1.5.2 三角形三个内角的平分线 课件（共23张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

(共23张PPT)
北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
1.5.2 三角形三个内角的平分线
第一章 三角形的证明及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
复习回顾
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
进行新课
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD。
E
D
A
B
C
∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）。
∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°。
∴∠BDE=90°– 45°= 45°。
∴BE = DE（等角对等边）。
在等腰直角三角形 BDE 中，
cm（勾股定理）。
∴AC = BC = CD + BD = cm.
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE = CD = 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（2）求证：AB = AC + CD。
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。
∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）。
∵BE = DE = CD，
∴AB = AE + BE = AC + CD。
C
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活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内的一点。
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
发现：交点到三条边的距离相等。
你能证明这个结论吗？
2．(8分)如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是△BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F。
(1)求证：AG平分∠BAC；
证明：∵AD＝AE，AG⊥DE，
即AF⊥DE，∴AF平分∠DAE，即AG平分∠BAC。
(2)分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于点P，求证：P在∠BAC的平分线AG上。
解：过点P作PQ⊥DE于点Q，PH⊥AB于点H，PM⊥AC于点M，如图，∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED，
∴PQ＝PH，PQ＝PM，∴PH＝PM，
∴点P在∠HAM的平分线上，
∵AG平分∠BAC，∴点P在∠BAC的平分线AG上。
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例3 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P。
求证：∠A的平分线经过点P。
A
B
C
P
M
N
证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F。
∵BM是△ABC的角平分线，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
同理，PE=PF。
∴PD=PE=PF。
∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即 ∠A的平分线经过点P。
A
B
C
P
M
N
E
F
D
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
3．到三角形三条边距离相等的点是三角形____的交点。横线上应填(　　)
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高线
A
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4．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是(　　)
A．∠1＞∠2
B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2
D．∠1＝2∠2
B
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5．[咸阳期中]如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠BOC＝110°，则∠A的度数为(　　)
A．35°
B．40°
C．50°
D．70°
B
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6．[宝鸡期中]如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
C
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7．(4分)如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置。
解：如图，点P即为所求。
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8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(　　)
A．BF＝CF
B．点F到∠BAC两边的距离相等
C．CE＝BD
D．点F到A，B，C三点的距离相等
D
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9．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　)
A．1处 B．2处
C．3处 D．4处
D
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10．[宿州期中]如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是50，60，70，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　　)
A．1∶1∶1 B．7∶6∶5
C．6∶5∶7 D．5∶6∶7
D
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课堂小结
A
B
C
P
M
N
E
F
D
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。