1.2.2等腰三角形的判定及反证法 课件（共31张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

(共31张PPT)
北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
1.2.2等腰三角形的判定及反证法
第一章 三角形的证明及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
边：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（定义）
问题：如何判定一个三角形是等腰三角形？
角：等腰三角形 两底角相等
性质
进行新课
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。
分析：
知识点1
等腰三角形的判定——等角对等边
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
D
证法一
证明：如图，过点A作 AD⊥BC 于点 D，
则∠ADB =∠ADC = 90°，
又∵∠B =∠C，AD = AD，
∴△ADB ≌ △ADC（AAS），
∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）。
还有其他证法吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
D
证法二
证明：如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD。
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）。
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）。
1．在△ABC中，∠A＝∠C，则(　　)
A．AB＝AC B．AB＝BC
C．AC＝BC D．AB＝AC＝BC
B
返回
2．下列三角形中，不是等腰三角形的是(　　)
A
返回
等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在同一个三角形中；
区别：判定是由角的关系得到边的关系，
性质是由边的关系得到角的关系。
即：等边 等角
性质
判定
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
这一定理可以简述为：等角对等边。
前提是“在同一个三角形中”
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC。
等腰三角形的判定：
3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4，则CD的长为(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
B
返回
4．如图，AB＝10，BC＝8，∠A＝∠ACD，则△BCD的周长是(　　)
A．28
B．26
C．20
D．18
D
返回
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E。
求证：△AED是等腰三角形。
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD ≌ △DCA（SSS）。
∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形的对应角相等）。
∴AE = DE（等角对等边）。
∴△AED 是等腰三角形。
5．(4分)[自贡中考]如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF。求证：AE＝BF。
证明：∵∠ABE＝∠BAF，
∴AC＝BC。
又∵∠ACE＝∠BCF，CE＝CF，
∴△ACE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF。
返回
6．(4分)[西安长安区期中]如图，BD是等边三角形ABC的中线，E是BC延长线上一点，且BD＝DE，求证：CD＝CE。
练一练
如图，AE平分∠BAC，DE // AB，若AD=5，则DE的长是______。
AE平分∠BAC
∠2=∠3
DE // AB
(等角对等边)
∠1=∠2
5
1
2
3
∠1=∠3
DE=AD
尝试·思考
知识点2
反证法
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
小明的思考过程如下。你能理解他的推理过程吗？
A
B
C
如图，在△ABC 中，已知
∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。
假设 AB = AC，那么根据定理“等边对等角” 可得∠C =∠B，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此 AB ≠ AC。
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
反证法
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。
已知：△ABC。
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°，∠B = 90°。 于是∠A +∠B +∠C = 90°+ 90°+∠C ＞180°。
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B 是直角”的假设不成立。
所以，一个三角形中不能有两个角是直角。
用反证法证明的一般步骤
1. 先假设命题的结论不成立；
2.从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；
3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
返回
7．[宝鸡一中月考]用反证法证明“若a＋b≥0，则a，b至少有一个不小于0”时，第一步应假设(　　)
A．a，b都不小于0 B．a，b不都小于0
C．a，b都小于0 D．a，b都大于0
C
返回
8．已知△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°。下面是用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；
④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°。
这四个步骤正确的顺序是________(填序号)。
③④①②
返回
9．[教材P18“习题1.2”第12题变式]如图，一艘船上午9时从海岛A出发，以20 n mile/h的速度向正西方向航行，上午11时到达海岛B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠DAC＝34°，∠DBC＝68°，则海岛B到灯塔C的距离为________n mile。
40
返回
10．如图，∠AOB的边OA，OB均为平面反光镜，一束光线从OB上的点C射出，经OA上的点D反射后，反射光线DE恰好与OB平行，已知∠ADE＝∠ODC，OC＝10，则光线CD的长度是(　　)
A．8 B．10
C．15 D．20
B
返回
11．(8分)如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF。
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________。
返回
平行
12．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D与B，C两点不重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E。
(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝________；
点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变
________(填“大”或“小”)；
25°
小
(2)当△ABD≌△DCE时，求∠BAD的度数；
解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°－40°×2＝100°。
∵△ABD≌△DCE，∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA。
又∵∠ADE＝40°，∴∠DAE＝∠DEA＝70°。
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝100°－70°＝30°。
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明。
解：当∠BDA＝110°时，△ADE是等腰三角形。
证明如下：∵∠BDA＝110°，∴∠ADC＝70°。
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°。∴∠DAC＝70°。
在△ADE中，∵∠ADE＝40°，∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180°－40°－70°＝70°。∴∠AED＝∠DAE。
∴DA＝DE。∴△ADE是等腰三角形。
返回
课堂小结
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
反证法：
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
A
B
C