三角形的外角
第一章 三角形的证明及其应用
授课教师： .
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学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义。
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。
复习回顾
1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，三角形内角和等于180°。
2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____。
3.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACB=_____，∠ACD=_____。
48°
50°
130°
进行新课
在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD。
A
B
C
E
D
思考：像∠ACD这样的角有什么特征？猜想它的性质。这节课让我们一起来探讨吧。
知识点1
三角形的外角
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角。
1
∠1是△ABC的一个外角。
A
C
B
D
1．下图中∠1是三角形的一个外角的是(　　)
D
返回
2．如图，△ABC的外角是________，________。
∠CBD
返回
∠ABE
问题1：如图，延长AB到E，∠CBE是不是△ABC的一个外角？
∠DBE是不是△ABC的一个外角？
∠CBE是△ABC的一个外角
∠DBE不是△ABC的一个外角
A
C
B
D
E
3．[教材P6“随堂练习”第1题变式]如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是(　　)
A．120°
B．110°
C．100°
D．90°
A
返回
4．[烟台中考]如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　　)
A．40°
B．35°
C．30°
D．20°
A
返回
问题2：画出△ABC的所有外角，共有几个？
A
C
B
D
E
每一个三角形都有6个外角。
1
2
3
4
5
6
每一个顶点相对应的外角都有2个。
问题3：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）
∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2；
∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4；
∠5和∠6是对顶角，∠5=∠6。
练一练
A
B
C
E
D
F
如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角；
∠AEC是△BEC和△BEF的外角；
∠EFD是△BEF和△DCF的外角。
5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝50°，且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝________°。
65
返回
6．(4分)如图，DE分别与△ABC的边AB，AC相交于点D，E，延长DE与BC的延长线相交于点F，∠B＝60°，∠ACB＝70°，∠AED＝40°，求∠BDF的度数。
解：∵∠B＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝50°。
又∵∠AED＝40°，
∴∠BDF＝∠A＋∠AED＝90°。
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思考·交流
如图，∠1与△ABC的内角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。
1
A
C
B
D
知识点2
三角形内角和定理的推论
4
3
2
思考1：∠1与∠4有什么关系？
∠1与∠4互补
思考2：∠1与∠2、∠3有什么关系？
外角
相邻的内角
不相邻的内角
猜测：∠2+∠3=∠1。
你能证明这个猜测吗？
1
A
C
B
D
4
3
2
已知：如图，△ABC。求证：∠1=∠2+∠3。
证明：在△ABC中，
∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理），
∴∠2+∠3=180°-∠4。
∵∠4+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠4。
∴∠1=∠2+∠3。
由三角形内角和定理，可以得到
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
1
A
C
B
D
4
3
2
几何语言：
在△ABC中，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，
∴∠ABD=∠A+∠C。
三角形的外角几何画板
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论。
7．在下列图形中，∠2＞∠1一定成立的是(　　)
C
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8．(4分)如图，D是△ABC的边AC的延长线上的一点，E是边BC上的一点，连接DE，求证：∠BED＞∠A。
证明：∵∠ECD是△ABC的外角，
∴∠ECD＞∠A。
又∵∠BED是△CDE的外角，
∴∠BED＞∠ECD，∴∠BED＞∠A。
返回
思考3：∠1与∠2、∠3的大小有什么关系？
1
A
C
B
D
4
3
2
∵∠1=∠2+∠3，
∴∠1＞∠2，∠1＞∠3。
推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
只要具备什么条件，就能说明AD // BC？
同位角相等
分析：
内错角相等
同旁内角互补
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C，
∴∠C= ∠EAC。
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC= ∠EAC。
∴∠DAC=∠C。
∴AD // BC。
还有其他证法吗？
9．如图，在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．∠ADB>∠ADE
B．∠ADB>∠1＋∠2＋∠3
C．∠ADB>∠1＋∠2
D．以上都不正确
C
返回
10．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝35°，若按图中虚线将∠C剪去，则∠1＋∠2＝________°。
215
返回
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD // BC。
B
A
E
D
C
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C，
∴∠B= ∠EAC。
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE= ∠EAC。
∴∠DAE=∠B。
∴AD // BC。
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。
求证：∠BPC >∠A。
分析：
你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？
你遇到的困难是什么？
你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗？
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。
求证：∠BPC >∠A。
D
证明：如图，延长BP，交AC于点D。
∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），
∴ ∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。
∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），
∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。
∴∠BPC＞∠A。
还有其他证法吗？
角度模型
飞镖型：
∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
8字型：
∠A+∠B=∠C+∠D
11．(8分)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。
(1)若∠E＝25°，∠BAC＝80°，则∠B的度数为________；
30°
(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E。
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE。
∵∠ECD＝∠B＋∠E，∠BAC＝∠ACE＋∠E，
∴∠BAC＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E。
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12．(12分)将透明三角尺(△DEF，∠EDF＝90°)放置在△ABC上(点D在△ABC内)，如图①，三角尺的两边DE，DF恰好经过点B和点C。我们来探究：
∠ABD与∠ACD之间是否存在某种数量关系。
(1)特例探索：当∠A＝36°时，∠ABD＋
∠ACD＝________°；
54
(2)类比探索：写出∠ABD，∠ACD与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；
解：∠ABD＋∠ACD＝90°－∠BAC。理由如下：连接AD并延长，交BC于点M，则∠BAD＋∠ABD＝∠BDM，∠CAD＋∠ACD＝∠CDM，∴∠BAD＋∠ABD＋∠CAD＋∠ACD＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD＝∠BDM＋∠CDM。
∵∠BDM＋∠CDM＝∠EDF＝90°，
∴∠ABD＋∠ACD＝90°－∠BAC。
课堂小结
三角形的外角
推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
A
B
C
3
2
1
三角形的外角和等于360°。