1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理 课件（共36张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

(共36张PPT)
北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
1.5.1 角平分线的性质定理及其逆定理
第一章 三角形的证明及其应用
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知识点1
角平分线的性质
O
E
C
B
A
D
通过刚刚的折纸活动，你能得出什么结论？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
你能证明这个结论吗？
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥ OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。
求证：PD = PE。
O
A
B
C
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°。
∵ ∠1 =∠2，OP = OP，
∴△PDO ≌△PEO（AAS）。
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。
1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
C
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2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD，则下列关系不一定成立的是(　　)
A．PC＝PD
B．OC＝OD
C．CD垂直平分OP
D．PO平分∠CPD
C
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定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质：
应用所具备的条件：
①角的平分线；
②点在该平分线上；
③垂直距离。
定理的作用：证明线段相等
O
A
B
P
D
E
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言：
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为E，F，
∴PE=PF
角平分线的性质：
O
A
B
P
D
E
3．[教材P37“例1”变式]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝8 cm，AD＝5 cm，DE⊥AB，则AE＝________ cm。
4
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4．(4分)[西安交大附中月考]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC于点E。求证：AB＝BE。
返回
练一练
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB。若AC=2，DE=1，则S△ACD=______。
1
F
DF=DE=1
S△ACD= AC·DF= ×2×1=1
尝试·思考
知识点2
角平分线的判定
你能写出这个定理的逆命题吗？
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
逆命题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
逆命题
它是真命题吗？
角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。
假命题
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
如何证明？
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E ，且 PD = PE。
求证：OP 平分∠AOB。
O
A
B
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°。
∵ PD=PE，OP = OP，
∴Rt△DOP ≌Rt△EOP（HL）。
∴ ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）。
∴OP平分∠AOB。
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
角平分线的判定：
应用所具备的条件：
①位置关系：点在角的内部；
②数量关系：该点到角的两边距离相等。
定理的作用：判断点是否在角平分线上
O
A
B
P
D
E
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
角平分线的判定：
O
A
B
P
D
E
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上
5．如图，OC是∠MON内部一条射线，P为射线OC上一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B。下面不能判定OP是∠MON的平分线的是(　　)
A．∠MOC＝∠NOC
B．PA＝PB
C．OA＝OB
D．PB＝OB
D
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6．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACB＝58°，则∠DCE＝(　　)
A．26°
B．29°
C．58°
D．32°
B
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例1 如图，在△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在边 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长。
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)。
又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°。
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)。
练一练
如图，BD=CE，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD交于点F。求证：点F在∠A的平分线上。
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠FDB=∠FEC=90°。
又∵∠BFD=∠CFE，BD=CE，
∴△BDF≌CEF（AAS）。
∴FD=FE。
又∵FE⊥AC，FD⊥AB，
∴点F在∠A的平分线上。
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
归纳：
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
7．如图，已知点P为∠AOB内部一点，PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，C为OP上一点，CD⊥OB于点D，且CD＝7，则点C到OA的距离是________。
7
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8．(4分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
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9． 如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　　)
A．d1与d2一定相等
B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等
D．l1与l2一定不相等
A
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3
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11．[咸阳月考]如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，若∠ADC＝120°，连接AE，则∠BAE＝________°。
30
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12．[东营中考]如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________。
3
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13．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，直线DE是AB的垂直平分线，与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD。
(1)求证：AD平分∠BAC；
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°－∠B－∠DAB＝30°，
∴∠CAD＝∠DAE。∴AD平分∠BAC。
(2)若CD＝2，求△ABD的面积。
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14．(8分) 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上的一点(不与点A，C重合)，连接BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E。
(1)若BD是∠ABC的平分线，求证：BD＝2AE；
证明：如图，延长BC，AE，相交于点F，
∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°＝∠ACB，∠ACB＝∠AEB。
∵∠BDC＝∠ADE，
∴易得∠CBD＝∠CAF。
又∵BC＝AC，∴△BCD≌△ACF，
∴BD＝AF。
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠FBE。
∵BE＝BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE＝FE，∴AF＝2AE，
∴BD＝2AE。
(2)如图②，连接CE，当点D在线段AC上运动时(不与点A，C重合)，∠BEC的大小是否发生变化？若变化，求出它的最大值；若不变化，求出这个定值。
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课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上