1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 课件（共38张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

(共38张PPT)
北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
1.4.1 线段垂直平分线的性质定理及
其逆定理
第一章 三角形的证明及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
情境导入
A
B
P
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
点P是码头的位置
进行新课
我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：
请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。
求证：PA = PB。
A
B
C
M
N
P
知识点1
线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。
求证：PA = PB。
A
B
C
M
N
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB = 90°。
∵ AC = BC，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）。
∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）。
如果点P与点C重合，那么结论显然成立。
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的一点，PA＝6，则线段PB的长为(　　)
A．3
B．4
C．6
D．7
C
返回
2．[达州中考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
则△BDC的周长为(　　)
A．21 B．14
C．13 D．9
C
返回
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
几何语言：
∵MN⊥AB于点C，且AC=BC，
∴PA=PB
线段垂直平分线的性质：
A
B
C
M
N
P
这一点是任意一点
练一练
如图，DE是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定成立的是（ ）
A.ED=CD B.AE=AC
C.AD=BD D.BD=AC
C
3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC等于________。
60°
返回
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB。若AB＝4，则DC的长是________。
4
返回
尝试·思考
知识点2
线段的垂直平分线的判定
你能写出这个定理的逆命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
逆命题
它是真命题吗？
已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA = PB。
求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。
A
B
P
考虑点P是否在线段AB上。
证明：∵ PA=PB，
∴ 点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。
①当点P在线段AB上时：
A
B
P
②当点P在线段AB外时：
证法一：
过点P 作PC⊥AB，垂足为C。
∵PA = PB， PC = PC，
∴Rt△PAC ≌Rt△PBC(HL)。
∴AC = BC，
即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
C
A
B
P
证法二：
取AB的中点C，连接PC。
∵ AP=BP，PC=PC，AC=BC，
∴ △APC≌△BPC(SSS)。
∴ ∠PCA=∠PCB。
又∵ ∠PCA+∠PCB=180°，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。
C
②当点P在线段AB外时：
A
B
P
证法三：
过点P作∠APB的角平分线，交AB于点C。
∵ AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴ △APC≌△BPC(SAS)。
∴ AC=BC，∠PCA=∠PCB。
又∵ ∠PCA+∠PCB=180°，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB。
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。
C
②当点P在线段AB外时：
5．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E，连接BD。求∠CBD的度数。
解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°。
∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°。
返回
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线的判定：
A
B
P
归纳总结：
线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合。
线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴。
归纳总结：
到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线。
例1 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC。
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。
A
B
C
O
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）。
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上。
还有其他证法吗？
证明：设直线 AO 交 BC 于点 D，
∵ AB = AC，AO = AO，OB = OC ，
∴ △ABO ≌ △ACO (SSS)。
∴ ∠BAO = ∠CAO，
又∵ AB = AC，
∴ AO ⊥ BC。
∵ OB = OC ，OD = OD ，
∴ Rt△DBO ≌ Rt△DCO (HL)。
∴ BD = CD。
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC。
①该直线有两点到线段两端点距离相等。
②该直线垂直且平分线段。
证明直线垂直平分线段
A
B
C
O
D
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
A
返回
7．[榆林二模]如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为(　　)
A．4 B．5
C．2 D．6
A
返回
8．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在线段________的垂直平分线上。(填“AB”或“AC”)
AC
返回
9．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D。求证：点D在AB的垂直平分线上。
返回
10．[威海中考]我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是(　　)
A．BO＝DO，AC⊥BD
B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA
D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
D
返回
11．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC，AB分别交于点M，N，连接BM，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．5
A
返回
12．[西安铁一中期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，DE垂直平分AB，交BC于点D，交AB于点E，连接AD，FG垂直平分AC，交AD于点F，交AC于点G，连接CF，∠DCF＝20°，则∠BAC的大小为(　　)
A．60° B．70°
C．80° D．90°
C
返回
13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________。
7
返回
14．(8分)[西安高新一中期末]如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE2－DC2＝AD2。判断BE与AC的数量关系，并说明理由。
解：BE＝AC。理由如下：如图，连接AE。
∵EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE。
∵D为线段CE的中点，∴ED＝CD。
∵BE2－DC2＝AD2，∴AE2－ED2＝AD2。
∴△AED是直角三角形，且∠ADE＝90°。∴AD⊥BC。
∴AD是线段CE的垂直平分线。
∴AE＝AC。∴BE＝AC。
返回
15．(8分)[教材P34“习题1.4”第4题变式]如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，∠B＋∠C＝45°。
(1)求证：ME与NF的交点在BC的垂直平分线上；
证明：设ME与NF的交点为G，连接AG，BG，CG。
∵ME是AB的垂直平分线，∴AG＝BG。
∵NF是AC的垂直平分线，∴AG＝CG，∴BG＝CG，
∴点G在BC的垂直平分线上，即ME与NF的交点在BC的垂直平分线上。
(2)若BC＝12，AF＝4，求EF的长。
解：∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，F，
∴BE＝AE，AF＝FC＝4，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∴∠AEF＝2∠B，∠AFE＝2∠C。
又∵∠B＋∠C＝45°，
∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠B＋∠C)＝90°，∴∠EAF＝90°。
设BE＝AE＝x。∵BC＝12，∴EF＝BC－BE－CF＝8－x，
在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，
即x2＋42＝(8－x)2，
解得x＝3，∴EF＝8－3＝5。
返回
课堂小结
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
性质定理
判定定理
A
B
C
M
N
P