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保密★启用前
2025-2026学年度初中数学期末模拟卷
浙教版八年级上学期
考试范围：八年级上册全册内容；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 共30分）
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（23-24八年级上·河南洛阳·期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）．
根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否能沿某条直线对折后完全重合．
【详解】A、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形．
B、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形．
C、存在一条竖直直线，沿该直线对折后，图形两部分能完全重合，是轴对称图形．
D、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形．
故选：C．
2．（本题3分）（19-20八年级上·陕西榆林·期中）点关于轴对称点的坐标是，则P点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据关于横轴的对称点：横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，依次即可求出点坐标，进而得出点的坐标．
【详解】解：∵点关于轴对称点的坐标是，
∴点坐标为，
∵P点关于y轴的对称点是，
∴点坐标为，
故选：B．
3．（本题3分）（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．若，在函数上，则
B．图象与轴交于正半轴
C．图象经过第一，二，四象限
D．与两坐标轴围成的三角形面积为4
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，通过计算函数值、交点坐标和图象性质，逐一验证各选项的正误．
【详解】A、∵当时，；当时，，，正确，不符合题意；
B、当时，，∴图象与y轴交于正半轴，正确，不符合题意；
C、，∴图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意；
D、当时，由得，当时，，
∴图象与x轴交于点，与y轴交于点，
∴围成的三角形面积，错误，符合题意．
故选：D．
4．（本题3分）（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
5．（本题3分）（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A中结论，本选项不符合题意．
D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
故选：B．
6．（本题3分）（24-25八年级上·重庆·期中）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象判断和的取值范围，看是否一致，逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：A、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意；
B、由图象可得：直线经过第一、二、三象限，故，；直线经过第一、二、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意；
C、由图象可得：直线经过第一、三、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，故符合题意；
D、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第一、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意；
故选：C．
7．（本题3分）（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知D、E分别为的边的中点，为的中线，连接，若，则四边形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线等分面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的中线等分面积得到，，再由四边形的面积求解即可．
【详解】解：连接，
∵为的中线，
∴为中点，
∴，
∴，
∵D为的边的中点，
∴，
∴四边形的面积为：，
故选：C．
8．（本题3分）（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了利用图象法解不等式，数形结合是解题的关键．
根据过点，即可求出，根据图象进而即可求解．
【详解】解：∵过点，
∴，
解得，
∴，
由图可得，当时，，
故选A．
9．（本题3分）（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．直接利用定理即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，再利用定理即可判断②正确；连接，证出，由此即可判断③正确．
【详解】解：在和中，
，
，结论①正确；
，
∵，，
，即，
在和中，
，
，结论②正确；
如图，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
即在的平分线上，结论③正确；
综上，正确的是①②③．
故选：D．
10．（本题3分）（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。
由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；由的结果无法推出．
【详解】∵的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∵，
∴，
故B正确，不符合题意；
取的延长线与点M，的延长线与点N，如图：
平分，平分，
，
故C正确，不符合题意；
由选项C知，
，无法得到，
故D项错误，符合题意．
故选：D．
第II卷（非选择题 共90分）
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可．
【详解】解：设第三边为，
∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边，
∴，即，
∵第三边是偶数，
∴，
∴此三角形的周长为．
故答案为：
12．（本题3分）（14-15八年级下·山东烟台·期中）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴一次函数与的交点P的坐标是．
故答案为：．
13．（本题3分）（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可．
【详解】解：即，
去分母，得，
移项，合并同类项，得．
∵这个分式方程的解是正数，
∴，且，
即，且，
解得，且．
故答案为：且．
14．（本题3分）（18-19七年级下·江苏扬州·月考）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °．
【答案】30
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线，
∴，，
∵是的外角，
∴，
故答案为：30．
15．（本题3分）（18-19八年级上·广东揭阳·期末）中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ．
【答案】2或3
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【详解】解：分以下两种情况：
当时，，
∵点D为的中点，
∴（厘米），
∵，
∴（厘米），
∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间是1秒，
∵，
∴（厘米），
∴（厘米/秒）；
当时，，
∵（厘米），，
∴（厘米），
∵（厘米），
∴（厘米），
∴运动时间为（秒），
∴（厘米/秒），
故答案为：2或3．
16．（本题3分）（24-25七年级下·重庆·期末）在中，点D是边上一点，且，连接，点F为中点，连接并延长，交于点E．若，则
【答案】30
【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵点F为中点，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：30．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）解不等式（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是遵循不等式的基本性质，正确进行去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的操作．
（1）按照解一元一次不等式的步骤，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分．
【详解】（1）解：
去分母：两边同时乘以6，得．
去括号：．
移项：．
合并同类项：；
（2）解：
解第一个不等式
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得；
解第二个不等式
去分母，两边同时乘以6，得，
去括号得，
移项、合并同类项得．
取两个不等式解集的公共部分，得．
不等式组的解集为．
18．（本题8分）（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________；
(2)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键．
（1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图；
（2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求；
（3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求，则点C关于y轴的对称点的坐标为；
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：，
∴，
∴，
∴点F的坐标为或．
19．（本题8分）（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键.
（1）连接，由题意得：，推出即可求证；
（2）根据，得到，进而得到，即可求解
【详解】（1）证明：连接，
由题意得：，
∵，
∴，
∵D为线段的中点，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（本题8分）（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，，．
(1)求证：；
(2)若与的交点为M，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．
（1）由得，即，再由证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）由得，再由三角形内角和定理可推出，即可解题．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，和交于点，
，
，
，，
，
．
21．（本题8分）（23-24八年级下·河南安阳·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度．
(2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可；
【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米，
在中，米，米，
∴（米），
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
（2）如图，在上取点，使米，连接，
∴（米），
在中，（米），（米），
∴（米），
∴（米），
答：他应该往回收线米．
22．（本题10分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点．
(1)点A的坐标为 ；
(2)求直线的表达式；
(3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键．
（1）令，得到方程，求解方程即得答案；
（2）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案．
【详解】（1）解：令，则，
解得，
点A的坐标为．
故答案为：．
（2）解：设直线的表达式为，
将，的坐标代入，得，
解得，
直线的表达式为；
（3）解：设点，
当点P在射线上时，即点在处，
，
，
，
解得，
，
解得，
；
当点P在射线上时，即点在处，
，
，
，
解得，
，
解得，
；
综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或．
23．（本题10分）（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
(2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键；
（1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
24．（本题12分）（22-23七年级下·江苏盐城·月考）（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 ．
（2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（1）利用平角的定义即可求解；
（2）①先证明出，得出，，即可得出结果；
②证明出，得出，，即可得出结论；
（3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论．
【详解】解：（1），，
，
故答案为：；
（2）①，理由如下：
直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：；
②成立．证明如下：
如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）①当在上，在上时，即，
，，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
，
，
；
②当在上，在上时，即，
，，
，
，
；
③当到达，在上时，即，
，，
，
，
．
综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 共30分）
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（23-24八年级上·河南洛阳·期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（19-20八年级上·陕西榆林·期中）点关于轴对称点的坐标是，则P点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．若，在函数上，则
B．图象与轴交于正半轴
C．图象经过第一，二，四象限
D．与两坐标轴围成的三角形面积为4
4．（本题3分）（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）（24-25八年级上·重庆·期中）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知D、E分别为的边的中点，为的中线，连接，若，则四边形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．（本题3分）（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③
10．（本题3分）（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ．
12．（本题3分）（14-15八年级下·山东烟台·期中）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是
13．（本题3分）（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ．
14．（本题3分）（18-19七年级下·江苏扬州·月考）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °．
15．（本题3分）（18-19八年级上·广东揭阳·期末）中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ．
16．（本题3分）（24-25七年级下·重庆·期末）在中，点D是边上一点，且，连接，点F为中点，连接并延长，交于点E．若，则
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）解不等式（组）：
(1)；
(2)．
18．（本题8分）（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，．
(1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________；
(2)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________．
19．（本题8分）（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（本题8分）（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，，．
(1)求证：；
(2)若与的交点为M，，求的度数．
21．（本题8分）（23-24八年级下·河南安阳·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度．
(2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？
22．（本题10分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点．
(1)点A的坐标为 ；
(2)求直线的表达式；
(3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题10分）（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
24．（本题12分）（22-23七年级下·江苏盐城·月考）（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 ．
（2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果）
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