第一章 三角形的证明及其应用【章末复习】 课件（共44张PPT）--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

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北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
章末复习
第一章 三角形的证明及其应用
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知识框架
三角形的证明及其应用
三角形内角和定理
三角形的内角和、全等三角形
三角形的外角
多边形的内角和、外角和
等腰
三角形
等腰三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定
反证法
含30°角的直角三角形的性质
知识框架
直角三角形的性质与判定
直角三角形全等的判定
线段垂直平分线的性质与判定
三角形三边的垂直平分线
角平分线的性质与判定
三角形内角的平分线
直角
三角形
线段的垂直平分线
角平分线
三角形的证明及其应用
知识梳理
考点1
三角形内角和定理及其推论
三角形三个内角的和等于180°。
1.三角形内角和定理
A
C
B
D
2.三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
考点2
多边形的内角和与外角和
n边形的内角和等于(n-2)·180°。
正多边形每个内角的度数：
1.多边形的内角和与外角和
2.正多边形
多边形的外角和等于360°。
正多边形每个外角的度数：
考点3
全等三角形
性质
全等三角形
全等三角形的对应边相等、对应角相等
判定条件
边边边(SSS)
角边角(ASA)
角角边(AAS)
边角边(SAS)
考点4
等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
1.等腰三角形的性质
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）
2.等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
A
B
C
D
3.等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
A
B
C
4.等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
5.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
B
C
30°
6.反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
考点5
直角三角形
1.直角三角形的性质与判定
几何语言：
在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
几何语言：
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
直角三角形的性质
直角三角形的判定
如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
2.勾股定理的逆定理
3.逆命题、逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
3.直角三角形全等判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。
A
C
B
A'
C'
B'
考点6
线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
A
B
P
2.线段垂直平分线的判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3.三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
P
考点7
角平分线
1.角平分线的性质与判定
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
O
A
B
P
D
E
O
A
B
P
D
E
1．某品牌椅子的侧面图如图所示，DE与地面AB平行。若∠DEF＝120°，∠ABD＝60°，则∠ACB的度数为(　　)
A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
B
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2．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变。若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　)
A．30°
B．40°
C．60°
D．70°
D
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3．(8分)如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C。
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；
证明：∵∠B＝∠AED，
∴180°－∠B＝180°－∠AED，
即∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED。
(2)若∠C＝60°，DE＝4，则△AED的面积为________。
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4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列结论可能错误的是(　　)
A．∠ADC＝90°
B．DE＝DF
C．AD＝BC
D．BD＝CD
C
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5．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
A
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6．如图①，衣架杆OA＝OB＝16 cm(O为衣架的固定点)；如图②，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，则此时A，B两点之间的距离是(　　)
A．8 cm
B．16 cm
C．12 cm
D．6 cm
B
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7．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论。
解：△APQ是等腰三角形。
证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。
∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°。
∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°。
∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC。
又∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P。
∴AP＝AQ，∴△APQ为等腰三角形。
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8．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，顶点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的度数为(　　)
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
C
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9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠C－∠B＝∠A
B．c2＝b2－a2
C．∠A?∠B?∠C＝5?2?2
D．a∶b∶c＝3∶4∶5
C
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10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝________。
3
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11．(4分)如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝13，AC＝12，BD＝4，CD＝3，求图中阴影部分的面积。
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12．[湖南中考]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　)
A．6
B．9
C．12
D．18
C
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13．[咸阳期中]如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为(　　)
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
D
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14．如图，等边三角形ABC的三条边的垂直平分线交于点O，写出△AOB，△BOC和△AOC周长的数量关系：______________________。
C△AOB＝C△BOC＝C△AOC
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15．(4分)[陕西师大附中模拟]如图，在△ABC中，AB>AC。
尺规作图：作∠BAC的平分线，在平分线上确定点D，使得DB＝DC。(不写作法，保留痕迹)
解：如图，AD和点D即为
所求。
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16．(8分)[西安西咸新区期末]如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，过点A作AF∥BC交CD于点F，延长AB，DC交于点E，已知BD所在的直线是线段AC的垂直平分线。
(1)AC是否平分∠EAF？请说明理由；
解：AC平分∠EAF，理由如下：
∵BD所在的直线是线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA。
∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF。
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17．用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设(　　)
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0
C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
B
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18．下列定理中，没有逆定理的是(　　)
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形的两锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．内错角相等，两直线平行
C
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19．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的有________个。
3
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2.三角形内角的平分线
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等