1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质 课件（共33张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

(共33张PPT)
北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形的性质
第一章 三角形的证明及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
学习目标
1. 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。
2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。
进行新课
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明自己的结论，并与同伴进行交流。
知识点1
等边三角形的判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
A
B
C
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠A=∠B=∠C，
∴∠A=∠B=∠C=60°。
∵∠B =∠A = 60° ，
∴AC = BC（等角对等边）。
∵∠B =∠C = 60°，
∴AC = AB ，
∴AC = AB = BC ，
∴△ABC 是等边三角形。
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
证明： ①若 AB =AC，∠A =60°，
则∠B = ∠C = (180°– ∠A)÷2=60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形。
60°
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
60°
证明： ②若AB＝AC，∠B= 60°，
∴∠C=∠B=60°。
则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形。
1．根据下列条件，不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)
A．∠A＝∠B＝∠C
B．AB＝AC，且∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝60°
D．AB＝AC，且∠B＝60°
B
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2．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
C
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几何语言：
在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定
证明等边三角形的思路：
三角形
等边
三角形
等腰三角形
有一个角等于60°
等腰三角形的判定
思路1：三边相等
思路2：三角相等
练一练
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE // DA。若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是_________________________。
∠BCE=60°
(或∠BEC=∠BCE等，答案不唯一)
3．将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________。
2 cm
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4．[延安期中]如图，一艘轮船从A地出发，向南偏西40°的方向行驶100 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100 n mile到达C地，则A，C两地相距__________。
100 n mile
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尝试·思考
知识点2
含30°角的直角三角形的性质
（1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？
（2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？
发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。
如何证明这个结论？
A
B
C
发现：30°角的对边等于三角尺斜边的一半。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
D
A
B
C
证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。
∵∠ACB = 90°，
∴∠ACD = 90°。
∵AC = AC，
∴△ABC ≌ △ADC（SAS）。
∴AB = AD(全等三角形的对应边相等)。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。
∵∠BAC = 30°，∠ACB=90°，
∴∠B= 180°－30°－90°=60°。
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。
求证：BC = AB。
∴△ABD 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。
∴BC = BD = AB。
D
A
B
C
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：
A
B
C
30°
含30°角的直角三角形的性质：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴BC= AB
5．(4分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA，∠ECB＝60°，求证：△BCE是等边三角形。
证明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC。
又∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BEC。
∵∠ECB＝60°，∴∠B＝∠BEC＝60°，
∴△BCE是等边三角形。
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6．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
C
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例3 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半。
B
A
D
C
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°，CD 是腰 AB 上的高。
求证：CD = AB。
B
A
D
C
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°(等边对等角)。
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°。
∴CD = AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。
∴CD= AB。
D
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8．[教材P16“随堂练习”第2题变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AB的长等于(　　)
A．5
B．6
C．8
D．12
C
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D
返回
10．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D。求证：CD＝2AD。
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°。
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，
∴在Rt△ACD中，CD＝2AD。
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11．如图，直线AB∥CD，EG＝FG，∠1＝100°，∠2＝20°，则△EFG的形状为(　　)
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．无法确定
C
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B
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13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8。若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________。
6或12
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14．(8分)[永州期中]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE，CE交AD于点F，且AF＝DF。
(1)求证：AE＝DC；
证明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD。
∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D。
又∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE≌△DFC，∴AE＝DC。
(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，请判断△BCE的形状，并说明理由。
解：△BCE是等边三角形。理由如下：由(1)知∠EAD＝∠D，
∴BE∥CD。∴∠ECD＝∠E＝60°。
∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠E＝60°，∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°，
即∠BCE＝∠E＝∠B，∴△BCE是等边三角形。
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课堂小结
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形的判定：
含30°角的直角三角形的性质：
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
B
C
30°
A
B
C