1.3.1 直角三角形的性质与判定 课件（共41张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

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北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
1.3.1 直角三角形的性质与判定
第一章 三角形的证明及其应用
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学习目标
1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。
2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。
3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明。
进行新课
探究1：直角三角形的两个锐角互余，为什么？
根据三角形内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”。
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
A
B
C
如图，在△ABC中，∠A+∠C=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，
又∠A+∠C=90°，
∴∠B=90°。
于是△ABC是直角三角形。
几何语言：
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°
定理 直角三角形的两个锐角互余。
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
直角三角形的性质
直角三角形的判定
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝48°，则∠B的度数为(　　)
A．42° B．52°
C．132° D．142°
A
返回
D
返回
探究2：你能说出勾股定理的内容并证明吗？
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即 c2 = a2 + b2
a
b
c
你能利用基本事实和已有定理，证明勾股定理吗？
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
勾股定理的证明方法之一：
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，
BC = a，AC = b，AB = c。
分别以 Rt△ABC 的三边为边作正方形AHIB，ACDE，CBFG。 连接 EB，CH。过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N。
M
N
正方形ACDE、长方形AHNM、长方形MNIB，以及△EAB和△CAH的面积分别记作S正方形ACDE，S长方形AHNM，
S长方形MNIB，S△EAB，S△CAH。
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
∵EA = CA，
∠EAB =∠CAH = 90°+∠CAB，
AB = AH，
∴△EAB ≌△CAH（SAS）。
又∵S正方形 ACDE = 2S△EAB，
S长方形AHNM = 2S△CAH，
∴b2 = S长方形AHNM。
同理 a2 = S长方形MNIB。
∴ c2 = a2 + b2。
M
N
3．如图，已知直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠2＝40°，则∠1的度数是(　　)
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
C
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4．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴。若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是________。
(4，3)
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练一练
如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为________。
(0，6)
尝试·交流
探究3：你能用基本事实和已有定理证明这个结论吗？
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
在一个三角形中，当两条边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形。
a
b
c
A
B
C
已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2。
求证：△ABC 是直角三角形。
要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？
借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗？
分析：
证明：如图，作 Rt△A'B'C'，
使∠A' = 90°，A'B' = AB，A'C' = AC，
则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2（勾股定理）。
∵AB2 + AC2 = BC2，
∴BC2 = B'C'2。
∴BC = B'C'。
∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）。
∴∠A =∠A' = 90°
（全等三角形的对应角相等）。
因此，△ABC 是直角三角形。
A'
B'
C'
已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2。
求证：△ABC 是直角三角形。
A
B
C
定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
勾股定理逆定理：
5．(4分)如图，已知∠ABC＝90°，CD⊥BD于点D，AE⊥BD于点E，AB＝BC，求证：AE＝BD。
证明：∵CD⊥BD，AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠D＝90°，∴∠A＋∠ABE＝90°。
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠CBD＝90°，∴∠A＝∠CBD。
又∵AB＝BC，∴△AEB≌△BDC(AAS)，∴AE＝BD。
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6．[陕西中考改编]如图，在△ABC中，∠B＋∠C＝90°，AD是边BC上的高，则图中的直角三角形共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
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练一练
如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则△ABC的面积是______。
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观察·交流
（1）观察下面的第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
两个定理的条件和结论互换了位置
（2）观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b。
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
条件
结论
结论
条件
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
互逆命题
如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。
原命题
逆命题
7．在下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．a2＝c2－b2
D．a2∶b2∶c2＝5∶12∶17
B
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8．(8分)如图，某公园有一块四边形空地ABCD，公园管理处计划在四边形ABCD区域内种植草坪，绿化环境，并在AC处修一条小路，经测量，∠B＝90°，AB＝10 m，BC＝20 m，CD＝20 m，AD＝30 m。
(1)小路AC的长为________；
(2)求种植草坪的面积。
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9．下列说法正确的是(　　)
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．定理的逆命题一定是真命题
A
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10．下列定理中没有逆定理的是(　　)
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形 全等
D．全等三角形的对应角相等
D
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11． 下列命题的逆命题是真命题的是(　　)
A．若a>b，则a2>b2
B．两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等
C．全等三角形的对应角相等
D．若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形
B
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12．[西安交大附中期末]将一副普通的直角三角尺ADE和ABC按如图所示方式放置，点D恰好落在边BC上，三角尺中∠ABC＝60°，较长的边AE∥BC，则∠FAD的度数是(　　)
A．30°
B．25°
C．10°
D．15°
D
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13．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A，B，C均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是(　　)
A．AB2＝20
B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10
D．点A到直线BC的距离是2
C
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B
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15．(8分)[徐州期末]如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上的点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内的点F处。连接DF，已知DF＝3。
(1)求证：△ADF为直角三角形；
证明：由折叠的性质，得AB＝AF＝4。
又∵AD＝5，DF＝3，
∴DF2＋AF2＝AD2，
∴△ADF是直角三角形。
(2)求线段BE的长。
解：由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，BE＝EF。
易知∠AFD＝90°，∴∠DFE＝180°，
∴D，F，E三点共线。设BE＝x，则EF＝x，∴DE＝3＋x，
∵BC＝AD＝5，∴CE＝5－x。
由勾股定理，得DE2＝DC2＋EC2，
即(3＋x)2＝42＋(5－x)2，解得x＝2，∴BE＝2。
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135°
解：符合要求。理由如下：
如图，过点D作DE⊥BA于点E，作点A关于DE的对称点A′，连接DA′，则∠DEA＝90°。
∵∠DAB＝135°，∴∠DAE＝45°，
∴DE＝AE。
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课堂小结
定理 直角三角形的两个锐角互余。
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
原命题
逆命题
原命题
逆命题
互逆命题
互逆命题